高考数学二轮复习专题1_6解析几何讲理
专题 1.6 解析几何
考向一 直线与圆
【高考改编☆回顾基础】
1.【直线垂直的位置关系及直线的点斜式方程】【2016·天津卷改编】过原点且与直线 2x＋y＝0 垂直的直线方程
为________．
【答案】y＝1
2
x
【解析】因为直线 2x＋y＝0 的斜率为－2，所以所求直线的斜率为1
2
，所以所求直线方程为 y＝1
2
x.
2.【弦长问题】【2016·全国卷Ⅰ改编】设直线 y＝x＋2 2与圆 C：x2＋y2－2 2y－2＝0 相交于 A，B 两点，则
|AB|＝________．
【答案】2 3
3.【直线与圆，圆与圆的位置关系】【2016·山东卷改编】已知圆 M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线 x＋y＝0 所得
线段的长度是 2 2，则圆 M 与圆 N：(x－1)2＋(y－1)2＝1 的位置关系是________．
【答案】相交
【解析】由垂径定理得 a
2
2＋( 2)2＝a2，解得 a2＝4，∴圆 M：x2＋(y－2)2＝4，∴圆 M 与圆 N 的圆心距 d＝
（0－1）2＋（2－1）2＝ 2.∵2－1< 2<2＋1，∴两圆相交．
4.【椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系】【2017 课标 3，改编】已知椭圆 C：
2 2
2 2 1x y
a b
，（a>b>0）的左、
右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 2 0bx ay ab 相切，则 C 的离心率为 .
【答案】 6
3
【解析】
故填 6
3
.
【命题预测☆看准方向】
从近五年的高考试题来看,高考的重点是求圆的方程、求与圆有关的轨迹方程、直线与圆的位置关系、弦长问题、
切线问题、圆与圆的位置关系,圆与圆锥曲线的交汇问题是高考的热点,经常以选择题、解答题的形式出现.另外，
从高考试题看，涉及直线、圆的问题有与圆锥曲线等综合命题趋势.复习中应注意围绕圆的方程、直线与圆的位
置关系、圆与圆的位置关系等,其中经常考查的是圆与圆位置关系中的动点轨迹,直线与圆的位置关系中的弦长问
题、切线问题、参数的取值范围等.
【典例分析☆提升能力】
【例 1】【2018 届北京丰台二中高三上学期期中】已知点 2,0P 及圆 2 2: 6 4 4 0C x y x y ．
（Ⅰ）设过 P 的直线 1l 与圆C 交于 M ， N 两点，当 4MN 时，求以 MN 为直径的圆Q 的方程．
（Ⅱ）设直线 1 0ax y 与圆 C 交于 A ， B 两点，是否存在实数 a ，使得过点 P 的直线l ，垂直平分弦 AB ？
若存在，求出实数 a 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) 2 22 4x y (2) 不存在实数 a ，使得过点 2,0P 的直线 2l 垂直平分弦 AB ．
【解析】试题分析：（1）由利用两点间的距离公式求出圆心 C 到 P 的距离，再根据弦长|MN|的一半及半径，利用
勾股定理求出弦心距 d，发现|CP|与 d 相等，所以得到 P 为 MN 的中点，所以以 MN 为直径的圆的圆心坐标即为 P
的坐标，半径为|MN|的一半，根据圆心和半径写出圆的方程即可；（2）把已知直线的方程代入到圆的方程中消去
y 得到关于 x 的一元二次方程，因为直线与圆有两个交点，所以得到△＞0，列出关于 a 的不等式，求出不等式的
解集即可得到 a 的取值范围，利用反证法证明证明即可．
（Ⅱ）把直线 1 0ax y 及 1y ax 代入圆C 的方程，消去 y ，整理得：
2 21 6 1 9 0a x a x ，
由于直线 1 0ax y 交圆C 于 A ， B 两点，
故 2 236 1 36 1 0a a ，即 2 0a ，解得 0a ．
则实数 a 的取值范围是 ,0 ．
设符合条件的实数 a 存在，
由于 2l 垂直平分弦 AB ，故圆心 3, 2C 必在直线 2l 上，
所以 2l 的斜率 2PCk ，所以 1
2ABk a ，
由于 1 ,02
，
故不存在实数 a ，使得过点 2,0P 的直线 2l 垂直平分弦 AB ．
【趁热打铁】【2018 届江苏省兴化市楚水实验学校、黄桥中学、口岸中学三校高三 12 月联考】经过点 2,0 且圆
心是直线 2x 与直线 4x y 的交点的圆的标准方程为__________．
【答案】 2 22 2 4x y
【解析】直线 2x 与直线 4x y 的交点为 2,2 即圆心为 2,2 ，因为圆经过点 2,0 所以半径为 2，故圆
的标准方程为 2 22 2 4x y
故答案为 2 22 2 4x y
【例 2】已知圆 C 经过点 A(0，2)，B(2，0)，圆 C 的圆心在圆 x2＋y2＝2 的内部，且直线 3x＋4y＋5＝0 被圆 C 所
截得的弦长为 2 3.点 P 为圆 C 上异于 A，B 的任意一点，直线 PA 与 x 轴交于点 M，直线 PB 与 y 轴交于点 N.
