全国统一高考数学试卷理科全国卷Ⅱ及答案分析解答

全国统一高考数学试卷理科全国卷Ⅱ及答案分析解答

‎2007年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）‎ ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．（5分）求值sin210°=（　　）‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ ‎2．（5分）函数y=|sinx|的一个单调增区间是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．（5分）设复数z满足=i，则z=（　　）‎ A．﹣2+i B．﹣2﹣i C．2﹣i D．2+i ‎4．（5分）以下四个数中的最大者是（　　）‎ A．（ln2）2 B．ln（ln2） C．ln D．ln2‎ ‎5．（5分）在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则λ=（　　）‎ A． B． C．﹣ D．﹣‎ ‎6．（5分）不等式的解集是（　　）‎ A．（2，+∞） B．（﹣2，1）∪（2，+∞） C．（﹣2，1） D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）‎ ‎7．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．（5分）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（　　）‎ A．3 B．2 C．1 D．‎ ‎9．（5分）把函数y=ex的图象按向量 ‎=（2，3）平移，得到y=f（x）的图象，则f（x）=（　　）‎ A．ex﹣3+2 B．ex+3﹣2 C．ex﹣2+3 D．ex+2﹣3‎ ‎10．（5分）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（　　）‎ A．40种 B．60种 C．100种 D．120种 ‎11．（5分）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．（5分）设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若++=，则的值为（　　）‎ A．3 B．4 C．6 D．9‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．（5分）（1+2x2）（x﹣）8的展开式中常数项为 　　．‎ ‎14．（5分）在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，2），若ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，2）内取值的概率为　　．‎ ‎15．（5分）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为　　cm2．‎ ‎16．（5分）已知数列的通项an=﹣5n+2，其前n项和为Sn，则=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分70分）‎ ‎17．（10分）在△ABC中，已知内角A=，边BC=2，设内角B=x，周长为y ‎（1）求函数y=f（x）的解析式和定义域；‎ ‎（2）求y的最大值．‎ ‎18．（12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P（A）=0.96．‎ ‎（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；‎ ‎（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率P（B）．‎ ‎19．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点 ‎（1）求证：EF∥平面SAD ‎（2）设SD=2CD，求二面角A﹣EF﹣D的大小．‎ ‎20．（12分）在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线：x﹣y=4相切 ‎（1）求圆O的方程 ‎（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围．‎ ‎21．（12分）设数列{an}的首项a1∈（0，1），an=，n=2，3，4…‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）设，求证bn＜bn+1，其中n为正整数．‎ ‎22．