高考数学新增分大一轮复习不等式22一元二次不等式及其解法讲义含解析
§2.2 一元二次不等式及其解法
最新考纲
考情考向分析
1.了解一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系．
2.会解一元二次不等式.
以理解一元二次不等式的解法为主，常与集合的运算相结合考查一元二次不等式的解法，有时也在导数的应用中用到，加强函数与方程思想，分类讨论思想和数形结合思想的应用意识．在高考中常以选择题的形式考查，属于低档题，若在导数的应用中考查，难度较高.
一元二次不等式的解集
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
方程ax2＋bx＋c＝0
(a>0)的根
有两相异实根x1，x2
(x1
0
(a>0)的解集
{x|xx2}
{x|x∈R}
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1< x0(a>0)的解集与其对应的函数y＝ax2＋bx＋c的图象有什么关系？
提示 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是其对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x
轴上方的部分所对应的x的取值范围．
2．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件是什么？
提示 显然a≠0.ax2＋bx＋c>0恒成立的条件是ax2＋bx＋c<0恒成立的条件是
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.( √ )
(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( √ )
(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( × )
(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.( × )
(5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．( √ )
题组二 教材改编
2．[P80A组T4]已知集合A＝{x|x2－x－6>0}，则∁RA等于( )
A．{x|－23} D．{x|x≤－2}∪{x|x≥3}
答案 B
解析 ∵x2－x－6>0，∴(x＋2)(x－3)>0，∴x>3或x<－2，即A＝{x|x>3或x<－2}．在数轴上表示出集合A，如图所示．
由图可得∁RA＝{x|－2≤x≤3}．
故选B.
3．[P80A组T2]y＝log2(3x2－2x－2)的定义域是________________________．
答案 ∪
解析 由题意，得3x2－2x－2>0，
令3x2－2x－2＝0，得x1＝，x2＝，
∴3x2－2x－2>0的解集为∪.
题组三 易错自纠
4．不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．(用区间表示)
答案 (－4,1)
解析 由－x2－3x＋4>0可知，(x＋4)(x－1)<0，
得－40的解集是，则a＋b＝________.
答案 －14
解析 由题意可知，x1＝－，x2＝是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，
∴解得∴a＋b＝－14.
6．不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0，对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．(－2,2]
C．(－2,2) D．(－∞，2)
答案 B
解析 由解得－20}，
∴A∩B＝{x|00)．
解 原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，
因为a>0，所以(x－1)<0.
所以当a>1时，解为1时，不等式的解集为.
思维升华对含参的不等式，应对参数进行分类讨论：①根据二次项系数为正、负及零进行分类．②根据判别式Δ判断根的个数．③有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
跟踪训练1解不等式12x2－ax>a2(a∈R)．
解 原不等式可化为12x2－ax－a2>0，
即(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，
解得x1＝－，x2＝.
当a>0时，不等式的解集为∪；
当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
当a<0时，不等式的解集为∪.
题型二 一元二次不等式恒成立问题
命题点1 在R上的恒成立问题
例3已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈R，f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围．
解 当m＝0时，f(x)＝－1<0恒成立．
当m≠0时，则即－40时，g(x)在[1,3]上是增函数，
所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0，
所以m<，所以00，
又因为m(x2－x＋1)－6<0，所以m<.
因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m<即可．
所以m的取值范围是.
引申探究
1．若将“f(x)<5－m恒成立”改为“f(x)<5－m无解”，如何求m的取值范围？
解 若f(x)<5－m无解，即f(x)≥5－m恒成立，
即m≥恒成立，则m≥max，
又x∈[1,3]，得m≥6，即m的取值范围为[6，＋∞)．
2．若将“f(x)<5－m恒成立”改为“存在x，使f(x)<5－m成立”，如何求m的取值范围．
解 由题意知f(x)<5－m有解，
即m<有解，则m0的解集为{x|－10的解集为( )
A. B.
C．{x|－21}
答案 A
解析 ∵不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－10，解得，故选A.