(1)求圆 C 的方程；
(2)若直线 y＝x＋1 与圆 C 交于 A1，A2 两点，求BA1
→·BA2
→；
(3)求证：|AN|·|BM|为定值．
【答案】(1)x2＋y2＝4.(2)3.(3)证明：见解析.
(2)将 y＝x＋1 代入 x2＋y2＝4 得 2x2＋2x－3＝0.
设 A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，
则 x1＋x2＝－1，x1x2＝－3
2
.
∴BA1
→·BA2
→＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝x1x2－2(x1＋x2)＋4＋(x1＋1)(x2＋1)＝2x1x2－(x1＋x2)＋5＝－3＋1＋5＝3.
(3)证明：当直线 PA 的斜率不存在时，|AN|·|BM|＝8.
当直线 PA 与直线 PB 的斜率都存在时，设 P(x0，y0)，
直线 PA 的方程为 y＝y0－2
x0
x＋2，令 y＝0 得 M
2x0
2－y0
，0
.
直线 PB 的方程为 y＝ y0
x0－2
(x－2)，令 x＝0 得 N
0， 2y0
2－x0 .
∴|AN|·|BM|＝
2－ 2y0
2－x0
2－ 2x0
2－y0 ＝4＋4
y0
x0－2
＋ x0
y0－2
＋ x0y0
（x0－2）（y0－2）
＝ 4 ＋ 4·y2
0 －2y0 ＋ x2
0 －2x0 ＋ x0 y0
（x0 －2）（y0 －2）
＝ 4 ＋ 4·4－2y0 －2x0 ＋ x0 y0
（x0 －2）（y0 －2）
＝ 4 ＋
4×4－2y0 －2x0 ＋ x0 y0
4－2y0 －2x0 ＋ x0 y0
＝ 8，
故|AN|·|BM|为定值 8.
【趁热打铁】(1)已知圆 C 的方程为 x2＋y2＋8x＋15＝0，若直线 y＝kx－2 上至少存在一点，使得以该点为圆心，
1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的取值范围为________________．
(2)已知圆 C：x2＋y2－ax＋2y－a＋4＝0 关于直线 l1：ax＋3y－5＝0 对称，过点 P(3，－2)的直线 l2 与圆 C 交于
A，B 两点，则弦长|AB|的最小值为________________．
【答案】(1)－4
3
≤k≤0 (2)2 3.
(2)圆 C：x2＋y2－ax＋2y－a＋4＝0，其圆心 C 为
a
2
，－1
，半径 r＝1
2
a2＋4a－12.
∵圆 C 关于直线 l1：ax＋3y－5＝0 对称，∴a2
2
－3－5＝0，
解得 a＝±4.
当 a＝－4 时，半径小于 0，不合题意，舍去．
∴a＝4，则圆心 C 为(2，－1)，半径 r＝ 5.
由|PC|＝ 2< 5，可知点 P 在圆内，则当弦长|AB|最小时，直线 l2 与 PC 所在直线垂直．
此时圆心 C 到直线 l2 的距离 d＝|PC|＝ 2，
弦长|AB|＝2 r2－d2＝2 3，
即所求最小值为 2 3.
