河南2015年中考数学卷

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河南2015年中考数学卷

‎2015年河南初中学业水平暨高级中等学校招生考试试题 数 学(解析版)‎ 注意事项:‎ ‎1. 本试卷共6页,三个大题,满分120分,考试时间100分钟。‎ ‎2. 本试卷上不要答题,请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上。答在试卷上的答案无效。‎ 一、选择题(每小题3分,共24分)下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的。‎ ‎1. 下列各数中最大的数是( )‎ ‎ A. 5     B.       C. π       D. -8‎ A【解析】本题考查实数的比较大小.∵,π≈3.14,∴5>π>>,∴最大的数为5.‎ ‎2. 如图所示的几何体的俯视图是( )‎ C D B A 正面 第2题 B【解析】本题考查实物体的俯视图的判断,俯视图是从上往下看得到的图形,从上面看可以看到轮廓是一个矩形和中间有一条竖着的实线,故B选项符合题意. ‎ ‎3. 据统计,2014年我国高新技术产品出口总额达40 570亿元,将数据40 570亿用科学记数法表示为( )‎ ‎ A. 4.0570×109 B. 0.40570×‎1010 C. 40.570×1011 D. 4.0570×1012HHH[来源&:#中~国教育出@版网*]‎ D 【解析】本题考查带计数单位的大数科学计数法.∵1亿=108 ,40570=4.057×104,∴ ‎ ‎40570亿=4.057×104×108=4.0570×1012.‎ ‎4. 如图,直线a,b被直线e,d所截,若∠1=∠2,∠3=125°,则∠4的度数为( )‎ d c b a 第4题 A. 55°     B. 60°       C.70°      D. 75°‎ A【解析】本题考查了平行线的判定和相交线与平行线性质求角度.∵∠1=∠2,∴a∥b.∴∠5=∠3=125°,‎ ‎∴∠4=180°-∠5=180°-125°=55°.‎ ‎5. 不等式组的解集在数轴上表示为( )‎ ‎-5‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎-5‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎-5‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎-5‎ ‎2‎ ‎0‎ C D B A C【解析】本题考查解一元一次不等式组及在数轴上表示.由不等式x+5≥0,解得:x≥-5 ;‎ 由不 等式3-x>1,解得:x<2,则该不等式组的解集为-5≤x<2,故C选项符合.‎ ‎6. 小王参加某企业招聘测试,他的笔试,面试、技能操作得分分别为85分,80分,90分,若依次按照2:3:5的比例确定成绩,则小王的成绩是( )‎ A. 255分 B. 84分     C. 84.5分     D.86分 C【解析】本题考查加权平均数的应用.根据题意得,∴小王成绩为86分.‎ ‎7. 如图,在□ABCD中,用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E,若BF=6,AB=5,则AE的长为( )‎ ‎ A. 4  B. ‎6  ‎   C. 8     D. 10 ‎ E F C D B G A 第7图 C【解析】本题考查平行四边形的性质和角平分线的性质,以及基本的尺规作图. 设AE与BF交于点O,∵AF=AB,∠BAE= ∠FAE ,∴AE⊥BF,OB=BF=3在Rt△AOB中,AO=,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC∴∠FAE= ∠BEA, ‎ ‎∴∠BAE=∠BEA ,∴AB=BE,∴AE=2AO=8.‎ P O 第8题 O1‎ x y O2‎ O3‎ ‎8. 如图所示,在平面直角坐标系中,半径均为1个单位长度的半圆O1,O2,O3,… 组成一条平滑的曲线,点P从原点O出发,沿这条曲线向右运动,速度为每秒个单位长度,则第2015秒时,点P的坐标是( )‎ ‎ A.