- 2021-04-12 发布 |
- 37.5 KB |
- 26页
申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。
文档介绍
天水2015中考数学试题解析版
2015年甘肃省天水市中考数学试卷 一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分。每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,请把正确的选项选出来) 1.(4分)(2015•天水)若a与1互为相反数,则|a+1|等于( ) A. ﹣1 B. 0 C. 1 D. 2 2.(4分)(2015•天水)如图是某几何体的三视图,该几何体是( ) A. 圆柱 B. 圆锥 C. 正三棱柱 D. 正三棱锥 3.(4分)(2015•天水)某种细胞的直径是0.000067厘米,将0.000067用科学记数法表示为( ) A. 6.7×10﹣5 B. 6.7×10﹣6 C. 0.67×10﹣5 D. 6.7×10﹣6 4.(4分)(2015•天水)在天水市汉字听写大赛中,10名学生得分情况如表 人数 3 4 2 1 分数 80 85 90 95 那么这10名学生所得分数的中位数和众数分别是( ) A. 85和82.5 B. 85.5和85 C. 85和85 D. 85.5和80 5.(4分)(2015•天水)二次函数y=ax2+bx﹣1(a≠0)的图象经过点(1,1),则a+b+1的值是( ) A. ﹣3 B. ﹣1 C. 2 D. 3 6.(4分)(2015•天水)一个圆柱的侧面展开图是两邻边长分别为6和8的矩形,则该圆柱的底面圆半径是( ) A. B. C. 或 D. 或 7.(4分)(2015•天水)如图,将矩形纸带ABCD,沿EF折叠后,C、D两点分别落在C′、D′的位置,经测量得∠EFB=65°,则∠AED′的度数是( ) A. 65° B. 55° C. 50° D. 25° 8.(4分)(2015•天水)如图,在四边形ABCD中,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=2,CD=,点P在四边形ABCD的边上.若点P到BD的距离为,则点P的个数为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9.(4分)(2015•天水)如图,AB为半圆所在⊙O的直径,弦CD为定长且小于⊙O的半径(C点与A点不重合),CF⊥CD交AB于点F,DE⊥CD交AB于点E,G为半圆弧上的中点.当点C在上运动时,设的长为x,CF+DE=y.则下列图象中,能表示y与x的函数关系的图象大致是( ) A. B. C. D. 10.(4分)(2015•天水)定义运算:a⊗b=a(1﹣b).下面给出了关于这种运算的几种结论:①2⊗(﹣2)=6,②a⊗b=b⊗a,③若a+b=0,则(a⊗a)+(b⊗b)=2ab,④若a⊗b=0,则a=0或b=1,其中结论正确的序号是( ) A. ①④ B. ①③ C. ②③④ D. ①②④ 二、填空题(本大题共8小题,每小题4分,共32分。只要求填写最简结果) 11.(4分)(2015•天水)相切两圆的半径分别是5和3,则该两圆的圆心距是 . 12.(4分)(2015•天水)不等式组的所有整数解是 . 13.(4分)(2015•天水)如图,边长为1的小正方形构成的网格中,半径为1的⊙O在格点上,则∠AED的正切值为 . 14.(4分)(2015•天水)一元二次方程x2+3﹣2x=0的解是 . 15.(4分)(2015•天水)如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图.点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处,已知AB⊥BD,CD⊥BD,测得AB=2米,BP=3米,PD=12米,那么该古城墙的高度CD是 米. 16.(4分)(2015•天水)如图,△ABC是正三角形,曲线CDEF叫做正三角形的渐开线,其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C,如果AB=1,那么曲线CDEF的长是 . 17.(4分)(2015•天水)下列函数(其中n为常数,且n>1) ①y=(x>0);②y=(n﹣1)x;③y=(x>0);④y=(1﹣n)x+1;⑤y=﹣x2+2nx(x<0)中,y的值随x的值增大而增大的函数有 个. 18.