【方法总结☆全面提升】
1.要注意几种直线方程的局限性,点斜式、斜截式方程要求直线不能与 x 轴垂直,两点式方程要求直线不能与坐标
轴垂直,而截距式方程不能表示过原点的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线.
2.求解与两条直线平行或垂直有关的问题时,主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件,即若斜率存在时,“斜
率相等”或“互为负倒数”;若出现斜率不存在的情况,可考虑用数形结合的方法去研究.
3.求圆的方程一般有两类方法:
(1)几何法,通过圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系,求得圆的基本量和方程;
(2)代数法,即用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求得各系数.
4.直线与圆的位置关系: (1)代数法．将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置
关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离；
(2)几何法．把圆心到直线的距离 d 和半径 r 的大小加以比较：d
r⇔相离．
优先选用几何法.
5.处理有关圆的弦长问题求解方法：
(1)根据平面几何知识构建直角三角形，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，l＝2 r2－d2(其中 l 为弦长，
r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离)．
(2)根据公式：l＝ 1＋k2|x1－x2|求解(其中 l 为弦长，x1，x2 为直线与圆相交所得交点的横坐标，k 为直线的斜率)．
(3)求出交点坐标，用两点间距离公式求解．
【规范示例☆避免陷阱】
【典例】已知过原点的动直线 l 与圆 2 2
1 : 6 5 0C x y x 相交于不同的两点 A,B.
①求圆 1C 的圆心坐标.
②求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程.
③是否存在实数 k,使得直线 L:y=k(x-4)与曲线 C 只有一个交点?若存在,求出 k的取值范围;若不存在,说明理由.
【规范解答】: ①由 2 2 6 5 0x y x ,得(x-3)
2
+y
2
=4,
从而可知圆 C
1
的圆心坐标为(3,0).
②设线段 AB 的中点 M(x,y),
由弦的性质可知 C
1
M⊥AB,即 C
1
M⊥OM.
故点 M 的轨迹是以 OC
1
为直径的圆,
该圆的圆心为 C ,半径 r= |OC1|= 3= ,其方程为 +y2= ,即 x2+y2-3x=0.
又因为点 M 为线段 AB 的中点,所以点 M 在圆 C1 内,所以 <2.
又 x2+y2-3x=0,所以 x>
易知 x≤3,所以 b>0)的离心率为1
2
，椭圆的半焦距为 c
且 a2＝4c，则椭圆 E 的标准方程为____________．
【答案】x2
4
＋y2
3
＝1
【解析】因为椭圆 E 的离心率为1
2
，所以 e＝c
a
＝1
2
，又 a2＝4c,
所以 a＝2，c＝1，于是 b＝ a2－c2＝ 3，
因此椭圆 E 的标准方程是x2
4
＋y2
3
＝1.
2．【双曲线的方程及其几何性质】【2017·全国卷Ⅲ】双曲线x2
a2－y2
9
＝1(a＞0)的一条渐近线方程为 y＝3
5
x，则 a＝
________.
【答案】5
【解析】令x2
a2－y2
9
＝0，得双曲线的渐近线方程为 y＝±3
a
x，∵双曲线x2
a2－y2
9
＝1(a>0)的一条渐近线方程为 y＝3
5
x，
∴a＝5.
3. 【抛物线方程及其几何性质】【2017 课标 1，改编】已知 F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的
直线 l1，l2，直线 l1 与 C 交于 A、B 两点，直线 l2 与 C 交于 D、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为 .
【答案】16
【命题预测☆看准方向】
从近五年的高考试题来看,圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等是高考考查的重点,也是高考命题的基本元素.
考查的角度有:对圆锥曲线的定义的理解及定义的应用,求圆锥曲线的标准方程,求圆锥曲线的离心率以及向量、
直线、圆锥曲线的小综合. 考查的重点是依据圆锥曲线的几何性质求离心率;根据圆锥曲线的定义求标准方程；
圆锥曲线与向量的小综合;两种圆锥曲线间的小综合;直线与圆锥曲线的小综合;圆锥曲线的综合应用等.
