2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第四章　1 第1讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数

2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第四章　1 第1讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数

知识点 最新考纲 任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数 ‎ 了解角、角度制与弧度制的概念，掌握弧度与角度的换算．‎ ‎ 理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义及其图象与性质，了解三角函数的周期性.‎ 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 理解同角三角函数的基本关系，掌握正弦、余弦、正切的诱导公式.‎ 两角和与差的正弦、余弦及正切公式 掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握正弦、余弦、正切二倍角的公式.‎ 简单的三角恒等变换 掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.‎ 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用 了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义，掌握y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.‎ 正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理及其应用.‎ 第1讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数 ‎1．任意角的概念 ‎(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．‎ ‎(2)角的分类 按旋转方向 正角 按逆时针方向旋转而成的角 负角 按顺时针方向旋转而成的角 零角 射线没有旋转 按终边位置 前提：角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合 按终边位置 象限角 角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角 其他 角的终边落在坐标轴上 ‎(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β ‎＝α＋k·360°，k∈Z}．‎ ‎2．弧度制 ‎(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad.‎ ‎(2)公式 角α的弧度数公式 ‎|α|＝ 角度与弧度的换算 ‎1°＝rad，1 rad＝°≈57°18′‎ 弧长公式 l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2‎ ‎3.任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定 义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 y叫做α的正弦，记作sin α x叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α 各象限符号 Ⅰ 正 正 正 Ⅱ 正 负 负 Ⅲ 负 负 正 Ⅳ 负 正 负 口诀 一全正，二正弦，三正切，四余弦 三角 函数线 有向线段MP为正弦线，有向线段OM为余弦线，有向线段AT为正切线 ‎[疑误辨析]‎ 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．(　　)‎ ‎(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．(　　)‎ ‎(3)不相等的角终边一定不相同．(　　)‎ ‎(4)终边相同的角的同一三角函数值相等．(　　)‎ ‎(5)若α∈，则tan α＞sin α.(　　)‎ ‎(6)若α为第一象限角，则sin α＋cos α＞1.(　　)‎ 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√　(6)√‎ ‎[教材衍化]‎ ‎1．(必修4P10A组T7改编)角－225°＝________弧度，这个角在第________象限．‎ 答案：－　二 ‎2．(必修4P15练习T2改编)设角θ的终边经过点P(4，－3)，那么2cos θ－sin θ＝________．‎ 解析：由已知并结合三角函数的定义，得sin θ＝－，‎ cos θ＝，所以2cos θ－sin θ＝2×－＝.‎ 答案： ‎3．(必修4P10A组T6改编)一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________弧度．‎ 答案： ‎[易错纠偏]‎ ‎(1)终边相同的角理解出错；‎ ‎(2)三角函数符号记忆不准；‎ ‎(3)求三角函数值不考虑终边所在象限．‎ ‎1．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)‎ A．2kπ－45°(k∈Z)　　　　　 B．k·360°＋π(k∈Z)‎ C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)‎ 解析：选C.与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C正确．故选C.‎ ‎2．若sin α<0，且tan α>0，则α是第____象限角．