河南2015年中考数学卷

河南2015年中考数学卷

‎2015年河南初中学业水平暨高级中等学校招生考试试题 数 学（解析版）‎ 注意事项：‎ ‎1. 本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟。‎ ‎2. 本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上。答在试卷上的答案无效。‎ 一、选择题（每小题3分，共24分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。‎ ‎1. 下列各数中最大的数是（ ）‎ ‎ A. 5 　　　　B. 　　　　　 C. π 　　　　　 D. -8‎ A【解析】本题考查实数的比较大小.∵，π≈3.14,∴5>π>>，∴最大的数为5.‎ ‎2. 如图所示的几何体的俯视图是（ ）‎ C D B A 正面 第2题 B【解析】本题考查实物体的俯视图的判断，俯视图是从上往下看得到的图形，从上面看可以看到轮廓是一个矩形和中间有一条竖着的实线，故B选项符合题意. ‎ ‎3. 据统计，2014年我国高新技术产品出口总额达40 570亿元，将数据40 570亿用科学记数法表示为（ ）‎ ‎ A. 4.0570×109 B. 0.40570×‎1010 C. 40.570×1011 D. 4.0570×1012HHH[来源&:#中~国教育出@版网*]‎ D 【解析】本题考查带计数单位的大数科学计数法.∵1亿=108 ，40570=4.057×104，∴ ‎ ‎40570亿=4.057×104×108=4.0570×1012.‎ ‎4. 如图，直线a，b被直线e，d所截，若∠1=∠2，∠3=125°，则∠4的度数为（ ）‎ d c b a 第4题 A. 55° 　　　 B. 60° 　　　　　 C.70° 　　　　 D. 75°‎ A【解析】本题考查了平行线的判定和相交线与平行线性质求角度.∵∠1＝∠2，∴a∥b．∴∠5＝∠3=125°，‎ ‎∴∠4＝180°－∠5=180°－125°=55°．‎ ‎5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ）‎ ‎-5‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎-5‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎-5‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎-5‎ ‎2‎ ‎0‎ C D B A C【解析】本题考查解一元一次不等式组及在数轴上表示.由不等式x+5≥0，解得：x≥－5 ；‎ 由不 等式3-x>1，解得：x＜2，则该不等式组的解集为－5≤x＜2，故C选项符合.‎ ‎6. 小王参加某企业招聘测试，他的笔试，面试、技能操作得分分别为85分，80分，90分，若依次按照2:3:5的比例确定成绩，则小王的成绩是（ ）‎ A. 255分 B. 84分 　　　 C. 84.5分 　　　 D.86分 C【解析】本题考查加权平均数的应用.根据题意得，∴小王成绩为86分.‎ ‎7. 如图，在□ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为（ ）‎ ‎ A. 4 　B. ‎6 　‎　　 C. 8 　　　 D. 10 ‎ E F C D B G A 第7图 C【解析】本题考查平行四边形的性质和角平分线的性质，以及基本的尺规作图. 设AE与BF交于点O，∵AF=AB，∠BAE= ∠FAE ，∴AE⊥BF，OB=BF=3在Rt△AOB中，AO=，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC∴∠FAE= ∠BEA， ‎ ‎∴∠BAE=∠BEA ，∴AB=BE，∴AE=2AO=8.‎ P O 第8题 O1‎ x y O2‎ O3‎ ‎8. 如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，… 组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2015秒时，点P的坐标是（ ）‎ ‎ A.（2014,0） B.（2015，-1） ‎ ‎ C. （2015,1） D. （2016,0）‎ B【解析】本题考查直角坐标系中点坐标的规律探索.