【典例分析☆提升能力】
【例 1】【2017 课标 II，理 9】若双曲线 C:
2 2
2 2 1x y
a b
（ 0a ， 0b ）的一条渐近线被圆 2 22 4x y 所
截得的弦长为 2，则 C 的离心率为（ ）
A．2 B． 3 C． 2 D． 2 3
3
【答案】A
【解析】
【趁热打铁】【2018 届吉林省实验中学高三上第五次月考（一模）】F1，F2 分别是双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的左、右焦点，过 F1 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于 A、B 两点．若△ABF2 是等边三角形，则该双曲线的
离心率为
A. 2 B. 3 C. 5 D. 7
【答案】D
【解析】设 AB m ，则 1 1 2 2 12 , 2 4AF BF BF a AF AF a m a ，
由余弦定理得 2 22 0 2 24 6 4 2 6 4 cos60 28 7, 7c a a a a a e e
选 D.
【例 2】【2017 课标 II，理】设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C：
2
2 12
x y 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，
点 P 满足 2NP NM 。
(1) 求点 P 的轨迹方程；
(2)设点 Q 在直线 3x 上，且 1OP PQ 。证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F。
【答案】(1) 2 2 2x y 。
(2)证明略。
【解析】
（2）由题意知 1,0F .设 3, , ,Q t P m n ,则
3, , 1 , , 3 3OQ t PF m n OQ PF m tn ，
, , 3 ,OP m n PQ m t n 。
由 1OP PQ
得 2 23 1m m tn n ，又由（1）知 2 2 2m n ，故
3 3 0m tn .
所以 0OQ PF
，即 OQ PF
.又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线l 过 C 的左焦
点 F.
【趁热打铁】如图,抛物线 2 2
1 2: 4 , : 2 0C x y C x py p .点 M(x
0
,y
0
)在抛物线 C
2
上,过点 M 作 C
1
的切线,切
点为 A,B(M 为原点 O 时,A,B 重合于 O).当 0 1 2 x 时,切线 MA 的斜率为 1
2
.
(1)求 p 的值;
(2)当点 M 在 C
2
上运动时,求线段 AB 的中点 N 的轨迹方程(当 A,B 重合于点 O 时,中点为 O).
【答案】(1)p=2.(2)x2= y.
【解析】(1)因为抛物线 C1:x2=4y 上任意一点(x,y)的切线斜率为 y'= ,且切线 MA 的斜率为- ,所以 A 点坐标为
,所以切线 MA 的方程为 y=- (x+1)+ .
因为点 M(1- ,y0)在切线 MA 及抛物线 C2 上,
于是 y0=- (2- )+ =- ,①
y0=- =- .②
由①②得 p=2.
(2)设 N(x,y),A ,B ,x1≠x2,由 N 为线段 AB 中点,
知 x= ,③
y= .④
切线 MA 的方程为 y= (x-x1)+ ,⑤
切线 MB 的方程为 y= (x-x2)+ .⑥
由⑤⑥得 MA,MB 的交点 M(x0,y0)的坐标为 x0= ,y0= .
因为点 M(x0,y0)在 C2 上,即 =-4y0,
所以 x1x2=- .⑦
由③④⑦得 x2= y,x≠0.
当 x1=x2 时,A,B 重合于原点 O,AB 中点 N 为 O,坐标满足 x2= y.
因此线段 AB 中点 N 的轨迹方程为 x2= y.
【例 3】【2017 课标 3，理 20】已知抛物线 C：y2=2x，过点（2,0）的直线 l 交 C 与 A,B 两点，圆 M 是以线段 AB
为直径的圆.
（1）证明：坐标原点 O 在圆 M 上；
（2）设圆 M 过点 4, 2P ，求直线 l 与圆 M 的方程.
【答案】(1)证明略；
(2)直线l 的方程为 2 0x y ，圆 M 的方程为 2 23 1 10x y .
或直线l 的方程为 2 4 0x y ，圆 M 的方程为
2 29 1 85
4 2 16x y
.
【解析】
所以 22 1 0m m ，解得 1m 或 1
2m .
当 1m 时，直线l 的方程为 2 0x y ，圆心 M 的坐标为 3,1 ，圆 M 的半径为 10 ，圆 M 的方程
为 2 23 1 10x y .
