- 2021-04-12 发布 |
- 37.5 KB |
- 6页
申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。
文档介绍
高中数学选修第3章3_2第1课时同步练习
高中数学人教A版选2-1 同步练习 直线l的方向向量,平面α的法向量分别是a=(3,2,1),u=(-1,2,-1),则l与α的位置关系是( ) A.l⊥α B.l∥α C.l与α相交但不垂直 D.l∥α或l⊂α 解析:选D.∵a·u=-3+4-1=0, ∴a⊥u,∴l∥α或l⊂α. 若平面α,β的法向量分别为u=(2,-3,5),v=(-3,1,-4),则( ) A.α∥β B.α⊥β C.α,β相交但不垂直 D.以上均不正确 解析:选C.∵≠≠, ∴α与β不平行. 又∵u·v=2×(-3)+(-3)×1+5×(-4)=-29≠0. ∴α,β相交但不垂直. 平面α,β的法向量分别为m=(1,2,-2),n=(-2,-4,k),若α⊥β,则k等于________. 解析:由α⊥β知,m·n=0. ∴-2-8-2k=0,解得k=-5. 答案:-5 已知A(1,0,1),B(0,1,1),C(1,1,0),则平面ABC的一个法向量为__________. 解析:设平面ABC的一个法向量n=(x,y,z), 由题意可得:=(-1,1,0),=(1,0,-1). 由 得 令x=1,得y=z=1.∴n=(1,1,1). 答案:(1,1,1)(答案不惟一) [A级 基础达标] 设平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量为(-2,-4,k),若α∥β,则k=( ) A.2 B.-4 C.4 D.-2 解析:选C.∵α∥β,∴(1,2,-2)=λ(-2,-4,k), ∴k=4. 已知平面α内有一个点A(2,-1,2),它的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点P中,在平面α内的是( ) A.(1,-1,1) B. C. D. 解析:选B.要判断点P是否在平面内,只需判断向量与平面的法向量n是否垂直,即·n是否为0即可,因此,要对各个选项进行逐个检验. 对于选项A,=(1,0,1),则·n=(1,0,1)·(3,1,2)=5≠0,故排除A;对于选项B,=, 则·n=·(3,1,2)=0.故选B. 已知平面α内的三点A(0,0,1)、B(0,1,0)、C(1,0,0),平面β的一个法向量为n=(-1,-1,-1),且β与α不重合,则( ) A.α∥β B.α⊥β C.α与β相交但不垂直 D.以上都不对 解析:选A.=(0,1,-1),=(1,0,-1), n·=(-1,-1,-1)·(0,1,-1) =-1×0+(-1)×1+(-1)×(-1)=0, n·=(-1,-1,-1)·(1,0,-1) =-1×1+0+(-1)×(-1)=0, ∴n⊥,n⊥. ∴n也为α的一个法向量.又α与β不重合,∴α∥β. 已知=(2,2,1),=(4,5,3),则平面ABC的单位法向量的坐标为__________. 解析:设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z), 则即 令z=1,得 ∴平面ABC的一个法向量n=,则平面ABC的单位法向量为±=±. 答案:或 已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).对于结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③是平面ABCD的法向量;④∥.其中正确的是__________. 解析:·=-2-2+4=0,∴AP⊥AB,①正确; ·=-4+4=0,∴AP⊥AD,②正确; 是平面ABCD的法向量,∴③正确;④错误. 答案:①②③ 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, (1)求面ABCD的一个法向量; (2)求面A1BC1的一个法向量; (3)若M为CD的中点,求面AMD1的一个法向量. 解:以A为坐标原点,分别以,,所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为a. (1)∵面ABCD即为坐标平面xOy, ∴n1=(0,0,1)为其一个法向量. (2)连接B1D,∵B1D⊥面A1BC1, 又∵=(0,a,0)-(a,0,a)=(-a,a,-a), ∴n2==(-1,1,-1)为面A1BC1的一个法向量. (3)设n3=(x0,y0,z0)为面AMD1的一个法向量, ∵=,=(0,a,a), ∴. 令x0=2,则y0=-1,z0=1, ∴n3=(2,-1,1) 为面AMD1的一个法向量. [B级 能力提升] 已知直线l1的方向向量a=(2,4,x),直线l2的方向向量b=(2,y,2),若|a|=6,且a⊥b,则x+y的值是( ) A.-3或1 B.3或-1 C.-3 D.1 解析:选A.|a|= =6,∴x=±4, 又∵a⊥b,∴a·b=2×2+4y+2x=0, ∴y=-1-x,∴当x=4时,y=-3, 当x=-4时,y=1,∴x+y=1或-3. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则直线CE垂直于( ) A.AC B.BD C.A1D D.A1A 解析:选B.建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1. 则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),C1(0,1,1),E, ∴=, =(-1,1,0),=(-1,-1,0), =(-1,0,-1),=(0,0,-1). ∵·=0,∴CE⊥BD. 已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3),且⊥平面ABC,则=__________. 解析:∵·=0, ∴3+5-2z=0,即z=4. ∵=(x-1,y,-3), ⊥平面ABC, ∴即 解之得 即=. 答案: 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O1为B1D1的中点,求证:BO1∥平面ACD1. 证明:法一:以D为原点,,,分别为x,y,z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体的棱长为2, 则A(2,0,0),D1(0,0,2),C(0,2,0),B(2,2,0),O1(1,1,2), ∴=(-2,0,2), =(0,-2,2), =(-1,-1,2), ∴=+, ∴与,共面, 又BO1⊄平面ACD1, ∴BO1∥平面ACD1. 法二:在证法一建立的空间直角坐标系下,取AC的中点O,连接D1O,则O(1,1,0), ∴=(1,1,-2). 又=(-1,-1,2),∴=-, ∴∥. 又∵D1O与BO1不共线,∴D1O∥BO1. 又BO1⊄平面ACD1,∴BO1∥平面ACD1. (创新题)如图,在四棱锥PABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E、F分别是AB、PB的中点. (1)求证:EF⊥CD; (2)在平面PAD内求一点G,使GF⊥平面PCB,并证明你的结论. 解:以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图), 设AD=a, 则D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a,a,0)、C(0,a,0)、 E、P(0,0,a)、F. (1)证明:·=·(0,a,0)=0, ∴EF⊥DC. (2)∵G∈平面PAD,设G(x,0,z), ∴=, 由题意要使GF⊥平面PCB, 只需·=·(a,0,0) =a=0, ∴x=. ·=·(0,-a,a) =+a=0,∴z=0. ∴点G的坐标为,即点G为AD的中点.查看更多