(4分)(2015•天水)正方形OA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3,按如图放置,其中点A1、A2、A3在x轴的正半轴上,点B1、B2、B3在直线y=﹣x+2上,则点A3的坐标为 . 三、解答题(本大题共3小题,共28分。解答时写出必要的文字说明及演算过程。) 19.(9分)(2015•天水)计算: (1)(π﹣3)0+﹣2cos45°﹣ (2)若x+=3,求的值. 20.(9分)(2015•天水)2015年4月25日14时11分,尼泊尔发生8.1级地震,震源深度20千米.中国救援队火速赶往灾区救援,探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象.在废墟一侧某面上选两探测点A、B,AB相距2米,探测线与该面的夹角分别是30°和45°(如图).试确定生命所在点C与探测面的距离.(参考数据≈1.41,≈1.73) 21.(10分)(2015•天水)如图,在平面直角坐标系内,O为原点,点A的坐标为(﹣3,0),经过A、O两点作半径为的⊙C,交y轴的负半轴于点B. (1)求B点的坐标; (2)过B点作⊙C的切线交x轴于点D,求直线BD的解析式. 四、解答题(本大题共50分,解答时写出必要的演算步骤及推理证明过程。) 22.(8分)(2015•天水)钓鱼岛是我国固有领土.某校七年级(15)班举行“爱国教育”为主题班会时,就有关钓鱼岛新闻的获取途径,对本班50名学生进行调查(要求每位同学,只选自己最认可的一项),并绘制如图所示的扇形统计图. (1)该班学生选择“报刊”的有 人.在扇形统计图中,“其它”所在扇形区域的圆心角是 度.(直接填结果) (2)如果该校七年级有1500名学生,利用样本估计选择“网站”的七年级学生约有 人.(直接填结果) (3)如果七年级(15)班班委会就这5种获取途径中任选两种对全校学生进行调查,求恰好选用“网站”和“课堂”的概率.(用树状图或列表法分析解答) 23.(8分)(2015•天水)天水“伏羲文化节”商品交易会上,某商人将每件进价为8元的纪念品,按每件9元出售,每天可售出20件.他想采用提高售价的办法来增加利润,经实验,发现这种纪念品每件提价1元,每天的销售量会减少4件. (1)写出每天所得的利润y(元)与售价x(元/件)之间的函数关系式. (2)每件售价定为多少元,才能使一天所得的利润最大?最大利润是多少元? 24.(10分)(2015•天水)如图,点A(m,6)、B(n,1)在反比例函数图象上,AD⊥x轴于点D,BC⊥x轴于点C,DC=5. (1)求m、n的值并写出该反比例函数的解析式. (2)点E在线段CD上,S△ABE=10,求点E的坐标. 25.(12分)(2015•天水)如图,AB是⊙O的直径,BC切⊙O于点B,OC平行于弦AD,过点D作DE⊥AB于点E,连结AC,与DE交于点P.求证: (1)AC•PD=AP•BC; (2)PE=PD. 26.(12分)(2015•天水)在平面直角坐标系中,已知y=﹣x2+bx+c(b、c为常数)的顶点为P,等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0,﹣1),点C的坐标为(4,3),直角顶点B在第四象限. (1)如图,若抛物线经过A、B两点,求抛物线的解析式. (2)平移(1)中的抛物线,使顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离为时,试证明:平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点. (3)在(2)的情况下,若沿AC方向任意滑动时,设抛物线与直线AC的另一交点为Q,取BC的中点N,试探究NP+BQ是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,请说明理由. 2015年甘肃省天水市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分。每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,请把正确的选项选出来) 1.(4分)(2015•天水)若a与1互为相反数,则|a+1|等于( ) A. ﹣1 B. 0 C. 1 D. 2 考点: 绝对值;相反数. 分析: 根据绝对值和相反数的定义求解即可. 解答: 解:因为互为相反数的两数和为0,所以a+1=0; 因为0的绝对值是0,则|a+1|=|0|=0. 故选B. 