‎ 解析：由sin α<0知α的终边在第三、第四象限或y轴的负半轴上；由tan α>0知α的终边在第一或第三象限，故α是第三象限角．‎ 答案：三 ‎3．已知角α的终边在直线y＝－x上，且cos α<0，则tan α＝________．‎ 解析：如图，由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P(x，y)，则y＝－x，由三角函数的定义得tan α＝＝＝－1.‎ 答案：－1‎ ‎　　　　　　象限角及终边相同的角 ‎ (1)若角α是第二象限角，则是(　　)‎ A．第一象限角　　　　　　　　 B．第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 ‎(2)若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合是(　　)‎ A. B. C. D. ‎(3)终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________．‎ ‎【解析】　(1)因为α是第二象限角，所以＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，所以＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z.‎ 当k为偶数时，是第一象限角；‎ 当k为奇数时，是第三象限角．‎ ‎(2)根据题意，角α的终边在直线y＝－x上，‎ α为第二象限角时，α＝＋2kπ＝(2k＋1)π－，k∈Z；‎ α为第四象限角时，α＝＋2kπ＝(2k＋2)π－，k∈Z；‎ 综上，角α的取值集合是.故选D.‎ ‎(3)如图，在坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴的夹角是，在[0，2π)内，终边在直线y＝x上的角有两个：，π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－π，－π，故满足条件的角α构成的集合为.‎ ‎【答案】　(1)C　(2)D　(3) ‎ ‎(1)表示区间角集合的三个步骤 ‎(2)求或nθ(n∈N*)所在象限(位置)的方法 ‎①将θ的范围用不等式(含有k)表示．‎ ‎②两边同除以n或乘以n.‎ ‎③对k进行讨论，得到或nθ(n∈N*)所在的象限(位置)．　 ‎ ‎1．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．‎ 解析：所有与45°有相同终边的角可表示为：‎ β＝45°＋k×360°(k∈Z)，‎ 则令－720°≤45°＋k×360°<0°，‎ 得－765°≤k×360°<－45°，解得－≤k<－，‎ 从而k＝－2或k＝－1，‎ 代入得β＝－675°或β＝－315°.‎ 答案：－675°或－315°‎ ‎2．若sin α·tan α<0，且<0，则α是第________象限角．‎ 解析：由sin α·tan α<0可知sin α，tan α异号，从而α为第二或第三象限角；由<0，可知cos α，tan α异号，从而α为第三或第四象限角．综上，α为第三象限角．‎ 答案：三 ‎　　　　　　扇形的弧长、面积公式 ‎ 已知扇形的圆心角是α ，半径为R，弧长为l.‎ ‎(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；‎ ‎(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？‎ ‎【解】　(1)α＝60°＝，‎ l＝10×＝(cm)．‎ ‎(2)由已知得，l＋2R＝20，则l＝20－2R，‎ 所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，‎ 所以当R＝5时，S取得最大值25，‎ 此时l＝10 cm，α＝2 rad.‎ 弧长、扇形面积问题的解题策略 ‎(1)明确弧度制下弧长公式是l＝|α|r，扇形的面积公式是S＝lr＝|α|r2(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．‎ ‎(2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．‎ ‎[提醒]　运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度制．　 ‎ ‎1．已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是(　　)‎ A．4　　　　　　　　　　　　 B．2‎ C．8 D．1‎ 解析：选A.设扇形的弧长为l，则l·2＝8，‎ 即l＝8，所以扇形的圆心角的弧度数为＝4.‎ ‎2．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的，面积等于圆面积的，则扇形的弧长与圆周长之比为________．‎ 解析：设圆的半径为r，则扇形的半径为，记扇形的圆心角为α，则＝，‎ 所以α＝.所以扇形的弧长与圆周长之比为＝＝.‎ 答案： ‎　　　　　　三角函数的定义(高频考点)‎ 三角函数的定义是高考的常考内容，多以选择题、填空题的形式考查，难度较小．‎ 主要命题角度有：‎ ‎(1)利用三角函数定义求值；‎ ‎(2)判断三角函数值的符号；‎ ‎(3)利用三角函数线解三角不等式；‎ ‎(4)三角函数定义中的创新．‎ 角度一　利用三角函数定义求值 ‎ 已知α是第二象限的角，其终边的一点为P(x，)，且cos α＝x，则tan α＝(　　)‎ A. B. C．－ D．－ ‎【解析】　因为α是第二象限的角，其终边上的一点为P(x，)，且cos α＝x，所以x＜0，cos α＝＝x，解得x＝－，所以tan α＝＝－.‎ ‎【答案】　D 角度二　判断三角函数值的符号 ‎ 若tan α>0，则(　　)‎ A．sin α>0 B．cos α>0‎ C．sin 2α>0 D．cos 2α>0‎ ‎【解析】　因为tan α＞0，所以α∈(k∈Z)是第一、三象限角．