2013年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅰ）

2013年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅰ）

‎2013年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）‎ ‎　‎ 一、选择题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．‎ ‎1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={x|x=n2，n∈A}，则A∩B=（　　）‎ A．{1，4} B．{2，3} C．{9，16} D．{1，2}‎ ‎2．（5分）=（　　）‎ A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i ‎3．（5分）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（　　）‎ A．y= B．y= C．y=±x D．y=‎ ‎5．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（　　）‎ A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q ‎6．（5分）设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，则（　　）‎ A．Sn=2an﹣1 B．Sn=3an﹣2 C．Sn=4﹣3an D．Sn=3﹣2an ‎7．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（　　）‎ A．[﹣3，4] B．[﹣5，2] C．[﹣4，3] D．[﹣2，5]‎ ‎8．（5分）O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为（　　）‎ A．2 B．2 C．2 D．4‎ ‎9．（5分）函数f（x）=（1﹣cosx）sinx在[﹣π，π]的图象大致为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．（5分）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（　　）‎ A．10 B．9 C．8 D．5‎ ‎11．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A．16+8π B．8+8π C．16+16π D．8+16π ‎12．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．[﹣2，1] D．[﹣2，0]‎ ‎　‎ 二．填空题：本大题共四小题，每小题5分．‎ ‎13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=　　．‎ ‎14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为　　．‎ ‎15．（5分）已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB=1：2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为　　．‎ ‎16．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=　　．‎ ‎　‎ 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0，S5=﹣5．‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列{}的前n项和．‎ ‎18．（12分）为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：‎ 服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：‎ ‎0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5‎ ‎2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4‎ 服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：‎ ‎3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4‎ ‎1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5‎ ‎（Ⅰ）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？‎ ‎（Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？‎ ‎19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°‎ ‎（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；‎ ‎（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．‎ ‎20．（12分）已知函数f（x）=ex（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4．‎ ‎（Ⅰ）求a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．‎ ‎21．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．‎ ‎（Ⅰ）求C的方程；‎ ‎（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．‎ ‎　‎ 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。‎ ‎22．（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲）‎ 如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．‎ ‎（Ⅰ）证明：DB=DC；‎ ‎（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．‎ ‎23．（选修4﹣4：坐标系与参数方程）‎ 已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．‎ ‎（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）‎ ‎24．（选修4﹣5：不等式选讲）‎ 已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．‎ ‎（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；‎ ‎（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2013年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．‎ ‎1．（5分）（2013•新课标Ⅰ）已知集合A={1，2，3，4}，B={x|x=n2，n∈A}，则A∩B=（　　）‎ A．{1，4} B．{2，3} C．{9，16} D．{1，2}‎ ‎【分析】由集合A中的元素分别平方求出x的值，确定出集合B，找出两集合的公共元素，即可求出交集．‎ ‎【解答】解：根据题意得：x=1，4，9，16，即B={1，4，9，16}，‎ ‎∵A={1，2，3，4}，‎ ‎∴A∩B={1，4}．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2013•新课标Ⅰ）=（　　）‎ A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i ‎【分析】利用分式的分母平方，复数分母实数化，运算求得结果．‎ ‎【解答】解：====﹣1+i．‎ 故选 B．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2013•新课标Ⅰ）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】‎ 本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从4个不同的数中随机的抽2个，共有C42种结果，满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于2的有两种，得到概率．