点评: 本题考查了绝对值与相反数,绝对值的定义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.相反数的定义:只有符号不同的两个数互为相反数,0的相反数是0. 2.(4分)(2015•天水)如图是某几何体的三视图,该几何体是( ) A. 圆柱 B. 圆锥 C. 正三棱柱 D. 正三棱锥 考点: 由三视图判断几何体. 分析: 根据三视图易得此几何体为圆锥. 解答: 解:根据几何体的三视图即可知道几何体是圆锥. 故选B. 点评: 此题主要考查了由三视图判断几何体的应用,关键是能理解三视图的意义,培养了学生的观察图形的能力. 3.(4分)(2015•天水)某种细胞的直径是0.000067厘米,将0.000067用科学记数法表示为( ) A. 6.7×10﹣5 B. 6.7×10﹣6 C. 0.67×10﹣5 D. 6.7×10﹣6 考点: 科学记数法—表示较小的数. 分析: 直接根据科学计数法的表示方法即可得出结论. 解答: 解:∵0.000067中第一位非零数字前有5个0, ∴0.000067用科学记数法表示为6.7×10﹣5. 故选A. 点评: 本题考查的是科学计数法,再用科学计数法表示小于0的数时,n的值等于第一位非零数字前所有0的个数(含小数点前的0). 4.(4分)(2015•天水)在天水市汉字听写大赛中,10名学生得分情况如表 人数 3 4 2 1 分数 80 85 90 95 那么这10名学生所得分数的中位数和众数分别是( ) A. 85和82.5 B. 85.5和85 C. 85和85 D. 85.5和80 考点: 众数;中位数. 分析: 找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数;众数是一组数据中出现次数最多的数据,可得答案. 解答: 解:在这一组数据中85是出现次数最多的,故众数是85; 而将这组数据从小到大的顺序排列80,80,80,85,85,85,85,90,90,95, 处于中间位置的那个数是85,85,那么由中位数的定义可知,这组数据的中位数是=85; 故选:C. 点评: 本题为统计题,考查极差、众数与中位数的意义.中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(或最中间两个数的平均数),叫做这组数据的中位数.如果中位数的概念掌握得不好,不把数据按要求重新排列,就会出错. 5.(4分)(2015•天水)二次函数y=ax2+bx﹣1(a≠0)的图象经过点(1,1),则a+b+1的值是( ) A. ﹣3 B. ﹣1 C. 2 D. 3 考点: 二次函数图象上点的坐标特征. 专题: 计算题. 分析: 根据二次函数图象上点的坐标特征,把(1,1)代入解析式可得到a+b的值,然后计算a+b+1的值. 解答: 解:∵二次函数y=ax2+bx﹣1(a≠0)的图象经过点(1,1), ∴a+b﹣1=1, ∴a+b=2, ∴a+b+1=3. 故选D. 点评: 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征:二次函数图象上点的坐标满足其解析式. 6.(4分)(2015•天水)一个圆柱的侧面展开图是两邻边长分别为6和8的矩形,则该圆柱的底面圆半径是( ) A. B. C. 或 D. 或 考点: 几何体的展开图. 专题: 计算题. 分析: 分8为底面周长与6为底面周长两种情况,求出底面半径即可. 解答: 解:若6为圆柱的高,8为底面周长,此时底面半径为=; 若8为圆柱的高,6为底面周长,此时底面半径为=, 故选C. 点评: 此题考查了几何体的展开图,利用了分类讨论的思想,分类讨论时注意不重不漏,考虑问题要全面. 7.(4分)(2015•天水)如图,将矩形纸带ABCD,沿EF折叠后,C、D两点分别落在C′、D′的位置,经测量得∠EFB=65°,则∠AED′的度数是( ) A. 65° B. 55° C. 50° D. 25° 考点: 平行线的性质;翻折变换(折叠问题). 分析: 先根据平行线的性质求出∠DEF的度数,再由图形翻折变换的性质求出∠DED′的度数,根据补角的定义即可得出结论. 解答: 解:∵AD∥BC,∠EFB=65°, ∴∠DEF=65°, ∴∠DED′=2∠DEF=130°, ∴∠AED′=180°﹣130°=50°. 故选C. 点评: 本题考查的是平行线的性质,用到的知识点为:两直线平行,内错角相等. 8.(4分)(2015•天水)如图,在四边形ABCD中,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=2,CD=,点P在四边形ABCD的边上.