当 1
2m 时，直线l 的方程为 2 4 0x y ，圆心 M 的坐标为 9 1,4 2
，圆 M 的半径为 85
4
，圆 M
的方程为
2 29 1 85
4 2 16x y
.
【趁热打铁】【2018 届广东省仲元中学、中山一中等七校高三第二次联考】已知椭圆
2 2
2 2
x y 1(a b 0)a b
的上、
下、左、右四个顶点分别为 A B C D,、 、 、 x 轴正半轴上的某点 G 满足 GD 2, GA 3, GC 4 .
(1)求椭圆的方程;
(2)设该椭圆的左、右焦点分别为 1 2F F、 ,点 M 在圆 2 2 2x y b 上,且 M 在第一象限,过 M 作圆 2 2 2x y b 的
切线交椭圆于 P,Q ,求证:△ 2PF Q 的周长是定值．
【答案】(1)
2 2
19 8
x y (2)见解析
【解析】试题分析：
(1) 设点G 的坐标为 0,0x 可知 2 2
0 02 2 4, 3, 4 1, 3 2 2a a x a b x ，可得椭圆方程;(2)法一:
设 1 1 2 2, , ,P x y Q x y ，结合椭圆方程可得 1
2 3 3
xPF ，在圆中, M 是切点,
2 2
1
1
3PM OP OM x ，同理可得 2 3QF QM ,则易得结论;法二:设 PQ PQ 的方程为
0, 0y kx m k m ，联立椭圆方程,由根与系数的关系式,结合弦长公式求出 2
6
8 9
kmPQ k
，再求出
1 2
2 23 , 33 3
x xPF QF ，则结论易得.
试题解析：
(1)设点 G 的坐标为 0 0x ,0 (x 0) ,可知 2a 2 4,a 3 ,
2 2
0 0x 4 a 1,b 3 x 2 2 .
因此椭圆的方程是
2 2x y 19 8
.
(2)方法 1:设 1 1 2 2P x ,y ,Q x ,y ,则
2 2
1 1x y 19 8
,
2 2
2 1 1PF x 1 y =
22
2 1 1
1
x xx 1 8 1 39 3
,
∵ 10 x 3 ,∴ 1
2
xPF 3 3
,
在圆中, M 是切点,
∴ 2 2PM OP | OM | = 2 2
1 1x y 8 =
2
2 1
1 1
x 1x 8 1 8 x9 3
,
∴ 2 1 1
1 1PF PM 3 x x 33 3
,
同理 2QF QM 3 ,∴ 2 2F P F Q PQ 3 3 6 ,
因此△ ΒΑC 的周长是定值 6 ．
方法 2:设 PQ 的方程为 y kx m k 0,m 0 ,
由 2 2{ x x 19 8
y kx m
,得 2 2 28 9k x 18kmx 9m 72 0 ,
设 1 1 2 2P x ,y ,Q x ,y ,则
2
1 2 1 22 2
18km 9m 72x x ,x x8 9k 8 9k
,
∴ PQ = 2
1 21 k x x = 22
1 2 1 21 k x x 4x x
=
2 2
2
2 2
18km 9m 721 k 48 9k 8 9k
2 2
2
22
4 9 8 9k m 8
1 k
8 9k
,
∵ PQ 与圆 2 2x y 8 相切,∴
2
m 2 2
1 k
,即 2m 2 2 1 k ,
∴ 2
6kmPQ 8 9k
,
∵
22
2 22 1 1
2 1 1 1
x xPF x 1 y x 1 8 1 39 3
,
∵ 10 x 3 ,∴ 1
2
xPF 3 3
,
同理可得 2
2 2
x1QF 9 x 33 3
,
∴ 1 2
2 2 2 2 2
x x 6km 6km 6kmF P F Q PQ 6 6 63 8 9k 8 9k 8 9k
,
因此△ 2PQF 的周长是定值 6 ．
【方法总结☆全面提升】
1.涉及椭圆(或双曲线)两焦点距离的问题或焦点弦问题以及到抛物线焦点(或准线)距离的问题,可优先考虑圆锥
曲线的定义.求圆锥曲线标准方程时“先定型,后计算”,即首先确定是何种曲线,焦点在哪个坐标轴上,然后利用
条件求 a,b,p 的值.