(2014,0) B.(2015,-1) ‎ ‎ C. (2015,1) D. (2016,0)‎ B【解析】本题考查直角坐标系中点坐标的规律探索.‎ ‎∵半圆的半径r=1,∴半圆长度=π, ‎ ‎∴第2015秒点P运动的路径长为:×2015, ‎ ‎∵×2015÷π=1007…1,∴点P位于第1008个半圆的中点上,且这个半圆在x轴的下方.‎ ‎∴此时点P的横坐标为:1008×2-1=2015,纵坐标为-1,∴点P(2015,-1) .‎ E C D B A 第10题 ‎        第8题解图 二、填空题(每小题3分,共21分)‎ ‎9. 计算:(-3)0+3-1= .‎ ‎9.【解析】,∴原式=1+ = .‎ ‎10. 如图,△ABC中,点D、E分别在边AB,BC上,DE//AC,‎ 若DB=4,DA=2,BE=3,则EC= .‎ ‎【解析】本题考查平行线分线段成比例定理.∵DE∥AC,∴, ‎ O A 第11题 x y ‎∴EC=.‎ ‎11. 如图,直线y=kx与双曲线交于点 A(1,a),则k= .‎ ‎2【解析】本题考查一次函数与反比例函数结合.‎ 把点A坐标(1,a)代入 y= ,得a==2‎ ‎∴点A的坐标为(1,2),再把点A(1,2)代入y=kx中,得k=2.‎ ‎12. 已知点A(4,y1),B(,y2),C(-2,y3)都在二次函数y=(x-2)2-1的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是 .‎ ‎.【解析】本题考查二次函数图象及其性质.方法一:解:∵ A(4,y1)、B(,‎ y2)C(-2,y3)在抛物线y=上,∴y1=3,y2=5-4,y3=15.∵5-4<3<‎ ‎15,∴y2<y1<y3 ‎ 方法二:解:设点A、B、C三点到抛物线对称轴的距离分别为d1、d2、d3,∵y=‎ ‎∴对称轴为直线x=2,∴d1=2,d2=2-,d3=4∵2-<2<4,且a=1>0,∴y2<y1<y3.‎ 方法三:解:∵y=,∴对称轴为直线x=2,∴点A(4, y1)关于x=2‎ 的对称点是(0,y1).∵-2<0<且a=1>0,∴y2<y1<y3.‎ ‎13. 现有四张分别标有数字1,2,3,4的卡片,它们除数字外完全相同,把卡片背面朝上洗匀,从中随机抽取一张后放回,再背面朝上洗匀,从中随机抽取一张,则两次抽出的卡片所标数字不同的概率是 .‎ ‎【解析】本题考查用列表法或画树状图的方法求概率.列表如下:‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎(1,1)‎ ‎(1,2)‎ ‎(1,2)‎ ‎(1,3)‎ ‎2‎ ‎(2,1)‎ ‎(2,2)‎ ‎(2,2)‎ ‎(2,3)‎ ‎2‎ ‎(2,1)‎ ‎(2,2)‎ ‎(2,2)‎ ‎(2,3)‎ ‎3‎ ‎(3,1)‎ ‎(3,2)‎ ‎(3,2)‎ ‎(3,3)‎ 或画树状图如解图:‎ 开始 ‎ 第一次 1 2 2 3‎ ‎ 第二次 1 2 2 3 1 2 2 3 1 2 2 3 1 2 2 3 ‎ 第13题解图 E O C D B A 第14题 由列表或树状图可得所有等可能的情况有16种,其中两次抽出卡片所标数字不同的情况有10种,则P=.‎ ‎14. 如图,在扇形AOB中,∠AOB=90°,点C为OA的中点,‎ CE⊥OA交于点E,以点O为圆心,OC的长为半径 作交OB于点D,若OA=2,则阴影部分的面积为 ‎ ‎ .‎ ‎ 【分析】先观察阴影部分的图形为不规则图形,相到利用转化的思想,并作出必要的辅助线,即连接OE,得到,再分别计算出各图形的面积即可求解.‎ ‎ 【解析】本题考查阴影部分面积的计算.如解图,连接OE,∵点C是OA的中 点,∴OC=OA=1,∵OE=OA=2,∴OC=OE.‎ ‎∵CE⊥OA,∴∠OEC=30°,∴∠COE ‎=60°.在Rt△OCE中,CE=,∴S△OCE=OC·CE=.∵∠AOB=90°,‎ ‎∴∠BOE ‎ ‎=∠AOB-∠COE=30°,∴S扇形OBE==,S扇形COD==,‎ ‎∴[来=+-=.‎ E F C D B A 第15题 B′ ‎ ‎ 第14题解图 ‎15. 如图,正方形ABCD的边长是16,点E在边AB上,AE=3,‎ 点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点,把△EBF沿 EF折叠,点B落在B′处,若△CDB′恰为等腰三角形,则DB′的长为 .