‎ ‎∵半圆的半径r=1，∴半圆长度=π， ‎ ‎∴第2015秒点P运动的路径长为：×2015， ‎ ‎∵×2015÷π=1007…1，∴点P位于第1008个半圆的中点上，且这个半圆在x轴的下方.‎ ‎∴此时点P的横坐标为：1008×2-1=2015，纵坐标为-1，∴点P(2015，-1) .‎ E C D B A 第10题 ‎ 　　　　　　 第8题解图 二、填空题（每小题3分，共21分）‎ ‎9. 计算：(-3)0+3-1= .‎ ‎9.【解析】，∴原式=1+ = .‎ ‎10. 如图，△ABC中，点D、E分别在边AB，BC上，DE//AC，‎ 若DB=4，DA=2，BE=3，则EC= .‎ ‎【解析】本题考查平行线分线段成比例定理.∵DE∥AC，∴， ‎ O A 第11题 x y ‎∴EC=.‎ ‎11. 如图，直线y=kx与双曲线交于点 A（1，a）,则k= .‎ ‎2【解析】本题考查一次函数与反比例函数结合.‎ 把点A坐标（1，a）代入 y= ,得a==2‎ ‎∴点A的坐标为（1,2），再把点A（1,2）代入y=kx中，得k=2.‎ ‎12. 已知点A（4，y1），B（，y2），C（-2，y3）都在二次函数y=(x-2)2-1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 .‎ ‎.【解析】本题考查二次函数图象及其性质.方法一：解：∵ A（4，y1）、B（，‎ y2）C（-2，y3）在抛物线y=上，∴y1=3，y2=5-4,y3=15.∵5-4＜3＜‎ ‎15，∴y2＜y1＜y3 ‎ 方法二：解：设点A、B、C三点到抛物线对称轴的距离分别为d1、d2、d3，∵y=‎ ‎∴对称轴为直线x=2，∴d1=2,d2=2-,d3=4∵2-＜2＜4，且a=1＞0，∴y2＜y1＜y3.‎ 方法三：解：∵y=，∴对称轴为直线x=2，∴点A(4, y1)关于x=2‎ 的对称点是（0，y1）.∵-2＜0＜且a=1＞0，∴y2＜y1＜y3.‎ ‎13. 现有四张分别标有数字1，2，3，4的卡片，它们除数字外完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张后放回，再背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，则两次抽出的卡片所标数字不同的概率是 .‎ ‎【解析】本题考查用列表法或画树状图的方法求概率.列表如下：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎（1,1）‎ ‎（1，2）‎ ‎（1，2）‎ ‎（1，3）‎ ‎2‎ ‎（2，1）‎ ‎（2,2）‎ ‎（2，2）‎ ‎（2，3）‎ ‎2‎ ‎（2，1）‎ ‎（2，2）‎ ‎（2,2）‎ ‎（2，3）‎ ‎3‎ ‎（3，1）‎ ‎（3，2）‎ ‎（3，2）‎ ‎（3,3）‎ 或画树状图如解图：‎ 开始 ‎ 第一次 1 2 2 3‎ ‎ 第二次 1 2 2 3 1 2 2 3 1 2 2 3 1 2 2 3 ‎ 第13题解图 E O C D B A 第14题 由列表或树状图可得所有等可能的情况有16种，其中两次抽出卡片所标数字不同的情况有10种，则P=．‎ ‎14. 如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，‎ CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径 作交OB于点D，若OA=2，则阴影部分的面积为 ‎ ‎ .‎ ‎ 【分析】先观察阴影部分的图形为不规则图形，相到利用转化的思想，并作出必要的辅助线，即连接OE，得到，再分别计算出各图形的面积即可求解.‎ ‎ 【解析】本题考查阴影部分面积的计算.如解图，连接OE，∵点C是OA的中 点，∴OC＝OA＝１，∵OE＝OA＝２，∴OC＝OE.‎ ‎∵CE⊥OA，∴∠OEC＝30°，∴∠COE ‎＝60°.在Rt△OCE中，CE＝，∴Ｓ△OCE＝OC·CE=.∵∠AOB＝9０°，‎ ‎∴∠BOE ‎ ‎＝∠AOB-∠COE＝30°,∴S扇形OBE==，Ｓ扇形COD==，‎ ‎∴[来=+-=.‎ E F C D B A 第15题 B′ ‎ ‎ 第14题解图 ‎15. 如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，‎ 点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把△EBF沿 EF折叠，点B落在B′处，若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为 .