（12分）已知函数f（x）=x3﹣x ‎（1）求曲线y=f（x）在点M（t，f（t））处的切线方程 ‎（2）设a＞0，如果过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，证明：﹣a＜b＜f（a）‎ ‎2007年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）求值sin210°=（　　）‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ ‎【分析】通过诱导公式得sin 210°=﹣sin（210°﹣180°）=﹣sin30°得出答案．‎ ‎【解答】解：∵sin 210°=﹣sin（210°﹣180°）=﹣sin30°=﹣‎ 故答案为D ‎　‎ ‎2．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）函数y=|sinx|的一个单调增区间是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】画出y=|sinx|的图象即可得到答案．‎ ‎【解答】解：根据y=|sinx|的图象，如图，‎ 函数y=|sinx|的一个单调增区间是，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）设复数z满足=i，则z=（　　）‎ A．﹣2+i B．﹣2﹣i C．2﹣i D．2+i ‎【分析】将复数z设a+bi，（a，b∈‎ R），代入复数方程，利用复数相等的条件解出复数z．‎ ‎【解答】解：设复数z=a+bi，（a，b∈R）满足=i，∴1+2i=ai﹣b，，∴z=2﹣i，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）以下四个数中的最大者是（　　）‎ A．（ln2）2 B．ln（ln2） C．ln D．ln2‎ ‎【分析】根据lnx是以e＞1为底的单调递增的对数函数，且e＞2，可知0＜ln2＜1，ln（ln2）＜0，故可得答案．‎ ‎【解答】解：∵0＜ln2＜1，∴ln（ln2）＜0，（ln2）2＜ln2，而ln=ln2＜ln2，‎ ‎∴最大的数是ln2，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则λ=（　　）‎ A． B． C．﹣ D．﹣‎ ‎【分析】本题要求字母系数，办法是把表示出来，表示时所用的基底要和题目中所给的一致，即用和表示，画图观察，从要求向量的起点出发，沿着三角形的边走到终点，把求出的结果和给的条件比较，写出λ．‎ ‎【解答】解：在△ABC中，已知D是AB边上一点 ‎∵=2，=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴λ=，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）不等式的解集是（　　）‎ A．（2，+∞） B．（﹣2，1）∪（2，+∞） C．（﹣2，1） D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）‎ ‎【分析】首先不等式的分母可化为（x+2）（x﹣2），不等式的分子和分母共由3个一次因式构成．要使得原不等式大于0，可等同于3个因式的乘积大于0，再可根据串线法直接求解．‎ ‎【解答】解：依题意，原不等式可化为 等同于（x+2）（x﹣1）（x﹣2）＞0，‎ 可根据串线法直接解得﹣2＜x＜1或x＞2，‎ 故答案应选B．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据正三棱柱及线面角的定义知，取A1C1的中点D1，∠B1AD1是所求的角，再由已知求出正弦值．‎ ‎【解答】解：取A1C1的中点D1，连接B1D1，AD1，‎ 在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1D1⊥面ACC1A1，‎ 则∠B1AD1是AB1与侧面ACC1A1所成的角，‎ ‎∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，‎ ‎∴，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（　　）‎ A．3 B．2 C．1 D．‎ ‎【分析】根据斜率，对已知函数求导，解出横坐标，要注意自变量的取值区间．‎ ‎【解答】解：设切点的横坐标为（x0，y0）‎ ‎∵曲线的一条切线的斜率为，‎ ‎∴y′=﹣=，解得x0=3或x0=﹣2（舍去，不符合题意），即切点的横坐标为3‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）把函数y=ex的图象按向量=（2，3）平移，得到y=f（x）的图象，则f（x）=（　　）‎ A．ex﹣3+2 B．ex+3﹣2 C．ex﹣2+3 D．ex+2﹣3‎ ‎【分析】平移向量=（h，k）就是将函数的图象向右平移h个单位，再向上平移k个单位．‎ ‎【解答】解：把函数y=ex的图象按向量=（2，3）平移，‎ 即向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后得到y=f（x）的图象，‎ ‎∴f（x）=ex﹣2+3，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2009•湖北）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（　　）‎ A．