2.求椭圆、双曲线的离心率问题,关键是首先根据已知条件确定 a,b,c 的关系,然后将 b 用 a,c 代换,求 e= 的
值;另外要注意双曲线的渐近线与离心率的关系.圆锥曲线的性质常与等差数列、等比数列、三角函数、不等式等
问题联系在一起,一般先利用条件转化为单一知识点的问题再求解.
3.求曲线的轨迹方程时,先看轨迹的形状是否预知,若能依据条件确定其形状,可用定义法或待定系数法求解;若
动点 P 与另一动点 Q 有关,点 Q 在已知曲线上运动,可用代入法求动点 P 的轨迹方程;否则用直接法求解.
4.涉及圆锥曲线的焦点弦、焦点三角形问题,常结合定义、正弦定理、余弦定理等知识解决.
5.涉及垂直问题可结合向量的数量积解决.
6.解决直线与圆锥曲线位置关系问题，主要有方程组法，和“点差法”．对于弦中点问题常用“根与系数的关系”
或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ≥0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥
曲线是否相交．
【规范示例☆避免陷阱】
【典例】【2016·乙卷】设圆 x2＋y2＋2x－15＝0 的圆心为 A，直线 l 过点 B(1,0)且与 x 轴不重合，l 交圆 A 于 C，
D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E.
(Ⅰ)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点 E 的轨迹方程；
(Ⅱ)设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1 于 M，N 两点，
过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P，Q 两点，求
四边形 MPNQ 面积的取值范围．
【规范解答】(Ⅰ)圆 A 整理为(x＋1)2＋y2＝16，圆心 A(－1,0)，1 分
如图，
因为 BE∥AC，则∠ACB＝∠EBD，由|AC|＝|AD|，
则∠ADC＝∠ACD，所以∠EBD＝∠EDB，
则|EB|＝|ED|，1 分
所以|EA|＋|EB|＝|AE|＋|ED|＝|AD|＝4.
所以 E 的轨迹为一个椭圆，1 分
a＝2，c＝1，方程为x2
4
＋y2
3
＝1(y≠0).1 分
(Ⅱ)C1：x2
4
＋y2
3
＝1；设 l：x＝my＋1，
因为 PQ⊥l，设 PQ：y＝－m(x－1)，联立 l 与椭圆 C1，
x＝my＋1，
x2
4
＋y2
3
＝1， 得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0；
则|MN|＝ 1＋m2|yM－yN|
＝ 1＋m2 36m2＋36 3m2＋4
3m2＋4
＝12 m2＋1
3m2＋4
；2 分
圆心 A 到 PQ 距离 d＝|－m －1－1 |
1＋m2
＝ |2m|
1＋m2
，
所以|PQ|＝2 |AQ|2－d2＝2 16－ 4m2
1＋m2
＝4 3m2＋4
1＋m2
，2 分,
所以 SMPNQ＝1
2
|MN|·|PQ|＝1
2
·12 m2＋1
3m2＋4
·
4 3m2＋4
1＋m2
＝24 m2＋1
3m2＋4
2 分
＝24
1
3＋ 1
m2＋1
∈[12,8 3). 2 分
【反思提升】处理有关圆锥曲线与圆相结合的问题,要特别注意圆心、半径及平面几何知识的应用,如直径对的圆
心角为直角,构成了垂直关系;弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形.利用圆的一些特殊几何性质解题,往往
使问题简化..
【误区警示】第(Ⅰ)问得分点及说明
得分点
1．写出圆心坐标得 1 分．
2．得出 EB＝ED，得 1 分．
3．根据椭圆定义判断点 E 的轨迹是椭圆，得 1 分．
4．得出椭圆方程，得 1 分．
踩点说明
1．只要得出椭圆方程正确，得 4 分，忽略 y≠0 扣 1 分．
2．只要正确判断出点 E 的轨迹是椭圆，得 3 分．
3．若只有椭圆方程，而没有解答过程，得 2 分．
第(Ⅱ)问得分点及说明
5．根据弦长公式整理得出弦长|MN|得 2 分
6．得出弦长|PQ|得 2 分．
7.列出面积表达式，得 2 分．
8．求出面积的范围，得 2 分．
踩点说明
1．结果正确，有过程得满分．
2．两个弦长|MN|，|PQ|只要结果正确，每个得 2 分．
3．直线方程和椭圆方程联立，给 1 分．
4．写对弦长公式，给 1 分．
5．写出点到直线距离公式正确，给 1 分．
考向三 圆锥曲线的热点问题
【高考改编☆回顾基础】
1．【直线、圆、椭圆的位置关系及过定点问题】【2017·全国卷Ⅱ改编】设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C：x2
2
＋
y2＝1 上，P 在圆 x2＋y2＝2 上，设点 Q 在直线 x＝－3 上，且OP→·PQ→＝1，则过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l ________(填
“经过”或“不经过”)C 的左焦点 F.