‎ ‎【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，‎ 试验发生包含的事件是从4个不同的数中随机的抽2个，共有C42=6种结果，‎ 满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于2，有2种结果，分别是（1，3），（2，4），‎ ‎∴要求的概率是 =．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2013•新课标Ⅰ）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（　　）‎ A．y= B．y= C．y=±x D．y=‎ ‎【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．‎ ‎【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），‎ 则离心率e===，即4b2=a2，‎ 故渐近线方程为y=±x=x，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2013•新课标Ⅰ）已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（　　）‎ A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q ‎【分析】举反例说明命题p为假命题，则￢p为真命题．引入辅助函数f（x）=x3+x2‎ ‎﹣1，由函数零点的存在性定理得到该函数有零点，从而得到命题q为真命题，由复合命题的真假得到答案．‎ ‎【解答】解：因为x=﹣1时，2﹣1＞3﹣1，所以命题p：∀x∈R，2x＜3x为假命题，则￢p为真命题．‎ 令f（x）=x3+x2﹣1，因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0．所以函数f（x）=x3+x2﹣1在（0，1）上存在零点，‎ 即命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2为真命题．‎ 则￢p∧q为真命题．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2013•新课标Ⅰ）设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，则（　　）‎ A．Sn=2an﹣1 B．Sn=3an﹣2 C．Sn=4﹣3an D．Sn=3﹣2an ‎【分析】由题意可得数列的通项公式，进而可得其求和公式，化简可得要求的关系式．‎ ‎【解答】解：由题意可得an=1×=，‎ ‎∴Sn==3﹣=3﹣2=3﹣2an，‎ 故选D ‎　‎ ‎7．（5分）（2013•新课标Ⅰ）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（　　）‎ A．[﹣3，4] B．[﹣5，2] C．[﹣4，3] D．[﹣2，5]‎ ‎【分析】本题考查的知识点是程序框图，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t＜1我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式．‎ ‎【解答】解：由判断框中的条件为t＜1，可得：‎ 函数分为两段，即t＜1与t≥1，‎ 又由满足条件时函数的解析式为：s=3t；‎ 不满足条件时，即t≥1时，函数的解析式为：s=4t﹣t2‎ 故分段函数的解析式为：s=，‎ 如果输入的t∈[﹣1，3]，画出此分段函数在t∈[﹣1，3]时的图象，‎ 则输出的s属于[﹣3，4]．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2013•新课标Ⅰ）O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为（　　）‎ A．2 B．2 C．2 D．4‎ ‎【分析】根据抛物线方程，算出焦点F坐标为（）．设P（m，n），由抛物线的定义结合|PF|=4，算出m=3，从而得到n=，得到△POF的边OF上的高等于2，最后根据三角形面积公式即可算出△POF的面积．‎ ‎【解答】解：∵抛物线C的方程为y2=4x ‎∴2p=4，可得=，得焦点F（）‎ 设P（m，n）‎ 根据抛物线的定义，得|PF|=m+=4，‎ 即m+=4，解得m=3‎ ‎∵点P在抛物线C上，得n2=4×3=24‎ ‎∴n==‎ ‎∵|OF|=‎ ‎∴△POF的面积为S=|OF|×|n|==2‎ 故选：C ‎　‎ ‎9．（5分）（2013•新课标Ⅰ）函数f（x）=（1﹣cosx）sinx在[﹣π，π]的图象大致为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由函数的奇偶性可排除B，再由x∈（0，π）时，f（x）＞0，可排除A，求导数可得f′（0）=0，可排除D，进而可得答案．‎ ‎【解答】解：由题意可知：f（﹣x）=（1﹣cosx）sin（﹣x）=﹣f（x），‎ 故函数f（x）为奇函数，故可排除B，‎ 又因为当x∈（0，π）时，1﹣cosx＞0，sinx＞0，‎ 故f（x）＞0，可排除A，‎ 又f′（x）=（1﹣cosx）′sinx+（1﹣cosx）（sinx）′‎ ‎=sin2x+cosx﹣cos2x=cosx﹣cos2x，‎ 故可得f′（0）=0，可排除D，‎ 故选C ‎　‎ ‎10．（5分）（2013•新课标Ⅰ）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（　　）‎ A．10 B．9 C．8 D．5‎ ‎【分析】利用二倍角的余弦函数公式化简已知的等式，求出cosA的值，再由a与c的值，利用余弦定理即可求出b的值．‎ ‎【解答】解：∵23cos2A+cos2A=23cos2A+2cos2A﹣1=0，即cos2A=，A为锐角，‎ ‎∴cosA=，‎ 又a=7，c=6，‎ 根据余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即49=b2+36﹣b，‎ 解得：b=5或b=﹣（舍去），‎ 则b=5．‎ 故选D ‎　‎ ‎11．（5分）（2013•新课标Ⅰ）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A．16+8π B．8+8π C．16+16π D．8+16π ‎【分析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，依据三视图的数据，得出组合体长、宽、高，即可求出几何体的体积．‎ ‎【解答】‎ 解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4．‎ ‎∴长方体的体积=4×2×2=16，‎ 半个圆柱的体积=×22×π×4=8π 所以这个几何体的体积是16+8π；‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2013•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．[﹣2，1] D．[﹣2，0]‎ ‎【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由导数求切线斜率可得l的斜率，进而数形结合可得a的范围．‎ ‎【解答】解：由题意可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，‎ 由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y=|f（x）|‎ 在第二象限的部分解析式为y=x2﹣2x，‎ 求其导数可得y′=2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，‎ 故只需直线y=ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]‎ 故选：D ‎　‎ 二．填空题：本大题共四小题，每小题5分．‎ ‎13．（5分）（2013•新课标Ⅰ）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=　2　．‎ ‎【分析】由于•=0，对式子=t+（1﹣t）两边与作数量积可得=0，经过化简即可得出．‎ ‎【解答】解：∵，，∴=0，‎ ‎∴tcos60°+1﹣t=0，∴1=0，解得t=2．‎ 故答案为2．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2013•新课标Ⅰ）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为　3　．‎ ‎【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x﹣y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．‎ ‎【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，‎ 由得A（3，3），‎ z=2x﹣y可转换成y=2x﹣z，z最大时，y值最小，‎ 即：当直线z=2x﹣y过点A（3，3）时，‎ 在y轴上截距最小，此时z取得最大值3．‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）（2013•新课标Ⅰ）已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB=1：2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为　　．‎ ‎【分析】本题考查的知识点是球的表面积公式，设球的半径为R，根据题意知由与球心距离为R的平面截球所得的截面圆的面积是π，我们易求出截面圆的半径为1，根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易求出该球的半径，进而求出球的表面积．‎ ‎【解答】解：设球的半径为R，∵AH：HB=1：2，∴平面α与球心的距离为R，‎ ‎∵α截球O所得截面的面积为π，‎ ‎∴d=R时，r=1，‎ 故由R2=r2+d2得R2=12+（R）2，∴R2=‎ ‎∴球的表面积S=4πR2=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）（2013•新课标Ⅰ）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=　﹣　．‎ ‎【分析】f（x）解析式提取 ‎，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x=θ时，函数f（x）取得最大值，得到sinθ﹣2cosθ=，与sin2θ+cos2θ=1联立即可求出cosθ的值．‎ ‎【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx=（sinx﹣cosx）=sin（x﹣α）（其中cosα=，sinα=），‎ ‎∵x=θ时，函数f（x）取得最大值，‎ ‎∴sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ=，‎ 又sin2θ+cos2θ=1，‎ 联立得（2cosθ+）2+cos2θ=1，解得cosθ=﹣．‎ 故答案为：﹣‎ ‎　‎ 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）（2013•新课标Ⅰ）已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0，S5=﹣5．‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列{}的前n项和．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设出等差数列{an}的首项和公差，直接由S3=0，S5=﹣5列方程组求出，然后代入等差数列的通项公式整理；‎ ‎（Ⅱ）把（Ⅰ）中求出的通项公式，代入数列{}的通项中进行列项整理，则利用裂项相消可求数列{}的前n项和．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的首项为a1，公差为d，则．‎ 由已知可得，即，解得a1=1，d=﹣1，‎ 故{an}的通项公式为an=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）•（﹣1）=2﹣n；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知．‎ 从而数列{}的前n项和 Sn=‎ ‎=．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2013•新课标Ⅰ）为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：‎ 服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：‎ ‎0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5‎ ‎2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4‎ 服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：‎ ‎3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4‎ ‎1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5‎ ‎（Ⅰ）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？‎ ‎（Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用平均数的计算公式即可得出，据此即可判断出结论；‎ ‎（Ⅱ）利用已知数据和茎叶图的结构即可完成．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设A药观测数据的平均数据的平均数为，设B药观测数据的平均数据的平均数为，‎ 则=×（0.6+1.2+2.7+1.5+2.8+1.8+2.2+2.3+3.2+3.5+2.5+2.6+1.2+2.7+1.5+2.9+3.0+3.1+2.3+‎ ‎2.4）=2.3．‎ ‎×（3.2+1.7+1.9+0.8+0.9+2.4+1.2+2.6+1.3+1.4+1.6+0.5+1.8+0.6+2.1+1.1+2.5+1.2+2.7+0.5）=1.6．‎ 由以上计算结果可知：．由此可看出A药的效果更好．‎ ‎（Ⅱ）根据两组数据得到下面茎叶图：‎ 从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在2，3上．而B药疗效的试验结果由的叶集中在0，1上．由此可看出A药的疗效更好．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2013•新课标Ⅰ）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°‎ ‎（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；‎ ‎（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题目给出的边的关系，可想到去AB中点O，连结OC，OA1，可通过证明AB⊥平面OA1C得要证的结论；‎ ‎（Ⅱ）在三角形OCA1中，由勾股定理得到OA1⊥OC，再根据OA1⊥AB，得到OA1为三棱柱ABC﹣A1B1C1‎ 的高，利用已知给出的边的长度，直接利用棱柱体积公式求体积．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：如图，‎ 取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B．‎ 因为CA=CB，所以OC⊥AB．‎ 由于AB=AA1，，故△AA1B为等边三角形，‎ 所以OA1⊥AB．‎ 因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C．‎ 又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C；‎ ‎（Ⅱ）解：由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，‎ 所以．‎ 又，则，故OA1⊥OC．‎ 因为OC∩AB=O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．‎ 又△ABC的面积，故三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2013•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=ex（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4．‎ ‎（Ⅰ）求a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求导函数，利用导数的几何意义及曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4，建立方程，即可求得a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）利用导数的正负，可得f（x）的单调性，从而可求f（x）的极大值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ex（ax+b）﹣x2﹣4x，‎ ‎∴f′（x）=ex（ax+a+b）﹣2x﹣4，‎ ‎∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4‎ ‎∴f（0）=4，f′（0）=4‎ ‎∴b=4，a+b=8‎ ‎∴a=4，b=4；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=4ex（x+1）﹣x2﹣4x，f′（x）=4ex（x+2）﹣2x﹣4=4（x+2）（ex﹣），‎ 令f′（x）=0，得x=﹣ln2或x=﹣2‎ ‎∴x∈（﹣∞，﹣2）或（﹣ln2，+∞）时，f′（x）＞0；x∈（﹣2，﹣ln2）时，f′（x）＜0‎ ‎∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣2），（﹣ln2，+∞），单调减区间是（﹣2，﹣ln2）‎ 当x=﹣2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（﹣2）=4（1﹣e﹣2）．