若点P到BD的距离为,则点P的个数为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 考点: 等腰直角三角形;点到直线的距离. 分析: 首先作出AB、AD边上的点P(点A)到BD的垂线段AE,即点P到BD的最长距离,作出BC、CD的点P(点C)到BD的垂线段CF,即点P到BD的最长距离,由已知计算出AE、CF的长与比较得出答案. 解答: 解:过点A作AE⊥BD于E,过点C作CF⊥BD于F, ∵∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=2,CD=, ∴∠ABD=∠ADB=45°, ∴∠CDF=90°﹣∠ADB=45°, ∵sin∠ABD=, ∴AE=AB•sin∠ABD=2•sin45° =2•=2>, 所以在AB和AD边上有符合P到BD的距离为的点2个, 故选A. 点评: 本题考查了解直角三角形和点到直线的距离,解题的关键是先求出各边上点到BD的最大距离比较得出答案. 9.(4分)(2015•天水)如图,AB为半圆所在⊙O的直径,弦CD为定长且小于⊙O的半径(C点与A点不重合),CF⊥CD交AB于点F,DE⊥CD交AB于点E,G为半圆弧上的中点.当点C在上运动时,设的长为x,CF+DE=y.则下列图象中,能表示y与x的函数关系的图象大致是( ) A. B. C. D. 考点: 动点问题的函数图象. 分析: 根据弦CD为定长可以知道无论点C怎么运动弦CD的弦心距为定值,据此可以得到函数的图象. 解答: 解:作OH⊥CD于点H, ∴H为CD的中点, ∵CF⊥CD交AB于F,DE⊥CD交AB于E, ∴OH为直角梯形的中位线, ∵弦CD为定长, ∴CF+DE=y为定值, 故选B. 点评: 本题考查了动点问题的函数图象,解题的关键是化动为静. 10.(4分)(2015•天水)定义运算:a⊗b=a(1﹣b).下面给出了关于这种运算的几种结论:①2⊗(﹣2)=6,②a⊗b=b⊗a,③若a+b=0,则(a⊗a)+(b⊗b)=2ab,④若a⊗b=0,则a=0或b=1,其中结论正确的序号是( ) A. ①④ B. ①③ C. ②③④ D. ①②④ 考点: 整式的混合运算;有理数的混合运算. 专题: 新定义. 分析: 各项利用题中的新定义计算得到结果,即可做出判断. 解答: 解:根据题意得:2⊗(﹣2)=2×(1+2)=6,选项①正确; a⊗b=a(1﹣b)=a﹣ab,b⊗a=b(1﹣a)=b﹣ab,不一定相等,选项②错误; (a⊗a)+(b⊗b)=a(1﹣a)+b(1﹣b)=a+b﹣a2﹣b2≠2ab,选项③错误; 若a⊗b=a(1﹣b)=0,则a=0或b=1,选项④正确, 故选A 点评: 此题考查了整式的混合运算,以及有理数的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 二、填空题(本大题共8小题,每小题4分,共32分。只要求填写最简结果) 11.(4分)(2015•天水)相切两圆的半径分别是5和3,则该两圆的圆心距是 2或8 . 考点: 圆与圆的位置关系. 专题: 计算题. 分析: 根据两圆内切或外切两种情况,求出圆心距即可. 解答: 解:若两圆内切,圆心距为5﹣3=2; 若两圆外切,圆心距为5+3=8, 故答案为:2或8 点评: 此题考查了圆与圆的位置关系,利用了分类讨论的思想,分类讨论时做到不重不漏,考虑问题要全面. 12.(4分)(2015•天水)不等式组的所有整数解是 0 . 考点: 一元一次不等式组的整数解. 分析: 先求出两个不等式的解集,再求其公共解,然后写出范围内的整数即可. 解答: 解:, 解不等式①得,x>﹣, 解不等式②得,x<1, 所以不等式组的解集为﹣x<1, 所以原不等式组的整数解是0. 故答案为:0. 点评: 本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法,其简便求法就是用口诀求解.求不等式组解集的口诀:同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小找不到(无解). 13.(4分)(2015•天水)如图,边长为1的小正方形构成的网格中,半径为1的⊙O在格点上,则∠AED的正切值为 . 考点: 圆周角定理;锐角三角函数的定义. 专题: 网格型. 分析: 根据圆周角定理可得∠AED=∠ABC,然后求出tan∠ABC的值即可. 解答: 解:由图可得,∠AED=∠ABC, ∵⊙O在边长为1的网格格点上, ∴AB=2,AC=1, 则tan∠ABC==, ∴tan∠AED=. 故答案为:. 