中考数学第一轮复习导学案一元二次方程及其应用

中考数学第一轮复习导学案一元二次方程及其应用

- 1 - 一元二次方程及其应用 ◆课前热身 1．如果 2 是一元二次方程 x2＋bx＋2＝0 的一个根，那么常数 b 的值为 ． 2.方程 042  xx 的解______________． 3．方程 2 40x 的根是（ ） A． 2x  B． 2x  C． 1222xx  ， D． 4x  4.由于甲型 H1N1 流感（起初叫猪流感）的影响，在一个月内猪肉价格两次大幅下降．由原 来每斤 16 元下调到每斤 9 元，求平均每次下调的百分率是多少？设平均每次下调的百分率 为 x ，则根据题意可列方程为 ． 【参考答案】1.－3 2.x1=0, x2=4 3. C 4. 216(1 ) 9x ◆考点聚焦 知识点: 一元二次方程、解一元二次方程及其应用 大纲要求: 1.了解一元二次方程的概念，会把一元二次方程化成为一般形式。 2.会用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程、 3.能利用一元二次方程的数学模型解决实际问题。 考查重点与常见题型: 考查一元二次方程、有关习题常出现在填空题和解答题。 ◆备考兵法 （1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断， 注意一元二次方程一般形式中 0a . （2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化 1. （4）用直接开平方的方法时要记得取正、负. ◆考点链接 1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程 叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 - 2 - 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的 系数， 叫做一次项的系数. 2. 一元二次方程的常用解法： （1）直接开平方法：形如 )0(2  aax 或 )0()( 2  aabx 的一元二次方程，就可用 直接开平方的方法. （2）配方法：用配方法解一元二次方程  02  aocbxax 的一般步骤是：①化二 次项系数为 1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和 一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化 原方程为 2()x m n的形式，⑤如果是非负数，即 0n  ，就可以用直接开平方 求出方程的解.如果 n＜0，则原方程无解. （3）公式法：一元二次方程 2 0( 0)ax bx c a    的求根公式是 2 2 1,2 4 ( 4 0)2 b b acx b aca      . （4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程 的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于 0，得到两个一元一次方程， 解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解. ◆典例精析 例 1（湖南长沙）已知关于 x 的方程 2 60x kx   的一个根为 3x  ，则实数 k 的值为（ ） A．1 B． 1 C．2 D． 2 【答案】A 【解析】本题考查了一元二次方程的根。因为 x=3 是原方程的根，所以将 x=3 代入原方程， 原方程成立，即 06332  k 成立，解得 k=1。故选 A。 例 2（湖北仙桃）解方程： 2 4 2 0xx   【分析】根据方程的特点, 灵活选用方法解方程.观察本题特点，可用配方法求解. 【答案】 2 42xx   2 4 4 2 4xx     - 3 - 2( 2) 2x  22x    22x    122 2 2 2xx     ， 例 3（广东省）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 81 台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒 得不到有效控制，3 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 700 台？ 【答案】解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染 x 台电脑，依题意得： 1+  1 81x x x   ，  21 81x， 19x  或 19x    ， 1 8x  或 2 10x  （舍去），    331 1 8 729 700x     ． 答：每轮感染中平均每一台电脑会感染 8 台电脑，3 轮感染后，被感染的电脑会超过 700 台． 【点评】解应用题的关键是把握题意,找准等量关系,列出方程.•最后还要注意求出的未知数 的值,是否符合实际意义.