3．若一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为( )
A．(－3,0) B．[－3,0] C．[－3,0) D．(－3,0]
答案 A
解析 由题意可得
解得－3x2－2x＋5，设f(x)＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，x∈[2,4]，当x＝2时，f(x)min＝5，存在x∈[2,4]使x2－2x＋5－m<0成立，即m>f(x)min，∴m>5.故选B.
5．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是( )
A．[－4,1] B．[－4,3]
C．[1,3] D．[－1,3]
答案 B
解析 原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解集为{x|x＝1}，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1320，
即x2－28x＋192<0，解得120，即当x∈[1,2]时，均有x2.
当a<0时，x－a>0，即当x∈[1,2]时，均有x2＋2a<0，
则(x2＋2a)max<0，即4＋2a<0，得a<－2.
综上可得，a>2或a<－2.
11．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.
(1)解关于a的不等式f(1)>0；
(2)若不等式f(x)>b的解集为(－1,3)，求实数a，b的值．
解 (1)∵f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6，
∴f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3>0，
即a2－6a－3<0，解得3－2b的解集为(－1,3)，
∴方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1,3，
∴
解得
12．(2018·浙江绍兴一中模拟)已知f(x)＝x2－2ax－3a2.
(1)设a＝1，解不等式f(x)>0；
(2)若不等式f(x)，且当x∈[1,4a]时，|f(x)|≤4a恒成立，试确定a的取值范围．
解 (1)当a＝1时，不等式f(x)>0，即x2－2x－3>0，
解得x>3或x<－1.
故当a＝1时，不等式f(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
(2)f(x)－x＝x2－(2a＋1)x－3a2，
令g(x)＝x2－(2a＋1)x－3a2，
若a＝0，则f(x)1，因为|f(a)|＝4a2，|f(4a)|＝5a2，
所以由得此不等式的解集为∅.
综上，a的取值范围是.
13．若不等式a2＋8b2≥λb(a＋b)对于任意的a，b∈R恒成立，则实数λ的取值范围为__________．
答案 [－8,4]
解析 因为a2＋8b2≥λb(a＋b)对于任意的a，b∈R恒成立，所以a2＋8b2－λb(a＋b)≥0对于任意的a，b∈R恒成立，即a2－λba＋(8－λ)b2≥0恒成立，
由一元二次不等式的性质可知，
Δ＝λ2b2＋4(λ－8)b2＝b2(λ2＋4λ－32)≤0，
所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4.
14．已知b，c∈R，若关于x的不等式0≤x2＋bx＋c≤4的解集为[x1，x2]∪[x3，x4](x2时，f′(t)>0，f(t)单调递增．
据题意可知f(t)min＝f＝4.
15．(2019·杭州高级中学仿真测试)若关于x的不等式(x2－a)(2x＋b)≥0在(a，b)上恒成立，则2a＋b的最小值为________．
答案 0
解析 要使2a＋b取得最小值，尽量考虑a，b取负值的情况，因此当a0，与b≤0矛盾；
当a<00.
综上可知，2a＋b的最小值为0.
16．(2018·浙江省海盐高级中学期中)已知函数f(x)＝x2－(a＋2)x＋2－a，若集合A＝{x∈N|f(x)<0}中有且只有一个元素，求实数a的取值范围．
解 ∵集合A＝{x∈N|f(x)<0}中有且只有一个元素，
故方程f(x)＝x2－(a＋2)x＋2－a＝0有两个实根，
即Δ＝(a＋2)2－4(2－a)>0，亦即a2＋8a－4>0，
方程x2－(a＋2)x＋2－a＝0的根为
x1＝，x2＝.
又∵f(0)＝2－a，若f(0)＝2－a<0，
则a>2，此时x2＝>1，
则集合A＝{x∈N|f(x)<0}中至少有两个元素0,1，不符合题意；
故f(0)＝2－a≥0，a≤2，
此时要使集合A＝{x∈N|f(x)<0}中有且只有一个元素，
需满足即
解得
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