成都市高三二轮复习文科数学（二） 平面向量

成都市高三二轮复习文科数学（二） 平面向量

第 8 页 共 8 页 成都市高三二轮复习文科数学（二） 平面向量 经典例题：‎ ‎1.(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)‎ A.－ 　　　B.－ C.＋ D.＋ 解析：选A　法一：作出示意图如图所示.＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－.故选A.‎ 法二：不妨设△ABC为等腰直角三角形，且∠A＝，AB＝AC＝1.建立如图所示的平面直角坐标系，‎ 则A(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，D，E.故＝(1，0)，＝(0，1)，‎ ＝(1，0)－＝，即＝－.‎ ‎2.(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ).若c∥(‎2a＋b)，则λ＝________.‎ 解析：‎2a＋b＝(4，2)，因为c∥(‎2a＋b)，所以4λ＝2，解得λ＝.答案： ‎3.(2019·河南八市联考改编)在等腰梯形ABCD中，＝2，点E是线段BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＝________，μ＝________.‎ 解析：取AB的中点F，连接CF，则由题可得CF ∥AD，且CF＝AD.‎ ‎∵＝＋＝＋＝＋(―)＝＋＝＋，∴λ＝，μ＝.答案：　 ‎1.(2019·全国卷Ⅱ)已知＝(2，3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝(　　)‎ A.－3　　　　　B.－‎2 C.2 D.3‎ 解析：选C　∵＝－＝(3，t)－(2，3)＝(1，t－3)，||＝1，‎ ‎∴＝1，∴t＝3，∴＝(1，0)，∴·＝2×1＋3×0＝2.故选C.‎ 第 8 页 共 8 页 ‎2.已知向量m＝(t＋1，1)，n＝(t＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则t＝(　　)‎ A.0 B.－‎3 C.3 D.－1‎ 解析：选B　法一：由(m＋n)⊥(m－n)可得(m＋n)·(m－n)＝0，即m2＝n2，故(t＋1)2＋1＝(t＋2)2＋4，解得t＝－3.‎ 法二：m＋n＝(2t＋3，3)，m－n＝(－1，－1)，∵(m＋n)⊥(m－n)，∴－(2t＋3)－3＝0，解得t＝－3.‎ ‎3.(2019·四川成都二模)已知向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝5，则‎2a－b在a方向上的投影为(　　)‎ A.－ B. C.2 D. 解析：选B　∵|a|＝2，|b|＝5，向量a与b的夹角为60°，∴(‎2a－b)·a＝‎2a2－b·a＝2×22－5×2×cos 60°＝3，‎ ‎∴‎2a－b在a方向上的投影为＝.故选B.‎ ‎4.(2019·安徽五校联盟第二次质检)已知O是△ABC内部一点，且满足＋＋＝0，又·＝2，∠BAC＝60°，则△OBC的面积为(　　)‎ A. B‎.3 ‎‎ C.1 D.2‎ 解析：选C　由·＝2，∠BAC＝60°，可得·＝||·||cos∠BAC＝||||＝2，所以||||＝4，所以S△ABC＝||||·sin∠BAC＝3，又＋＋＝0，所以O为△ABC的重心，所以S△OBC＝S△ABC＝1，故选C.‎ ‎5.(2019·福州市质量检测)已知两个单位向量a，b满足|a＋b|＝|b|，则a与b的夹角为________.‎ 解析：设a与b的夹角为α，∵a，b是单位向量，|a＋b|＝|b|，∴|a＋b|2＝()2，∴a2＋b2＋‎2a·b＝3，‎ ‎∴2cos α＝1，即cos α＝，又α∈[0，π]，∴α＝.答案： 第 8 页 共 8 页 ‎6.(2019·昆明市诊断测试)已知O为坐标原点，向量＝(1，2)，＝(－2，－1)，若2＝，则||＝________.‎ 解析：设P点坐标为(x，y)，＝－＝(－2，－1)－(1，2)＝(－3，－3)，＝(x－1，y－2)，由2＝得，2(x－1，y－2)＝(－3，－3)，所以解得故|OP|＝ ＝.答案： ‎ [题后悟通]‎ ‎1.运算遵法则　基底定分解 ‎(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.