点评: 本题考查了圆周角定理和锐角三角形的定义,解答本题的关键是掌握同弧所对的圆周角相等. 14.(4分)(2015•天水)一元二次方程x2+3﹣2x=0的解是 x1=x2= . 考点: 解一元二次方程-配方法. 分析: 先分解因式,即可得出完全平方式,求出方程的解即可. 解答: 解:x2+3﹣2x=0 (x﹣)2=0 ∴x1=x2=. 故答案为:x1=x2=. 点评: 此题考查了解一元二次方程,熟练掌握求根的方法是解本题的关键. 15.(4分)(2015•天水)如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图.点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处,已知AB⊥BD,CD⊥BD,测得AB=2米,BP=3米,PD=12米,那么该古城墙的高度CD是 8 米. 考点: 相似三角形的应用. 分析: 首先证明△ABP∽△CDP,可得=,再代入相应数据可得答案. 解答: 解:由题意可得:∠APE=∠CPE, ∴∠APB=∠CPD, ∵AB⊥BD,CD⊥BD, ∴∠ABP=∠CDP=90°, ∴△ABP∽△CDP, ∴=, ∵AB=2米,BP=3米,PD=12米, ∴=, CD=8米, 故答案为:8. 点评: 此题主要考查了相似三角形的应用,关键是掌握相似三角形对应边成比例. 16.(4分)(2015•天水)如图,△ABC是正三角形,曲线CDEF叫做正三角形的渐开线,其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C,如果AB=1,那么曲线CDEF的长是 4π . 考点: 弧长的计算;等边三角形的性质. 专题: 压轴题. 分析: 弧CD,弧DE,弧EF的圆心角都是120度,半径分别是1,2,3,利用弧长的计算公式可以求得三条弧长,三条弧的和就是所求曲线的长. 解答: 解:弧CD的长是=, 弧DE的长是:=, 弧EF的长是:=2π, 则曲线CDEF的长是:++2π=4π. 故答案为:4π. 点评: 本题考查了弧长的计算公式,理解弧CD,弧DE,弧EF的圆心角都是120度,半径分别是1,2,3是解题的关键. 17.(4分)(2015•天水)下列函数(其中n为常数,且n>1) ①y=(x>0);②y=(n﹣1)x;③y=(x>0);④y=(1﹣n)x+1;⑤y=﹣x2+2nx(x<0)中,y的值随x的值增大而增大的函数有 3 个. 考点: 二次函数的性质;一次函数的性质;正比例函数的性质;反比例函数的性质. 分析: 分别根据正比例函数、一次函数、反比例函数和二次函数的性质进行分析即可. 解答: 解:①y=(x>0),n>1,y的值随x的值增大而减小; ②y=(n﹣1)x,n>1,y的值随x的值增大而增大; ③y=(x>0)n>1,y的值随x的值增大而增大; ④y=(1﹣n)x+1,n>1,y的值随x的值增大而减小; ⑤y=﹣x2+2nx(x<0)中,n>1,y的值随x的值增大而增大; y的值随x的值增大而增大的函数有3个, 故答案为:3. 点评: 此题主要考查了正比例函数、一次函数、反比例函数和二次函数的性质,关键是掌握正比例函数y=kx(k≠0),k>0时,y的值随x的值增大而增大;一次函数的性质: k>0,y随x的增大而增大,函数从左到右上升;k<0,y随x的增大而减小,函数从左到右下降;二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)当a<0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向下,x<﹣时,y随x的增大而增大;反比例函数的性质,当k<0,双曲线的两支分别位于第二、第四象限,在每一象限内y随x的增大而增大. 18.(4分)(2015•天水)正方形OA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3,按如图放置,其中点A1、A2、A3在x轴的正半轴上,点B1、B2、B3在直线y=﹣x+2上,则点A3的坐标为 (,0) . 考点: 正方形的性质;一次函数图象上点的坐标特征. 专题: 规律型. 分析: 设正方形OA1B1C1的边长为t,则B1(t,t),根据t一次函数图象上点的坐标特征得到t=﹣t+2,解得t=1,得到B1(1,1),然后利用同样的方法可求得B2(,),B3(,),则A3(,0). 