2012年浙江省高考数学试卷(理科)

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

2012年浙江省高考数学试卷(理科)

‎2012年浙江省高考数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)设集合A={x|1<x<4},集合B={x|x2﹣2x﹣3≤0},则A∩(∁RB)=(  )‎ A.(1,4) B.(3,4) C.(1,3) D.(1,2)∪(3,4)‎ ‎2.(5分)已知i是虚数单位,则=(  )‎ A.1﹣2i B.2﹣i C.2+i D.1+2i ‎3.(5分)设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+2y﹣1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.(5分)把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.(5分)设,是两个非零向量.则下列命题为真命题的是(  )‎ A.若|+|=||﹣||,则⊥‎ B.若⊥,则|+|=||﹣||‎ C.若|+|=||﹣||,则存在实数λ,使得=λ D.若存在实数λ,使得=λ,则|+|=||﹣||‎ ‎6.(5分)若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有(  )‎ A.60种 B.63种 C.65种 D.66种 ‎7.(5分)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和,则下列命题错误的是(  )‎ A.若d<0,则数列{Sn}有最大项 B.若数列{Sn}有最大项,则d<0‎ C.若对任意n∈N*,均有Sn>0,则数列{Sn}是递增数列 D.若数列{Sn}是递增数列,则对任意n∈N*,均有Sn>0‎ ‎8.(5分)如图,F1,F2分别是双曲线C:(a,b>0)的在左、右焦点,B是虚轴的端点,直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.(5分)设a>0,b>0,下列命题中正确的是(  )‎ A.若2a+2a=2b+3b,则a>b B.若2a+2a=2b+3b,则a<b C.若2a﹣2a=2b﹣3b,则a>b D.若2a﹣2a=2b﹣3b,则a<b ‎10.(5分)已知矩形ABCD,AB=1,BC=.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中(  )‎ A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直 B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直 C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直 D.对任意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直 ‎ ‎ 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分.‎ ‎11.(4分)已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三棱锥的体积等于  cm3.‎ ‎12.(4分)若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是  .‎ ‎13.(4分)设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则q=  .‎ ‎14.(4分)若将函数f(x)=x5表示为f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,其中a0,a1,a2,…a5为实数,则a3=  .‎ ‎15.(4分)在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则•=  .‎ ‎16.(4分)定义:曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离,已知曲线C1:y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2:x2+(y+4)2‎ ‎=2到直线l:y=x的距离,则实数a=  .‎ ‎17.(4分)设a∈R,若x>0时均有[(a﹣1)x﹣1](x2﹣ax﹣1)≥0,则a=  .‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎18.(14分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cosA=,sinB=C.‎ ‎(1)求tanC的值;‎ ‎(2)若a=,求△ABC的面积.‎ ‎19.(14分)已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出此3球所得分数之和.‎ ‎(1)求X的分布列;‎ ‎(2)求X的数学期望E(X).‎ ‎20.(15分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面是边长为的菱形,∠BAD=120°,且PA⊥平面ABCD,PA=,M,N分别为PB,PD的中点.‎ ‎(1)证明:MN∥平面ABCD;‎ ‎(2)过点A作AQ⊥PC,垂足为点Q,求二面角A﹣MN﹣Q的平面角的余弦值.‎ ‎21.(15分)如图,椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,其左焦点到点P(2,1)的距离为 ‎,不过原点O的直线l与C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平分.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)求△APB面积取最大值时直线l的方程.‎ ‎22.(14分)已知a>0,b∈R,函数f(x)=4ax3﹣2bx﹣a+b.‎ ‎(Ⅰ)证明:当0≤x≤1时,‎ ‎(i)函数f(x)的最大值为|2a﹣b|+a;‎ ‎(ii)f(x)+|2a﹣b|+a≥0;‎ ‎(Ⅱ)若﹣1≤f(x)≤1对x∈[0,1]恒成立,求a+b的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎2012年浙江省高考数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)(2012•浙江)设集合A={x|1<x<4},集合B={x|x2﹣2x﹣3≤0},则A∩(∁RB)=(  )‎ A.(1,4) B.(3,4) C.(1,3) D.(1,2)∪(3,4)‎ ‎【分析】由题意,可先解一元二次不等式,化简集合B,再求出B的补集,再由交的运算规则解出A∩(∁RB)即可得出正确选项 ‎【解答】解:由题意B={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3},故∁RB={x|x<﹣1或x>3},‎ 又集合A={x|1<x<4},‎ ‎∴A∩(∁RB)=(3,4)‎ 故选B ‎ ‎ ‎2.(5分)(2012•浙江)已知i是虚数单位,则=(  )‎ A.1﹣2i B.2﹣i C.2+i D.1+2i ‎【分析】由题意,可对复数代数式分子与分母都乘以1+i,再由进行计算即可得到答案.‎ ‎【解答】解:‎ 故选D ‎ ‎ ‎3.(5分)(2012•浙江)设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+2y﹣1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【分析】运用两直线平行的充要条件得出l1与l2平行时a的值,而后运用充分必要条件的知识来解决即可.‎ ‎【解答】解:∵当a=1时,直线l1:x+2y﹣1=0与直线l2:x+2y+4=0,‎ 两条直线的斜率都是﹣,截距不相等,得到两条直线平行,‎ 故前者是后者的充分条件,‎ ‎∵当两条直线平行时,得到,‎ 解得a=﹣2,a=1,‎ ‎∴后者不能推出前者,‎ ‎∴前者是后者的充分不必要条件.‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)(2012•浙江)把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】首先根据函数图象变换的公式,可得最终得到的图象对应的解析式为:y=cos(x+1),然后将曲线y=cos(x+1)的图象和余弦曲线y=cosx进行对照,可得正确答案.‎ ‎【解答】解:将函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),‎ 得到的图象对应的解析式为:y=cosx+1,‎ 再将y=cosx+1图象向左平移1个单位长度,再向下平移 1个单位长度,‎ 得到的图象对应的解析式为:y=cos(x+1),‎ ‎∵曲线y=cos(x+1)由余弦曲线y=cosx左移一个单位而得,‎ ‎∴曲线y=cos(x+1)经过点(,0)和(,0),且在区间(,)上函数值小于0‎ 由此可得,A选项符合题意.