40种 B．60种 C．100种 D．120种 ‎【分析】‎ 分2步进行，首先从5人中抽出两人在星期五参加活动，再从剩下的3人中，抽取两人安排在星期六、星期日参加活动，分别计算其情况数目，由分步计数原理计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，首先从5人中抽出两人在星期五参加活动，有C52种情况，‎ 再从剩下的3人中，抽取两人安排在星期六、星期日参加活动，有A32种情况，‎ 则由分步计数原理，可得不同的选派方法共有C52A32=60种，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由题设条件设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中2a=|AF1|﹣|AF2|=2，，由此可以求出双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．‎ 若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，‎ 设|AF2|=t，|AF1|=3t，（t＞0）‎ 双曲线中2a=|AF1|﹣|AF2|=2t，t，‎ ‎∴离心率，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若++=，则的值为（　　）‎ A．3 B．4 C．6 D．9‎ ‎【分析】先设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，再依据=0，判断点F是△‎ ABC重心，进而可求x1+x2+x3的值．最后根据抛物线的定义求得答案．‎ ‎【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）‎ 抛物线焦点坐标F（1，0），准线方程：x=﹣1‎ ‎∵=，‎ ‎∴点F是△ABC重心 则x1+x2+x3=3‎ y1+y2+y3=0‎ 而|FA|=x1﹣（﹣1）=x1+1‎ ‎|FB|=x2﹣（﹣1）=x2+1‎ ‎|FC|=x3﹣（﹣1）=x3+1‎ ‎∴|FA|+|FB|+|FC|=x1+1+x2+1+x3+1=（x1+x2+x3）+3=3+3=6‎ 故选C ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）（1+2x2）（x﹣）8的展开式中常数项为 　﹣42　．‎ ‎【分析】将问题转化成的常数项及含x﹣2的项，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0，﹣2求出常数项及含x﹣2的项，进而相加可得答案．‎ ‎【解答】解：先求的展开式中常数项以及含x﹣2的项；‎ 由8﹣2r=0得r=4，由8﹣2r=﹣2得r=5；‎ 即的展开式中常数项为C84，‎ 含x﹣2的项为C85（﹣1）5x﹣2‎ ‎∴的展开式中常数项为C84﹣2C85=﹣42‎ 故答案为﹣42‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，2），若ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，2）内取值的概率为　0.8　．‎ ‎【分析】根据ξ服从正态分布N（1，s2），得到正态分布图象的对称轴为x=1，根据在（0，1）内取值的概率为0.4，根据根据随机变量ξ在（1，2）内取值的概率与ξ在（0，1）内取值的概率相同，得到随机变量ξ在（0，2）内取值的概率．‎ ‎【解答】解：∵测量结果ξ服从正态分布N（1，s2），‎ ‎∴正态分布图象的对称轴为x=1，x 在（0，1）内取值的概率为0.4，‎ ‎∴随机变量ξ在（1，2）内取值的概率与ξ在（0，1）内取值的概率相同，也为0.4，‎ ‎∴随机变量ξ在（0，2）内取值的概率为0.8．‎ 故答案为：0.8‎ ‎　‎ ‎15．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为　2+4　cm2．‎ ‎【分析】本题考查的知识点是棱柱的体积与表面积计算，由一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，我们根据球的直径等于棱柱的对角线长，我们可以求出棱柱的各棱的长度，进而得到其表面积．‎ ‎【解答】解：由一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．‎ 正四棱柱的对角线的长为球的直径，‎ 现正四棱柱底面边长为1cm，‎ 设正四棱柱的高为h，‎ ‎∴2R=2=，‎ 解得h=，‎ 那么该棱柱的表面积为2+4cm2．‎ 故答案为：2+4‎ ‎　‎ ‎16．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）已知数列的通项an=﹣5n+2，其前n项和为Sn，则=　　．