成都市高三二轮复习文科数学（二十） 导数的几何意义及简单应用

成都市高三二轮复习文科数学（二十） 导数的几何意义及简单应用

第 13 页 共 13 页 成都市高三二轮复习文科数学（二十） 导数的几何意义及简单应用 ‎[全国卷 考情分析]‎ 年份 全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 全国卷Ⅲ ‎2019‎ 导数的几何意义，求切线方程·T13‎ 导数的几何意义，求切线方程·T10‎ 利用导数的几何意义求参数·T7‎ 利用导数研究函数的极值·T21(1)‎ 利用导数讨论函数的单调性与最值·T20‎ ‎2018‎ 奇函数的定义及利用导数的几何意义求切线方程·T6‎ 利用导数的几何意义求切线方程·T13‎ 利用导数的几何意义求切线方程·T21(1)‎ 利用函数的极值点求参数及单调区间·T21‎ 利用导数求函数的单调区间·T21(1)‎ ‎2017‎ 利用导数的几何意义求切线方程·T14‎ 利用导数研究函数的单调性·T21(1)‎ 利用导数研究函数的单调性·T21(1)‎ 利用导数研究函数的单调性·T21(1)‎ ‎(1)此部分内容是高考命题的热点内容.在选择题、填空题中多考查导数的几何意义，难度较小.‎ ‎(2)应用导数研究函数的单调性、极值、最值，多在选择题、填空题最后几题的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题；常在解答题的第一问中考查，难度一般.‎ 导数的几何意义 ‎[例1]　(1)(2019·全国卷Ⅱ)曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为(　　)‎ A.x－y－π－1＝0　　　　B.2x－y－2π－1＝‎0 ‎‎ C.2x＋y－2π＋1＝0 D.x＋y－π＋1＝0‎ ‎(2)(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　)‎ A.a＝e，b＝－1　　　　B.a＝e，b＝‎1 ‎‎ C.a＝e－1，b＝1 D.a＝e－1，b＝－1‎ ‎[解析]　(1)设y＝f(x)＝2sin x＋cos x，则f′(x)＝2cos x－sin x，∴ f′(π)＝－2，∴ 曲线在点(π，－1)处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.故选C.‎ ‎(2)y′＝aex＋ln x＋1，∴ k＝y′|x＝1＝ae＋1，∴ 切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，‎ 即y＝(ae＋1)x－1.∵ 已知切线方程为y＝2x＋b，∴ 即a＝e－1，b＝－1.故选D.‎ ‎[答案]　(1)C　(2)D 第 13 页 共 13 页 ‎[解题方略]‎ 与切线有关问题的处理策略 ‎(1)已知切点A(x0，y0)求斜率k，即求该点处的导数值，k＝f′(x0).‎ ‎(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.‎ ‎(3)求过某点M(x1，y1)的切线方程时，需设出切点A(x0，f(x0))，则切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，再把点M(x1，y1)代入切线方程，求x0.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1.(2019·福州市第一学期抽测)曲线f(x)＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为(　　)‎ A.2 B. C. D. 解析：选D　f′(x)＝1＋，则f′(1)＝2，故曲线f(x)＝x＋ln x在点(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，此切线与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－1)，，则切线与坐标轴围成的三角形的面积为×1×＝，故选D.‎ ‎2.(2019·江西八所重点中学联考)已知曲线y＝＋在x＝1处的切线l与直线2x＋3y＝0垂直，则实数a的值为________.‎ 解析：因为y＝f(x)＝＋，所以f′(x)＝－＋，所以曲线y＝＋在x＝1处的切线l的斜率k＝f′(1)＝－1＋.直线2x＋3y＝0的斜率k′＝－.因为切线l与直线2x＋3y＝0垂直，所以×＝－1，得a＝.答案： ‎3.已知函数f(x)＝x－sin x－cos x的图象在点A(x0，y0)处的切线的斜率为1，则tan x0＝________.‎ 解析：∵f(x)＝x－sin x－cos x，∴f′(x)＝－cos x＋sin x＝＋sin.‎ ‎∵函数f(x)的图象在点A(x0，y0)处的切线斜率为1，∴＋sin＝1，∴x0－＝＋2kπ，k∈Z，‎ ‎∴x0＝＋2kπ，k∈Z，∴tan x0＝tan＝tan＝－tan＝－.