2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（陕西卷）

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（陕西卷）

‎2013年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项:‎ 1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题，第二部分为非选择题.。‎ 2. 考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.。‎ 3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第一部分(共50分)‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）‎ ‎1. 设全集为R, 函数的定义域为M, 则为 ‎ (A) [－1,1] (B) (－1,1)‎ ‎(C) (D) ‎ ‎【答案】D ‎【解析】,所以选D ‎ 输入x If x≤50 Then y=0.5 * x Else ‎ y=25+0.6*(x-50)‎ End If 输出y ‎ ‎2. 根据下列算法语句, 当输入x为60时, ‎ 输出y的值为 ‎ (A) 25‎ ‎ (B) 30‎ ‎ (C) 31‎ ‎ (D) 61‎ ‎【答案】C ‎【解析】,所以选C ‎3. 设a, b为向量, 则“”是“a//b”的 ‎ (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 ‎ (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 若,为真；‎ 相反，若，则。‎ 所以“”是“a//b”的充分必要条件。‎ 另：当为零向量时，上述结论也成立。所以选C ‎4. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 ‎ (A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14‎ ‎【答案】B ‎【解析】使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人。,所以从编号1～480的人中，恰好抽取24人，接着从编号481～720共240人中抽取12人。故选B ‎5. 如图, 在矩形区域ABCD的A, C两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无信号的概率是 ‎ (A) (B) ‎ ‎ (C) (D) ‎ ‎【答案】A ‎【解析】该地点信号的概率=‎ 所以该地点无信号的概率是。选A ‎6. 设z1, z2是复数, 则下列命题中的假命题是 ‎ (A) 若, 则 (B) 若, 则 ‎ (C) 若, 则 (D) 若, 则 ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 对（A），若,则，所以为真。‎ 对（B），若,则互为共轭复数，所以为真。‎ 对（C），设若,则，，所以为真 对（D），若则为真，而，所以为假 选D ‎7. 设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则△ABC的形状为 ‎ (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 ‎【答案】B ‎【解析】因为，所以 又。联立两式得。‎ 所以。选B ‎8. 设函数 , 则当x>0时, 表达式的展开式中常数项为 ‎ (A) －20 (B) 20 (C) －15 (D) 15‎ ‎【答案】A ‎【解析】当的展开式中，常数项为。所以选A ‎9. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于‎300m2‎的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位m)的取值范围是 ‎ (A) [15,20] (B) [12,25]‎ ‎ (C) [10,30] (D) [20,30]‎ ‎【答案】C ‎【解析】设矩形高为y, 由三角形相似得: 利用线性规划知识解得，选C ‎10. 设[x]表示不大于x的最大整数, 则对任意实数x, y, 有 ‎ (A) [－x] ＝ －[x] (B) [2x] ＝ 2[x]‎ ‎ (C) [x＋y]≤[x]＋[y] (D) [x－y]≤[x]－[y]‎ ‎【答案】D ‎【解析】代值法。‎ 对A, 设x = - 1.8, 则[-x] = 1, -[x] = 2, 所以A选项为假。‎ 对B, 设x = - 1.4, [2x] = [-2.8] = - 3, 2[x] = - 4, 所以B选项为假。‎ 对C, 设x = y = 1.8, 对A, [x+y] = [3.6] = 3, [x] + [y] = 2, 所以C选项为假。‎ 故D选项为真。所以选D 二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）‎ ‎11. 双曲线的离心率为, 则m等于 9 .‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎12. 某几何体的三视图如图所示, 则其体积为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】立体图为半个圆锥体，底面是半径为1的半圆，高为2。所以体积 ‎13. 若点(x, y)位于曲线与y＝2所围成的封闭区域, 则2x－y的最小值为 -4 . ‎ ‎【答案】- 4‎ ‎【解析】封闭区域为三角形。令| x – 1 | = 2 , 解得 ，所以三角形三个顶点坐标分别为（1,0,），（-1,2），（3,2），故2x－y 在点（-1,2）取最小值 - 4‎ ‎14. 观察下列等式: ‎ ‎ ‎ ‎…‎ 照此规律, 第n个等式可为 . ‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】分n为奇数、偶数两种情况。第n个等式为。‎ 当n为偶数时，分组求和：。‎ 当n为奇数时，第n个等式=。