‎ ‎【分析】若△CD恰为等腰三角形,判断以CD为腰或为底边分为三种情况:①DB′=DC;②CB′=CD;③CB′=DB′,针对每一种情况利用正方形和折叠的性质进行分析求解.‎ ‎16或【解析】本题考查正方形、矩形的性质和勾股定理的运用,以及分类讨论思想.根据题意,若△CD恰为等腰三角形需分三种情况讨论:(1)若DB′=DC时,则DB′=16(易知点F在BC上且不与点C、B重合) ;(2)当CB′=CD时,∵EB=EB′,CB=CB′∴点E、C在BB′的垂直平分线上,∴EC垂直平分BB′,由折叠可知点F与点C重合,不符合题意,舍去;(3)如解图,当CB′=DB′时,作BG⊥AB与点G,交CD于点H.∵AB∥CD,‎ ‎∴B′H⊥CD,∵CB′=DB′,∴DH=CD=8,∴AG=DH=8,∴GE=AG-AE=5,在Rt△B′EG中,由勾股定理得B′G=12,∴B′H=GH-B′G=4.在Rt△B′DH中,由勾股定理得DB′=,综上所述DB′=16或.‎ ‎                 第15题解图 三、解答题(本大题共8个小题,满分75分)‎ ‎16.(8分)先化简,再求值:,其中,.‎ ‎【分析】解答本题应从运算顺序入手,先将括号里通分,能因式分解的进行因式分解,然后将除法变乘法,最后约分化简成最简分式后,将a,b的值代入求解. ‎ 解:原式=……………………………………………………(4分)‎ ‎ =‎ ‎ =.……………………………………………………(6分)‎ 当时,原式=.…………(8分)‎ ‎17.(9分)如图,AB是半圆O的直径,点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点,延长BP到点C,使PC=PB,D是AC的中点,连接PD,PO.‎ ‎(1)求证:△CDP∽△POB;‎ ‎(2)填空:‎ ‎① 若AB=4,则四边形AOPD的最大面积为 ;‎ ‎② 连接OD,当∠PBA的度数为 时,四边形BPDO是菱形.‎ P O C D B A 第17题 ‎(1)【分析】要证△CDP≌△POB,已知有一组对应边相等,结合已知条件易得DP是△ACB的中位线,进而可得出一组对应角和一组对应边相等,根据SAS即可得证.‎ 解:∵点D是AC的中点,PC=PB,…………………………………………(3分)‎ ‎∴DP∥DB,,∴∠CPD=∠PBO.‎ ‎∵,∴DP=OB,∴△CDP≌△POB(SAS).………………………………(5分)‎ ‎ 第17题解图 ‎(2) 【分析】①易得四边形AOPD是平行四边形,由于AO是定值,要使四边形AOPD 的面积最大,就得使四边形AOPD底边AO上的高最大,即当OP⊥OA时面积最大;②易得四边形BPDO是平行四边形,再根据菱形的判定得到△PBO是等边三角形即可求解.‎ 解: ① 4 ;………………………………………………………………………………(7分)‎ ‎ ② 60°.(注:若填为60,不扣分)…………………………………………………(9分)‎ ‎【解法提示】①当OP⊥OA时四边形AOPD的面积最大,∵由(1)得DP=AO,DP∥DB,∴四边形AOPD是平行四边形,∵AB=4,∴AO=PO=2,∴四边形AOPD的面积最大为,2×2=4;②连接OD,∵由(1)得DP=AO=OB,DP∥DB,∴四边形BPDO是平行四边形,∴当OB=BP时四边形BPDO是菱形,∵PO=BO,∴△PBO是等边三角形,∴∠PBA=60°.‎ ‎18.(9分)为了了解市民“获取新闻的最主要途径”,某市记者开展了一次抽样调查,根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图。‎ 电脑上网 ‎26%‎ 其它 ‎9%‎ 报纸 ‎10%‎ 电视 手机上网 ‎40%‎ 调查结果扇形统计图 调查结果条形统计图 人数 选项 ‎260‎ ‎400‎ ‎150‎ ‎99‎ 电脑上网 手机上网 电视 报纸 其它 ‎0‎ ‎450‎ ‎400‎ ‎350‎ ‎300‎ ‎250‎ ‎200‎ ‎150‎ ‎100‎ ‎50‎ ‎ 根据以上信息解答下列问题:‎ ‎(1)这次接受调查的市民总人数是 ;‎ ‎(2)扇形统计图中,“电视”所对应的圆心角的度数是 ;‎ ‎(3)请补全条形统计图;‎ ‎(4)若该市约有80万人,请你估计其中将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数.