答案：－ 利用导数研究函数的单调性 ‎[例2]　(1)(2019·广东省七校联考)已知定义在R上的连续可导函数f(x)，当x≠0时，有xf′(x)＜0，则下列各项正确的是(　　)‎ A.f(－1)＋f(2)＞‎2f(0) B.f(－1)＋f(2)＝‎2f(0) C.f(－1)＋f(2)＜‎2f(0) D.f(－1)＋f(2)与‎2f(0)大小关系不确定 ‎(2)已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x，讨论f(x)的单调性.‎ 第 13 页 共 13 页 ‎[解析]　(1)由题意得，x＜0时，f(x)是增函数，x＞0时，f(x)是减函数，∴x＝0是函数f(x)的极大值点，也是最大值点，∴f(－1)＜f(0)，f(2)＜f(0)，两式相加得，f(－1)＋f(2)＜‎2f(0)，故选C.[答案]　C ‎[解] (2)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a).‎ ‎①若a＝0，则f(x)＝e2x在(－∞，＋∞)上单调递增.‎ ‎②若a＞0，则由f′(x)＝0，得x＝ln a.当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)＜0；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)＞0.‎ 故f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增.‎ ‎③若a＜0，则由f′(x)＝0，得x＝ln.当x∈时，f′(x)＜0；‎ 当x∈时，f′(x)＞0.故f(x)在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎[解题方略]‎ 求解或讨论函数单调性有关问题的解题策略 讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况.大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论：‎ ‎(1)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论.‎ ‎(2)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论.‎ ‎[注意]　讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1.(2019·唐山市摸底考试)设函数f(x)＝x(ex＋e－x)，则f(x)(　　)‎ A.是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B.是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 C.是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D.是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 解析：选A　法一：由条件可知，f(－x)＝(－x)(e－x＋ex)＝－x(ex＋e－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数.f′(x)＝ex＋e－x＋x(ex－e－x)，当x＞0时，ex＞e－x，所以x(ex－e－x)＞0，又ex＋e－x＞0，所以f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，故选A.‎ 法二：根据题意知f(－1)＝－f(1)，所以函数f(x)为奇函数.又f(1)＜f(2)，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，故选A.‎ ‎2.若本例(2)变为：已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x在[1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围.‎ 解：由本例解析知f′(x)＝(2ex＋a)(ex－a)，∵f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则f′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，‎ ‎∴(2ex＋a)(ex－a)≥0，∴－2ex≤a≤ex在[1，＋∞)上恒成立，∴－2e≤a≤e，∴实数a的取值范围为[－2e，e].‎ ‎3.若本例(2)变为：函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x在[1，＋∞)上存在单调递减区间，求实数a的取值范围.‎ 第 13 页 共 13 页 解：由本例解析知f′(x)＝2e2x－aex－a2，设t＝ex，∵x∈[1，＋∞)，∴t∈[e，＋∞)，‎ 即g(t)＝2t2－at－a2在[e，＋∞)上有零点.∴g(e)＝2e2－ae－a2<0，解得a>e或a<－2e，‎ ‎∴实数a的取值范围为(－∞，－2e)∪(e，＋∞).