‎ ‎【分析】若△CD恰为等腰三角形，判断以CD为腰或为底边分为三种情况：①DB′=DC；②CB′=CD；③CB′=DB′，针对每一种情况利用正方形和折叠的性质进行分析求解.‎ ‎16或【解析】本题考查正方形、矩形的性质和勾股定理的运用，以及分类讨论思想.根据题意，若△CD恰为等腰三角形需分三种情况讨论：（1）若DB′=DC时，则DB′=16（易知点F在BC上且不与点C、B重合） ；（2）当CB′=CD时，∵EB=EB′，CB=CB′∴点E、C在BB′的垂直平分线上，∴EC垂直平分BB′，由折叠可知点F与点C重合，不符合题意，舍去；（3）如解图，当CB′=DB′时，作BG⊥AB与点G，交CD于点H.∵AB∥CD，‎ ‎∴B′H⊥CD，∵CB′=DB′，∴DH=CD=8，∴AG=DH=8，∴GE=AG-AE=5，在Rt△B′EG中，由勾股定理得B′G=12，∴B′H=GH-B′G=4.在Rt△B′DH中，由勾股定理得DB′=，综上所述DB′=16或.‎ ‎ 　　　　　　　　　　　　　　　　第15题解图 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）‎ ‎16.（8分）先化简，再求值：，其中，.‎ ‎【分析】解答本题应从运算顺序入手，先将括号里通分，能因式分解的进行因式分解，然后将除法变乘法，最后约分化简成最简分式后，将a,b的值代入求解. ‎ 解：原式=……………………………………………………（4分）‎ ‎ =‎ ‎ =.……………………………………………………（6分）‎ 当时，原式=.…………（8分）‎ ‎17.（9分）如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点，延长BP到点C，使PC=PB，D是AC的中点，连接PD，PO.‎ ‎（1）求证：△CDP∽△POB；‎ ‎（2）填空：‎ ‎① 若AB=4，则四边形AOPD的最大面积为 ；‎ ‎② 连接OD，当∠PBA的度数为 时，四边形BPDO是菱形.‎ P O C D B A 第17题 ‎（1）【分析】要证△CDP≌△POB，已知有一组对应边相等，结合已知条件易得DP是△ACB的中位线，进而可得出一组对应角和一组对应边相等，根据SAS即可得证.‎ 解：∵点D是AC的中点，PC=PB，…………………………………………（3分）‎ ‎∴DP∥DB，，∴∠CPD=∠PBO.‎ ‎∵,∴DP=OB，∴△CDP≌△POB（SAS）.………………………………（5分）‎ ‎ 第17题解图 ‎(2) 【分析】①易得四边形AOPD是平行四边形，由于AO是定值，要使四边形AOPD 的面积最大，就得使四边形AOPD底边AO上的高最大，即当OP⊥OA时面积最大；②易得四边形BPDO是平行四边形，再根据菱形的判定得到△PBO是等边三角形即可求解.‎ 解： ① 4 ；………………………………………………………………………………（7分）‎ ‎ ② 60°.（注：若填为60，不扣分）…………………………………………………（9分）‎ ‎【解法提示】①当OP⊥OA时四边形AOPD的面积最大，∵由（1）得DP=AO，DP∥DB，∴四边形AOPD是平行四边形，∵AB=4，∴AO=PO=2，∴四边形AOPD的面积最大为,2×2=4；②连接OD,∵由（1）得DP=AO=OB，DP∥DB，∴四边形BPDO是平行四边形，∴当OB=BP时四边形BPDO是菱形，∵PO=BO，∴△PBO是等边三角形，∴∠PBA=60°.‎ ‎18.（9分）为了了解市民“获取新闻的最主要途径”，某市记者开展了一次抽样调查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图。‎ 电脑上网 ‎26%‎ 其它 ‎9%‎ 报纸 ‎10%‎ 电视 手机上网 ‎40%‎ 调查结果扇形统计图 调查结果条形统计图 人数 选项 ‎260‎ ‎400‎ ‎150‎ ‎99‎ 电脑上网 手机上网 电视 报纸 其它 ‎0‎ ‎450‎ ‎400‎ ‎350‎ ‎300‎ ‎250‎ ‎200‎ ‎150‎ ‎100‎ ‎50‎ ‎ 根据以上信息解答下列问题：‎ ‎（1）这次接受调查的市民总人数是 ；‎ ‎（2）扇形统计图中，“电视”所对应的圆心角的度数是 ；‎ ‎（3）请补全条形统计图；‎ ‎（4）若该市约有80万人，请你估计其中将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数.