‎ ‎(1)【分析】从条形统计图中得到“手机上网”的人数,从扇形统计图得到“手机上网”所占的百分比,相除即可得到本次调查的市名总人数.‎ 解:1000.………………………………………………………………………………(2分)‎ ‎【解法提示】本次调查的市名总人数为:400÷40%=1000.‎ (2) ‎【分析】 根据扇形统计图可得:1—电脑上网、其他、报纸和手机上网各项所占的百分比从而求得用“电脑”获取新闻的最主要途径所占的百分比,再乘以360°即可求解.‎ 解:54°.(注:若填为54,不扣分)………………………………………………(4分)‎ ‎【解法提示】(1-9%-10%-26%-40%)×360°=54°.‎ (2) ‎【分析】由扇形统计图可得用“报纸”获取新闻的途径所占的百分比,再乘以总人数即可求解.‎ 解:用“报纸”获取新闻的途径的人数为:10%×1000=100,‎ 补全条形统计图如解图:‎ ‎            第18题解图 ‎………………………………………………………………………………………………(4分)‎ ‎(4)【分析】先求得将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”所占的百分比,再乘以该市的人数即可求解.‎ 解:‎ ‎19.(9分)已知关于x的一元二次方程(x-3)(x-2)=|m|.‎ ‎(1)求证:对于任意实数m,方程总有两个不想等的实数根;‎ ‎(2)若方程的一个根是1,求m的值及方程的另一个根.‎ ‎(1)【分析】先化简一元二次方程,列出根的判别式,再根据绝对值为非负数,得到根的判别式与0的大小关系即可得证.‎ 解:‎ ‎(2)【分析】当x=1时,代入原方程得到的值,根据绝对值的非负性,得到m有两个值,再分别代入原方程进行求解.‎ 解:‎ F D 第20题 ‎30°‎ ‎48°‎ E A C B ‎20.(9分)如图所示,某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度,他们在斜坡上D出测得大树顶端B的仰角是48°. 若坡角∠FAE=30°,求大树的高度. (结果保留整数,参考数据:sin48°≈0.74,cos48°≈0.67,tan48°≈1.11,≈1.73)‎ ‎【分析】通过观察图形,要求大树的高度,需要构造直角三角形,将所求线段联系起来.结合题目中的信息,即要延长BD交AE于点G,并过点D作DH⊥AE于点H,分别在Rt△GBC和Rt△ABC中表示出CG和AC的长即可求解.‎ 解:‎ ‎ 第20题解图 ‎21.(10分)某游泳馆普通票价20元/张,暑假为了促销,新推出两种优惠卡:‎ ‎ ① 金卡售价600元/张,每次凭卡不再收费;‎ ‎ ② 银卡售价150元/张,每次凭卡另收10元.‎ ‎ 暑期普通票正常出售,两种优惠卡仅限暑期使用,不限次数. 设游泳x次时,所需总费用为y元.‎ ‎ (1)分别写出选择银卡、普通票消费时,y与x之间的函数关系式;‎ ‎ (2)在同一个坐标系中,若三种消费方式对应的函数图像如图所示,请求出点A、B、C的坐标;‎ ‎(3)请根据函数图象,直接写出选择哪种消费方式更合算.‎ O C D B A ‎600‎ x y 第21题 ‎(1)【分析】观察图象,结合题目中的信息,得到普通卡是正比例函数,分析次数x与20的关系,银卡为一次函数,分析出次数x与10的关系,从而即可求解 解:‎ ‎(2)【分析】由(1)中银卡的函数关系式可得点A的坐标,观察图形,联立普卡和银卡的函数关系式可求得点B的坐标,再将y=600代入银卡的函数关系式即可求解.‎ ‎           第21题解图 ‎(3)【分析】观察图象,应从普卡、银卡和金卡三者图象的交点前后进行分段讨论,依次得到消费方案即可求解.‎ ‎22.(10分)如图1,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=2AB=8,点D,E分别是边BC,AC的中点,连接DE. 将△EDC绕点C按顺时针方向旋转,记旋转角为α.‎ ‎ (1)问题发现 ‎ ① 当时,;‎ ‎② 当时, ‎ ‎(2)拓展探究 ‎ 试判断:当0°≤α<360°时,的大小有无变化?