‎ 利用导数研究函数的极值(最值)问题 题型一　求已知函数的极值(最值)‎ ‎[例3]　(1)(2019·昆明市质量检测)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋cln x(a＞0)在x＝1和x＝2处取得极值，且极大值为－，则函数f(x)在区间上的最大值为(　　)‎ A.0 B.－ C.2ln 2－4 D.4ln 2－4‎ ‎(2)已知函数f(x)＝＋2x，则函数f(x)的极小值为________.‎ ‎[解析]　(1)f′(x)＝2ax＋b＋＝(x＞0，a＞0).因为函数f(x)在x＝1和x＝2处取得极值，所以f′(1)＝‎2a＋b＋c＝0　①，f′(2)＝‎4a＋b＋＝0　②.又a＞0，所以当0＜x＜1或x＞2时，f′(x)＞0，f(x)是增函数，当1＜x＜2时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.所以当x＝1时，f(x)极大值＝f(1)＝a＋b＝－　③.联立①②③，解得a＝，b＝－3，c＝2.f(4)＝×16－3×4＋2ln 4＝4ln 2－4，经比较函数f(x)在区间上的最大值是f(4)＝4ln 2－4.故选D.‎ ‎(2)f(x)＝＋2x(x＞1)，f′(x)＝，令f′(x)＝0，得2ln2x＋ln x－1＝0，‎ 解得ln x＝或ln x＝－1(舍去)，即x＝e.当1＜x＜e时，f′(x)＜0，当x＞e时，f′(x)＞0，‎ ‎∴f(x)的极小值为f(e)＝＋2e＝4e.‎ ‎[答案]　(1)D　(2)4e ‎[解题方略]　利用导数研究函数极值、最值的方法 ‎(1)若求极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检查f′(x)在方程根的左右函数值的符号.‎ ‎(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况来求解.‎ ‎(3)求函数f(x)在闭区间[a，b]的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.‎ 题型二　由函数的极值(最值)确定参数值(范围)‎ ‎[例4]　已知函数f(x)＝2ln x－2ax＋x2有两个极值点x1，x2(x10；当x>1时，f′(x)<0.‎ ‎∴函数f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞).‎ ‎(2)法一：f′(x)＝－‎2a2x＋a＝.‎ ‎①当a＝0时，f′(x)＝>0，∴f(x)在区间(0，＋∞)上为增函数，不合题意；‎ ‎②当a>0时，由f′(x)<0，得x>.∴f(x)的单调递减区间为.依题意，得解得a≥1；‎ ‎③当a<0时，由f′(x)<0，得x>－.∴f(x)的单调递减区间为.‎ 依题意，得解得a≤－.综上所述，实数a的取值范围是∪[1，＋∞).‎ 法二：f′(x)＝－‎2a2x＋a＝.由f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数，可得g(x)＝－‎2a2x2＋ax＋1≤0在区间(1，＋∞)上恒成立.‎ ‎①当a＝0时，1≤0不合题意；‎ ‎②当a≠0时，可得即∴∴a≥1或a≤－.‎ ‎∴实数a的取值范围是∪[1，＋∞).‎ ‎[素养通路]‎ 逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养.主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎.‎ 本题是含参函数的单调性问题，对于此类问题一般要分类讨论，常见有以下几种可能：①方程f′(x)＝0‎ 第 13 页 共 13 页 是否有根；②若f′(x)＝0有根，求出根后是否在定义域内；③若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法.考查了逻辑推理这一核心素养.‎ A组——“6＋3＋‎3”‎考点落实练 一、选择题 ‎1.已知函数f(x)的导函数f′(x)满足下列条件：①f′(x)>0时，x<－1或x>2；②f′(x)<0时，－10，则当x∈(－∞，0)∪时，f′(x)>0，当x∈时，f′(x)<0，‎ 故f(x)在(－∞，0)，单调递增，在单调递减；‎ 若a＝0，f(x)在(－∞，＋∞)单调递增；若a<0，则当x∈∪(0，＋∞)时，f′(x)>0，‎ 当x∈时，f′(x)<0，故f(x)在，(0，＋∞)单调递增，在单调递减.‎ ‎(2)当02时，f′(x)>0，即f(x)单调递增.‎ ‎∴f(x)只有极小值，且在x＝2时，f(x)取得极小值f(2)＝4－4ln 2.‎ ‎(2)∵f′(x)＝，∴当a>0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，即f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，没有最小值；‎ 当a<0时，由f′(x)>0得，x>－，∴f(x)在上单调递增；‎ 由f′(x)<0得，x<－，∴f(x)在上单调递减.‎ ‎∴当a<0时，f(x)的最小值为f＝aln＋2.根据题意得f＝aln＋2≥－a，‎ 即a[ln(－a)－ln 2]≥0.∵a<0，∴ln(－a)－ln 2≤0，解得a≥－2，∴实数a的取值范围是[－2，0).‎