成都市高三二轮复习文科数学（二十二） 函数、导数与方程
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成都市高三二轮复习文科数学（二十二） 函数、导数与方程
确定函数零点的个数
[例1] (2019·天津高考节选)设函数f(x)＝ln x－a(x－1)ex，其中a∈R.(1)若a≤0，讨论f(x)的单调性；(2)若0
0，从而f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)内单调递增.
(2)证明：由(1)知，f′(x)＝.令g(x)＝1－ax2ex，由00，且g＝1－a·＝1－<0，故g(x)＝0在(0，＋∞)内有唯一解，
从而f′(x)＝0在(0，＋∞)内有唯一解，不妨设为x0，则1＝0，
所以f(x)在(0，x0)内单调递增；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＝<＝0，
所以f(x)在(x0，＋∞)内单调递减，因此x0是f(x)的唯一极值点.令h(x)＝ln x－x＋1，
则当x>1时，h′(x)＝－1<0，故h(x)在(1，＋∞)内单调递减，
从而当x>1时，h(x)f(1)＝0，所以f(x)在(x0，＋∞)内有唯一零点.
又f(x)在(0，x0)内有唯一零点1，从而，f(x)在(0，＋∞)内恰有两个零点.
[题后悟通]判断函数零点个数的2种常用方法
直接法
直接研究函数，求出极值以及最值，画出草图.函数零点的个数问题即是函数图象与x轴交点的个数问题
分离参数法
分离出参数，转化为a＝g(x)，根据导数的知识求出函数g(x)在某区间的单调性，求出极值以及最值，画出草图.函数零点的个数问题即是直线y＝a与函数y＝g(x)图象交点的个数问题.只需要用a与函数g(x)的极值和最值进行比较即可
[跟踪训练]
已知函数f(x)＝(x－1)2－x＋ln x(a＞1).(1)讨论f(x)的单调性；(2)若1＜a＜e，试判断f(x)的零点个数.
解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a(x－1)－1＋＝，
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令f′(x)＝0，则x1＝1，x2＝，因a＞1，则0＜＜1，当x∈时，f′(x)＞0，f(x)是增函数，
当x∈时，f′(x)＜0，f(x)是减函数，当x∈时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.
所以当a＞1时，f(x)在上是增函数，在上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数.
(2)当1＜a＜e时，f(x)在上是增函数，在上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，所以f(x)的极小值为f(1)＝－1＜0，f(x)的极大值为f＝－＋ln ＝－－ln a－1.
设g(a)＝－－ln a－1，其中a∈(1，e)，则g′(a)＝＋－＝＝＞0，
所以g(a)在(1，e)上是增函数，所以g(a)＜g(e)＝－－2＜0.
因为f(4)＝(4－1)2－4＋ln 4＞×9－4＋ln 4＝ln 4＋＞0，所以存在x0∈(1，4)，使f(x0)＝0，
所以当1＜a＜e时，f(x)有且只有一个零点.
根据零点个数确定参数范围
[例2] (2019·四省八校双教研联考)已知函数f(x)＝(a－1)x＋＋ln x(a＞0).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)g(x)＝f(x)－m，当a＝2时，g(x)在[e－1，e]上有两个不同的零点，求m的取值范围.
[解] (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a－1－＋＝＝，
①当a＝1时，f′(x)＝，令f′(x)＞0，得x＞1，令f′(x)＜0，得0＜x＜1，
∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减.
②当a＞1时，令f′(x)＞0，得x＞1或x＜－＜0，∴f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.
③当a＜1时，Ⅰ)0＜a＜时，令f′(x)＞0，得＜x＜1，∴f(x)在上单调递增，在，(1，＋∞)上单调递减；Ⅱ)a＝时，f′(x)≤0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减；Ⅲ)＜a＜1时，令f′(x)＞0，得1＜x＜，∴f(x)在上单调递增，在(0，1)，上单调递减.
(2)由(1)知，当a＝2时，f(x)＝x＋＋ln x在[e－1，1]上单调递减，在[1，e]上单调递增.