‎ ‎（1）【分析】从条形统计图中得到“手机上网”的人数，从扇形统计图得到“手机上网”所占的百分比，相除即可得到本次调查的市名总人数.‎ 解：1000.………………………………………………………………………………（2分）‎ ‎【解法提示】本次调查的市名总人数为：400÷40％=1000.‎ （2） ‎【分析】 根据扇形统计图可得：1—电脑上网、其他、报纸和手机上网各项所占的百分比从而求得用“电脑”获取新闻的最主要途径所占的百分比，再乘以360°即可求解.‎ 解：54°.（注：若填为54，不扣分）………………………………………………（4分）‎ ‎【解法提示】（1-9％-10％-26％-40％）×360°=54°.‎ （2） ‎【分析】由扇形统计图可得用“报纸”获取新闻的途径所占的百分比，再乘以总人数即可求解.‎ 解：用“报纸”获取新闻的途径的人数为：10％×1000=100，‎ 补全条形统计图如解图：‎ ‎ 　　　　　　　　　　 第18题解图 ‎………………………………………………………………………………………………（4分）‎ ‎（4）【分析】先求得将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”所占的百分比，再乘以该市的人数即可求解.‎ 解：‎ ‎19.（9分）已知关于x的一元二次方程(x-3)(x-2)=|m|.‎ ‎（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不想等的实数根；‎ ‎（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根.‎ ‎（1）【分析】先化简一元二次方程，列出根的判别式，再根据绝对值为非负数，得到根的判别式与0的大小关系即可得证.‎ 解：‎ ‎（2）【分析】当x=1时，代入原方程得到的值，根据绝对值的非负性，得到m有两个值，再分别代入原方程进行求解.‎ 解：‎ F D 第20题 ‎30°‎ ‎48°‎ E A C B ‎20.（9分）如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D出测得大树顶端B的仰角是48°. 若坡角∠FAE=30°，求大树的高度. （结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73）‎ ‎【分析】通过观察图形，要求大树的高度，需要构造直角三角形，将所求线段联系起来.结合题目中的信息，即要延长BD交AE于点G，并过点D作DH⊥AE于点H，分别在Rt△GBC和Rt△ABC中表示出CG和AC的长即可求解.‎ 解：‎ ‎ 第20题解图 ‎21.（10分）某游泳馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：‎ ‎ ① 金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费；‎ ‎ ② 银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元.‎ ‎ 暑期普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑期使用，不限次数. 设游泳x次时，所需总费用为y元.‎ ‎ （1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；‎ ‎ （2）在同一个坐标系中，若三种消费方式对应的函数图像如图所示，请求出点A、B、C的坐标；‎ ‎（3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算.‎ O C D B A ‎600‎ x y 第21题 ‎（1）【分析】观察图象，结合题目中的信息，得到普通卡是正比例函数，分析次数x与20的关系，银卡为一次函数，分析出次数x与10的关系，从而即可求解 解：‎ ‎(2)【分析】由（1）中银卡的函数关系式可得点A的坐标，观察图形，联立普卡和银卡的函数关系式可求得点B的坐标，再将y=600代入银卡的函数关系式即可求解.‎ ‎ 　　　　　　　　　　第21题解图 ‎（3）【分析】观察图象，应从普卡、银卡和金卡三者图象的交点前后进行分段讨论，依次得到消费方案即可求解.‎ ‎22.（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE. 