【数学】2020届一轮复习人教B版 不等式选讲 课时作业
1．(2019届高三·湖北五校联考)已知函数f(x)＝|2x－1|，x∈R.
(1)解不等式f(x)<|x|＋1；
(2)若对x，y∈R，有|x－y－1|≤，|2y＋1|≤，求证：f(x)<1.
解：(1)∵f(x)<|x|＋1，∴|2x－1|<|x|＋1，
即或或
得≤x＜2或0＜x＜或无解．
故不等式f(x)<|x|＋1的解集为{x|0
1的解集；
(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，
即f(x)＝
故不等式f(x)>1的解集为.
(2)当x∈(0,1)时|x＋1|－|ax－1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax－1|<1成立．
若a≤0，则当x∈(0,1)时，|ax－1|≥1；
若a>0，则|ax－1|<1的解集为，
所以≥1，故00，
所以|4ab－1|>2|b－a|.
4．已知a，b∈(0，＋∞)，且2a4b＝2.
(1)求＋的最小值．
(2)若存在a，b∈(0，＋∞)，使得不等式|x－1|＋|2x－3|≥＋成立，求实数x的取值范围．
解：(1)由2a4b＝2可知a＋2b＝1，
又因为＋＝(a＋2b)＝＋＋4，
由a，b∈(0，＋∞)可知＋＋4≥2＋4＝8，
当且仅当a＝2b时取等号，所以＋的最小值为8.
(2)由(1)及题意知不等式等价于|x－1|＋|2x－3|≥8，
①所以x≤－.
②无解，
③所以x≥4.
综上，实数x的取值范围为∪[4，＋∞)．
5．(2018·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.
(1)画出y＝f(x)的图象；
(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．
解：(1)f(x)＝
y＝f(x)的图象如图所示．
(2)由(1)知，y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)成立，因此a＋b的最小值为5.
6．已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，
f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.
当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；
当－10，
解得0，解得1≤x<2.
所以f(x)>1的解集为.
(2)由题设可得f(x)＝
所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，
所以△ABC的面积为(a＋1)2.
由题设得(a＋1)2>6，故a>2.
所以a的取值范围为(2，＋∞)．
7．(2018·郑州二检)已知函数f(x)＝|3x＋2|.
(1)解不等式f(x)<4－|x－1|；
(2)已知m＋n＝1(m，n>0)，若|x－a|－f(x)≤＋(a>0)恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)不等式f(x)<4－|x－1|，即|3x＋2|＋|x－1|<4.
当x<－时，即－3x－2－x＋1<4，
解得－1时，即3x＋2＋x－1<4，无解．
综上所述，x∈.
(2)＋＝(m＋n)＝1＋1＋＋≥4，
当且仅当m＝n＝时等号成立．
令g(x)＝|x－a|－f(x)＝|x－a|－|3x＋2|＝
所以x＝－时，g(x)max＝＋a，要使不等式恒成立，
只需g(x)max＝＋a≤4，即00，b>0)的最小值为1.
(1)求a＋b的值；
(2)若m≤＋恒成立，求实数m的最大值．
解：(1)f(x)＝
则f(x)在区间(－∞，－b]上单调递减，在区间[－b，＋∞)上单调递增，
所以f(x)min＝f(－b)＝a＋b，所以a＋b＝1.
(2)因为a>0，b>0，且a＋b＝1，
所以＋＝(a＋b)＝3＋＋，
又3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝时，等号成立，
所以当a＝－1，b＝2－时，＋有最小值3＋2.
所以m≤3＋2，所以实数m的最大值为3＋2.