一般将向量归结到相关的三角形中，利用三角形法则列出三个向量之间的关系.‎ ‎(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路：先选择一组基底，并运用该组基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每组基底下的分解都是唯一的.‎ ‎2.解决以平面图形为载体的向量数量积问题的方法 ‎(1)选择平面图形中模与夹角确定的向量作为一组基底，用该基底表示构成数量积的两个向量，结合向量数量积运算律求解.‎ ‎(2)若已知图形中有明显的适合建立直角坐标系的条件，可建立直角坐标系将向量数量积运算转化为代数运算来解决.‎ ‎3.求两向量夹角应注意 两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，还要求不能反向共线.‎ 第 8 页 共 8 页 课后限时练习：‎ 一、选择题 ‎1.设a＝(1，2)，b＝(1，1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于(　　)‎ A.－　　　　　　　　 B.－ C. D. ‎2.(2019·洛阳市统考)已知向量a＝(1，)，|b|＝3，且a与b的夹角为，则|‎2a＋b|＝(　　)‎ A.5 B. C.7 D.37‎ ‎3.已知在平面直角坐标系中，点A(0，1)，向量＝(－4，－3)，＝(－7，－4)，则点C的坐标为(　　)‎ A.(11，8) B.(3，2)‎ C.(－11，－6) D.(－3，0)‎ ‎4.(2019·广州市综合检测一)a，b为平面向量，已知a＝(2，4)，a－2b＝(0，8)，则a，b夹角的余弦值等于(　　)‎ A.－ B.－ C. D. ‎5.(2019·广州市调研测试)已知△ABC的边BC上有一点D满足＝4，则可表示为(　　)‎ A.＝＋ B.＝＋ C.＝＋ D.＝＋ ‎6.(2019·合肥市第一次质检)设向量a＝(－3，4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为(　　)‎ A. B.(－6，8)‎ C. D.(6，－8)‎ ‎7.(2019·东北四市联合体模拟一)已知e1，e2是两个单位向量，且夹角为，则e1＋te2与te1＋e2数量积的最小值为(　　)‎ A.－ B.－ 第 8 页 共 8 页 C. D. ‎8.已知a和b是非零向量，m＝a＋tb(t∈R)，若|a|＝1，|b|＝2，当且仅当t＝时，|m|取得最小值，则向量a，b的夹角θ为(　　)‎ A. B. C. D. ‎9.(2019·长春市质量监测二)如图，正方形ABCD的边长为2，E为BC边的中点，F为CD边上一点，若·＝||2，则||＝(　　)‎ A.3 B.5‎ C. D. ‎10.(2019·四川泸州第二次教学质量诊断)在△ABC中，|＋|＝|－|，AB＝3，AC＝4，则在方向上的投影是(　　)‎ A.4 B.－4‎ C.3 D.－3‎ ‎11.(2019·广东六校第一次联考)如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝t＋，则实数t的值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎12.(2019·辽宁鞍山一中一模)△ABC中，AB＝5，AC＝4，＝λ＋(1＋λ) (0＜λ＜1)，且·＝16，则·的最小值等于(　　)‎ A.－ B.－ C.－ D.－21‎ 二、填空题 ‎13.设向量a，b满足|a＋b|＝2|a－b|，|a|＝3，则|b|的最大值是________，最小值是________.‎ ‎14.(2019·全国卷Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝‎2a－b，则cos〈a，c〉＝________.‎ ‎15.(2019·天津高考)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上 第 8 页 共 8 页 ‎，且AE＝BE，则·＝________.‎ ‎16.(2019·成都第一次诊断性检测)已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q.若＝λ，则当△ABC与△APQ的面积之比为20∶9时，实数λ的值为________.