‎ 综上，第n个等式：‎ ‎15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分)‎ A. (不等式选做题) 已知a, b, m, n均为正数, 且a＋b＝1, mn＝2, 则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为 2 . ‎ ‎【答案】2 ‎ ‎【解析】利用柯西不等式求解，,且仅当 时取最小值 2‎ B. (几何证明选做题) 如图, 弦AB与CD相交于内一点E, 过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P. 已知PD＝2DA＝2, 则PE＝ . ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ‎ C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角为参数, 则圆的参数方程为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ‎ ‎。‎ 所以圆的参数方程为 三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）‎ ‎16. (本小题满分12分)‎ 已知向量, 设函数. ‎ ‎ (Ⅰ) 求f (x)的最小正周期. ‎ ‎ (Ⅱ) 求f (x) 在上的最大值和最小值. ‎ ‎【答案】(Ⅰ) . (Ⅱ) .‎ ‎【解析】(Ⅰ) ‎ ‎=。‎ 最小正周期。‎ 所以最小正周期为。‎ ‎(Ⅱ) .‎ ‎.‎ 所以，f (x) 在上的最大值和最小值分别为.‎ ‎17. (本小题满分12分) ‎ 设是公比为q的等比数列. ‎ ‎ (Ⅰ) 导的前n项和公式; ‎ ‎ (Ⅱ) 设q≠1, 证明数列不是等比数列. ‎ ‎【答案】(Ⅰ) ; (Ⅱ) 见下；‎ ‎ ‎ ‎【解析】(Ⅰ) 分两种情况讨论。‎ ‎①‎ ‎②.‎ 上面两式错位相减: ‎ ‎。‎ ‎③综上，‎ ‎(Ⅱ) 使用反证法。‎ 设是公比q≠1的等比数列, 假设数列是等比数列.则 ‎①当=0成立，则不是等比数列。‎ ‎②当成立，则 ‎。这与题目条件q≠1矛盾。‎ ‎③综上两种情况，假设数列是等比数列均不成立，所以当q≠1时, 数列不是等比数列。（证毕）‎ ‎18. (本小题满分12分)‎ 如图, 四棱柱ABCD－A1B‎1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD, . ‎ ‎ (Ⅰ) 证明: A‎1C⊥平面BB1D1D; ‎ ‎ (Ⅱ) 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角的大小. ‎ ‎【答案】(Ⅰ) 见下; (Ⅱ) = ‎ ‎ (Ⅱ) 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角的大小. ‎ ‎【解析】‎ ‎(Ⅰ) ；又因为，在正方形AB CD中，。 ‎ 在正方形AB CD中,AO = 1 . ‎ ‎.‎ ‎.(证毕)‎ ‎(Ⅱ) 建立直角坐标系统,使用向量解题。‎ 以O为原点，以OC为X轴正方向，以OB为Y轴正方向。则 ‎.‎ 由(Ⅰ)知, 平面BB1D1D的一个法向量 设平面OCB1的法向量为 ‎。‎ 所以，平面OCB1与平面BB1D1D的夹角为 ‎19. (本小题满分12分) ‎ 在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手. ‎ ‎ (Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率; ‎ ‎ (Ⅱ) X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X的分布列和数学期望. ‎ ‎【答案】(Ⅰ) ; ‎ ‎(Ⅱ) X的分布列如下：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 数学期望 ‎【解析】(Ⅰ) 设事件A 表示:观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手。‎ 观众甲选中3号歌手的概率为,观众乙未选中3号歌手的概率为。‎ 所以P(A) = .‎ 因此，观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为 ‎(Ⅱ) X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，则X可取0,1,2,3.‎ 观众甲选中3号歌手的概率为,观众乙选中3号歌手的概率为。‎ 当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时，这时X=0，P(X = 0) = .‎ 当观众甲、乙、丙中只有1人选中3号歌手时，这时X=1，P(X = 1) = .‎ 当观众甲、乙、丙中只有2人选中3号歌手时，这时X=2，P(X = 2) = .‎ 当观众甲、乙、丙均选中3号歌手时，这时X=3，P(X =3) = .‎ X的分布列如下表：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以，数学期望 ‎20. (本小题满分13分)‎ 已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8. ‎ ‎ (Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程; ‎ ‎ (Ⅱ) 已知点B(－1,0), 设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是的角平分线, 证明直线过定点. ‎ ‎【答案】(Ⅰ) ; (Ⅱ) 定点（1,0）‎ ‎【解析】(Ⅰ) A(4,0),设圆心C ‎(Ⅱ) 点B(－1,0), .‎ 直线PQ方程为：‎ 所以，直线PQ过定点（1,0）‎ ‎21. (本小题满分14分)‎ 已知函数. ‎ ‎ (Ⅰ) 若直线y＝kx＋1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k的值; ‎ ‎ (Ⅱ) 设x>0, 讨论曲线y＝f (x) 与曲线 公共点的个数. ‎ ‎ (Ⅲ) 设a ‎ ‎【解析】(Ⅰ) f (x)的反函数. 设直线y＝kx＋1与相切与点 。所以 ‎(Ⅱ) 当 x > 0，m > 0 时， 曲线y＝f (x) 与曲线 的公共点个数即方程 根的个数。‎ 由，‎ 则 h(x)在 h(x). ‎ 所以对曲线y＝f (x) 与曲线 公共点的个数，讨论如下：‎ 当m 时,有0个公共点；当m= ,有1个公共点；当m 有2个公共点；‎ ‎(Ⅲ) 设 令。‎ ‎，且 ‎。‎ 所以