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2013•新课标Ⅰ）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．‎ ‎（Ⅰ）求C的方程；‎ ‎（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．‎ ‎【分析】（I）设动圆的半径为R，由已知动圆P与圆M外切并与圆N内切，可得|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；‎ ‎（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤4﹣2=2，所以R ‎≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．分①l的倾斜角为90°，此时l与y轴重合，可得|AB|．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，根据，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出．‎ ‎【解答】解：（I）由圆M：（x+1）2+y2=1，可知圆心M（﹣1，0）；圆N：（x﹣1）2+y2=9，圆心N（1，0），半径3．‎ 设动圆的半径为R，‎ ‎∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，‎ 而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，‎ ‎∴a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3．‎ ‎∴曲线C的方程为（x≠﹣2）．‎ ‎（II）设曲线C上任意一点P（x，y），‎ 由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤3﹣1=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．‎ ‎①l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|=．‎ ‎②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，‎ 设l与x轴的交点为Q，则，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），‎ 由l于M相切可得：，解得．‎ 当时，联立，得到7x2+8x﹣8=0．‎ ‎∴，．‎ ‎∴|AB|===‎ 由于对称性可知：当时，也有|AB|=．‎ 综上可知：|AB|=或．‎ ‎　‎ 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。‎ ‎22．（10分）（2013•新课标Ⅰ）（选修4﹣1：几何证明选讲）‎ 如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．‎ ‎（Ⅰ）证明：DB=DC；‎ ‎（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．‎ ‎【分析】（I）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE为⊙O的直径，Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB．‎ ‎（II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=．设DE的中点为O，连接BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而得到Rt△BCF的外接圆的半径=．‎ ‎【解答】（I）证明：连接DE交BC于点G．‎ 由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE，‎ ‎∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．‎ 又∵DB⊥BE，∴DE为⊙O的直径，∠DCE=90°．‎ ‎∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．‎ ‎（II）由（I）可知：∠CDE=∠BDE，DB=DC．‎ 故DG是BC的垂直平分线，∴BG=．‎ 设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG=60°．‎ 从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．‎ ‎∴CF⊥BF．‎ ‎∴Rt△BCF的外接圆的半径=．‎ ‎　‎ ‎23．（2013•新课标Ⅰ）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）‎ 已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．‎ ‎（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）‎ ‎【分析】（Ⅰ）对于曲线C1利用三角函数的平方关系式sin2t+cos2t=1即可得到圆C1的普通方程；再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到C1的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）先求出曲线C2的极坐标方程；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，最后再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可求出C1与C2交点的极坐标．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程式（t为参数），‎ 得（x﹣4）2+（y﹣5）2=25即为圆C1的普通方程，‎ 即x2+y2﹣8x﹣10y+16=0．‎ 将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式，得．‎ ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0，此即为C1的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ化为直角坐标方程为：x2+y2﹣2y=0，‎ 由，解得或．‎ ‎∴C1与C2交点的极坐标分别为（，），（2，）．‎ ‎　‎ ‎24．（2013•新课标Ⅰ）（选修4﹣5：不等式选讲）‎ 已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．‎ ‎（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；‎ ‎（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．‎ ‎【分析】（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，画出函数y的图象，数形结合可得结论．‎ ‎（Ⅱ）不等式化即 1+a≤x+3，故 x≥a﹣2对都成立．故﹣≥a﹣2，由此解得a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．‎ 设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，则 y=，它的图象如图所示：‎ 结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．‎ ‎（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）=1+a，不等式化为 1+a≤x+3，故 x≥a﹣2对都成立．‎ 故﹣≥a﹣2，解得 a≤，故a的取值范围为（﹣1，]．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：sllwyn；qiss；minqi5；szjzl；sxs123；lincy；ywg2058；沂蒙松；刘长柏；王嵩林（排名不分先后）‎ ‎2017年2月3日