新课标备战高考数学二轮专题强化复习函数与导数

新课标备战高考数学二轮专题强化复习函数与导数

‎2012年高考数学二轮精品复习资料 专题二 函数与导数（教师版）‎ ‎【考纲解读】‎ ‎1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；了解简单的分段函数，并能简单应用.‎ ‎2.理解函数的单调性及几何意义;学会运用函数图象研究函数的性质,感受应用函数的单调性解决问题的优越性,提高观察、分析、推理、创新的能力.‎ ‎3.了解函数奇偶性的含义;会判断函数的奇偶性并会应用；掌握函数的单调性、奇偶性的综合应用.‎ ‎4.掌握一次函数的图象和性质;掌握二次函数的对称性、增减性、最值公式及图象与性质的关系，理解“三个二次”的内在联系，讨论二次方程区间根的分布问题.‎ ‎5.了解指数函数模型的实际背景;理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算;理解指数函数的概念、单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点;知道指数函数是一类重要的函数模型.‎ ‎6.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数,了解对数在简化运算中的作用;理解对数函数的概念、单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点;知道指数函数是一类重要的函数模型;了解指数函数且与对数函数且互为反函数.‎ ‎7.了解幂函数的概念;结合函数的图象,了解它们的变化情况.‎ ‎8.掌握解函数图象的两种基本方法:描点法、图象变换法；掌握图象变换的规律，能利用图象研究函数的性质.‎ ‎9.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数；根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.‎ ‎10.了解指数函数、对数函数及幂函数的境长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；了解函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.‎ ‎11.了解导数概念的实际背景;理解导数的几何意义;能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单函数的导数.‎ ‎12.了解函数单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(多项式函数一般不超过三次);了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件,会用导数求函数的极大值、极小值（多项式函数一般不超过三次)，会求在闭区间函数的最大值、最小值（多项式函数一般不超过三次)；会用导数解决某些实际问题.‎ ‎【考点预测】‎ ‎1.对于函数的定义域、值域、图象，一直是高考的热点和重点之一，大题、小题都会考查，渗透面广.特别是分段函数的定义域、值域、解析式的求法是近几年高考的热点.‎ ‎3.由指数函数、对数函数的图象入手，推知单调性，进行相关运算，同时与导数结合在一起的题目是每年必考的内容之一，要在审题、识图上多下功夫，学会分析数与形的结合，把常见的基本题型的解法技巧理解好、掌握好.‎ ‎4.函数的单调性、最值是高考考查的重点，其考查的形式是全方位、多角度，与导数的有机结合体现了高考命题的趋势.‎ ‎5.函数的奇偶性、周期性是高考考查的内容之一,其考查形式比较单一,但出题形式比较灵活,它主要出现在选择题、填空题部分，属基础类题目，复习时要立足课本，切实吃透其含义并能准确进行知识的应用.‎ ‎6.应用导数的概念及几何意义解题仍将是高考出题的基本出发点;利用导数研究函数的单调性、极值、最值、图象仍将是高考的主题;利用导数解决生活中的优化问题将仍旧是高考的热点;将导数与函数、解析几何、不等式、数列等知识结合在一起的综合应用，仍将是高考压轴题.‎ ‎【要点梳理】‎ ‎1.求定义域、值域的方法有:配方法、不等式法、换元法、分离常数法等;求函数解析式的方法有:定义法、换元法、待定系数法、方程组法等；解决实际应用题的一般步骤是：分析实际问题，找出自变量，写出解析式，确定定义域，计算.‎ ‎2.几种常见函数的数学模型:平均增长率问题;储蓄中的得利问题;通过观察与实验建立的函数关系;根据几何与物理概念建立的函数关系.‎ ‎3.指数与对数函数模型是函数应用的基本模型,经常与导数在一起进行考查,应引起我们的高度重视.‎ ‎4.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，应熟练掌握.函数的零点、二分法、函数模型的应用是高考的常考点和热点，应认真研究、熟练掌握.‎ ‎5.理解函数的单调性、奇偶性、最值及其几何意义，会运用函数图象理解和研究函数的单调性、最值，常与导数结合在一起考查，是高考的常考点.‎ ‎6.对于幂指对函数的性质,只需立足课本,抓好基础，掌握其单调性、奇偶性，通过图象进行判断和应用,常与导数结合在一起考查.‎ ‎7.导数的概念及运算是导数的基本内容,每年必考,一般不单独考查，它主要结合导数的应用进行考查.‎ ‎8.导数的几何意义是高考考查的重点内容之一,经常与解析几何结合在一起考查.‎ ‎9.利用导数研究函数的单调性、极值、最值及解决生活中的优化问题是近几年高考必考的内容之一.