高二数学人教a必修5练习：第三章不等式章末检测（b）word版含解析
第三章 章末检测(B)
(时间：120 分钟 满分：150 分)
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)
1．若 a<0，－1
ab>ab2 B．ab2>ab>a
C．ab>a>ab2 D．ab>ab2>a
2．已知 x>1，y>1，且 1
4ln x，1
4
，ln y 成等比数列，则 xy( )
A．有最大值 e B．有最大值 e
C．有最小值 e D．有最小值 e
3．设 M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则( )
A．M>N B．M≥N
C．Mb，则下列不等式中恒成立的是( )
A．a2>b2 B．(1
2)a<(1
2)b
C．lg(a－b)>0 D.a
b>1
6．当 x>1 时，不等式 x＋ 1
x－1
≥a 恒成立，则实数 a 的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(－∞，3]
7．已知函数 f(x)＝ x＋2， x≤0
－x＋2， x>0
，则不等式 f(x)≥x2 的解集是( )
A．[－1,1] B．[－2,2]
C．[－2,1] D．[－1,2]
8．若 a>0，b>0，且 a＋b＝4，则下列不等式中恒成立的是( )
A. 1
ab>1
2 B.1
a
＋1
b
≤1
C. ab≥2 D. 1
a2＋b2
≤1
8
9．设变量 x，y 满足约束条件
x－y≥0，
2x＋y≤2，
y＋2≥0，
则目标函数 z＝|x＋3y|的最大值为( )
A．4 B．6
C．8 D．10
10．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，
一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( )
A．甲先到教室 B．乙先到教室
C．两人同时到教室 D．谁先到教室不确定
11．设 M＝
1
a
－1 1
b
－1 1
c
－1 ，且 a＋b＋c＝1 (其中 a，b，c 为正实数)，则 M 的取值
范围是( )
A. 0，1
8 B.
1
8
，1
C．[1,8) D．[8，＋∞)
12．函数 f(x)＝x2－2x＋ 1
x2－2x＋1
，x∈(0,3)，则( )
A．f(x)有最大值7
4 B．f(x)有最小值－1
C．f(x)有最大值 1 D．f(x)有最小值 1
题
号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答
案
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13．已知 t>0，则函数 y＝t2－4t＋1
t
的最小值为
________________________________________________________________________．
14．对任意实数 x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0 恒成立，则实数 a 的取值范围是
________．
15．若不等式组
x－y＋5≥0，
y≥a，
0≤x≤2
表示的平面区域是一个三角形，则 a 的取值范围是
________．
16．某公司一年购买某种货物 400 吨，每次都购买 x 吨，运费为 4 万元/次，一年的总
存储费用为 4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x＝________吨．
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)
17．(10 分)已知 a>0，b>0，且 a≠b，比较a2
b
＋b2
a
与 a＋b 的大小．
18．(12 分)已知 a，b，c∈(0，＋∞)．
求证：( a
a＋b
)·( b
b＋c
)·( c
c＋a
)≤1
8.
19．(12 分)若 a<1，解关于 x 的不等式 ax
x－2
>1.
20．(12 分)求函数 y＝ x＋2
2x＋5
的最大值．
21．(12 分)如图所示，将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN，要求 B
点在 AM 上，D 点在 AN 上，且对角线 MN 过 C 点，已知 AB＝3 米，AD＝2 米．
(1)要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米，则 DN 的长应在什么范围内？
(2)当 DN 的长为多少时，矩形花坛 AMPN 的面积最小？并求出最小值．
22．(12 分)某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、
劳动力、获得利润及每天资源限额(最大供应量)如表所示：
产品消耗量资源 甲产品
(每吨) 乙产品
(每吨) 资源限额
(每天)
煤(t) 9 4 360
电力(kw· h) 4 5 200
劳动力(个) 3 10 300
利润(万元) 6 12
问：每天生产甲、乙两种产品各多少吨时，获得利润总额最大？
第三章 不等式 章末检测答案(B)
1．D [∵a<0，－10，ab2<0.
∴ab>a，ab>ab2.
∵a－ab2＝a(1－b2)＝a(1＋b)(1－b)<0，
∴a0.∴M>N.]
