2020年高中数学第一章导数及其应用1

2020年高中数学第一章导数及其应用1

‎1.2.1‎‎-1.2.2 第2课时 导数的运算法则 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．设函数y＝excos x，则y′等于(　　)‎ A．excos x　　　　　　　　 B．－exsin x C．excos x＋exsin x D．excos x－exsin x 解析：y′＝(ex)′cos x＋ex(cos x)′＝excos x－exsin x.‎ 答案：D ‎2．曲线f(x)＝x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：∵f′(x)＝x2－2x，∴f′(1)＝1－2＝－1，‎ ‎∴在x＝1处的切线的倾斜角为.‎ 答案：B ‎3．曲线y＝ex在(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(　　)‎ A.e2 B．2e2‎ C．e2 D. 解析：y′＝ex，∴y′|x＝2＝e2，‎ ‎∴切线方程为y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2x－e2.‎ 当x＝0时，y＝－e2；当y＝0时，x＝1.‎ ‎∴三角形的面积S＝×1×|－e2|＝，故选D.‎ 答案：D ‎4．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ 解析：y′＝a－，由题意得y′|x＝0＝2，‎ 即a－1＝2，所以a＝3.‎ 答案：D 5‎ ‎5．设函数f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，则数列{}(n∈N*)的前n项和是 (　　)‎ A. B. C. D. 解析：∵f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，∴m＝2，a＝1，∴f(x)＝x2＋x，即f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)，∴数列{}(n∈N*)的前n项和为：‎ Sn＝＋＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－＝.‎ 答案：A ‎6．若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值为________．‎ 解析：f′(x0)＝3x＝3，x0＝±1.‎ 答案：±1‎ ‎7．函数f(x)＝的导数为________．‎ 解析：设u＝2x＋x2，‎ 故f(x)＝就由f(u)＝，u＝2x＋x2复合而成，‎ ‎∴f′(x)＝fu′·ux′＝u·(2＋2x)＝u (1＋x)＝ .‎ 答案： ‎8．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝________.‎ 解析： f′(x)＝4ax3＋2bx，f′(－1)＝－‎4a－2b＝－(‎4a＋2b)，f′(1)＝‎4a＋2b，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.‎ 答案：－2‎ ‎9．(1)设函数f(x)＝(3x2＋x＋1)(2x＋3)，求f′(x)，f′(－1)；‎ ‎(2)设函数f(x)＝x3－2x2＋x＋5，若f′(x0)＝0，求x0的值．‎ 解析：(1)f(x)＝6x3＋11x2＋5x＋3，‎ ‎∴f′(x)＝18x2＋22x＋5，‎ ‎∴f′(－1)＝18－22＋5＝1.‎ ‎(2)∵f(x)＝x3－2x2＋x＋5，‎ ‎∴f′(x)＝3x2－4x＋1，‎ 由f′(x0)＝0，得3x－4x0＋1＝0，‎ 5‎ 解得x0＝1或x0＝.‎ ‎10．曲线y＝e2xcos 3x在(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程．‎ 解析：y′＝(e2xcos 3x)′＝(e2x)′cos 3x＋e2x(cos 3x)′‎ ‎＝2e2xcos 3x＋e2x(－3sin 3x)‎ ‎＝e2x(2cos 3x－3sin 3x)‎ y′|x＝0＝2.‎ 则切线方程为y－1＝2(x－0)，‎ 即2x－y＋1＝0.‎ 若直线l与切线平行可设直线l方程为2x－y＋c＝0，‎ 两平行线间距离d＝＝⇒c＝6或c＝－4.‎ 故直线l方程为2x－y＋6＝0或2x－y－4＝0.‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．已知f(x)＝x2＋cos x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的图象是(　　)‎ 解析：函数f(x)＝x2＋cos x，f′(x)＝－sin x，‎ f′(－x)＝－sin(－x)＝－＝－f′(x)，‎ 故f′(x)为奇函数，故函数图象关于原点对称，排除B，D，‎ f′＝·－sin＝－<0.故C不对，答案为A.‎ 答案：A ‎2．若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则a等于(　　)‎ A．－1或－　　　　　 B．－1或 C．－或－ D．－或7‎ 解析：设过点(1,0)的直线与曲线y＝x3相切于点(x0，x)，则切线方程为y－x＝3x(x－x0)，即y＝3xx－2x.‎ 5‎ 又点(1,0)在切线上，代入以上方程得x0＝0或x0＝.‎ 当x0＝0时，直线方程为y＝0.‎ 由y＝0与y＝ax2＋x－9相切，可得a＝－.‎ 当x0＝时，直线方程为 y＝x－.‎ 由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切，可得a＝－1.‎ 答案：A ‎3．函数y＝x＋在点(1,2)处的切线斜率等于________．‎ 解析：y′＝(x＋)′＝1－，‎ ‎∴k＝y′|x＝1＝1－＝0.‎ 答案：0‎ ‎4．设函数f(x)＝cos(x＋φ)(0＜φ＜π)，若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝________.‎ 解析：f′(x)＝－sin(x＋φ)，‎ f(x)＋f′(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)＝2sin.‎ 若f(x)＋f′(x)为奇函数，则f(0)＋f′(0)＝0，即0＝2sin，∴φ＋＝kπ(k∈Z)．‎ 又∵φ∈(0，π)，∴φ＝.‎ 答案： ‎5．抛物线C1：y＝x2－2x＋2与抛物线C2：y＝－x2＋ax＋b在它们的一个交点处的切线互相垂直．‎ ‎(1)求a，b之间的关系；‎ ‎(2)若a>0，b>0，求ab的最大值．‎ 解析：(1)设两抛物线的交点为M(x0，y0)，‎ 由题意知x－2x0＋2＝－x＋ax0＋b，‎ 整理得2x－(2＋a)x0＋2－b＝0①‎ 由导数可得抛物线C1，C2在交点M处的切线斜率为k1＝2x0－2，k2＝－2x0＋a.因两切线互相垂直，则有k1k2＝－1，即(2x0－2)·(－2x0＋a)＝－1，‎ 5‎ 整理得2[2x－(2＋a)x0]＋‎2a－1＝0②‎ 联立①和②，消去x0，得a＋b＝.‎ ‎(2)由(1)知a＋b＝，又a>0，b>0，‎ ‎∴ab≤()2＝()2＝.‎ 当且仅当a＝b＝时，取等号，故ab的最大值为.‎ ‎6．设函数f(x)＝ax＋(a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3.‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点的切线与直线x＝1和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值．‎ 解析：(1)f′(x)＝a－，‎ 于是解得或 因为a，b∈Z，故f(x)＝x＋.‎ ‎(2)证明：在曲线上任取一点，‎ 由f′(x0)＝1－知，过此点的切线方程为 y－＝(x－x0)．‎ 令x＝1，得y＝，‎ 切线与直线x＝1的交点为；‎ 令y＝x，得y＝2x0－1，‎ 切线与直线y＝x的交点为(2x0－1,2x0－1)；‎ 直线x＝1与直线y＝x的交点为(1,1)，从而所围成的三角形的面积为|2x0－1－1|＝‎ |2x0－2|＝2.‎ 所以所围成的三角形的面积为定值2.‎ 5‎