‎ 故选A ‎ ‎ ‎5.(5分)(2012•浙江)设,是两个非零向量.则下列命题为真命题的是(  )‎ A.若|+|=||﹣||,则⊥‎ B.若⊥,则|+|=||﹣||‎ C.若|+|=||﹣||,则存在实数λ,使得=λ D.若存在实数λ,使得=λ,则|+|=||﹣||‎ ‎【分析】通过向量和向量的模相关性质进行判断即可.‎ ‎【解答】解:对于A,若|+|=||﹣||,则||2+||2+2•=||2+||2﹣2||||,得•=﹣||||≠0,与不垂直,所以A不正确;‎ 对于B,由A解析可知,|+|≠||﹣||,所以B不正确;‎ 对于C,若|+|=||﹣||,则||2+||2+2•=||2+||2﹣2||||,得•=﹣||||,则cosθ=﹣1,则与反向,因此存在实数λ,使得=λ,所以C正确.‎ 对于D,若存在实数λ,则•=λ||2,﹣||||=λ||2,由于λ不能等于0,因此•≠﹣||||,则|+|≠||﹣||,所以D不正确.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)(2012•浙江)若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有(  )‎ A.60种 B.63种 C.65种 D.66种 ‎【分析】本题是一个分类计数问题,要得到四个数字的和是偶数,需要分成三种不同的情况,当取得4个偶数时,当取得4个奇数时,当取得2奇2偶时,分别用组合数表示出各种情况的结果,再根据分类加法原理得到不同的取法.‎ ‎【解答】解:由题意知本题是一个分类计数问题,要得到四个数字的和是偶数,需要分成三种不同的情况,‎ 当取得4个偶数时,有=1种结果,‎ 当取得4个奇数时,有=5种结果,‎ 当取得2奇2偶时有=6×10=60‎ ‎∴共有1+5+60=66种结果,‎ 故选D ‎ ‎ ‎7.(5分)(2012•浙江)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和,则下列命题错误的是(  )‎ A.若d<0,则数列{Sn}有最大项 B.若数列{Sn}有最大项,则d<0‎ C.若对任意n∈N*,均有Sn>0,则数列{Sn}是递增数列 D.若数列{Sn}是递增数列,则对任意n∈N*,均有Sn>0‎ ‎【分析】由等差数列的求和公式可得Sn=na1+d=n2+(a1+)n,可看作关于n的二次函数,由二次函数的性质逐个选项验证可得.‎ ‎【解答】解:由等差数列的求和公式可得Sn=na1+d=n2+(a1﹣)n,‎ 选项A,若d<0,由二次函数的性质可得数列{Sn}有最大项,故正确;‎ 选项B,若数列{Sn}有最大项,则对应抛物线开口向下,则有d<0,故正确;‎ 选项C,若对任意n∈N*,均有Sn>0,对应抛物线开口向上,d>0,‎ 可得数列{Sn}是递增数列,故正确;‎ 选项D,若数列{Sn}是递增数列,则对应抛物线开口向上,‎ 但不一定有任意n∈N*,均有Sn>0,故错误.‎ 故选D ‎ ‎ ‎8.(5分)(2012•浙江)如图,F1,F2分别是双曲线C:(a,b>0)的在左、右焦点,B是虚轴的端点,直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】确定PQ,MN的斜率,求出直线PQ与渐近线的交点的坐标,得到MN的方程,从而可得M的横坐标,利用|MF2|=|F1F2|,即可求得C的离心率.‎ ‎【解答】解:线段PQ的垂直平分线MN,|OB|=b,|O F1|=c.∴kPQ=,kMN=﹣.‎ 直线PQ为:y= (x+c),两条渐近线为:y=x.‎ 由,得Q( );由得P.‎ ‎∴直线MN为,‎ 令y=0得:xM=.‎ 又∵|MF2|=|F1F2|=2c,‎ ‎∴3c=xM=,‎ ‎∴3a2=2c2‎ 解之得:,即e=.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)(2012•浙江)设a>0,b>0,下列命题中正确的是(  )‎ A.若2a+2a=2b+3b,则a>b B.若2a+2a=2b+3b,则a<b C.若2a﹣2a=2b﹣3b,则a>b D.若2a﹣2a=2b﹣3b,则a<b ‎【分析】对于2a+2a=2b+3b,若a≤b成立,经分析可排除B;对于2a﹣2a=2b﹣3b,若a≥b成立,经分析可排除C,D,从而可得答案.‎ ‎【解答】解:∵a≤b时,2a+2a≤2b+2b<2b+3b,‎ ‎∴若2a+2a=2b+3b,则a>b,故A正确,B错误;‎ 对于2a﹣2a=2b﹣3b,若a≥b成立,则必有2a≥2b,故必有2a≥3b,即有a≥b,而不是a>b排除C,也不是a<b,排除D.‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)(2012•浙江)已知矩形ABCD,AB=1,BC=.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中(  )‎ A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直 B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直 C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直 D.对任意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直 ‎【分析】先根据翻折前后的变量和不变量,计算几何体中的相关边长,再分别筛选四个选项,若A成立,则需BD⊥EC,这与已知矛盾;若C成立,则A在底面BCD上的射影应位于线段BC上,可证明位于BC中点位置,故B成立;若C成立,则A在底面BCD上的射影应位于线段CD上,这是不可能的;D显然错误 ‎【解答】解:如图,AE⊥BD,CF⊥BD,依题意,AB=1,BC=,AE=CF=,BE=EF=FD=,‎ A,若存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直,则∵BD⊥AE,∴BD⊥平面AEC,从而BD⊥EC,这与已知矛盾,排除A;‎ B,若存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直,则CD⊥平面ABC,平面ABC⊥平面BCD 取BC中点M,连接ME,则ME⊥BD,∴∠AEM就是二面角A﹣BD﹣C的平面角,此角显然存在,即当A在底面上的射影位于BC的中点时,直线AB与直线CD垂直,故B正确;‎ C,若存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直,则BC⊥平面ACD,从而平面ACD⊥平面BCD,即A在底面BCD上的射影应位于线段CD上,这是不可能的,排除C D,由上所述,可排除D 故选 B ‎ ‎ 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分.‎ ‎11.(4分)(2012•浙江)已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三棱锥的体积等于 1 cm3.‎ ‎【分析】‎ 由三视图知,几何体是一个三棱锥,底面是直角边长为1和3的直角三角形,三棱锥的一条侧棱与底面垂直,且长度是2,这是三棱锥的高,根据三棱锥的体积公式得到结果.‎ ‎【解答】解:由三视图知,几何体是一个三棱锥,底面是直角边长为1cm和3cm的直角三角形,面积是cm2,‎ 三棱锥的一条侧棱与底面垂直,且长度是2cm,这是三棱锥的高,‎ ‎∴三棱锥的体积是cm3,‎ 故答案为:1.‎ ‎ ‎ ‎12.(4分)(2012•浙江)若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是  .‎ ‎【分析】通过循环框图,计算循环变量的值,当i=6时结束循环,输出结果即可.‎ ‎【解答】解:循环前,T=1,i=2,不满足判断框的条件,第1次循环,T=,i=3,‎ 不满足判断框的条件,第2次循环,T=,i=4,‎ 不满足判断框的条件,第3次循环,T=,i=5,‎ 不满足判断框的条件,第4次循环,T=,i=6,‎ 满足判断框的条件,退出循环,输出结果.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎13.(4分)(2012•浙江)设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则q=  .‎ ‎【分析】经观察,S4﹣S2=a3+a4=3(a4﹣a2),从而得到q+q2=3(q2﹣1),而q>0,从而可得答案.‎ ‎【解答】解:∵等比数列{an}中,S2=3a2+2,S4=3a4+2,‎ ‎∴S4﹣S2=a3+a4=3(a4﹣a2),‎ ‎∴a2(q+q2)=3a2(q2﹣1),又a2≠0,‎ ‎∴2q2﹣q﹣3=0,又q>0,‎ ‎∴q=.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎14.(4分)(2012•浙江)若将函数f(x)=x5表示为f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,其中a0,a1,a2,…a5为实数,则a3= 10 .