‎ ‎10.求可导函数单调区间的一般步骤和方法:(1)确定函数定义域;(2)求导数;(3)令导数大于0,解得增区间, 令导数小于0,解得减区间.‎ ‎11.求可导函数极值的一般步骤和方法:(1)求导数;(2)判断函数单调性；（3）确定极值点；（4）求出极值.‎ ‎12.求可导函数最值的一般步骤和方法:(1)求函数极值;(2)计算区间端点函数值;(3)比较极值与端点函数值,最大者为最大值,最小者为最小值.‎ ‎【考点在线】‎ 考点一 　函数的定义域 函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮助考生灵活掌握求定义域的各种方法，并会应用用函数的定义域解决有关问题.‎ 例1．已知函数的定义域为M，g(x)=的定义域为N，则M∩N=（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】要使原函数有意义,只须,即,解得,故选A.‎ 考点二 　函数的性质（单调性、奇偶性和周期性）‎ 函数的单调性、奇偶性和周期性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样. 这里主要帮助读者深刻理解奇偶性、单调性和周期性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.‎ 例2．(2011年高考全国新课标卷理科2)下列函数中，既是偶函数又是区间上的增函数的是（ ）‎ A B C D ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由偶函数可排除A，再由增函数排除C,D,故选B；‎ ‎【名师点睛】此题考查复合函数的奇偶性和单调性，因为函数都是偶函数，所以，内层有它们的就是偶函数，但是，它们在的单调性相反，再加上外层函数的单调性就可以确定.‎ ‎【备考提示】：熟练函数的单调性、奇偶性方法是解答好本题的关键.‎ 练习2: (2011年高考江苏卷2)函数的单调增区间是__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题考察函数性质，属容易题.因为,所以定义域为,由复合函数的单调性知:函数的单调增区间是.‎ 例3．(2009年高考山东卷文科12)已知定义在R上的奇函数满足,且在区间上是增函数,则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为,所以8是该函数的周期;又因为,所以是该函数的对称轴,又因为此函数为奇函数,定义域为R,所以,且函数的图象关于对称, 因为函数在区间上是增函数,所以在上的函数值非负,故,所以,‎ ‎,,所以,故选D.‎ ‎【名师点睛】本小题考查函数的奇偶性、单调性、周期性，利用函数性质比较函数值的大小.‎ ‎【备考提示】：函数的奇偶性、单调性、周期性，是高考的重点和热点,年年必考,必须熟练掌握.‎ 练习3:（2011年高考全国卷文科10)设是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，=，则=( )‎ A.- B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】先利用周期性，再利用奇偶性得：‎ 考点三 　函数的图象 函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，读者要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质.此类题目还很好的考查了数形结合的解题思想.‎ 例4．(2011年高考山东卷理科9文科10)函数的图象大致是( )‎ ‎【解析】因为,所以令,得,此时原函数是增函数;令,得,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象，可得选C正确.‎ ‎【名师点睛】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力. ‎ ‎【备考提示】：函数的图象,高考年年必考,熟练其图象的解决办法(特值排除法、函数性质判断法等)是答好这类问题的关键.‎ 练习4:（2010年高考山东卷文科11）函数的图像大致是( )‎ ‎【解析】因为当x=2或4时，2x -=0，所以排除B、C；当x=-2时，2x -=，故排除D，所以选A.‎ 考点四 　导数的概念、运算及几何意义 了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.‎ 例5．（2011年高考山东卷文科4)曲线在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是（ ）‎ ‎ (A)-9 (B)-3 (C)9 (D)15‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为,切点为P（1，12），所以切线的斜率为3,故切线方程为3x-y+9=0,令x=0,得y=9,故选C.‎ ‎【名师点睛】本题考查导数的运算及其几何意义.‎ ‎【备考提示】：导数的运算及几何意义是高考的热点,年年必考,熟练导数的运算法则及导数的几何意义是解答好本类题目的关键.‎ 练习5:（2011年高考江西卷文科4)曲线在点A（0,1）处的切线斜率为（ ）‎ A.1 B.2 C. D.‎ ‎【答案】A ‎ ‎【解析】.