2013年广东省高考数学试卷（理科）

2013年广东省高考数学试卷（理科）

‎2013年广东省高考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）设集合M={x|x2+2x=0，x∈R}，N={x|x2﹣2x=0，x∈R}，则M∪N=（　　）‎ A．{0} B．{0，2} C．{﹣2，0} D．{﹣2，0，2}‎ ‎2．（5分）定义域为R的四个函数y=x3，y=2x，y=x2+1，y=2sinx中，奇函数的个数是（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎3．（5分）若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（　　）‎ A．（2，4） B．（2，﹣4） C．（4，﹣2） D．（4，2）‎ ‎4．（5分）已知离散型随机变量X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 则X的数学期望E（X）=（　　）‎ A． B．2 C． D．3‎ ‎5．（5分）某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（　　）‎ A．4 B． C． D．6‎ ‎6．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（　　）‎ A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β ‎7．（5分）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则C的方程是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．（5分）设整数n≥4，集合X={1，2，3，…，n}．令集合S={（x，y，z）|x，y，z∈X，且三条件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}．若（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，则下列选项正确的是（　　）‎ A．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∉S B．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S C．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∈S D．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∉S ‎　‎ 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．‎ ‎9．（5分）不等式x2+x﹣2＜0的解集为　　．‎ ‎10．（5分）若曲线y=kx+lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k=　　．‎ ‎11．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出s的值为　　．‎ ‎12．（5分）在等差数列{an}中，已知a3+a8=10，则3a5+a7=　　．‎ ‎13．（5分）给定区域D：．令点集T={（x0，y0）∈D|x0，y0∈Z，（x0‎ ‎，y0）是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定　　 条不同的直线．‎ ‎14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）‎ 已知曲线C的参数方程为（t为参数），C在点（1，1）处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为　　．‎ ‎15．如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E．若AB=6，ED=2，则BC=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎16．（12分）已知函数f（x）=cos（x﹣），x∈R．‎ ‎（Ⅰ）求f（﹣）的值； ‎ ‎（Ⅱ）若cosθ=，θ∈（，2π），求f（2θ+）．‎ ‎17．（12分）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．‎ ‎（1）根据茎叶图计算样本均值；‎ ‎（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？‎ ‎（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．‎ ‎18．（14分）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=6，D，E分别是AC，AB上的点，，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱椎A′﹣BCDE，其中A′O=．‎ ‎（1）证明：A′O⊥平面BCDE；‎ ‎（2）求二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值．‎ ‎19．（14分）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，，n∈N*．‎ ‎（1）求a2的值；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）证明：对一切正整数n，有．‎ ‎20．（14分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；‎ ‎（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．‎ ‎21．