2020高考数学二轮复习练习：第二部分 专题一 第1讲 三角函数的图象与性质 练典型习题 提数学素养含解析
一、选择题
1．(2019·高考全国卷Ⅱ)若 x1＝π
4
，x2＝3π
4
是函数 f(x)＝sin ωx(ω＞0)两个相邻的极值点，则
ω＝( )
A．2 B．3
2
C．1 D．1
2
解析：选 A.依题意得函数 f(x)的最小正周期 T＝2π
ω
＝2×(3π
4
－π
4)＝π，解得ω＝2，选 A.
2．(2019·昆明市诊断测试)函数 y＝sin 2x－π
3 图象的一条对称轴的方程为( )
A．x＝ π
12 B．x＝π
6
C．x＝π
3 D．x＝5π
12
解析：选 D.由题意，令 2x－π
3
＝π
2
＋kπ(k∈Z)，得对称轴方程为 x＝5π
12
＋kπ
2 (k∈Z)，当 k＝0
时，函数 y＝sin 2x－π
3 图象的一条对称轴的方程为 x＝5π
12.故选 D.
3．(2019·广东省七校联考)函数 f(x)＝tan
x
2
－π
6 的单调递增区间是( )
A．2kπ－2π
3
，2kπ＋4π
3 ，k∈Z
B．2kπ－2π
3
，2kπ＋4π
3 ，k∈Z
C．4kπ－2π
3
，4kπ＋4π
3 ，k∈Z
D. 4kπ－2π
3
，4kπ＋4π
3 ，k∈Z
解析：选 B.由－π
2
＋kπ
0，|φ|<π
2)的部分图象如图所示，
点 A(0， 3)，B
π
6
，0 ，则函数 f(x)图象的一条对称轴为( )
A．x＝－π
3 B．x＝－ π
12
C．x＝ π
18 D．x＝ π
24
解析：选 D.因为函数 f(x)＝2cos(ωx＋φ)的图象过点 A(0， 3)，所以 2cos φ＝ 3，即 cos φ
＝ 3
2
，所以φ＝2kπ±π
6(k∈Z)．因为|φ|<π
2
，所以φ＝±π
6
，由函数 f(x)的图象知φ
ω<0，又ω>0，所
以φ<0，所以φ＝－π
6
，所以 f(x)＝2cos(ωx－π
6)．因为 f(x)＝2cos(ωx－π
6)的图象过点 B
π
6
，0 ，所
以 cos（ω－1）π
6
＝0，所以（ω－1）π
6
＝mπ＋π
2(m∈Z)，所以ω＝6m＋4(m∈Z)．因为ω>0，π
ω>π
6
，
所以 0<ω<6，所以ω＝4，所以 f(x)＝2cos 4x－π
6 .因为 x＝ π
24
时，f(x)＝2，所以 x＝ π
24
为函数 f(x)
图象的一条对称轴，故选 D.
6．(2019·福州市质量检测)已知函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π
2)图象的相邻两条对称轴
之间的距离为π
2
，将函数 f(x)的图象向左平移π
3
个单位长度后，得到函数 g(x)的图象．若函数 g(x)
为偶函数，则函数 f(x)在区间 0，π
2 上的值域是( )
A． －1
2
，1 B．(－1，1)
C．(0，2] D．(－1，2]
解析：选 D.由 f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π
2
，得 T＝π，又ω>0，所以2π
ω
＝π，
解得ω＝2.将函数 f(x)的图象向左平移π
3
个单位长度后，得到函数 g(x)＝2sin 2x＋2π
3
＋φ 的图
象．因为函数 g(x)为偶函数，所以2π
3
＋φ＝kπ＋π
2
，k∈Z，由|φ|<π
2
，解得φ＝－π
6
，所以 f(x)＝
2sin 2x－π
6 .
因为 0f
π
2 ，
则 f(x)取最大值时 x 的值为( )
A．π
3
＋kπ，k∈Z B．π
4
＋kπ，k∈Z
C．π
6
＋kπ，k∈Z D．－π
6
＋kπ，k∈Z
解析：选 C.由 f
π
3
－x ＝f(x)得 f(x)的图象关于直线 x＝π
6
对称，即当 x＝π
6
时，f(x)取得最值，
所以 2×π
6
＋φ＝nπ＋π
2
，n∈Z，φ＝nπ＋π
6
，n∈Z.又 f(π)>f
π
2 ，所以 sin(2π＋φ)>sin(π＋φ)，即
sin φ>－sin φ，得 sin φ>0，所以 n∈Z，且 n 为偶数．不妨取 n＝0，即φ＝π
6
，当 f(x)取最大值
时，2x＋π
6
＝2kπ＋π
2
，k∈Z，解得 x＝π
6
＋kπ，k∈Z，故选 C.