4．B [∵x2－ax－12a2<0(a<0)
⇔(x－4a)(x＋3a)<0
⇔4a1，∴x＋ 1
x－1
＝(x－1)＋ 1
x－1
＋1≥
2 x－1· 1
x－1
＋1＝3.∴a≤3.]
7．A [f(x)≥x2⇔ x≤0
x＋2≥x2
或 x>0
－x＋2≥x2
⇔ x≤0
x2－x－2≤0
或 x>0
x2＋x－2≤0
⇔ x≤0
－1≤x≤2
或 x>0
－2≤x≤1
⇔－1≤x≤0 或 00，
故选 B.]
11．D [M＝
1
a
－1 1
b
－1 1
c
－1
＝
a＋b＋c
a
－1 a＋b＋c
b
－1 a＋b＋c
c
－1
＝
b
a
＋c
a ·
a
b
＋c
b ·
a
c
＋b
c
≥2 b
a·c
a·2 a
b·c
b·2 a
c·b
c
＝8.
∴M≥8，当 a＝b＝c＝1
3
时取“＝”．]
12．D [∵x∈(0,3)，∴x－1∈(－1,2)，
∴(x－1)2∈[0,4)，
∴f(x)＝(x－1)2＋ 1
x－12
－1
≥2 x－12· 1
x－12
－1＝2－1＝1.
当且仅当(x－1)2＝ 1
x－12
，且 x∈(0,3)，
即 x＝2 时取等号，∴当 x＝2 时，函数 f(x)有最小值 1.]
13．－2
解析 ∵t>0，
∴y＝t2－4t＋1
t
＝t＋1
t
－4≥2－4＝－2.
14．－20，b>0，a≠b，
∴(a－b)2>0，a－b>0，ab>0，
∴(a2
b
＋b2
a )－(a＋b)>0，∴a2
b
＋b2
a >a＋b.
18．证明 ∵a，b，c∈(0，＋∞)，
∴a＋b≥2 ab>0，b＋c≥2 bc>0，
c＋a≥2 ac>0，
∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc>0.
∴ abc
a＋bb＋cc＋a
≤1
8
即( a
a＋b)·( b
b＋c)·( c
c＋a)≤1
8.
当且仅当 a＝b＝c 时，取到“＝”．
19．解 不等式 ax
x－2>1 可化为a－1x＋2
x－2
>0.
∵a<1，∴a－1<0，
故原不等式可化为
x－ 2
1－a
x－2
<0.
故当 00 时，y＝ 1
2t＋1
t
≤ 1
2 2t·1
t
＝ 2
4 .
当且仅当 2t＝1
t
，即 t＝ 2
2
时等号成立．
即当 x＝－3
2
时，ymax＝ 2
4 .
21．解 (1)设 DN 的长为 x(x>0)米，
则 AN＝(x＋2)米．
∵DN
AN
＝DC
AM
，∴AM＝3x＋2
x
，
∴SAMPN＝AN·AM＝3x＋22
x
，
由 SAMPN>32，得3x＋22
x
>32.
又 x>0，得 3x2－20x＋12>0，
解得：06，
即 DN 长的取值范围是(0，2
3)∪(6，＋∞)．
(2)矩形花坛 AMPN 的面积为
y＝3x＋22
x
＝3x2＋12x＋12
x
＝3x＋12
x
＋12≥2 3x·12
x
＋12＝24，
当且仅当 3x＝12
x
，即 x＝2 时，
矩形花坛 AMPN 的面积取得最小值 24.
故 DN 的长为 2 米时，矩形 AMPN 的面积最小，
最小值为 24 平方米．
22．解 设此工厂每天应分别生产甲、乙两种产品 x 吨、y 吨，获得利润 z 万元．
依题意可得约束条件：
9x＋4y≤360
4x＋5y≤200
3x＋10y≤300
x≥0
y≥0
作出可行域如图.
利润目标函数 z＝6x＋12y，
由几何意义知，当直线 l：z＝6x＋12y 经过可行域上的点 M 时，z＝6x＋12y 取最大值．解
方程组 3x＋10y＝300
4x＋5y＝200
，
得 x＝20，y＝24，即 M(20,24)．
答 生产甲种产品 20 吨，乙种产品 24 吨，才能使此工厂获得最大利润．