请仅就图2的情况给出证明.‎ ‎(3)问题解决 ‎ 当△EDC旋转至A、D、E三点共线时,直接写出线段BD的长.‎ E C D B A ‎(图1)‎ E D B A C ‎(图2)‎ ‎(备用图)‎ C B A ‎(1)【分析】①根据题意可得DE是三角形ABC的中位线和BD的长,根据中位线的性质和勾股定理求得AE的长即可求解;②根据旋转180°的特性,结合①,分别得到AC、CE、BC和CD的长即可求解.‎ 解:①;……………………………………………………(1分)‎ ‎②.……………………………………………………(2分)‎ ‎【解法提示】①当α=0°,如解图①,∵BC=2AB=8,∴AB=4,∵点D,E分别是边BC,AC的中点,∴DE=,AE=EC,,∵∠B=90°,∴,∴AE=CE=,∴;②当α=180度,如解图②,由旋转性质可得CE=,CD=2,∵AC=,BC=8,∴.‎ ‎(2)【分析】在由解图①中,由平行线分线段成比例得到,再观察图②中△EDC绕点C的旋转过程,结合旋转的性质得到任然成立,从而求得△ACE∽‎ ‎△BCD,利用其性质,结合题干求得AC的长即可得到结论.‎ ‎ 第22题解图③‎ ‎(3) 【分析】‎ 解:………………………………………………………………………(10分)‎ ‎【解法提示】当△EDC在BC上方,且A,D,E三点共线时,四边形ABCD为矩形,‎ ‎∴BD=AC=;当△EDC在BC下方,且A,E,D三点共线时,△ADC为直角三角形,由勾股定理可求得AD=8,∴AE=6,根据=可求得BD =.‎ ‎ 图④ 图⑤‎ ‎ 第22题解图 ‎23.(11分)如图,边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上,以点C为顶点的抛物线经过点A,点P是抛物线上点A、C间的一个动点(含端点),过点P作PF⊥BC于点F. 点D、E的坐标分别为(0,6),(-4,0),连接PD,PE,DE.‎ ‎ (1)请直接写出抛物线的解析式;‎ ‎(2)小明探究点P的位置发现:当点P与点A或点C重合时,PD与PF的差为定值. 进而猜想:对于任意一点P,PD与PF的差为定值. 请你判断该猜想是否正确,并说明理由;‎ ‎(3)小明进一步探究得出结论:若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”,则存在多个“好点”,且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”.‎ ‎ 请直接写出所有“好点”的个数,并求出△PDE的周长最小时“好点”的坐标.‎ C B A y O E D x 备用图 P E O F C D B A 图 x y ‎(1)【分析】由题意设抛物线解析式为,将A、C两点坐标代入即可.‎ 解:抛物线的解析式为:.………………………………………………(3分)‎ ‎【解法提示】由题意设抛物线解析式为,∵的正方形OABC的边长为8,∴点A(-8,0)、C(0,8),∴,解得,抛物线解析式为.‎ ‎(2)【分析】设P点坐标为,表示出PF的长度,构造PD所在的直角三角形,表示PD的长度,通过求差法得到PD-PF的值.‎ 解:‎ M ‎ 第23题解图 ‎(3)【分析】通过将△PDE的面积进行转化,得到其面积的表达式,根据点P横坐标m的取值范围,确定面积为整数时“好点”的个数,再把△PDE周长的最小值转化成PE+PF的和最小,进而知道当P、E、F三点共线时△PDE周长的最小,确定点P的坐标.‎ 解:好点共11个;]‎ 在点P运动时,DE的大小不变,∴PE与PD的和最小时,△PDE的周长最小,‎ ‎∵PD-PF=2,∴PD=PF+2,∴PE+PD=PE+PF+2,‎ 当P,E,F三点共线时,PE+PF最小,‎ 此时,点P,E的横坐标为-4,将x=-4代入,得y=6,‎ ‎∴P(-4,6),此时△PDE周长最小,且△PDE的面积为12,点P恰为“好点”.‎ ‎∴△PDE周长最小时点P的坐标为(-4,6).‎ ‎【解法提示】△PDE的面积由于-8≤x≤0,可得4≤S≤13,所以S的整数值为10个.由图象可知,当S=12时,对应的“好点”有2个,所以“好点”共有11个.‎
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