解答: 解:设正方形OA1B1C1的边长为t,则B1(t,t),所以t=﹣t+2,解得t=1,得到B1(1,1); 设正方形A1A2B2C2的边长为a,则B2(1+a,a),a=﹣(1+a)+2,解得a=,得到B2(,); 设正方形A2A3B3C3的边长为b,则B3(+b,b),b=﹣(+b)+2,解得b=,得到B3(,), 所以A3(,0). 故答案为(,0). 点评: 本题考查了正方形的性质:正方形的四条边都相等,四个角都是直角.也考查了一次函数图象上点的坐标特征. 三、解答题(本大题共3小题,共28分。解答时写出必要的文字说明及演算过程。) 19.(9分)(2015•天水)计算: (1)(π﹣3)0+﹣2cos45°﹣ (2)若x+=3,求的值. 考点: 实数的运算;分式的化简求值;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值. 分析: (1)根据0指数幂、二次根式的化简、特殊角的三角函数值、负指数幂的定义解答; (2)分子分母同时除以x2,配方后整体代入即可解答. 解答: 解:(1)原式=1+3﹣2×﹣8=2﹣7; (2)原式== = = =. 点评: (1)本题考查了实数运算,熟悉0指数幂、二次根式的化简、特殊角的三角函数值、负指数幂的定义是解题的关键; (2)本题考查了分式的化简求值,熟悉配方法是解题的关键. 20.(9分)(2015•天水)2015年4月25日14时11分,尼泊尔发生8.1级地震,震源深度20千米.中国救援队火速赶往灾区救援,探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象.在废墟一侧某面上选两探测点A、B,AB相距2米,探测线与该面的夹角分别是30°和45°(如图).试确定生命所在点C与探测面的距离.(参考数据≈1.41,≈1.73) 考点: 解直角三角形的应用. 分析: 首先过C作CD⊥AB,设CD=x米,则DB=CD=x米,AD=CD=x米,再根据AB相距2米可得方程x﹣x=2,再解即可. 解答: 解:过C作CD⊥AB, 设CD=x米, ∵∠ABE=45°, ∴∠CBD=45°, ∴DB=CD=x米, ∵∠CAD=30°, ∴AD=CD=x米, ∵AB相距2米, ∴x﹣x=2, 解得:x=. 答:命所在点C与探测面的距离是米. 点评: 此题主要考查了解直角三角形的应用,关键是正确分析出CD、AD、BD的关系. 21.(10分)(2015•天水)如图,在平面直角坐标系内,O为原点,点A的坐标为(﹣3,0),经过A、O两点作半径为的⊙C,交y轴的负半轴于点B. (1)求B点的坐标; (2)过B点作⊙C的切线交x轴于点D,求直线BD的解析式. 考点: 一次函数综合题. 专题: 代数综合题;压轴题. 分析: (1)由于∠AOB=90°,故AB是直径,且AB=5在Rt△AOB中,由勾股定理可得BO===4,则B点的坐标为(0,﹣4); (2)由于BD是⊙C的切线,CB是⊙C的半径,故BD⊥AB,即∠ABD=90°,有∠DAB+∠ADB=90°,又因为∠BDO+∠OBD=90°,所以∠DAB=∠DBO,由于∠AOB=∠BOD=90°,故△ABO∽△BDO,=,OD===,D的坐标为(,0),把B,D两点坐标代入一次函数的解析式便可求出k,b的值,从而求出其解析式. 解答: 解:(1)∵∠AOB=90°, ∴AB是直径,且AB=5, 在Rt△AOB中,由勾股定理可得BO===4, ∴B点的坐标为(0,﹣4); (2)∵BD是⊙C的切线,CB是⊙C的半径, ∴BD⊥AB,即∠ABD=90°, ∴∠DAB+∠ADB=90° 又∵∠BDO+∠OBD=90°, ∴∠DAB=∠DBO, ∵∠AOB=∠BOD=90°, ∴△ABO∽△BDO, ∴=, ∴OD===, ∴D的坐标为(,0) 设直线BD的解析式为y=kx+b(k≠0,k、b为常数), 则有,∴, ∴直线BD的解析式为y=x﹣4. 点评: 此题较复杂,把一次函数与圆的相关知识相结合,利用勾股定理及相似三角形的性质解答,是中学阶段的重点内容. 四、解答题(本大题共50分,解答时写出必要的演算步骤及推理证明过程。) 22.(8分)(2015•天水)钓鱼岛是我国固有领土.某校七年级(15)班举行“爱国教育”为主题班会时,就有关钓鱼岛新闻的获取途径,对本班50名学生进行调查(要求每位同学,只选自己最认可的一项),并绘制如图所示的扇形统计图. (1)该班学生选择“报刊”的有 6 人.在扇形统计图中,“其它”所在扇形区域的圆心角是 36 度.(直接填结果) (2)如果该校七年级有1500名学生,利用样本估计选择“网站”的七年级学生约有 420 人.(直接填结果) (3)如果七年级(15)班班委会就这5种获取途径中任选两种对全校学生进行调查,求恰好选用“网站”和“课堂”的概率.