10．(2019·广东六校第一次联考)已知 A 是函数 f(x)＝sin 2 018x＋π
6 ＋cos 2 018x－π
3 的最
大值，若存在实数 x1，x2 使得对任意实数 x，总有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则 A|x1－x2|的最小值
为( )
A． π
2 018 B． π
1 009
C． 2π
1 009 D． π
4 036
解析：选 B.f(x)＝sin 2 018x＋π
6 ＋cos 2 018x－π
3 ＝ 3
2 sin 2 018x＋1
2cos 2 018x＋1
2cos 2 018x
＋ 3
2 sin 2 018x＝ 3sin 2 018x＋cos 2 018x＝2sin 2 018x＋π
6 ，故 A＝f(x)max＝2，f(x)的最小正周
期 T＝ 2π
2 018
＝ π
1 009.又存在实数 x1，x2 使得对任意实数 x，总有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，所以 f(x2)
＝f(x)max，f(x1)＝f(x)min，故 A|x1－x2|的最小值为 A×1
2T＝ π
1 009
，故选 B.
11．(多选)已知函数 f(x)＝sin4x－cos4x，则下列说法正确的是( )
A．f(x)的最小正周期为π
B．f(x)的最大值为 2
C．f(x)的图象关于 y 轴对称
D．f(x)在区间
π
4
，π
2 上单调递增
解析：选 ACD.因为 f(x)＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos 2x，所以函数 f(x)的最小正周
期 T＝π，f(x)的最大值为 1.
因为 f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos 2x＝f(x)，所以 f(x)为偶函数，其图象关于 y 轴对称，因
为 y＝cos 2x 在
π
4
，π
2 上单调递减，所以 f(x)＝－cos 2x 在
π
4
，π
2 上单调递增，故选 ACD.
12．(多选)已知函数 f(x)＝2sin(2x＋φ)(0<φ<π)，若将函数 f(x)的图象向右平移π
6
个单位长度
后，所得图象关于 y 轴对称，则下列结论中正确的是( )
A．φ＝5π
6
B.
π
12
，0 是 f(x)图象的一个对称中心
C．f(φ)＝－2
D．x＝－π
6
是 f(x)图象的一条对称轴
解析：选 ABD.由题意得，平移后的函数 g(x)＝f x－π
6 ＝2sin 2x－π
3
＋φ 的图象关于 y 轴
对称，则－π
3
＋φ＝π
2
＋kπ，k∈Z，因为 0<φ<π，所以φ＝5π
6
，故 A 正确；f(x)＝2sin 2x＋5π
6 ，
由 2x＋5π
6
＝kπ，k∈Z，得对称中心的横坐标为－5π
12
＋kπ
2
，k∈Z，故
π
12
，0 是 f(x)图象的一个
对称中心，故 B 正确；f(φ)＝2sin
5π
3
＋5π
6 ＝2sin 5π
2
＝2，故 C 不正确；由 2x＋5π
6
＝π
2
＋kπ，k
∈Z，得 x＝－π
6
＋kπ
2
，k∈Z，所以 x＝－π
6
是 f(x)图象的一条对称轴，故 D 正确．
13．(多选)将函数 f(x)的图象向右平移π
6
个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐
标缩短到原来的2
3
，得到函数 g(x)＝Asin(ωx＋φ) A>0，ω>0，|φ|<π
2 的图象．已知函数 g(x)的部
分图象如图所示，则下列关于函数 f(x)的说法正确的是( )
A．f(x)的最小正周期为π，最大值为 2
B．f(x)的图象关于点
π
6
，0 中心对称
C．f(x)的图象关于直线 x＝π
6
对称
D．f(x)在区间
π
6
，π
3 上单调递减
解析：选 ACD.由图可知，A＝2，T＝4×
2π
9
－ π
18 ＝2π
3
，所以ω＝2π
T
＝3.
又由 g
2π
9 ＝2 可得φ＝－π
6
＋2kπ(k∈Z)，且|φ|<π
2
，所以φ＝－π
6.