‎ ‎【分析】由通项公式知该数列是等差数列，先求出首项和公差，然后求出其前n项和，由此能得到的值．‎ ‎【解答】解：∵数列的通项an=﹣5n+2，‎ ‎∴a1=﹣3，a2=﹣8，d=﹣5．‎ ‎∴其前n项和为Sn，‎ 则=﹣．‎ 故答案为：﹣．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分70分）‎ ‎17．（10分）（2007•全国卷Ⅱ）在△ABC中，已知内角A=，边BC=2，设内角B=x，周长为y ‎（1）求函数y=f（x）的解析式和定义域；‎ ‎（2）求y的最大值．‎ ‎【分析】（1）由内角A=，边BC=2，设内角B=x，周长为y，我们结合三角形的性质，△ABC的内角和A+B+C=π，△ABC的周长y=AB+BC+AC，我们可以结合正弦定理求出函数的解析式，及自变量的取值范围．‎ ‎（2）要求三角函数的最值，我们要利用辅助角公式，将函数的解析式，化为正弦型函数的形式，再根据正弦型函数的最值的求法进行求解．‎ ‎【解答】解：（1）△ABC的内角和A+B+C=π，‎ 由得 ‎．‎ 应用正弦定理，知 ‎，‎ ‎．‎ 因为y=AB+BC+AC，‎ 所以，‎ ‎（2）∵‎ ‎=，‎ 所以，当，‎ 即时，‎ y取得最大值．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2007•全国卷Ⅱ）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P（A）=0.96．‎ ‎（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；‎ ‎（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率P（B）．‎ ‎【分析】（1）有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，取出的2件产品中至多有1件是二等品包括无二等品和恰有一件是二等品两种情况，设出概率，列出等式，解出结果．‎ ‎（2）由上面可以知道其中二等品有100×0.2=20件取出的2件产品中至少有一件二等品的对立事件是没有二等品，用组合数列出结果．‎ ‎【解答】解：（1）记A0表示事件“取出的2件产品中无二等品”，A1‎ 表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．‎ 则A0，A1互斥，且A=A0+A1，故P（A）=P（A0+A1）‎ ‎=P（A0）+P（A1）‎ ‎=（1﹣p）2+C21p（1﹣p）‎ ‎=1﹣p2‎ 于是0.96=1﹣p2．‎ 解得p1=0.2，p2=﹣0.2（舍去）．‎ ‎（2）记B0表示事件“取出的2件产品中无二等品”，‎ 则．‎ 若该批产品共100件，由（1）知其中二等品有100×0.2=20件，故．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2007•全国卷Ⅱ）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点 ‎（1）求证：EF∥平面SAD ‎（2）设SD=2CD，求二面角A﹣EF﹣D的大小．‎ ‎【分析】法一：（1）作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点．‎ 要证EF∥平面SAD，只需证明EF平行平面SAD内的直线AG即可．‎ ‎（2）取AG中点H，连接DH，说明∠DMH为二面角A﹣EF﹣D的平面角，解三角形求二面角A﹣EF﹣D的大小．‎ 法二：建立空间直角坐标系，平面SAD即可证明（1）；‎ ‎（2）求出向量和，利用，即可解答本题．‎ ‎【解答】解：法一：‎ ‎（1）作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点．‎ 连接，又，‎ 故为平行四边形．EF∥AG，又AG⊂平面SAD，EF⊄平面SAD．‎ 所以EF∥平面SAD．‎ ‎（2）不妨设DC=2，则SD=4，DG=2，△ADG为等 腰直角三角形．‎ 取AG中点H，连接DH，则DH⊥AG．‎ 又AB⊥平面SAD，所以AB⊥DH，而AB∩AG=A，‎ 所以DH⊥面AEF．‎ 取EF中点M，连接MH，则HM⊥EF．‎ 连接DM，则DM⊥EF．‎ 故∠DMH为二面角A﹣EF﹣D的平面角．‎ 所以二面角A﹣EF﹣D的大小为．‎ 法二：（1）如图，建立空间直角坐标系D﹣xyz．‎ 设A（a，0，0），S（0，0，b），则B（a，a，0），C（0，a，0），，．‎ 取SD的中点，则．平面SAD，EF⊄平面SAD，‎ 所以EF∥平面SAD．‎ ‎（2）不妨设A（1，0，0），则B（1，1，0），C（0，1，0），S（0，0，2），，．EF中点，，，‎ 又，，‎ 所以向量和的夹角等于二面角A﹣EF﹣D的平面角．．‎ 所以二面角A﹣EF﹣D的大小为．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2007•全国卷Ⅱ）在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线：x﹣y=4相切 ‎（1）求圆O的方程 ‎（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围．