（14分）设函数f（x）=（x﹣1）ex﹣kx2（k∈R）．‎ ‎（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）当时，求函数f（x）在[0，k]上的最大值M．‎ ‎　‎ ‎2013年广东省高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）（2013•广东）设集合M={x|x2+2x=0，x∈R}，N={x|x2﹣2x=0，x∈R}，则M∪N=（　　）‎ A．{0} B．{0，2} C．{﹣2，0} D．{﹣2，0，2}‎ ‎【分析】根据题意，分析可得，M={0，﹣2}，N={0，2}，进而求其并集可得答案．‎ ‎【解答】解：分析可得，‎ M为方程x2+2x=0的解集，则M={x|x2+2x=0}={0，﹣2}，‎ N为方程x2﹣2x=0的解集，则N={x|x2﹣2x=0}={0，2}，‎ 故集合M∪N={0，﹣2，2}，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2013•广东）定义域为R的四个函数y=x3，y=2x，y=x2+1，y=2sinx中，奇函数的个数是（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【分析】根据函数奇偶性的定义及图象特征逐一盘点即可．‎ ‎【解答】解：y=x3的定义域为R，关于原点对称，且（﹣x）3=﹣x3，所以函数y=x3为奇函数；‎ y=2x的图象过点（0，1），既不关于原点对称，也不关于y轴对称，为非奇非偶函数；‎ y=x2+1的图象过点（0，1）关于y轴对称，为偶函数；‎ y=2sinx的定义域为R，关于原点对称，且2sin（﹣x）=﹣2sinx，所以y=2sinx为奇函数；‎ 所以奇函数的个数为2，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2013•广东）若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（　　）‎ A．（2，4） B．（2，﹣4） C．（4，﹣2） D．（4，2）‎ ‎【分析】由题意可得z=，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化为 4﹣2i，从而求得z对应的点的坐标．‎ ‎【解答】解：复数z满足iz=2+4i，则有z===4﹣2i，‎ 故在复平面内，z对应的点的坐标是（4，﹣2），‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2013•广东）已知离散型随机变量X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 则X的数学期望E（X）=（　　）‎ A． B．2 C． D．3‎ ‎【分析】利用数学期望的计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：由数学期望的计算公式即可得出：E（X）==．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2013•广东）某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（　　）‎ A．4 B． C． D．6‎ ‎【分析】由题意直接利用三视图的数据求解棱台的体积即可．‎ ‎【解答】解：几何体是四棱台，下底面是边长为2的正方形，上底面是边长为1的正方形，棱台的高为2，‎ 并且棱台的两个侧面与底面垂直，‎ 四楼台的体积为V==．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2013•广东）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（　　）‎ A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β ‎【分析】由α⊥β，m⊂α，n⊂β，可推得m⊥n，m∥n，或m，n异面；由α∥β，m⊂α，n⊂β，可得m∥n，或m，n异面；由m⊥n，m⊂α，n⊂β，可得α与β可能相交或平行；由m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β．‎ ‎【解答】解：选项A，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则可能m⊥n，m∥n，或m，n异面，故A错误；‎ 选项B，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n，或m，n异面，故B错误；‎ 选项C，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故C错误；‎ 选项D，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β，故D正确．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2013•广东）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则C的方程是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】设出双曲线方程，利用双曲线的右焦点为F（3，0），离心率为 ，建立方程组，可求双曲线的几何量，从而可得双曲线的方程．‎ ‎【解答】解：设双曲线方程为 （a＞0，b＞0），则 ‎∵双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于 ，‎ ‎∴，∴c=3，a=2，∴b2=c2﹣a2=5‎ ‎∴双曲线方程为 ．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2013•广东）设整数n≥4，集合X={1，2，3，…，n}．令集合S={（x，y，z）|x，y，z∈X，且三条件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}．