所以 g(x)＝2sin 3x－π
6 ，
所以 f(x)＝2sin 2x＋π
6 .
所以 f(x)的最小正周期为π，最大值为 2，选项 A 正确．
对于选项 B，令 2x＋π
6
＝k′π(k′∈Z)，得 x＝k′π
2
－ π
12(k′∈Z)，所以函数 f(x)图象的对称中心
为
k′π
2
－ π
12
，0 (k′∈Z)，由k′π
2
－ π
12
＝π
6
，
得 k′＝1
2
，不符合 k′∈Z，B 错误．
对于选项 C，令 2x＋π
6
＝π
2
＋kπ(k∈Z)，得 x＝π
6
＋kπ
2 (k∈Z)，所以函数 f(x)图象的对称轴为
直线 x＝π
6
＋kπ
2 (k∈Z)，当 k＝0 时，x＝π
6
，故 C 正确．
当 x∈[π
6
，π
3]时，2x＋π
6
∈
π
2
，5π
6 ，所以 f(x)在区间
π
6
，π
3 上单调递减，所以选项 D 正确．故
选 ACD.
二、填空题
14．已知函数 f(x)＝4cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)为奇函数，A(a，0)，B(b，0)是其图象上两
点，若|a－b|的最小值是 1，则 f
1
6 ＝________．
解析：因为函数 f(x)＝4cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)为奇函数，所以 cos φ＝0(0<φ<π)，所以φ
＝π
2
，所以 f(x)＝－4sin ωx，又 A(a，0)，B(b，0)是其图象上两点，且|a－b|的最小值是 1，所
以函数 f(x)的最小正周期为 2，所以ω＝π，所以 f(x)＝－4sin πx，所以 f
1
6 ＝－4sin π
6
＝－2.
答案：－2
15．(2019·长春市质量监测(二))定义在[0，π]上的函数 y＝sin ωx－π
6 (ω>0)有零点，且值
域 M⊆ －1
2
，＋∞ ，则ω的取值范围是________．
解析：由 0≤x≤π，得－π
6
≤ωx－π
6
≤ωπ－π
6
，当 x＝0 时，y＝－1
2.因为函数 y＝sin ωx－π
6
在[0，π]上有零点，所以 0≤ωπ－π
6
，ω≥1
6.因为值域 M⊆ －1
2
，＋∞ ，所以ωπ－π
6
≤π＋π
6
，ω
≤4
3
，从而1
6
≤ω≤4
3.
答案：
1
6
，4
3
16．(2019·蓉城名校第一次联考)已知关于 x 的方程 2sin2x－ 3sin 2x＋m－1＝0 在
π
2
，π 上
有两个不同的实数根，则 m 的取值范围是________．
解析：因为 2sin2x－ 3sin 2x＋m－1＝0，
所以 1－cos 2x－ 3sin 2x＋m－1＝0，
所以 cos 2x＋ 3sin 2x－m＝0，
所以 2sin 2x＋π
6 ＝m，即 sin 2x＋π
6 ＝m
2.
方程 2sin2x－ 3sin 2x＋m－1＝0 在
π
2
，π 上有两个不同的实数根，即 y＝sin 2x＋π
6 ，x∈
π
2
，π 的图象与 y＝m
2
的图象有 2 个不同的交点．作出 y＝sin 2x＋π
6 ，x∈
π
2
，π 及 y＝m
2
的图
象如图所示，则－10，x∈R，且 f(α)＝－1
2
，
f(β)＝1
2.若|α－β|的最小值为3π
4
，则 f
3π
4 ＝________，函数 f(x)的单调递增区间为________．
解析：函数 f(x)＝sin ωx－π
6 ＋1
2
，ω>0，x∈R，由 f(α)＝－1
2
，f(β)＝1
2
，且|α－β|的最小值
为3π
4
，得T
4
＝3π
4
，即 T＝3π＝2π
ω
，所以ω＝2
3.所以 f(x)＝sin
2
3x－π
6 ＋1
2.则 f
3π
4 ＝sin π
3
＋1
2
＝ 3＋1
2 .
由－π
2
＋2kπ≤2
3x－π
6
≤π
2
＋2kπ，k∈Z，得－π
2
＋3kπ≤x≤π＋3kπ，k∈Z，即函数 f(x)的单调递增
区间为 －π
2
＋3kπ，π＋3kπ ，k∈Z.
答案： 3＋1
2
－π
2
＋3kπ，π＋3kπ ，k∈Z