‎ 所以sin α，cos α都可正、可负，排除A，B.‎ 而2α∈(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)，‎ 结合正弦函数图象可知，C正确．‎ 取α＝，则tan α＝1>0，而cos 2α＝0，故D不正确．‎ ‎【答案】　C 角度三　利用三角函数线解不等式 ‎ 函数y＝ 的定义域为________．‎ ‎【解析】　由题意，得sin x≥，作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角x的终边的范围，故满足条件的角x的集合为 eq blc{rc}(avs4alco1(xblc|(avs4alco1(2kπ＋f(π,3)))≤x≤2kπ＋f(2π,3)，k∈Z)).‎ ‎【答案】　，k∈Z 角度四　三角函数定义中的创新 ‎ (2020·台州质检)如图所示，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为(　　)‎ ‎【解析】　因为P0(，－)，所以∠P0Ox＝－.‎ 因为角速度为1，所以按逆时针旋转时间t后，得∠POP0＝t，所以∠POx＝t－.‎ 由三角函数定义，知点P的纵坐标为2sin，‎ 因此d＝2.‎ 令t＝0，则d＝2＝.‎ 当t＝时，d＝0，故选C.‎ ‎【答案】　C ‎ ‎(1)定义法求三角函数值的三种情况 ‎①已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解．‎ ‎②已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．‎ ‎③已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．‎ ‎(2)三角函数值的符号及角的位置的判断 已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况．‎ ‎[提醒]　若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．　 ‎ ‎1．已知角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点的距离为，若α＝，则点P的坐标为(　　)‎ A．(1，)　　　　　　　　　　 B．(，1)‎ C．(，) D．(1，1)‎ 解析：选D.设点P的坐标为(x，y)，‎ 则由三角函数的定义得 即 故点P的坐标为(1，1)．‎ ‎2．已知角α的终边经过点P(－，m)，且sin α＝m(m≠0)，则角α为第________象限角．‎ 解析：依题意，点P到原点O的距离为 r＝ ＝，‎ 所以sin α＝，‎ 又因为sin α＝m，m≠0，‎ 所以＝m，‎ 所以m2＝，所以m＝±.‎ 所以点P在第二或第三象限．‎ 答案：二或三 ‎[基础题组练]‎ ‎1．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为(　　)‎ A．2　　　　　　　　　　 B．4‎ C．6 D．8‎ 解析：选C.设扇形的半径为r，弧长为l，则由扇形面积公式可得2＝lr＝r2α＝r2×4，求得r＝1，l＝αr＝4，所以所求扇形的周长为2r＋l＝6.‎ ‎2．若角α与β的终边相同，则角α－β的终边(　　)‎ A．在x轴的正半轴上 B．在x轴的负半轴上 C．在y轴的负半轴上 D．在y轴的正半轴上 解析：选A.由于角α与β的终边相同，‎ 所以α＝k·360°＋β(k∈Z)，从而α－β＝k·360°(k∈Z)，此时角α－β的终边在x轴正半轴上．‎ ‎3．已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为(　　)‎ A．－ B. C．－ D. 解析：选B.因为r＝，‎ 所以cos α＝＝－，‎ 所以m＞0，所以＝，因此m＝.‎ ‎4．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)‎ 解析：选C.当k＝2n时，2nπ＋≤α≤2nπ＋(n∈Z)，此时α的终边和≤α≤的终边一样．当k＝2n＋1时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋(n∈Z)，此时α的终边和π＋≤α≤π＋的终边一样．故选C.‎ ‎5．已知角α＝2kπ－(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝＋＋的值为(　　)‎ A．1 B．－1‎ C．3 D．－3‎ 解析：选B.由α＝2kπ－(k∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，‎ 又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，‎ 所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0.‎ 所以y＝－1＋1－1＝－1.故选B.‎ ‎6.已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从点A出发，P沿直线l匀速向右，Q沿圆周按逆时针方向以相同的速率运动，当点Q运动到如图所示的位置时，点P也停止运动，连接OQ，OP，则阴影部分的面积S1，S2的大小关系是(　　)‎ A．S1≥S2‎ B．S1≤S2‎ C．S1＝S2‎ D．先S1S2‎ 解析：选C.因为圆O与直线l相切，所以OA⊥AP，‎ 所以S扇形AOQ＝··r＝··OA，S△AOP＝OA·AP，因为＝AP，‎ 所以S扇形AOQ＝S△AOP，即S扇形AOQ－S扇形AOB＝S△AOP－S扇形AOB，则S1＝S2.故选C.‎ ‎7.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cos α＝________．‎ 解析：因为A点纵坐标yA＝，且A点在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标xA＝－，由三角函数的定义可得cos α＝－.