凡不满足实际问题的解（虽然是原方程的解）一定要舍去． ◆迎考精炼 一、选择题 1.(湖北武汉)已知 2x  是一元二次方程 2 20x mx   的一个解，则 m 的值是（ ） A． 3 B．3 C．0 D．0 或3 2.（内蒙古呼和浩特）用配方法解方程 23 6 1 0xx   ，则方程可变形为（ ） A． 2 1( 3) 3x  B． 2 13( 1) 3x  C． 2(3 1) 1x  D． 2 2( 1) 3x  3.（河南）方程 2x =x 的解是 （ ） A.x=1 B.x=0 - 4 - C.x1=1 x2=0 D.x1=﹣1 x2=0 4.（湖南衡阳）两圆的圆心距为 3，两圆的半径分别是方程 0342  xx 的两个根，则两 圆的位置关系是 （ ） A．相交 B．外离 C．内含 D．外切 5．（湖北黄石）三角形两边的长是 3 和 4，第三边的长是方程 2 12 35 0xx   的根，则该 三角形的周长为（ ） A．14 B．12 C．12 或 14 D．以上都不对 6.（湖北襄樊）为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面 积由现在的人均约为 210m 提高到 212.1m ，若每年的年增长率相同，则年增长率为 （ ） A．9% B．10% C．11% D．12% 二、填空题 1.（内蒙古赤峰）已知关于 x 的方程 x2-3x+2k=0 的一个根是 1，则 k= 2.（山东威海）若关于 x 的一元二次方程 2 ( 3) 0x k x k    的一个根是 2 ，则另一个根 是______． 3.(浙江温州)方程(x-1)2=4 的解是 . 4.（广西崇左）分解因式： 22 4 2xx   ． 5．（山西）请你写出一个有一根为 1 的一元二次方程： ． 6.（江苏省）某县农民人均年收入为 7 800 元，计划到 2010 年，农民人均年收入达到 9 100 元．设人均年收入的平均增长率为 x ，则可列方程 ． 三、解答题 1.（山西省）解方程： 2 2 3 0xx   2.（广西梧州）解方程： 0)3(2)3( 2  xxx - 5 - 3．（甘肃庆阳）某企业 2006 年盈利 1500 万元，克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利 2160 万元．从 2006 年到，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求： （1）该企业 2007 年盈利多少万元？ （2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计盈利多少万元？ 4.(山东潍坊)要对一块长 60 米、宽 40 米的矩形荒地 ABCD进行绿化和硬化． （1）设计方案如图①所示，矩形 P、Q 为两块绿地，其余为硬化路面，P、Q 两块绿地周围 的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形 面积的 1 4 ，求 P、Q 两块绿地 周围的硬化路面的宽． （2）某同学有如下设想：设计绿化区域为相外切的 两 等 圆 ， 圆 心 分 别 为 1O 和 2O ，且 到 AB BC AD、 、 的距离与 到 CD BC AD、 、 的 距离都相等，其余为硬化地面，如图②所示，这个 设想是否成立？若成立，求出圆的半径；若不成立， 说明理由． 【参考答案】 一、选择题 1. A 2. D 3. C 4. A 5. B - 6 - 6.B 解析：本题考查方程解决增长率问题，设年增长率 x ，可列方程  210 1 12.1x ，解 得 1 0.1 10%x  ， 2 2.1x  （舍去），所以年增长率 10%，故选 B。 二、填空题 1.1 2.1 3.x1=3,x2=-1 4. 22( 1)x  5.答案不唯一，如 2 1x  6. 27 800( 1) 9100x  三、解答题 1.解：移项，得 2 23xx， 配方，得 214x ， ∴ 12x    ， ∴ 1213xx  ， ． 2.解: 0)23)(3(  xxx 0)33)(3(  xx 03 x 或 033 x 即 31 x 或 12 x 3.解：（1）设每年盈利的年增长率为 x ， 根据题意，得 21500(1 ) 2160x ． 解得 120.2 2.2xx  ， （不合题意，舍去）． 1500(1 ) 1500(1 0.2) 1800x     ． 答：2007 年该企业盈利 1800 万元． （2） 2160(1 0.2) 2592 ． 答：预计该企业盈利 2592 万元． 4.解：（1）设 PQ、 两块绿地周围的硬化路面的宽都为 x 米，根据题意，得： 1(60 3 ) (40 2 ) 60 40 4xx      解之，得： 1210 30xx， 经检验， 2 30x  不符合题意，舍去． 所以，两块绿地周围的硬化路面宽都为 10 米． - 7 - （2）设想成立．设圆的半径为 r 米， 1O 到 AB 的距离为 y 米，根据题意，得： 2 40 2 2 60 y yr    解得： 20 10yr， ．符合实际． 所以，设想成立，此时，圆的半径是 10 米．