若（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，则下列选项正确的是（　　）‎ A．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∉S B．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S C．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∈S D．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∉S ‎【分析】特殊值排除法，取x=2，y=3，z=4，w=1，可排除错误选项，即得答案．‎ ‎【解答】解：方法一：特殊值排除法，‎ 取x=2，y=3，z=4，w=1，显然满足（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，‎ 此时（y，z，w）=（3，4，1）∈S，（x，y，w）=（2，3，1）∈S，故A、C、D均错误；‎ 只有B成立，故选B．‎ 直接法：‎ 根据题意知，只要y＜z＜w，z＜w＜y，w＜y＜z中或x＜y＜w，y＜w＜x，w＜x＜y中恰有一个成立则可判断（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S．‎ ‎∵（x，y，z）∈S，（z，w，x）∈S，‎ ‎∴x＜y＜z…①，y＜z＜x…②，z＜x＜y…③三个式子中恰有一个成立； z＜w＜x…④，w＜x＜z…⑤，x＜z＜w…⑥三个式子中恰有一个成立．‎ 配对后有四种情况成立，‎ 第一种：①⑤成立，此时w＜x＜y＜z，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S；‎ 第二种：①⑥成立，此时x＜y＜z＜w，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S；‎ 第三种：②④成立，此时y＜z＜w＜x，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S；‎ 第四种：③④成立，此时z＜w＜x＜y，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S．‎ 综合上述四种情况，可得（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S．‎ 故选B．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．‎ ‎9．（5分）（2013•广东）不等式x2+x﹣2＜0的解集为　（﹣2，1）　．‎ ‎【分析】先求相应二次方程x2+x﹣2=0的两根，根据二次函数y=x2+x﹣2的图象即可写出不等式的解集．‎ ‎【解答】解：方程x2+x﹣2=0的两根为﹣2，1，‎ 且函数y=x2+x﹣2的图象开口向上，‎ 所以不等式x2+x﹣2＜0的解集为（﹣2，1）．‎ 故答案为：（﹣2，1）．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2013•广东）若曲线y=kx+lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k=　﹣1　．‎ ‎【分析】先求出函数的导数，再由题意知在1处的导数值为0，列出方程求出k的值．‎ ‎【解答】解：由题意得，y′=k+，‎ ‎∵在点（1，k）处的切线平行于x轴，‎ ‎∴k+1=0，得k=﹣1，‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）（2013•广东）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出s的值为　7　．‎ ‎【分析】由已知中的程序框图及已知中输入4，可得：进入循环的条件为i≤4，即i=1，2，3，4．模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．‎ ‎【解答】解：当i=1时，S=1+1﹣1=1；‎ 当i=2时，S=1+2﹣1=2；‎ 当i=3时，S=2+3﹣1=4；‎ 当i=4时，S=4+4﹣1=7；‎ 当i=5时，退出循环，输出S=7；‎ 故答案为：7．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2013•广东）在等差数列{an}中，已知a3+a8=10，则3a5+a7=　20　．‎ ‎【分析】根据等差数列性质可得：3a5+a7=2（a5+a6）=2（a3+a8）．‎ ‎【解答】解：由等差数列的性质得：‎ ‎3a5+a7=2a5+（a5+a7）=2a5+（2a6）=2（a5+a6）=2（a3+a8）=20，‎ 故答案为：20．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）（2013•广东）给定区域D：．令点集T={（x0，y0）∈D|x0，y0∈Z，（x0，y0）是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定　6　 条不同的直线．‎ ‎【分析】先根据所给的可行域，利用几何意义求最值，z=x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可，从而得出点集T中元素的个数，即可得出正确答案．‎ ‎【解答】解：画出不等式表示的平面区域，如图．‎ 作出目标函数对应的直线，因为直线z=x+y与直线x+y=4平行，故直线z=x+y过直线x+y=4上的整数点：（4，0），（3，1），（2，2），（1，3）或（0，4）时，直线的纵截距最大，z最大；‎ 当直线过（0，1）时，直线的纵截距最小，z最小，从而点集T={（4，0），（3，1），（2，2），（1，3），（0，4），（0，1）}，经过这六个点的直线一共有6条．‎ 即T中的点共确定6条不同的直线．‎ 故答案为：6．