(用树状图或列表法分析解答) 考点: 列表法与树状图法;用样本估计总体;扇形统计图. 专题: 计算题. 分析: (1)根据扇形统计图及调查学生总数为50名,求出所求即可; (2)根据样本中选择“网站”的七年级学生百分数,乘以1500即可得到结果; (3)列表得出所有等可能的情况数,找出恰好选用“网站”和“课堂”的情况数,即可求出所求的概率. 解答: 解:(1)根据题意得:50×12%=6(人),360°×10%=36°, 则该班学生选择“报刊”的有6人.在扇形统计图中,“其它”所在扇形区域的圆心角是36度; 故答案为:6;36; (2)根据题意得:1500×28%=420(人); 故答案为:420; (3)列表如下:(A表示报刊;B表示网站;C表示其它;D表示课堂;E表示电视) A B C D E A ﹣﹣﹣ (B,A) (C,A) (D,A) (E,A) B (A,B) ﹣﹣﹣ (C,B) (D,B) (E,B) C (A,C) (B,C) ﹣﹣﹣ (D,C) (E,C) D (A,D) (B,D) (C,D) ﹣﹣﹣ (E,D) E (A,E) (B,E) (C,E) (D,E) ﹣﹣﹣ 所有等可能的情况有20种,恰好选用“网站”和“课堂”的情况有2种, 则P==. 点评: 此题考查了列表法与树状图法,用样本估计总体,以及扇形统计图,弄清题中的数据是解本题的关键. 23.(8分)(2015•天水)天水“伏羲文化节”商品交易会上,某商人将每件进价为8元的纪念品,按每件9元出售,每天可售出20件.他想采用提高售价的办法来增加利润,经实验,发现这种纪念品每件提价1元,每天的销售量会减少4件. (1)写出每天所得的利润y(元)与售价x(元/件)之间的函数关系式. (2)每件售价定为多少元,才能使一天所得的利润最大?最大利润是多少元? 考点: 二次函数的应用. 分析: (1)根据题中等量关系为:利润=(售价﹣进价)×售出件数,根据等量关系列出函数关系式; (2)将(1)中的函数关系式配方,根据配方后的方程式即可求出y的最大值. 解答: 解:(1)根据题中等量关系为:利润=(售价﹣进价)×售出件数, 列出方程式为:y=(x﹣8)[20﹣4(x﹣9)], 即y=﹣4x2+88x﹣448(9≤x≤14); (2)将(1)中方程式配方得: y=﹣4(x﹣11)2+36, ∴当x=11时,y最大=36元, 答:售价为11元时,利润最大,最大利润是36元. 点评: 本题考查的是二次函数的应用,熟知利润=(售价﹣进价)×售出件数是解答此题的关键. 24.(10分)(2015•天水)如图,点A(m,6)、B(n,1)在反比例函数图象上,AD⊥x轴于点D,BC⊥x轴于点C,DC=5. (1)求m、n的值并写出该反比例函数的解析式. (2)点E在线段CD上,S△ABE=10,求点E的坐标. 考点: 待定系数法求反比例函数解析式;反比例函数图象上点的坐标特征. 分析: (1)根据题意列出关于m与n的方程组,求出方程组的解得到m与n的值,确定出A与B坐标,设出反比例函数解析式,将A坐标代入即可确定出解析式; (2)设E(x,0),表示出DE与CE,连接AE,BE,三角形ABE面积=四边形ABCD面积﹣三角形ADE面积﹣三角形BCE面积,求出即可. 解答: 解:(1)由题意得:, 解得:, ∴A(1,6),B(6,1), 设反比例函数解析式为y=, 将A(1,6)代入得:k=6, 则反比例解析式为y=; (2)设E(x,0),则DE=x﹣1,CE=6﹣x, ∵AD⊥x轴,BC⊥x轴, ∴∠ADE=∠BCE=90°, 连接AE,BE, 则S△ABE=S四边形ABCD﹣S△ADE﹣S△BCE =(BC+AD)•DC﹣DE•AD﹣CE•BC =×(1+6)×5﹣(x﹣1)×6﹣(6﹣x)×1 =﹣x =10, 解得:x=3, 则E(3,0). 点评: 此题考查了待定系数法求反比例函数解析式,反比例函数图象上点的坐标特征,熟练掌握待定系数法是解本题的关键. 25.(12分)(2015•天水)如图,AB是⊙O的直径,BC切⊙O于点B,OC平行于弦AD,过点D作DE⊥AB于点E,连结AC,与DE交于点P.求证: (1)AC•PD=AP•BC; (2)PE=PD. 考点: 切线的性质;相似三角形的判定与性质. 专题: 证明题. 分析: (1)首先根据AB是⊙O的直径,BC是切线,可得AB⊥BC,再根据DE⊥AB,判断出DE∥BC,△AEP∽△ABC,所以=;然后判断出=,即可判断出ED=2EP,据此判断出PE=PD即可. (2)首先根据△AEP∽△ABC,判断出;然后根据PE=PD,可得,据此判断出AC•PD=AP•BC即可. 