中考数学 方程与不等式 一元二次方程及其应用复习

中考数学 方程与不等式 一元二次方程及其应用复习

山西省 数学 　一元二次方程及其应用 第二章　方程与不等式 一个未知数 1 ． 定义 只含有 ____________ ， 并且未知数的最高次数是 ______ ， 这样的整式方程叫做一元二次方程．通常可写成如下的一般形式： _________________________________________ ， 其中 a ， b ， c 分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项． 2 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0(a ， b ， c 是已知数 ， a ≠ 0) 2 ． 解法 (1) 直接开平方法：方程符合 x 2 ＝ m(m ≥ 0) 或 (x±m) 2 ＝ n(n ≥ 0) 的形式； (2) 配方法： ① 二次项系数化 1 ； ② 移项； ③ 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方； ④ 原方程写成 a(x ＋ h) 2 ＝ k 的形式； ⑤ 当 k ≥ 0 时 ， 直接开平方求解； (3) 公式法： ① 化一般形式； ② 确定 a ， b ， c 的值； ③ 求出 b 2 － 4ac 的值； ④ 当 b 2 － 4ac ≥ 0 时 ， 将 a ， b ， c 的值代入得 x ＝ ________________________ ； (4) 因式分解法： ① 将方程右边化为 0 ； ② 将方程左边进行因式分解； ③ 令每个因式为零得两个一元一次方程； ④ 解这两个一元一次方程 ， 得原方程的两个根． 3 ． 一元二次方程的根的判别式 对于一元二次方程 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0(a≠0) ： (1)b 2 － 4ac ＞ 0 ⇔ 方程有两个 ________ 的实数根； (2)b 2 － 4ac ＝ 0 ⇔ 方程有两个 ________ 的实数根； (3)b 2 － 4ac ＜ 0 ⇔ 方程 ______ 实数根； (4)b 2 － 4ac≥0 ⇔ 方程 ______ 实数根． 不相等 相等 无 有 4 ． 一元二次方程的根与系数的关系 若一元二次方程 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0(a≠0) 的两根分别为 x 1 ， x 2 ， 则有 x 1 ＋ x 2 ＝ _________ ， x 1 x 2 ＝ __________ ． 5 ． 一元二次方程的应用：步骤及常见关系参看第 6 讲 1 ． 使用一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系时 ， 必须将一元二次方程转化为一般式 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 ， 以便确定 a ， b ， c 的值． 2 ． 正确理解 “ 方程有实根 ” 的含义．若有一个实数根则原方程为一元一次方程；若有两个实数根则原方程为一元二次方程．在解题时 ， 要特别注意 “ 方程有实数根 ”“ 有两个实数根 ” 等关键文字 ， 挖掘出它们的隐含条件 ， 以免陷入关键字的 “ 陷阱 ”． A 命题点 1 ：解一元二次方程 1 ． ( 2015 · 山西 ) 我们解一元二次方程 3x 2 － 6x ＝ 0 时 ， 可利用因式分解法 ， 将此方程化为 3x(x － 2) ＝ 0 ， 从而得两个一元一次方程： 3x ＝ 0 或 x － 2 ＝ 0 ， 进而得到原方程的解为 x 1 ＝ 0 ， x 2 ＝ 2 ， 这种解法体现的数学思想是 ( ) A ． 转化思想　　　　　　　　 B ．函数思想 C ． 数形结合思想 D ．公理化思想 2 ． ( 2013 · 山西 ) 解方程： (2x － 1) 2 ＝ x(3x ＋ 2) － 7. 