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2013•广东）（坐标系与参数方程选做题）‎ 已知曲线C的参数方程为（t为参数），C在点（1，1）处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为　ρcosθ+ρsinθ﹣2=0（填或也得满分）　．‎ ‎【分析】先求出曲线C的普通方程，再利用直线与圆相切求出切线的方程，最后利用x=ρcosθ，y=ρsinθ代换求得其极坐标方程即可．‎ ‎【解答】解：由（t为参数），两式平方后相加得x2+y2=2，…（4分）‎ ‎∴曲线C是以（0，0）为圆心，半径等于的圆．‎ C在点（1，1）处的切线l的方程为x+y=2，‎ 令x=ρcosθ，y=ρsinθ，‎ 代入x+y=2，并整理得ρcosθ+ρsinθ﹣2=0，即或，‎ 则l的极坐标方程为 ρcosθ+ρsinθ﹣2=0（填或也得满分）． …（10分）‎ 故答案为：ρcosθ+ρsinθ﹣2=0（填或也得满分）．‎ ‎　‎ ‎15．（2013•广东）如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E．若AB=6，ED=2，则BC=　　．‎ ‎【分析】利用AB是圆O的直径，可得∠ACB=90°．即AC⊥BD．又已知BC=CD，可得△ABD是等腰三角形，可得∠D=∠B．再利用弦切角定理可得∠ACE=∠B，得到∠AEC=∠ACB=90°，进而得到△CED∽△ACB，利用相似三角形的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．即AC⊥BD．‎ 又∵BC=CD，∴AB=AD，∴∠D=∠ABC，∠EAC=∠BAC．‎ ‎∵CE与⊙O相切于点C，∴∠ACE=∠ABC．∴∠AEC=∠ACB=90°．‎ ‎∴△CED∽△ACB．‎ ‎∴，又CD=BC，‎ ‎∴．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎16．（12分）（2013•广东）已知函数f（x）=cos（x﹣），x∈R．‎ ‎（Ⅰ）求f（﹣）的值； ‎ ‎（Ⅱ）若cosθ=，θ∈（，2π），求f（2θ+）．‎ ‎【分析】（1）把x=﹣直接代入函数解析式求解．‎ ‎（2）先由同角三角函数的基本关系求出sinθ的值以及sin2θ，然后将x=2θ+代入函数解析式，并利用两角和与差公式求得结果．‎ ‎【解答】解：（1）‎ ‎（2）因为，‎ 所以 所以，‎ 所以=‎ ‎　‎ ‎17．（12分）（2013•广东）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．‎ ‎（1）根据茎叶图计算样本均值；‎ ‎（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？‎ ‎（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．‎ ‎【分析】（1）茎叶图中共同的数字是数字的十位，这是解决本题的突破口，根据所给的茎叶图数据，代入平均数公式求出结果；‎ ‎（2）先由（1）求得的平均数，再利用比例关系即可推断该车间12名工人中有几名优秀工人的人数；‎ ‎（3）设“从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人”为事件A，结合组合数利用概率的计算公式即可求解事件A的概率．‎ ‎【解答】解：（1）样本均值为；‎ ‎（2）抽取的6名工人中有2名为优秀工人，所以12名工人中有4名优秀工人；‎ ‎（3）设“从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人”为事件A，‎ 所以，‎ 即恰有1名优秀工人的概率为．‎ ‎　‎ ‎18．（14分）（2013•广东）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=6，D，E分别是AC，AB上的点，，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱椎A′﹣BCDE，其中A′O=．‎ ‎（1）证明：A′O⊥平面BCDE；‎ ‎（2）求二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值．‎ ‎【分析】（1）连接OD，OE．在等腰直角三角形ABC中，∠B=∠C=45°，，AD=AE=，CO=BO=3．分别在△COD与△OBE中，利用余弦定理可得OD，OE．利用勾股定理的逆定理可证明∠A′OD=∠A′OE=90°，再利用线面垂直的判定定理即可证明；‎ ‎（2）方法一：过点O作OF⊥CD的延长线于F，连接A′F．利用（1）可知：A′O⊥平面BCDE，根据三垂线定理得A′F⊥CD，所以∠A′FO为二面角A′﹣CD﹣B的平面角．在直角△OCF中，求出OF即可；‎ 方法二：取DE中点H，则OH⊥OB．以O为坐标原点，OH、OB、OA′分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OD，OE．‎ 因为在等腰直角三角形ABC中，∠B=∠C=45°，，CO=BO=3．‎ 在△COD中，，同理得．‎ 因为，．‎ 所以A′O2+OD2=A′D2，A′O2+OE2=A′E2．‎ 所以∠A′OD=∠A′OE=90°‎ 所以A′O⊥OD，A′O⊥OE，OD∩OE=O．‎ 所以A′O⊥平面BCDE．‎ ‎（2）方法一：‎ 过点O作OF⊥CD的延长线于F，连接A′F 因为A′O⊥平面BCDE．‎ 根据三垂线定理，有A′F⊥CD．‎ 所以∠A′FO为二面角A′﹣CD﹣B的平面角．‎ 在Rt△COF中，．‎ 在Rt△A′OF中，=．‎ 所以．‎ 所以二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值为．‎ 方法二：‎ 取DE中点H，则OH⊥OB．‎ 以O为坐标原点，OH、OB、OA′分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．