【答案】经过
2. 【直线与椭圆的位置关系及定值问题】【2016·山东卷改编】如图 131，已知椭圆 C：x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)，过
动点 M(0，m)(00，y0>0)．
由 M(0，m)，可得 P(x0，2m)，Q(x0，－2m)，
所以直线 PM 的斜率 k＝2m－m
x0
＝m
x0
，
直线 QM 的斜率 k′＝－2m－m
x0
＝－3m
x0
.
此时k′
k
＝－3，所以k′
k
为定值－3.
3.【直线与抛物线的位置关系及范围问题】【2017·浙江卷改编】已知抛物线 x2＝y，点 A
－1
2
，1
4 ，抛物线上的
点 P(x，y)
－1
2
b>0)，由题可知 c＝1，
因为|BD|＝3，所以2b2
a
＝3，
又 a2－b2＝1，所以 a＝2，b＝ 3，
所以椭圆 C 的方程为x2
4
＋y2
3
＝1.
所以(x1－2)(x2－2)(1＋k2)＝5
4
，
即[x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋k2)＝5
4
，
所以
16k2－16k－8
3＋4k2 －2·8k 2k－1
3＋4k2 ＋4
(1＋k2)＝4＋4k2
3＋4k2＝5
4
，
解得 k＝±1
2
.因为 k>－1
2
，所以 k＝1
2
，
故存在直线 l1 满足条件，其方程为 y＝1
2
x.
【趁热打铁】如图，圆C ： 2 21 0x a x y ay a ．
（1）若圆 C 与 x 轴相切，求圆 C 的方程；
（2）求圆心C 的轨迹方程；
（3）已知 1a ，圆 C 与 x 轴相交于两点 ,M N （点 M 在点 N 的左侧）．过点 M 任作一条直线与圆O ：
2 2 4x y 相交于两点 ,A B ．问：是否存在实数 a ，使得 ANM BNM ？若存在，求出实数 a 的值，若不
存在，请说明理由．
【答案】（1） 2 22 1 0x x y y ；（2） 2 2 1 0x y （3）存在 4a ，使得 ANM BNM
（2）求圆心C 点坐标为 ,x y ，则 1 ,2 2
a ax y 圆心C 点的轨迹方程为 2 2 1 0x y
（3）令 0y ，得 2 1 0x a x a ，即 1 0x x a 所以 1,0 , ,0M N a
假设存在实数 a ，当直线 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 1y k x ，
代入 2 2 4x y 得， 2 2 2 21 2 4 0k x k x k ，设 1 1 2 2, , , ,A x y B x y 从而
2 2
1 2 1 22 2
2 4,1 1
k kx x x xk k
因为
1 2 2 11 2
1 2 1 2
1 1k x x a x x ay y
x a x a x a x a
而 1 2 2 1 1 2 2 11 1 2 1 2x x a x x a x x a x x a
2 2
2 2
4 22 1 21 1
k ka ak k
2
2 8
1
a
k
因为 ANM BNM ，所以 1 2
1 2
0y y
x a x a
，即 2
2 8 01
a
k
，得 4a ．
当直线 AB 与 x 轴垂直时，也成立．故存在 4a ，使得 ANM BNM
【方法总结☆全面提升】
1.圆锥曲线中求最值或范围问题的方法
若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．常从以下几个方
面考虑：
①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；
③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
④利用基本不等式求出参数的取值范围；
⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
2.定点问题的求法
解题的关键在于寻找题中用来联系已知量和未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量和未知
量代入上述关系，通过整理、变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决．
3. 定值问题的求法
解这类问题常通过取参数和特殊值先确定“定值”是多少，再进行证明，或者将问题转化为代数式，再证明该式
是与变量无关的常数．
特别提醒：解决定值问题一定要分清哪些量为变量，哪些量为常量．