解：原方程可化为： 4x 2 － 4x ＋ 1 ＝ 3x 2 ＋ 2x － 7 ， ∴ x 2 － 6x ＋ 8 ＝ 0 ， ∴ (x － 3) 2 ＝ 1 ， ∴ x － 3 ＝ ±1 ， ∴ x 1 ＝ 2 ， x 2 ＝ 4 命题点 2 ：一元二次方程的应用 1 ． ( 2014 · 山西 ) 某项绿化工程中有一块长为 20 米 ， 宽为 8 米的矩形空地 ， 计划在其中修建两块相同的矩形绿地 ， 它们的面积之和为 56 米 2 ， 两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道 ( 如图所示 ) ， 问人行通道的宽度是多少米？ 2 ． ( 2012 · 山西 ) 某山西特产专卖店销售核桃 ， 其进价为每千克 40 元 ， 按每千克 60 元出售 ， 平均每天可售出 100 千克 ， 后来经过市场调查发现 ， 单价每降价 2 元 ， 则平均每天的销售量可增加 20 千克 ， 若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利 2240 元 ， 请回答： (1) 每千克核桃应降价多少元？ (2) 在平均每天获利不变的情况下 ， 为尽可能让利于顾客 ， 赢得市场 ， 该店应按原售价的几折出售？ 【 例 1 】 　解下列方程： (1)x 2 － 2x ＝ 0 ； (2)( 2015 · 大连 )x 2 － 6x － 4 ＝ 0 ； (3)(y ＋ 3)(1 － 3y) ＝ 1 ＋ 2y 2 ； (4)(3x ＋ 5) 2 － 5(3x ＋ 5) ＋ 4 ＝ 0. 【 点评 】 　解一元二次方程要根据方程的特点 选择 合适的方法解 题 ， 但一般 顺 序 为 ：直接开平方法 → 因式分解法 → 公式法． [ 对应训练 ] 1 ． 用指定的方法解下列方程： (1)(2x － 1) 2 ＝ 9 ； ( 直接开平方法 ) (2)2x 2 ＋ 1 ＝ 3x ； ( 配方法 ) (3)x 2 － 2x － 8 ＝ 0 ； ( 因式分解法 ) (4)x(x ＋ 1) ＋ 2(x － 1) ＝ 0.( 公式法 ) D 【 例 2 】 　 ( 2015 · 成都 ) 关于 x 的一元二次方程 kx 2 ＋ 2x ＋ 1 ＝ 0 有两个不相等的实数根 ， 则 k 的取值范围是 ( ) A ． k ＞－ 1 B ． k ≥ － 1 C ． k ≠ 0 D ． k ＜ 1 且 k ≠ 0 【 点评 】 　 对 于一元二次方程 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0(a ≠ 0) 的根的情况的描述 ， 必 须 借助根的判 别 式 ， Δ ≥ 0 方程有两个 实 数根 ， Δ ＞ 0 方程有两个不相等的 实 数根 ， Δ ＝ 0 方程有两个相等的 实 数根 ， Δ ＜ 0 方程没有 实 数根 ， 反之亦然．另外 ， 切 记 不要忽略一元二次方程二次 项 系数不 为 零 这 一 隐 含条件． [ 对应训练 ] 2 ． (1) ( 2015 · 凉山州 ) 关于 x 的一元二次方程 (m － 2)x 2 ＋ 2x ＋ 1 ＝ 0 有实数根 ， 则 m 的取值范围是 ( ) A ． m ≤ 3 B ． m ＜ 3 C ． m ＜ 3 且 m ≠ 2 D ． m ≤ 3 且 m ≠ 2 (2) ( 2015 · 泰州 ) 已知：关于 x 的方程 x 2 ＋ 2mx ＋ m 2 － 1 ＝ 0. ① 不解方程 ， 判别方程根的情况； ② 若方程有一个根为 3 ， 求 m 的值． D 解：①∵ a ＝ 1 ， b ＝ 2m ， c ＝ m 2 － 1 ， ∵ Δ ＝ b 2 － 4ac ＝ (2m) 2 － 4×1×(m 2 － 1) ＝ 4 ＞ 0 ， ∴方程 x 2 ＋ 2mx ＋ m 2 － 1 ＝ 0 有两个不相等的实数根；②∵ x 2 ＋ 2mx ＋ m 2 － 1 ＝ 0 有一个根是 3 ， ∴ 3 2 ＋ 2m×3 ＋ m 2 － 1 ＝ 0 ， 解得 ， m ＝－ 4 或 m ＝－ 2 【 例 3 】 　 (1)( 2015 · 金华 ) 一元二次方程 x 2 ＋ 4x － 3 ＝ 0 的两根为 x 1 ， x 2 ， 则 x 1 ·x 2 的值是 ( ) A ． 4 B ．－ 4 C ． 3 D ．