‎ 则O（0，0，0），A′（0，0，），C（0，﹣3，0），D（1，﹣2，0）=（0，0，）是平面BCDE的一个法向量．‎ 设平面A′CD的法向量为n=（x，y，z），．‎ 所以，令x=1，则y=﹣1，．‎ 所以是平面A′CD的一个法向量 设二面角A′﹣CD﹣B的平面角为θ，且 所以 所以二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值为 ‎　‎ ‎19．（14分）（2013•广东）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，，n∈N*．‎ ‎（1）求a2的值；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）证明：对一切正整数n，有．‎ ‎【分析】（1）利用已知a1=1，，n∈N*．令n=1即可求出；‎ ‎（2）利用an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2）即可得到nan+1=（n+1）an+n（n+1），可化为，．再利用等差数列的通项公式即可得出；‎ ‎（3）利用（2），通过放缩法（n≥2）即可证明．‎ ‎【解答】解：（1）当n=1时，，解得a2=4‎ ‎（2）①‎ 当n≥2时，②‎ ‎①﹣②得 整理得nan+1=（n+1）an+n（n+1），即，‎ 当n=1时，‎ 所以数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列 所以，即 所以数列{an}的通项公式为，n∈N*‎ ‎（3）因为（n≥2）‎ 所以=．‎ 当n=1，2时，也成立．‎ ‎　‎ ‎20．（14分）（2013•广东）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；‎ ‎（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．‎ ‎【分析】（1）利用焦点到直线l：x﹣y﹣2=0的距离建立关于变量c的方程，即可解得c，从而得出抛物线C的方程；‎ ‎（2）先设，，由（1）得到抛物线C的方程求导数，得到切线PA，PB的斜率，最后利用直线AB的斜率的不同表示形式，即可得出直线AB的方程；‎ ‎（3）根据抛物线的定义，有，，从而表示出|AF|•|BF|，再由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，将它表示成关于y0的二次函数的形式，从而即可求出|AF|•|BF|的最小值．‎ ‎【解答】解：（1）焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离，解得c=1，‎ 所以抛物线C的方程为x2=4y．‎ ‎（2）设，，‎ 由（1）得抛物线C的方程为，，所以切线PA，PB的斜率分别为，，‎ 所以PA：①PB：②‎ 联立①②可得点P的坐标为，即，，‎ 又因为切线PA的斜率为，整理得，‎ 直线AB的斜率，‎ 所以直线AB的方程为，‎ 整理得，即，‎ 因为点P（x0，y0）为直线l：x﹣y﹣2=0上的点，所以x0﹣y0﹣2=0，即y0=x0﹣2，‎ 所以直线AB的方程为x0x﹣2y﹣2y0=0．‎ ‎（3）根据抛物线的定义，有，，‎ 所以=，‎ 由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，‎ 所以=．‎ 所以当时，|AF|•|BF|的最小值为．‎ ‎　‎ ‎21．（14分）（2013•广东）设函数f（x）=（x﹣1）ex﹣kx2（k∈R）．‎ ‎（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）当时，求函数f（x）在[0，k]上的最大值M．‎ ‎【分析】（1）利用导数的运算法则即可得出f′（x），令f′（x）=0，即可得出实数根，通过列表即可得出其单调区间；‎ ‎（2）利用导数的运算法则求出f′（x），令f′（x）=0得出极值点，列出表格得出单调区间，比较区间端点与极值即可得到最大值．‎ ‎【解答】解：（1）当k=1时，f（x）=（x﹣1）ex﹣x2，‎ f'（x）=ex+（x﹣1）ex﹣2x=x（ex﹣2）‎ 令f'（x）=0，解得x1=0，x2=ln2＞0‎ 所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：‎ x ‎（﹣∞，0）‎ ‎0‎ ‎（0，ln2）‎ ln2‎ ‎（ln2，+∞）‎ f'（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，0）和（ln2，+∞），单调减区间为（0，ln2）‎ ‎（2）f（x）=（x﹣1）ex﹣kx2，x∈[0，k]，．‎ f'（x）=xex﹣2kx=x（ex﹣2k），f'（x）=0，解得x1=0，x2=ln（2k）‎ 令φ（k）=k﹣ln（2k），，‎ 所以φ（k）在上是减函数，∴φ（1）≤φ（k）＜φ，∴1﹣ln2≤φ（k）＜＜k．‎ 即0＜ln（2k）＜k 所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：‎ x ‎（0，ln（2k））‎ ln（2k）‎ ‎（ln（2k），k）‎ f'（x）‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ f（0）=﹣1，‎ f（k）﹣f（0）‎ ‎=（k﹣1）ek﹣k3﹣f（0）‎ ‎=（k﹣1）ek﹣k3+1‎ ‎=（k﹣1）ek﹣（k3﹣1）‎ ‎=（k﹣1）ek﹣（k﹣1）（k2+k+1）‎ ‎=（k﹣1）[ek﹣（k2+k+1）]‎ ‎∵，∴k﹣1≤0．‎ 对任意的，y=ek的图象恒在y=k2+k+1下方，所以ek﹣（k2+k+1）≤0‎ 所以f（k）﹣f（0）≥0，即f（k）≥f（0）‎ 所以函数f（x）在[0，k]上的最大值M=f（k）=（k﹣1）ek﹣k3．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：minqi5；wyz123；caoqz；沂蒙松；qiss；lincy；gongjy；wubh2011（排名不分先后）‎ ‎2017年2月3日