‎ 答案：－ ‎8．已知点P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则角θ是第________象限角．‎ 解析：因为点P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，所以sin θcos θ<0，2cos θ<0，即所以θ为第二象限角．‎ 答案：二 ‎9．函数y＝的定义域为________．‎ 解析：因为2cos x－1≥0，‎ 所以cos x≥.‎ 由三角函数线画出x满足条件的终边的范围(如图阴影部分所示)．‎ 所以x∈[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)．‎ 答案：(k∈Z)‎ ‎10．已知角α的终边上有一点的坐标为，若α∈(－2π，2π)，则所有的α组成的集合为________．‎ 解析：因为角α的终边上有一点的坐标为，所以角α为第四象限角，且tan α＝－，即α＝－＋2kπ，k∈Z，因此落在(－2π，2π)内的角α的集合为.‎ 答案： ‎11．已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tan θ＝－x，求sin θ＋cos θ的值．‎ 解：因为θ的终边过点(x，－1)(x≠0)，所以tan θ＝－.‎ 又tan θ＝－x，所以x2＝1，即x＝±1.‎ 当x＝1时，sin θ＝－，cos θ＝.‎ 因此sin θ＋cos θ＝0；‎ 当x＝－1时，sin θ＝－，cos θ＝－，‎ 因此sin θ＋cos θ＝－.故sin θ＋cos θ的值为0或－.‎ ‎12．已知扇形AOB的周长为8.‎ ‎(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；‎ ‎(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.‎ 解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，‎ ‎(1)由题意可得解得或 所以α＝＝或α＝＝6.‎ ‎(2)因为2r＋l＝8，‎ 所以S扇＝lr＝l·2r ‎≤()2＝×()2＝4，‎ 当且仅当2r＝l，即α＝＝2时，扇形面积取得最大值4.所以圆心角α＝2，弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．若－＜α＜－，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是(　　)‎ A．sin α＜tan α＜cos α B．cos α＜sin α＜tan α C．sin α＜cos α＜tan α D．tan α＜sin α＜cos α 解析：选C.如图所示，作出角α的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，观察可得，AT＞OM＞MP，故有sin α＜cos α＜tan α.‎ ‎2．已知θ∈[0，π)，若对任意的x∈[－1，0]，不等式x2cos θ＋(x＋1)2sin θ＋x2＋x>0恒成立，则实数θ的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A.由题意知，令f(x)＝(cos θ＋sin θ＋1)·x2＋(2sin θ＋1)x＋sin θ>0，因为cos θ＋sin θ＋1≠0，所以f(x)>0在[－1，0]上恒成立，只需满足 ⇒⇒‎ θ∈，故选A.‎ ‎3．若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶4，则这两个扇形的周长之比为________．‎ 解析：设两个扇形的圆心角的弧度数为α，半径分别为r，R(其中r＜R)，则＝，‎ 所以r∶R＝1∶2，两个扇形的周长之比为＝1∶2.‎ 答案：1∶2‎ ‎4．已知x∈R，则使sin x>cos x成立的x的取值范围是________．‎ 解析：在[0，2π]区间内，由三角函数线可知，当x∈(，)时，sin x>cos x，所以在(－∞，＋∞)上使sin x>cos x成立的x的取值范围是(2kπ＋，2kπ＋)，k∈Z.‎ 答案：(2kπ＋，2kπ＋)，k∈Z ‎5．若角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)．‎ ‎(1)求sin θ＋cos θ的值；‎ ‎(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．‎ 解：(1)因为角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)，‎ 所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，‎ 当a＞0时，r＝5a，sin θ＋cos θ＝－.‎ 当a＜0时，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝.‎ ‎(2)当a＞0时，sin θ＝∈，‎ cos θ＝－∈，‎ 则cos(sin θ)·sin(cos θ)‎ ‎＝cos ·sin＜0；‎ 当a＜0时，sin θ＝－∈，‎ cos θ＝∈，‎ 则cos(sin θ)·sin(cos θ)‎ ‎＝cos·sin ＞0.‎ 综上，当a＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a＜0时，cos(sin θ)·sin (cos θ)的符号为正．‎ ‎6．设α为锐角，求证：1OP，‎ 所以sin α＋cos α>1.①‎ 而S△OPB＝OB·RP＝cos α，‎ S△OAP＝OA·QP＝sin α，‎ S扇形OAB＝×1×＝.‎ 又因为四边形OAPB被扇形OAB覆盖，‎ 所以S△OPB＋S△OAP

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