‎ ‎【分析】首先分析到题目（1）中圆是圆心在原点的标准方程，由切线可直接求得半径，即得到圆的方程．对于（2）根据圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，列出方程，再根据点P在圆内求出取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线的距离，‎ 即．‎ 得圆O的方程为x2+y2=4．‎ ‎（2）不妨设A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2．由x2=4即得A（﹣2，0），B（2，0）．‎ 设P（x，y），‎ 由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，得，‎ 两边平方，可得（x2+y2+4）2﹣16x2=（x2+y2）2，‎ 化简整理可得，x2﹣y2=2．‎ ‎=x2﹣4+y2=2（y2﹣1）．‎ 由于点P在圆O内，故 由此得y2＜1．‎ 所以的取值范围为[﹣2，0）．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2007•全国卷Ⅱ）设数列{an}的首项a1∈（0，1），an=，n=2，3，4…‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）设，求证bn＜bn+1，其中n为正整数．‎ ‎【分析】（1）由题条件知，所以{1﹣an}是首项为1﹣a1，公比为的等比数列，由此可知 ‎（2）方法一：由题设条件知，故bn＞0．那么，bn+12﹣bn2=an+12（3﹣2an+1）﹣an2（3﹣2an）=由此可知bn＜bn+1，n为正整数．‎ 方法二：由题设条件知，所以．由此可知bn＜bn+1，n为正整数．‎ ‎【解答】解：（1）由，‎ 整理得．‎ 又1﹣a1≠0，所以{1﹣an}是首项为1﹣a1，公比为的等比数列，得 ‎（2）方法一：‎ 由（1）可知，故bn＞0．‎ 那么，bn+12﹣bn2‎ ‎=an+12（3﹣2an+1）﹣an2（3﹣2an）‎ ‎=‎ ‎=‎ 又由（1）知an＞0且an≠1，故bn+12﹣bn2＞0，‎ 因此bn＜bn+1，n为正整数．‎ 方法二：‎ 由（1）可知，‎ 因为，‎ 所以．‎ 由an≠1可得，‎ 即 两边开平方得．‎ 即bn＜bn+1，n为正整数．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2007•全国卷Ⅱ）已知函数f（x）=x3﹣x ‎（1）求曲线y=f（x）在点M（t，f（t））处的切线方程 ‎（2）设a＞0，如果过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，证明：﹣a＜b＜f（a）‎ ‎【分析】（1）求出f′（x），根据切点为M（t，f（t）），得到切线的斜率为f'（t），所以根据斜率和M点坐标写出切线方程即可；‎ ‎（2）设切线过点（a，b），则存在t使b=（3t2﹣1）a﹣2t3，于是过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线即为方程2t3﹣3at2+a+b=0有三个相异的实数根．记g（t）=2t3﹣3at2+a+b，求出其导函数=0时t的值，利用t的值分区间讨论导函数的正负得到g（t）的单调区间，利用g（t）的增减性得到g（t）的极值，根据极值分区间考虑方程g（t）=0有三个相异的实数根，得到极大值大于0，极小值小于0列出不等式，求出解集即可得证．‎ ‎【解答】解：（1）求函数f（x）的导函数；f'（x）=3x2﹣1．‎ 曲线y=f（x）在点M（t，f（t））处的切线方程为：y﹣f（t）=f'（t）（x﹣t），即y=（3t2﹣1）x﹣2t3；‎ ‎（2）如果有一条切线过点（a，b），则存在t，使b=（3t2﹣1）a﹣2t3．‎ 于是，若过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，则方程2t3﹣3at2+a+b=0有三个相异的实数根．‎ 记g（t）=2t3﹣3at2+a+b，则g'（t）=6t2﹣6at=6t（t﹣a）．‎ 当t变化时，g（t），g'（t）变化情况如下表：‎ t ‎（﹣∞，0）‎ ‎0‎ ‎（0，a）‎ a ‎（a，+∞）‎ g′（t）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ g（t）‎ 极大值a+b 极小值b﹣f（a）‎ 由g（t）的单调性，当极大值a+b＜0或极小值b﹣f（a）＞0时，方程g（t）=0最多有一个实数根；‎ 当a+b=0时，解方程g（t）=0得，即方程g（t）=0只有两个相异的实数根；‎ 当b﹣f（a）=0时，解方程g（t）=0得，即方程g（t）=0只有两个相异的实数根．‎ 综上，如果过（a，b）可作曲线y=f（x）三条切线，即g（t）=0有三个相异的实数根，则 即﹣a＜b＜f（a）．‎