‎ 考点五 　导数的应用 中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题:‎ ‎1.. 求函数的解析式; 2. 求函数的值域; 3.解决单调性问题; 4.求函数的极值（最值）;‎ ‎5.构造函数证明不等式.‎ 例6．设函数在及时取得极值．‎ ‎（Ⅰ）求a、b的值；‎ ‎（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．‎ ‎【解析】（Ⅰ），‎ 因为函数在及取得极值，则有，．‎ 即 解得，．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，‎ ‎．‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，．‎ 所以，当时，取得极大值，又，．‎ 则当时，的最大值为．‎ 因为对于任意的，有恒成立，‎ 所以　，‎ 解得　或，‎ 因此的取值范围为．‎ ‎【名师点睛】利用函数在及时取得极值构造方程组求a、b的值． ‎ ‎【备考提示】：导数的应用是导数的主要内容,是高考的重点和热点,年年必考,必须熟练掌握.‎ 练习6: 设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的单调区间.‎ ‎【解析】由已知得函数的定义域为，且 ‎（1）当时，函数在上单调递减，‎ ‎（2）当时，由解得 ‎、随的变化情况如下表 ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ 极小值 从上表可知 当时，函数在上单调递减.‎ 当时，函数在上单调递增.‎ 综上所述：当时，函数在上单调递减.‎ 当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增.‎ 考点六 　函数的应用 建立函数模型，利用数学知识解决实际问题.‎ 例7. (2011年高考山东卷文科21)‎ 某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为.设该容器的建造费用为千元.‎ ‎（Ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；‎ ‎（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的.‎ ‎【解析】（I）设容器的容积为V，‎ 由题意知 故 由于 因此 所以建造费用 因此 ‎ （II）由（I）得 由于 当 令 所以 ‎ （1）当时，‎ 所以是函数y的极小值点，也是最小值点。‎ ‎ （2）当即时，‎ 当函数单调递减，‎ 所以r=2是函数y的最小值点，‎ 综上所述，当时，建造费用最小时 当时，建造费用最小时 ‎【名师点睛】本题以立体几何为背景,考查函数的实际应用,题目新颖,考查函数与方程、分类讨论等数学思想方法，考查同学们的计算能力、分析问题、解决问题的能力. ‎ ‎【备考提示】：近几年的高考, 函数与导数的综合应用一直是解答题中的较难题,导数在实际问题中的优化问题是导数的重点内容,注重基础知识的落实是根本.‎ 练习7:(2011年高考江苏卷17)请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=cm.‎ ‎（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问应取何值？‎ ‎（2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.‎ ‎【解析】（1）由题意知, 包装盒的底面边长为,高为,所以包装盒侧面积为 S==,当且仅当,即时,等号成立,所以若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，应15cm.‎ ‎（2）包装盒容积V==,‎ 所以=,令得; 令得,‎ 所以当时, 包装盒容积V取得最大值,此时的底面边长为,高为,包装盒的高与底面边长的比值为.‎ 考点七（理科） 　定积分 例8. (2011年高考全国新课标卷理科9)由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为( )‎ ‎（A） （B）4 （C） （D）6‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为的解为，所以两图像交点为，于是面积故选C ‎【名师点睛】本题考查定积分的概念、几何意义、运算及解决问题的能力。求曲线围成的图形的面积，就是要求函数在某个区间内的定积分。‎ ‎【备考提示】：定积分在高考中一般以选择或填空题的形式考查一个题,难度不大,所以在复习中注重基础知识的落实是解答好本类题目的关键.‎ 练习8: (2011年高考湖南卷理科6)由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为( )‎ ‎ A. B. ‎1 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由定积分的几何意义和微积分基本定理可知S=‎ ‎。故选D.‎ ‎【易错专区】‎ 问题1：函数零点概念 例1.函数的零点为 .‎ 解析:令=0,解得:或,所以该函数的零点为2‎ ‎【名师点睛】：函数的零点就是方程的实数根,是一个实数,而不是点.‎ ‎【备考提示】：准确理解概念是解答好本题的关键.‎ 问题2：零点定理 例2.已知有且只有一根在区间（0,1）内，求的取值范围 ‎【解析】：设，（1）当＝0时方程的根为－1，不满足条件.