将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.‎ ‎ （1）问题发现 ‎ ① 当时，；‎ ‎② 当时， ‎ ‎（2）拓展探究 ‎ 试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明.‎ ‎（3）问题解决 ‎ 当△EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长.‎ E C D B A ‎（图1）‎ E D B A C ‎（图2）‎ ‎（备用图）‎ C B A ‎（1）【分析】①根据题意可得DE是三角形ABC的中位线和BD的长，根据中位线的性质和勾股定理求得AE的长即可求解；②根据旋转180°的特性，结合①，分别得到AC、CE、BC和CD的长即可求解.‎ 解：①；……………………………………………………（1分）‎ ‎②.……………………………………………………（2分）‎ ‎【解法提示】①当α=0°，如解图①，∵BC=2AB=8，∴AB=4，∵点D，E分别是边BC，AC的中点，∴DE=,AE=EC,，∵∠B=90°，∴,∴AE=CE=,∴；②当α=180度，如解图②，由旋转性质可得CE=,CD=2，∵AC=，BC=8，∴.‎ ‎（2）【分析】在由解图①中，由平行线分线段成比例得到，再观察图②中△EDC绕点C的旋转过程，结合旋转的性质得到任然成立，从而求得△ACE∽‎ ‎△BCD，利用其性质，结合题干求得AC的长即可得到结论.‎ ‎ 第22题解图③‎ ‎(3) 【分析】‎ 解：………………………………………………………………………（10分）‎ ‎【解法提示】当△EDC在BC上方，且A，D，E三点共线时，四边形ABCD为矩形，‎ ‎∴BD=AC=；当△EDC在BC下方，且A，E，D三点共线时，△ADC为直角三角形，由勾股定理可求得AD=8，∴AE=6，根据=可求得BD =.‎ ‎ 图④ 图⑤‎ ‎ 第22题解图 ‎23.（11分）如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A、C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F. 点D、E的坐标分别为（0，6），（-4，0），连接PD，PE，DE.‎ ‎ （1）请直接写出抛物线的解析式；‎ ‎（2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值. 进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值. 请你判断该猜想是否正确，并说明理由；‎ ‎（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”.‎ ‎ 请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE的周长最小时“好点”的坐标.‎ C B A y O E D x 备用图 P E O F C D B A 图 x y ‎（1）【分析】由题意设抛物线解析式为，将A、C两点坐标代入即可.‎ 解：抛物线的解析式为：.………………………………………………（3分）‎ ‎【解法提示】由题意设抛物线解析式为，∵的正方形OABC的边长为8，∴点A(-8，0)、C（0,8）,∴，解得，抛物线解析式为.‎ ‎（2）【分析】设P点坐标为，表示出PF的长度，构造PD所在的直角三角形，表示PD的长度，通过求差法得到PD-PF的值.‎ 解：‎ M ‎ 第23题解图 ‎（3）【分析】通过将△PDE的面积进行转化，得到其面积的表达式，根据点P横坐标m的取值范围，确定面积为整数时“好点”的个数，再把△PDE周长的最小值转化成PE+PF的和最小，进而知道当P、E、F三点共线时△PDE周长的最小，确定点P的坐标.‎ 解：好点共11个；]‎ 在点P运动时，DE的大小不变，∴PE与PD的和最小时，△PDE的周长最小，‎ ‎∵PD-PF=2，∴PD=PF+2，∴PE+PD=PE+PF+2，‎ 当P，E，F三点共线时，PE+PF最小，‎ 此时，点P，E的横坐标为-4，将x=-4代入，得y=6，‎ ‎∴P（-4,6），此时△PDE周长最小，且△PDE的面积为12，点P恰为“好点”.‎ ‎∴△PDE周长最小时点P的坐标为（-4,6）.‎ ‎【解法提示】△PDE的面积由于-8≤x≤0，可得4≤S≤13，所以S的整数值为10个.由图象可知，当S=12时，对应的“好点”有2个，所以“好点”共有11个.‎