∴f(x)min＝f(1)＝3，f(e－1)＝e－1＋2e－1，f(e)＝e＋＋1，f(e－1)＞f(e)，∴m∈.
[解题方略]利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的一般方法：(1)分离参数(a＝g(x))后，将原问题转化为y＝g(x)的值域(最值)问题或转化为直线y＝a与y＝g(x)的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；(2)利用零点的存在性定理构建不等式求解；(3)
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转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解.
[跟踪训练]
函数f(x)＝ax＋xln x在x＝1处取得极值.(1)求f(x)的单调区间；(2)若y＝f(x)－m－1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围.
解：(1)由题意知，f′(x)＝a＋ln x＋1(x＞0)，f′(1)＝a＋1＝0，解得a＝－1，
当a＝－1时，f(x)＝－x＋xln x，即f′(x)＝ln x，令f′(x)＞0，解得x＞1；令f′(x)＜0，解得0＜x＜1.
所以f(x)在x＝1处取得极小值，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1).
(2)y＝f(x)－m－1在(0，＋∞)上有两个不同的零点，可转化为f(x)＝m＋1在(0，＋∞)上有两个不同的根，也可转化为y＝f(x)与y＝m＋1的图象有两个不同的交点，由(1)知，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(1)＝－1，
由题意得，m＋1＞－1，即m＞－2 ①，当0＜x＜1时，f(x)＝x(－1＋ln x)＜0；当x＞0且x→0时，f(x)→0；当x→＋∞时，显然f(x)→＋∞.如图，由图象可知，m＋1＜0，即m＜－1 ②，由①②可得－2＜m＜－1.故实数m的取值范围为(－2，－1).
大题专攻强化练
1．(2019·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2sin x－xcos x－x，f′(x)为f(x)的导数．(1)证明：f′(x)在区间(0，π)存在唯一零点；(2)若x∈[0，π]时，f(x)≥ax，求a的取值范围．
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2．(2019·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝(x－1)ln x－x－1.证明：(1)f(x)存在唯一的极值点；(2)f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
3．(2019·东北四市联合体模拟(一))已知函数f(x)＝＋aln x(a＞0)．(1)若函数y＝f(x)图象上各点切线斜率的最大值为2，求函数f(x)的极值点；(2)若关于x的不等式f(x)＜2有解，求a的取值范围．
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4．(2019·兰州市诊断考试)已知函数f(x)＝x2－(a2＋a＋2)x＋a2(a＋2)ln x，a∈R.(1)当a＝－1时，求函数y＝f(x)的单调区间；(2)试判断当a∈[－1，1]时，函数y＝f(x)的零点的个数，并说明理由．
1解：(1)证明：设g(x)＝f′(x)，则g(x)＝cos x＋xsin x－1，g′(x)＝xcos x.
当x∈时，g′(x)>0；当x∈时，g′(x)<0，所以g(x)在上单调递增，在上单调递减．
又g(0)＝0，g>0，g(π)＝－2，故g(x)在(0，π)存在唯一零点．所以f′(x)在区间(0，π)存在唯一零点．
(2)由题设知f(π)≥aπ，f(π)＝0，可得a≤0.由(1)知，f′(x)在(0，π)只有一个零点，设为x0，且当x∈(0，x0)时，f′(x)>0；当x∈(x0，π)时，f′(x)<0，所以f(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，π)上单调递减．
又f(0)＝0，f(π)＝0，所以当x∈[0，π]时，f(x)≥0.又当a≤0，x∈[0，π]时，ax≤0，故f(x)≥ax.
因此，a的取值范围是(－∞，0]．
2证明：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝＋ln x－1＝ln x－.
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因为y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又f′(1)＝－1<0，f′(2)＝ln 2－＝>0，故存在唯一x0∈(1，2)，使得f′(x0)＝0.
又当xx0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，因此，f(x)存在唯一的极值点．
(2)由(1)知f(x0)0，所以f(x)＝0在(x0，＋∞)内存在唯一根x＝α.
由α>x0>1得<1
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