‎ ‎（2）当≠0∵有且只有一根在区间（0,1）内又＝1＞0　‎ ‎　∴有两种可能情形①得＜－2或者②得不存在 综上所得，＜－2‎ ‎【名师点睛】：对于一般，若，那么，函数在区间（a,b）上至少有一个零点，但不一定唯一.对于二次函数，若则在区间（a,b）上存在唯一的零点，一次函数有同样的结论成立.但方程＝0在区间（a,b）上有且只有一根时，不仅是，也有可能.如二次函数图像是下列这种情况时，就是这种情况.‎ 由图可知＝0在区间（a,b）上有且只有一根，但是 ‎【考题回放】‎ ‎1. （2011年高考海南卷文科10)在下列区间中,函数的零点所在的区间为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为,,,所以选C.‎ ‎2.(2011年高考安徽卷文科5)若点(a,b)在 图像上，,则下列点也在此图像上的是( )‎ ‎（A）（，b） (B) (10a,1b) (C) (,b+1) (D)(a2,2b)‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，，即也在函数 图像上.‎ ‎3.(2011年高考安徽卷文科10)函数在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则n的值可能是 ‎（A）1 (B) 2 (C) 3 (D) 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】代入验证，当时 ‎，则 ‎，由可知，，结合图像可知函数应在递增，在递减，即在取得最大值，由，知a存在.故选A.‎ ‎4. （2011年高考福建卷文科8)已知函数f（x）=。若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于 A. -3 B. ‎-1 ‎‎ C. 1 D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意知因为,所以.当时,无解;当时,,所以,解得.‎ ‎5. （2011年高考海南卷文科12)已知函数的周期为2,当时,那么函数的图象与函数的图象的交点共有( )‎ A.10个 B.9个 C.8个 D.1个 ‎【答案】A ‎【解析】画出图象,不难得出选项A正确.‎ ‎6. (2011年高考天津卷文科5)已知则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为,都小于1且大于0,故排除C,D;又因为都是以4为底的对数,真数大,函数值也大,所以,故选B.‎ ‎7. （2011年高考四川卷文科4)函数的图像关于直线y=x对称的图像大致是( )‎ 解析：由，得，故函数的反函数为，其对应的函数图象为A.‎ ‎8．（2011年高考湖南卷文科7)曲线在点处的切线的斜率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 答案:B 解析：，所以 ‎9．（2011年高考湖南卷文科8)已知函数若有则的取值范围为( )‎ A． B． C． D．‎ 答案：B 解析：由题可知，，若有则，即，解得。‎ ‎【解析】过和，由过可知在直线下方，故选B ‎11.（2011年高考辽宁卷文科6)若函数 为奇函数,则a=( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D) 1‎ 答案： A 解析：因为f（x）=为奇函数，所以f(-2)=-f(2),即，解得。本题也可以利用奇函数定义求解。‎ ‎12．（2011年高考重庆卷文科3)曲线在点（1，2）处的切线方程为( )‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎13. （2011年高考山东卷文科16)已知函数=当2＜a＜3＜b＜4时，函数的零点 .‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】方程=0的根为,即函数的图象与函数的交点横坐标为,且,结合图象,因为当时,,此时对应直线上的点的横坐标;当时, 对数函数的图象上点的横坐标,直线的图象上点的横坐标,故所求的.‎ ‎14．（2011年高考湖南卷文科12)已知为奇函数， ．‎ 答案：6‎ 解析：，又为奇函数，所以.‎ ‎15.（2011年高考陕西卷文科11)设 则 =______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】：.‎ ‎16.（2011年高考辽宁卷文科16)已知函数f（x）=ex-2x+a有零点，则a的取值范围是___________.‎ 答案： ‎ 解析：函数f（x）=ex-2x+a有零点，即方程f（x）=0有解，即-a =ex-2x有解，设g(x)= ex-2x,‎ 因为g’(x)= ex-2,当x>ln2时g’(x)>0, 当x0，此时f(x)<0，函数f(x)单调递减 （2） 当a≠0时，由f(x)=0，‎ 即 ax2-x+1=0, 解得 x1=1,x2=1/a-1‎ ① 当a=1/2时，x1= x2, g(x)≥0恒成立，此时f(x)≤0，函数f(x)在（0，+∞）上单调递减;‎ ② 当01>0‎ x∈(0，1)时，g(x)>0,此时f(x)<0,函数f(x)单调递减 x∈(1，1/a-1)时，g(x)>0,此时f(x)0，此时f(x)

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