重庆市江北区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析

重庆市江北区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com ‎2019—2020学年（上）期末考试高2022级数学试题 一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.设集合，，，则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求，再求.‎ ‎【详解】由题意可知，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交并补，属于简单题型.‎ ‎2.已知为第二象限角，且,则的值为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求，再求的值.‎ ‎【详解】是第二象限角，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查同角三角函数关系式，重点考查基本公式和基本计算，属于简单题型.‎ - 18 -‎ ‎3.已知函数，则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数的定义域，代入求和的值.‎ ‎【详解】， ，‎ ‎.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查分段函数求值，属于简单题型.‎ ‎4.已知函数是奇函数，当时，，则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求，再利用奇函数的性质，求值.‎ ‎【详解】 ‎ ‎ 是奇函数，满足，‎ 即.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查利用奇偶性求函数值，重点考查函数性质的应用，属于简单题型.‎ ‎5.已知，则( )‎ A. B. ‎ - 18 -‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先表示角的变换，然后利用诱导公式求值.‎ ‎【详解】 ‎ ‎，‎ ‎ ‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查三角函数给值求值的问题，意在考查角的变换和计算能力，属于基础题型.‎ ‎6.函数的零点所在区间是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理证明零点所在的区间.‎ ‎【详解】在和是单调递增函数，‎ ‎， ， ‎ ‎，‎ 的零点所在的区间是.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查零点存在性定理，意在考查基本判断方法，属于简单题型.‎ - 18 -‎ ‎7.函数是上的减函数，若，，，则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先判断，和的大小关系，然后根据函数的单调性，判断的大小关系.‎ ‎【详解】，，‎ ‎，，，，‎ 是上的减函数，.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的单调性比较大小，重点考查指对数比较大小，属于简单题型.‎ ‎8.若不等式在上恒成立，则的取值范围是( )‎ A. ） B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 不等式等价于在恒成立，利用参变分离的方法转化为恒成立，当时，即，利用函数的单调性求函数的最小值.‎ ‎【详解】不等式等价于在恒成立，‎ 在恒成立，‎ 即恒成立，当时，‎ - 18 -‎ ‎，，‎ ‎ 在上单调递增，的最小值是，‎ ‎.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查根据不等式恒成立求参数的取值范围，意在考查转化与化归的思想和计算能力，属于简单题型，一般已知不等式在某区间的恒成立，有解，有几个解求参数的取值范围，都可以采用参变分离的方法.‎ ‎9.函数的图像为，则下列结论中正确的是( )‎ A. 图像关于直线对称 B. 在区间上递减 C. 图像关于点对称 D. 由的图像向左平移得到 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，逐一判断选项，‎ A.直接代入，判断函数是否取得最值；B.代入，判断的范围是否在函数的增区间；C.代入，判断函数值是否为0；D.直接根据左＋右－的方法判断平移后的解析式.‎ ‎【详解】,‎ A.当时， ，，不是函数的对称轴，故不正确；‎ B.当时，，利用复合函数的单调性可知是的增区间，即是的减区间，故正确；‎ - 18 -‎ C.当时，，，关于对称，不是关于对称，故不正确；‎ D.的图像向左平移得到 ，故不正确.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查的函数性质和图像变换的判断题型，本题的选项都可以采用代入的方法判断选项，属于基础题型.‎ ‎10.已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是( )‎ A. ） B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 不等式等价于，利用函数是偶函数和其单调性可知，转化为解对数和含绝对值的不等式.‎ ‎【详解】是偶函数，，‎ 即不等式等价于 ‎ ，‎ ‎ 是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，‎ 在单调递减，‎ - 18 -‎ ‎，‎ 即，整理为： ，‎ ‎，‎ 解得：.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查利用函数的性质解不等式，主要考查转化与化归的思想和计算能力，属于中档题型，一般利用函数是偶函数，并且已知函数在区间上的单调性时，，然后利用或的单调性解不等式.‎ ‎11.已知函数满足，若方程有个不同的实数根（），则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数和都关于对称，所有的所有零点都关于对称，根据对称性计算的值.‎ ‎【详解】，‎ 关于对称，‎ 而函数也关于对称，‎ 的所有零点关于对称，‎ 的个不同的实数根（），‎ - 18 -‎ 有1011组关于对称，‎ ‎.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查根据对称性计算零点之和，重点考查函数的对称性，属于中档题型.‎ ‎12.已知同时满足下列三个条件：①；②是奇函数；③.若在上没有最小值，则实数的取值范围是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为函数的周期，计算的值，根据函数是奇函数，求得，又因为，可求，所以，再根据函数图像判断的取值范围.‎ ‎【详解】的周期，‎ ‎ ，，‎ ‎，‎ 是奇函数，‎ 关于对称，‎ ‎，‎ - 18 -‎ 解得：，‎ ‎，‎ ‎ ，‎ 即，‎ ‎ ，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当时，，‎ 由图象可知若满足条件，，‎ 解得：.