－ 3 (2) ( 2015 · 潜江 ) 已知关于 x 的一元二次方程 x 2 － 4x ＋ m ＝ 0. ① 若方程有实数根 ， 求实数 m 的取值范围； ②若方程两实数根为 x 1 ， x 2 ， 且满足 5x 1 ＋ 2x 2 ＝ 2 ， 求实数 m 的值． D 解： ①∵方程有实数根 ， ∴ Δ ＝ ( － 4) 2 － 4m ＝ 16 － 4m≥0 ， ∴ m≤4 ；②∵ x 1 ＋ x 2 ＝ 4 ， ∴ 5x 1 ＋ 2x 2 ＝ 2(x 1 ＋ x 2 ) ＋ 3x 1 ＝ 2×4 ＋ 3x 1 ＝ 2 ， ∴ x 1 ＝－ 2 ， 把 x 1 ＝－ 2 代入 x 2 － 4x ＋ m ＝ 0 得： ( － 2) 2 － 4×( － 2) ＋ m ＝ 0 ， 解得： m ＝－ 12 C 100 ＋ 200x 【 例 4 】 　 ( 2015 · 淮安 ) 水果店张阿姨以每斤 2 元的价格购进某种水果若干斤 ， 然后以每斤 4 元的价格出售 ， 每天可售出 100 斤 ， 通过调查发现 ， 这种水果每斤的售价每降低 0.1 元 ， 每天可多售出 20 斤 ， 为保证每天至少售出 260 斤 ， 张阿姨决定降价销售． (1) 若将这种水果每斤的售价降低 x 元 ， 则每天的销售量是 _____________ 斤 ( 用含 x 的代数式表示 ) ； (2) 销售这种水果要想每天盈利 300 元 ， 张阿姨需将每斤的售价降低多少元？ 【 点评 】 　 (1) 现实 生活中存在大量的 实际应 用 问题 ， 需要用一元二次方程的知 识 去解决 ， 解决 这类问题 的关 键 是在充分理解 题 意的基 础 上 ， 寻 求 问题 中的等量关系 ， 从而建立方程． (2) 解出方程的根要 结 合方程和具体 实际选择 合适的根 ， 舍去不合 题 意的根． [ 对应训练 ] 4 ． (1) ( 2015 · 毕节 ) 一个容器盛满纯药液 40 L ， 第一次倒出若干升后 ， 用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液 ， 这时容器里只剩下纯药液 10 L ， 则每次倒出的液体是 _______ L . (2) ( 2015 · 长沙 ) 现代互联网技术的广泛应用 ， 催生了快递行业的高速发展 ， 据调查 ， 长沙市某家小型 “ 大学生自主创业 ” 的快递公司 ， 今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为 10 万件和 12.1 万件 ， 现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同． 20 ① 求该快递公司投递总件数的月平均增长率； ② 如果平均每人每月最多可投递 0.6 万件 ， 那么该公司现有的 21 名快递投递业务员能否完成今年 6 月份的快递投递任务？如果不能 ， 请问至少需要增加几名业务员？ 解：①设该快递公司投递总件数的月平均增长率为 x ， 根据题意得 10(1 ＋ x) 2 ＝ 12.1 ， 解得 x 1 ＝ 0.1 ， x 2 ＝－ 2.1( 不合题意舍去 ) ．答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为 10% 试题 (1) 解方程： 3x(x ＋ 2) ＝ 5(x ＋ 2) ； (2) 解方程： 9x 2 ＋ 6x ＋ 1 ＝ 9 ； (3) 解方程： x 2 － 2x ＋ 1 ＝ 0. 剖析 (1) 解方程 3x(x ＋ 2) ＝ 5(x ＋ 2) 时 ， 方程两 边 同 时 除以含 x 的代数式破坏了方程的同解性 ， 遗 失了一个根 x ＝－ 2 ； (2) 解方程 9x 2 ＋ 6x ＋ 1 ＝ 9 ， 在开平方 时 ， 由于只取了一个算 术 平方根 ， 这样 就把未知数的取 值 范 围缩 小了 ， 遗 失了一个根； ( 3) 解方程 x 2 － 2x ＋ 1 ＝ 0 时 ， 解得的 结 果 应 写成 x 1 ＝ x 2 ＝ 1. D 2016 年中考预测题 1 ． 下列关于 x 的一元二次方程有实数根的是 ( ) A ． x 2 ＋ 1 ＝ 0 B ． x 2 ＋ x ＋ 1 ＝ 0 C ． x 2 － x ＋ 1 ＝ 0 D ． x 2 － x － 1 ＝ 0 2 ． 解方程： (x － 1)(2x － 1) ＝ 3(x － 1) 解： x 1 ＝ 1 ， x 2 ＝ 2