‎ ‎【分析】将x5转化[(x+1)﹣1]5‎ ‎,然后利用二项式定理进行展开,使之与f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5进行比较,可得所求.‎ ‎【解答】解:f(x)=x5=[(x+1)﹣1]5=(x+1)5+(x+1)4(﹣1)+(x+1)3(﹣1)2+(x+1)2(﹣1)3+(x+1)1(﹣1)4+(﹣1)5‎ 而f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,‎ ‎∴a3=(﹣1)2=10‎ 故答案为:10‎ ‎ ‎ ‎15.(4分)(2012•浙江)在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则•= ﹣16 .‎ ‎【分析】设∠AMB=θ,则∠AMC=π﹣θ,再由 =( ﹣)•( ﹣)以及两个向量的数量积的定义求出结果.‎ ‎【解答】解:设∠AMB=θ,则∠AMC=π﹣θ.又=﹣,=﹣,‎ ‎∴=( ﹣)•( ﹣)=•﹣•﹣•+,‎ ‎=﹣25﹣5×3cosθ﹣3×5cos(π﹣θ)+9=﹣16,‎ 故答案为﹣16.‎ ‎ ‎ ‎16.(4分)(2012•浙江)定义:曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离,已知曲线C1:y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离,则实数a=  .‎ ‎【分析】先根据定义求出曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离,然后根据曲线C1:y=x2+‎ a的切线与直线y=x平行时,该切点到直线的距离最近建立等式关系,解之即可.‎ ‎【解答】解:圆x2+(y+4)2=2的圆心为(0,﹣4),半径为,‎ 圆心到直线y=x的距离为=2,‎ ‎∴曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离为2﹣=.‎ 则曲线C1:y=x2+a到直线l:y=x的距离等于,‎ 令y′=2x=1解得x=,故切点为(,+a),‎ 切线方程为y﹣(+a)=x﹣即x﹣y﹣+a=0,‎ 由题意可知x﹣y﹣+a=0与直线y=x的距离为,‎ 即解得a=或﹣.‎ 当a=﹣时直线y=x与曲线C1:y=x2+a相交,故不符合题意,舍去.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎17.(4分)(2012•浙江)设a∈R,若x>0时均有[(a﹣1)x﹣1](x2﹣ax﹣1)≥0,则a=  .‎ ‎【分析】分类讨论,(1)a=1;(2)a≠1,在x>0的整个区间上,我们可以将其分成两个区间,在各自的区间内恒正或恒负,即可得到结论.‎ ‎【解答】解:(1)a=1时,代入题中不等式明显不成立.‎ ‎(2)a≠1,构造函数y1=(a﹣1)x﹣1,y2=x 2﹣ax﹣1,它们都过定点P(0,﹣1).‎ 考查函数y1=(a﹣1)x﹣1:令y=0,得M(,0),‎ ‎∴a>1;‎ 考查函数y2=x2﹣ax﹣1,∵x>0时均有[(a﹣1)x﹣1](x2﹣ax﹣1)≥0,‎ ‎∴y2=x2﹣ax﹣1过点M(,0),代入得:,‎ 解之得:a=,或a=0(舍去).‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎18.(14分)(2012•浙江)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cosA=,sinB=C.‎ ‎(1)求tanC的值;‎ ‎(2)若a=,求△ABC的面积.‎ ‎【分析】(1)由A为三角形的内角,及cosA的值,利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值,再将已知等式的左边sinB中的角B利用三角形的内角和定理变形为π﹣(A+C),利用诱导公式得到sinB=sin(A+C),再利用两角和与差的正弦函数公式化简,整理后利用同角三角函数间的基本关系即可求出tanC的值;‎ ‎(2)由tanC的值,利用同角三角函数间的基本关系求出cosC的值,再利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值,将sinC的值代入sinB=cosC中,即可求出sinB的值,由a,sinA及sinC的值,利用正弦定理求出c的值,最后由a,c及sinB的值,利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积.