高中数学第3章不等式课时分层作业10基本不等式的证明含解析苏教版必修第一册
课时分层作业(十) 基本不等式的证明
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是( )
A．s≥t B．s>t
C．s≤t D．s
0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝__________．
36 [f(x)＝4x＋≥2＝4(x>0，a>0)，当且仅当4x＝，即x＝时等号成立，此时f(x)取得最小值4．又由已知x＝3时，f(x)min＝4，
∴＝3，即a＝36．]
三、解答题
9．已知a，b，c为正数，求证：＋＋≥3．
[证明] 左边＝＋－1＋＋－1＋＋－1
＝＋＋－3．
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∵a，b，c为正数，
∴＋≥2(当且仅当a＝b时取“＝”)；
＋≥2(当且仅当a＝c时取“＝”)；
＋≥2(当且仅当b＝c时取“＝”)．
从而＋＋≥6(当且仅当a＝b＝c时取等号)．
∴＋＋－3≥3，
即＋＋≥3．
10．已知a，b，c为正实数，且a＋b＝1．求证：＋≥4．
[证明] ＋＝＋
＝1＋＋＋1
＝2＋＋≥2＋2＝4．
当且仅当a＝b时“＝”成立．
1．下列不等式一定成立的是( )
A．x＋≥2 B．≥
C．≥2 D．2－3x－≥2
B [A项中当x<0时，x＋<0<2，∴A错误．
B项中，＝≥，∴B正确．
而对于C，＝－，
当x＝0时，＝<2，显然选项C不正确．
D项中取x＝1,2－3x－<2，∴D错误．]
2．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则( )
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A．ab≤ B．ab≥
C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3
C [∵a≥0，b≥0，且a＋b＝2，∴ab≤＝1，
又≥，∴a2＋b2≥2．]
3．若x>0，y>0，且x＋4y＝1，则xy的最大值为 ．
[1＝x＋4y≥2＝4，
∴xy≤，当且仅当x＝4y＝时等号成立．]
4．设a，b为非零实数，给出不等式：
①≥ab；②≥；③≥；④＋≥2．
其中恒成立的不等式的个数是 ．
2 [由重要不等式a2＋b2≥2ab可知①正确；
对于②，＝
＝≥
＝＝，故②正确；
对于③，当a＝b＝－1时，不等式的左边为＝－1，右边为＝－，可知③不正确；令a＝1，b＝－1可知④不正确．]
5．已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c＞＋＋．
[证明] ∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴≥，≥，≥，
∴＋＋≥＋＋，
即a＋b＋c≥＋＋．
由于a，b，c不全相等，
∴等号不成立，
∴a＋b＋c＞＋＋．
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