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查根据函数性质判断参数的取值范围，意在考查函数性质的熟练掌握，以及数形结合分析问题和解决问题的能力，本题的关键是正确求函数的解析式.‎ 二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案分别填写在答题卡相应位置）‎ ‎13.幂函数的图像经过点，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 18 -‎ 设幂函数，由条件求，再求的值.‎ ‎【详解】设幂函数，‎ 图像经过点，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故答案为：3‎ ‎【点睛】本题考查根据求幂函数的解析式和求值，意在考查基本公式，属于简单题型.‎ ‎14.已知扇形的圆心角为，扇形的周长为，则扇形的面积为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先设扇形弧长为，半径为，列方程求解，再利用扇形面积求解.‎ ‎【详解】设扇形弧长为，半径为，‎ ‎ ，解得：，‎ 则扇形的面积.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查扇形面积的求法，意在考查基本公式，属于简单题型.‎ ‎15.已知，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 18 -‎ 首先化简意在条件，求解，然后代入求值.‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的化简求值，意在考查转化与化归的思想，和变形计算能力，属于基础题型.‎ ‎16.已知函数，若有两个不相等的实数根，，则的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据方程和图像解出，并表示，利用函数的单调性求函数的值域.‎ ‎【详解】，由图像可知 ‎ ，，‎ - 18 -‎ ‎，‎ ‎ 函数和都减函数，‎ 是减函数， ‎ 当时，，‎ 的值域是，‎ 故的取值范围是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查函数与方程以及求函数的值域，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，本题的关键是正确表示，并转化为求函数的值域.‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17.已知集合，.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，求实数的取值集合.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求集合，再求；‎ ‎（2）由题意可知，利用集合的关系求实数的值.‎ ‎【详解】解：（1）由时，可得 ‎ 所以 ‎ ‎（2）由 ‎ 当 时， ，满足题意 当 时， ，由 ‎ 所以的取值集合为 - 18 -‎ ‎【点睛】本题考查集合的简单运算和根据集合的关系求参数的取值，意在考查集合的基本概念和基本方法，属于基础题型.‎ ‎18.已知锐角满足.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用公式，转化为的一元二次方程求解；‎ ‎（2）首先根据诱导公式化简，然后转化为关于的齐次式子，然后再上下同时除以，代入求值.‎ ‎【详解】解：（1）依题化简可得：‎ 或 为锐角 ‎ ‎（2）原式 ‎ 将代入上式，原式 ‎【点睛】本题考查三角函数恒等变形，意在考查公式的熟练掌握，属于基础题型.‎ ‎19.已知函数.‎ ‎（1）求的最小正周期和最大值；‎ ‎（2）将的函数图像向左平移个单位后得到的函数是偶函数，求的最小值.‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 18 -‎ ‎（1）首先化简，再求函数的周期和最大值；‎ ‎（2）平移后的函数，若函数是偶函数，则是函数的对称轴，求参数的取值范围。‎ ‎【详解】解：（1）由题意： ‎ ‎ ‎ 由此可得：， ‎ ‎（2）由题意可知： ‎ 因为为偶函数，所以当时， ‎ ‎，又因为，所以当时，的最小值为 ‎【点睛】本题考查三角函数恒等变换，三角函数的性质和利用函数性质求参数的取值范围，意在考查公式的灵活应用和函数性质的综合应用，属于基础题型.‎ ‎20.设函数，其中为常数.‎ ‎（1）当时，求的定义域；‎ ‎（2）若对任意，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）转化为，解不等式；‎ ‎（2）由题意转化为当恒成立，参变分离为和恒成立求参数的取值范围.‎ ‎【详解】解：（1）当时，函数，要使函数有意义，只需要 - 18 -‎ 或 ‎，，解得，即函数的定义域为；‎ ‎（2），，‎ 的取值范围是，‎ 又恒成立，可得恒成立，‎ ‎，，即，‎ 故实数取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查解复合型的一元二次不等式和利用不等式恒成立求参数的取值范围，意在考查转化与化归的思想和计算能力，属于中档题型.‎ ‎21.已知函数，.‎ ‎（1）当时，求的解集；‎ ‎（2）若对任意的，存在，使不等式成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，不等式化简为，解不等式；‎ ‎（2）不等式等价于，转化为求两个函数最小值，求参数的取值范围.‎ ‎【详解】解：（1）当时，不等式即：，‎ ‎，故原不等式的解集为 ‎ ‎（2）对任意的，存在，不等式成立当，‎ - 18 -‎ ‎ ‎ 当时，单调递增，‎ 又函数的对称轴为，当时：‎ ‎①若，即，则，‎ 即，此时 ‎ ‎②若，即，则，‎ 即，此时 ‎ 综上可得实数的取值范围为 ‎【点睛】本题重点考查根据双变量不等式恒成立求参数取值范围问题，意在考查分类讨论的思想和计算能力，属于中档题型，一般对任意的，存在，使不等式成立，即转化为.‎ ‎22.己知函数满足.‎ ‎（1）设，判断函数的奇偶性，并加以证明；‎ ‎（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）奇函数，证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先求函数，首先判断函数的定义域，再化简，判断函数的奇偶性；‎ ‎（2）由（1）可知是单调递增的奇函数，所以不等式化简为对任意恒成立，利用单调性转化为 ‎，转化为求函数的最大值.‎ - 18 -‎ ‎【详解】解：（1）奇函数，证明如下： ‎ 定义域关于原点对称.‎ 故为奇函数 ‎ ‎ （2），‎ 在和都是单调递增函数 在上单调递增，并且函数是奇函数，‎ 是单调递增的奇函数，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 是奇函数，‎ ‎ ‎ 即对任意恒成立 ‎ ‎ 令， ‎ 则即 ‎ 由此可得：，故实数的取值范围为 ‎【点睛】本题考查判断函数的奇偶性和利用函数的奇偶性和单调性解抽象不等式，并且利用参变分离求参数的取值范围，一般在某区间恒成立求参数的取值范围，可以采用参变分离的方法，转化为求函数最值问题解决.‎ - 18 -‎ - 18 -‎