‎ ‎【解答】解:(1)∵A为三角形的内角,cosA=,‎ ‎∴sinA==,‎ 又cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=cosC+sinC,‎ 整理得:cosC=sinC,‎ 则tanC=;‎ ‎(2)由tanC=得:cosC====,‎ ‎∴sinC==,‎ ‎∴sinB=cosC=,‎ ‎∵a=,∴由正弦定理=得:c===,‎ 则S△ABC=acsinB=×××=.‎ ‎ ‎ ‎19.(14分)(2012•浙江)已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出此3球所得分数之和.‎ ‎(1)求X的分布列;‎ ‎(2)求X的数学期望E(X).‎ ‎【分析】(1)X的可能取值有:3,4,5,6,求出相应的概率可得所求X的分布列;‎ ‎(2)利用X的数学期望公式,即可得到结论.‎ ‎【解答】解:(1)X的可能取值有:3,4,5,6.‎ P(X=3)=;P(X=4)=; P(X=5)=;P(X=6)=.‎ 故所求X的分布列为 X ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P ‎(2)所求X的数学期望E(X)=3×+4×+5×+6×=‎ ‎ ‎ ‎20.(15分)(2012•浙江)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面是边长为的菱形,∠BAD=120°,且PA⊥平面ABCD,PA=,M,N分别为PB,PD的中点.‎ ‎(1)证明:MN∥平面ABCD;‎ ‎(2)过点A作AQ⊥PC,垂足为点Q,求二面角A﹣MN﹣Q的平面角的余弦值.‎ ‎【分析】(1)连接BD,利用三角形的中位线的性质,证明MN∥BD,再利用线面平行的判定定理,可知MN∥平面ABCD;‎ ‎(2)方法一:连接AC交BD于O,以O为原点,OC,OD所在直线为x,y轴,建立空间直角坐标系,求出平面AMN的法向量,利用向量的夹角公式,即可求得二面角A﹣MN﹣Q的平面角的余弦值;‎ 方法二:证明∠AEQ为二面角A﹣MN﹣Q的平面角,在△AED中,求得AE=,QE=,AQ=2,再利用余弦定理,即可求得二面角A﹣MN﹣Q的平面角的余弦值.‎ ‎【解答】(1)证明:连接BD.∵M,N分别为PB,PD的中点,‎ ‎∴在△PBD中,MN∥BD.‎ 又MN⊄平面ABCD,BD⊂平面ABCD ‎∴MN∥平面ABCD;‎ ‎(2)方法一:连接AC交BD于O,以O为原点,OC,OD所在直线为x,y轴,建立空间直角坐标系,在菱形ABCD中,∠BAD=120°‎ ‎,得AC=AB=,BD=‎ ‎∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AC 在直角△PAC中,,AQ⊥PC得QC=2,PQ=4,由此知各点坐标如下 A(﹣,0,0),B(0,﹣3,0),C(,0,0),D(0,3,0),P(),M(),N()‎ Q()‎ 设=(x,y,z)为平面AMN的法向量,则.‎ ‎∴,取z=﹣1,,‎ 同理平面QMN的法向量为 ‎∴=‎ ‎∴所求二面角A﹣MN﹣Q的平面角的余弦值为.‎ 方法二:在菱形ABCD中,∠BAD=120°,得AC=AB=BC=CD=DA=,BD=‎ ‎∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥AD,∴PB=PC=PD,∴△PBC≌△PDC 而M,N分别是PB,PD的中点,∴MQ=NQ,且AM=PB==AN 取MN的中点E,连接AE,EQ,则AE⊥MN,QE⊥MN,所以∠AEQ为二面角A﹣MN﹣Q的平面角 由,AM=AN=3,MN=3可得AE=‎ 在直角△PAC中,AQ⊥PC得QC=2,PQ=4,AQ=2‎ 在△PBC中,cos∠BPC=,∴MQ=‎ 在等腰△MQN中,MQ=NQ=.MN=3,∴QE=‎ 在△AED中,AE=,QE=,AQ=2,∴cos∠AEQ=‎ ‎∴所求二面角A﹣MN﹣Q的平面角的余弦值为.‎ ‎ ‎ ‎21.(15分)(2012•浙江)如图,椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,其左焦点到点P(2,1)的距离为,不过原点O的直线l与C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平分.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)求△APB面积取最大值时直线l的方程.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由题意,根据离心率为,其左焦点到点P(2,1)的距离为,建立方程,即可求得椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M,当AB⊥x轴时,直线AB的方程为x=0,与不过原点的条件不符,故设AB的方程为y=kx+m(m≠0)由,消元再利用韦达定理求得线段AB的中点M,根据M在直线OP上,可求|AB|,P到直线AB的距离,即可求得△APB面积,从而问题得解.