‎ ‎1解析：选A　因为c＝a＋kb＝(1＋k，2＋k)，又b⊥c，所以1×(1＋k)＋1×(2＋k)＝0，解得k＝－.‎ ‎2解析：选B　∵a＝(1，)，∴|a|＝2，∵|b|＝3，a与b的夹角为，∴a·b＝3，∴|‎2a＋b|2＝‎4a2＋‎4a·b＋b2＝16＋12＋9＝37，∴|‎2a＋b|＝，故选B.‎ ‎3解析：选C　设C(x，y)，∵在平面直角坐标系中，点A(0，1)，向量＝(－4，－3)，＝(－7，－4)，∴＝＋＝(－11，－7)，∴解得x＝－11，y＝－6，故C(－11，－6).‎ ‎4解析：选B　设b＝(x，y)，则有a－2b＝(2，4)－(2x，2y)＝(2－2x，4－2y)＝(0，8)，所以解得故b＝(1，－2)，|b|＝，|a|＝2，cos〈a，b〉＝＝＝－，故选B.‎ ‎5解析：选D　因为＝4，所以＝，故＝＋＝－＝－(－)＝＋，故选D.‎ ‎6解析：选D　法一：因为a与b的方向相反，所以可设b＝(3t，－4t)(t＞0)，又|b|＝10，则9t2＋16t2＝100，解得t＝2或t＝－2(舍去)，所以b＝(6，－8)，故选D.‎ 法二：与a方向相反的单位向量为，令b＝t(t＞0)，由|b|＝10，得t＝10，所以b＝(6，－8)，故选D.‎ 解析：选A　(e1＋te2)·(te1＋e2)＝te＋e1·e2＋t2e1·e2＋te＝t＋|e1||e2|cos＋t2|e1||e2|cos＋t＝t2＋2t＋＝(t＋2)2－≥－，所以e1＋te2与te1＋e2数量积的最小值为－，故选A.‎ ‎8解析：选C　由m＝a＋tb，及|a|＝1，|b|＝2，得|m|2＝(a＋tb)2＝4t2＋4tcos θ＋1＝(2t＋cos θ)2＋sin2θ，由题意得，当t＝时，cos θ＝－，则向量a，b的夹角θ为，故选C.‎ ‎9解析：选D　法一：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A(0，0)，E(2，1).设|→|＝x，则F(x，2)，故＝(x，2)，＝(2，1).∵·＝||2，∴(x，2)·(2，1)＝2x＋2＝5，解得x＝，‎ 第 8 页 共 8 页 ‎∴||＝ ＝，故选D.‎ 法二：连接EF，∵·＝||||cos∠EAF＝||2，∴||cos∠EAF＝||，∴EF⊥AE.∵E是BC的中点，∴BE＝CE＝1.设DF＝x，则CF＝2－x.在Rt△AEF中，AE2＋EF2＝AF2，即22＋12＋(2－x)2＋12＝22＋x2，解得x＝，∴AF＝＝.故选D.‎ ‎10解析：选B　∵|＋|＝|－|，‎ ‎∴2＋2·＋2＝2－2·＋2，∴·＝0，∴⊥.又AB＝3，AC＝4，‎ ‎∴在方向上的投影是||·cos〈，〉＝||·cos(π－∠ACB)＝－||·cos∠ACB＝－4，故选B.‎ ‎11解析：选C　法一：∵＝，∴＝.设＝λ，则＝＋＝＋λ＝＋λ(＋)＝＋λ＝λ＋(1－λ)，又＝t＋，∴t＋＝λ＋(1－λ)，得解得t＝λ＝，故选C.‎ 法二：∵＝，∴＝，∴＝t＋＝t＋.∵B，P，N三点共线，∴t＋＝1，∴t＝，故选C.‎ ‎12解析：选C　由题意可得点D在边BC上，且||·||·cos∠DAC＝16，所以||cos∠DAC＝4＝||，则BC⊥AC，所以△ABC是以C为直角的直角三角形，BC＝3.如图建立平面直角坐标系，设A(x，4)，则B(x－3，0)，则·＝x(x－3)，0＜x＜3，则当x＝时，·最小，最小值为－.故选C.‎ ‎13解析：由|a＋b|＝2|a－b|两边平方，得a2＋‎2a·b＋b2＝4(a2－‎2a·b＋b2)，化简得到‎3a2＋3b2＝‎10a·b≤10|a||b|，|b|2－10|b|＋9≤0，解得1≤|b|≤9.答案：9　1‎ ‎14解析：由题意，得cos〈a，c〉＝＝＝＝.答案： ‎15解析：法一：△AEB为等腰三角形，易得|BE|＝2，所以＝＋＝－，则·＝(－)·＝－2－2＋·＝－10－12＋21＝－1.‎ 法二：如图，如点B为坐标原点，BC所在直线为x轴，垂直BC且过点B的直线为y 第 8 页 共 8 页 轴，建立平面直角系标系，则B(0，0)，易知E(－2，0)，A(－3，)，又BD＝＝，所以D(2，)，于是＝(2，)，＝(1，－)，所以·＝(2，)·(1，－)＝2－3＝－1.答案：－1‎ ‎16解析：设＝μ，则由＝λ，＝.可得＝＝，所以λμ＝　①.又G为△ABC的重心，所以＝(＋)＝＝＋，结合P，G，Q三点共线，得＋＝1　②.联立①②消去μ，得20λ2－27λ＋9＝0，解得λ＝或.答案：或