解答: 解:(1)∵AB是⊙O的直径,BC是切线, ∴AB⊥BC, ∵DE⊥AB, ∴DE∥BC, ∴△AEP∽△ABC, ∴=…①, 又∵AD∥OC, ∴∠DAE=∠COB, ∴△AED∽△OBC, ∴===…②, 由①②,可得ED=2EP, ∴PE=PD. (2)∵AB是⊙O的直径,BC是切线, ∴AB⊥BC, ∵DE⊥AB, ∴DE∥BC, ∴△AEP∽△ABC, ∴, ∵PE=PD, ∴, ∴AC•PD=AP•BC. 点评: (1)此题主要考查了切线的性质和应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①圆的切线垂直于经过切点的半径.②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. (2)此题还考查了相似三角形的判定和性质的应用,要熟练掌握. 26.(12分)(2015•天水)在平面直角坐标系中,已知y=﹣x2+bx+c(b、c为常数)的顶点为P,等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0,﹣1),点C的坐标为(4,3),直角顶点B在第四象限. (1)如图,若抛物线经过A、B两点,求抛物线的解析式. (2)平移(1)中的抛物线,使顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离为时,试证明:平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点. (3)在(2)的情况下,若沿AC方向任意滑动时,设抛物线与直线AC的另一交点为Q,取BC的中点N,试探究NP+BQ是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,请说明理由. 考点: 二次函数综合题. 分析: (1)先求出点B的坐标,然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式; (2)如答题图2,设顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离时,到达P′,作P′M∥y轴,PM∥x轴,交于M点,根据直线AC的斜率求得△P′PM是等腰直角三角形,进而求得抛物线向上平移1个单位,向右平移1个单位,从而求得平移后的解析式,进而求得与x轴的交点,与直线AC的交点,即可证得结论; (3)如答图3所示,作点B关于直线AC的对称点B′,由分析可知,当B′、Q、F(AB中点)三点共线时,NP+BQ最小,最小值为线段B′F的长度. 解答: 解:(1)∵等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0,﹣1),C的坐标为(4,3) ∴点B的坐标为(4,﹣1). ∵抛物线过A(0,﹣1),B(4,﹣1)两点, ∴, 解得:b=2,c=﹣1, ∴抛物线的函数表达式为:y=﹣x2+2x﹣1. (2)如答题图2,设顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离时,到达P′,作P′M∥y轴,PM∥x轴,交于M点, ∵点A的坐标为(0,﹣1),点C的坐标为(4,3), ∴直线AC的解析式为y=x﹣1, ∵直线的斜率为1, ∴△P′PM是等腰直角三角形, ∵PP′=, ∴P′M=PM=1, ∴抛物线向上平移1个单位,向右平移1个单位, ∵y=﹣x2+2x﹣1=﹣(x﹣2)2+1, ∴平移后的抛物线的解析式为y=﹣(x﹣3)2+2, 令y=0,则0=﹣(x﹣3)2+2, 解得x1=1,x=52, ∴平移后的抛物线与x轴的交点为(1,0),(5,0), 解,得或 ∴平移后的抛物线与AC的交点为(1,0), ∴平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点(1,0). (3)如答图3,取点B关于AC的对称点B′,易得点B′的坐标为(0,3),BQ=B′Q,取AB中点F, 连接QF,FN,QB′,易得FN∥PQ,且FN=PQ, ∴四边形PQFN为平行四边形. ∴NP=FQ. ∴NP+BQ=FQ+B′Q≥FB′==2. ∴当B′、Q、F三点共线时,NP+BQ最小,最小值为2. 点评: 本题为二次函数中考压轴题,考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、几何变换(平移,对称)、等腰直角三角形、平行四边形、轴对称﹣最短路线问题等知识点,考查了存在型问题和分类讨论的数学思想,试题难度较大. 查看更多