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由题意,解得:.‎ ‎∴所求椭圆C的方程为:.‎ ‎(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M 当AB⊥x轴时,直线AB的方程为x=0,与不过原点的条件不符,故设AB的方程为y=kx+m(m≠0)‎ 由,消元可得(3+4k2)x2+8kmx+4m2﹣12=0①‎ ‎∴,‎ ‎∴线段AB的中点M ‎∵M在直线OP上,∴‎ ‎∴k=﹣‎ 故①变为3x2﹣3mx+m2﹣3=0,又直线与椭圆相交,‎ ‎∴△>0,x1+x2=m,‎ ‎∴|AB|=‎ P到直线AB的距离d=‎ ‎∴△APB面积S=(m∈(﹣2,0)‎ 令u(m)=(12﹣m2)(m﹣4)2,则 ‎∴m=1﹣,u(m)取到最大值 ‎∴m=1﹣时,S取到最大值 综上,所求直线的方程为:‎ ‎ ‎ ‎22.(14分)(2012•浙江)已知a>0,b∈R,函数f(x)=4ax3﹣2bx﹣a+b.‎ ‎(Ⅰ)证明:当0≤x≤1时,‎ ‎(i)函数f(x)的最大值为|2a﹣b|+a;‎ ‎(ii)f(x)+|2a﹣b|+a≥0;‎ ‎(Ⅱ)若﹣1≤f(x)≤1对x∈[0,1]恒成立,求a+b的取值范围.‎ ‎【分析】(Ⅰ)(ⅰ)求导函数,再分类讨论:当b≤0时,f′(x)>0在0≤x≤1上恒成立,此时最大值为:f(1)=|2a﹣b|﹢a;当b>0时,在0≤x≤1上的正负性不能判断,此时最大值为:f(x)max=max{f(0),f(1)}=|2a﹣b|﹢a,由此可得结论;(ⅱ) 利用分析法,要证f(x)+|2a﹣b|+a≥0,即证g(x)=﹣f(x)≤|2a﹣b|﹢a.亦即证g(x)在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a﹣b|﹢a.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知:函数在0≤x≤1上的最大值为|2a﹣b|﹢a,且函数在0≤x≤1上的最小值比﹣(|2a﹣b|﹢a)要大.根据﹣1≤f(x)≤1对x∈[0,1]恒成立,可得|2a﹣b|﹢a≤1,从而利用线性规划知识,可求a+b的取值范围.‎ ‎【解答】(Ⅰ)证明:(ⅰ)f′(x)=12a(x2﹣)‎ 当b≤0时,f′(x)>0,在0≤x≤1上恒成立,此时最大值为:f(1)=|2a﹣b|﹢a;‎ 当b>0时,在0≤x≤1上的正负性不能判断,f'(x)在区间[0,1]先负后可能正,f(x)图象在[0,1]区间内是凹下去的,所以最大值正好取在区间的端点,此时最大值为:f(x)max=max{f(0),f(1)}=|2a﹣b|﹢a;‎ 综上所述:函数在0≤x≤1上的最大值为|2a﹣b|﹢a;‎ ‎(ⅱ) 要证f(x)+|2a﹣b|+a≥0,即证g(x)=﹣f(x)≤|2a﹣b|﹢a.‎ 亦即证g(x)在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a﹣b|﹢a,‎ ‎∵g(x)=﹣4ax3+2bx+a﹣b,∴令g′(x)=﹣12ax2+2b=0,‎ 当b≤0时,;g′(x)<0在0≤x≤1上恒成立,‎ 此时g(x)的最大值为:g(0)=a﹣b<3a﹣b=|2a﹣b|﹢a;‎ 当b>0时,g′(x)在0≤x≤1上的正负性不能判断,‎ ‎∴g(x)max=max{g(),g(1)}={}=‎ ‎∴g(x)max≤|2a﹣b|﹢a;‎ 综上所述:函数g(x)在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a﹣b|﹢a.‎ 即f(x)+|2a﹣b|+a≥0在0≤x≤1上恒成立.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知:函数在0≤x≤1上的最大值为|2a﹣b|﹢a,且函数在0≤x≤1上的最小值比﹣(|2a﹣b|﹢a)要大.‎ ‎∵﹣1≤f(x)≤1对x∈[0,1]恒成立,‎ ‎∴|2a﹣b|﹢a≤1.‎ 取b为纵轴,a为横轴,则可行域为:或,目标函数为z=a+b.‎ 作图如右:‎ 由图易得:a+b的取值范围为(﹣1,3]‎ ‎ ‎ 参与本试卷答题和审题的老师有:xintrl;涨停;ywg2058;qiss;lincy;刘长柏;wfy814;xize;minqi5;caoqz;sllwyn(排名不分先后)‎ ‎2017年2月3日
查看更多

相关文章

您可能关注的文档