4. 求解存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的几何元素或参数值存在，然后利用这些条件并结合题
目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛看，并且得到了相应的几何元素或参数值，就说明满足条件的几
何元素或参数值存在；若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的几何元素或参数值不存在，同时推理与
计算的过程就是说明理由的过程．
【规范示例☆避免陷阱】
【典例】【2017·全国卷Ⅰ】已知椭圆 C：x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)，四点 P1(1,1)，P2(0,1)，P3（－1， 3
2
），P4（1， 3
2
）
中恰有三点在椭圆 C 上．
(1)求 C 的方程．
(2)设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A，B 两点．若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．
【规范解答】
(1)由于 P3，P4 两点关于 y 轴对称，故由题设知椭圆 C 经过 P3，P4 两点．
又由1
a2＋1
b2＞1
a2＋ 3
4b2知，C 不经过点 P1，
所以点 P2 在 C 上.1 分
因此
1
b2＝1，
1
a2＋ 3
4b2＝1，
解得
a2＝4，
b2＝1.
故 C 的方程为x2
4
＋y2＝1.4 分
(2)设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1，k2.
如果 l 与 x 轴垂直，设 l：x＝t，由题设知 t≠0，且|t|＜2，可得 A，B 的坐标分别为（t， 4－t2
2
），（t，－ 4－t2
2
）.
则 k1＋k2＝ 4－t2－2
2t
－ 4－t2＋2
2t
＝－1，得 t＝2，不符合题设．
2 分
从而可设 l：y＝kx＋m(m≠1)．将 y＝kx＋m 代入x2
4
＋y2＝1 得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
由题设可知Δ＝16(4k2－m2＋1)＞0.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则 x1＋x2＝－ 8km
4k2＋1
，x1x2＝4m2－4
4k2＋1
.2 分
而 k1＋k2＝y1－1
x1
＋y2－1
x2
＝kx1＋m－1
x1
＋kx2＋m－1
x2
＝2kx1x2＋ m－1 x1＋x2
x1x2
.
由题设 k1＋k2＝－1，故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.
即(2k＋1)·4m2－4
4k2＋1
＋(m－1)·－8km
4k2＋1
＝0.解得 k＝－m＋1
2
.3 分
当且仅当 m＞－1 时，Δ＞0，
于是 l：y＝－m＋1
2
x＋m，即 y＋1＝－m＋1
2
(x－2)，
所以 l 过定点(2，－1).1 分
【反思提升】1.求解定点和定值问题的基本思想是一致的,定值是证明求解的一个量与参数无关,定点问题是求解
的一个点(或几个点)的坐标,使得方程的成立与参数值无关.解这类试题时要会合理选择参数(参数可能是直线的
斜率、截距,也可能是动点的坐标等),使用参数表达其中变化的量,再使用这些变化的量表达需要求解的解题目标.
当使用直线的斜率和截距表达直线方程时,在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系,把双参数问题化为
单参数问题解决.
2.证明直线过定点的基本思想是使用一个参数表示直线方程,根据方程的成立与参数值无关得出 x,y 的方程组,以
方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点.
【误区警示】1．正确使用圆锥曲线的定义：牢记圆锥曲线的定义及性质，用解方程的方法求出 a2、b2，如本题第
(1)问就涉及椭圆的性质来判断点在不在椭圆上．
2．注意分类讨论：当用点斜式表示直线方程时，应分直线的斜率存在和不存在两种情况求解，易出现忽略斜率
不存在的情况，导致扣分，如本题第(2)问中首先要求出斜率不存在时的情况．
3．写全得分关键：在解析几何类解答题中，直线方程与圆锥曲线方程联立后得到的一元二次方程，根据一元二
次方程得到的两根之和与两根之积，弦长，目标函数，……等一些关键式子和结果都是得分点，在解答时一定要
写清楚．
