苏科版数学八年级上册《等边三角形》课后练习二

苏科版数学八年级上册《等边三角形》课后练习二

等边三角形 重难点易错点解析 题一： 题面：如图，等腰直角△ABC 中，CA=CB，点 E 为△ABC 外一点，CE=CA，且 CD 平分∠ACB 交 AE 于 D，且∠CDE=60°．求证：△CBE 为等边三角形． 题二： 题面：已知 ：如图，△ABC 中，∠C=90°，学习等边三角形时，我们知道，如果∠A=30°， 那么 AB=2BC，由此我们猜想，如果 AB=2BC，那么∠A=30°，请你利用轴对称变换，证明这 个结论． 金题精讲 题一： 题面：已知：如图，△BCE、△ACD 分别是以 BE、AD 为斜边的直角三角形，且 BE=AD，△CDE 是等边三角形．求证：△ABC 是等边三角形． 题二： 题面：如图，已知△ABC 是等边三角形，点 D、F 分别在线段 BC、AB 上，∠EFB=60°，DC=EF． (1)求证：四边形 EFCD 是平行四边形； (2)若 BF=EF，求证：AE=AD． 题三： 题面：如图，△ABC 中，AB=8，AC=11，BC 边上的垂直平分线分别交 AC、BC 于点 E、D，则 △ABE 的周长等于 . 题四： 题面：如图，△ABC 是等边三角形，点 D 是边 BC 上(除 B、C 外)的任意一点，∠ADE=60°， 且 DE 交△ABC 外角∠ACF 的平分线 CE 于点 E． (1)求证：∠1=∠2； (2)求证：AD=DE． 思维拓展 题面：已知等腰△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，且 AD= 1 2 BC，则△ABC 底角的度数为( ) A ．45° B．75° C．45°或 75° D．60° 课后练习详解 重难点易错点解析 题一： 答案：见详解 详解：∵CA=CB，CE=CA， ∴BC=CE，∠CAE=∠CEA， ∵CD 平分∠ACB 交 AE 于 D，且∠CDE=60°， ∴∠ACD=∠DCB=45°，∠DAC+∠ACD=∠EDC=60°， ∴∠DAC=∠CEA=15°， ∴∠ACE=150°， ∴∠BCE=60°， ∴△CBE 为等边三角形 题二： 答案：∠A=30°. 详解：如图，延长 BC 至点 D，使 CD=BC，连接 AD， 则△ABC 和△ADC 关于直线 AC 成轴对称， ∴AB=AD，BD=2BC，∠BAC=∠DAC， ∵AB=2BC， ∴AB=BD， ∴AB=AD=BD， ∴△ABD 是等边三角形， ∴∠BAD=60°， ∴∠BAC= 1 2 ∠BAD= 1 2 ×60°=30°． 金题精讲 题一： 答案：见详解 详解：∵△CDE 是等边三角形， ∴EC=CD，∠1=60°． ∵BE、AD 都是斜边， ∴∠BCE=∠ACD=90° 在 Rt△BCE 和 Rt△ACD 中， EC＝DC，BE＝AD ∴Rt△BCE≌Rt△ACD(HL)． ∴BC=AC． ∵∠1+∠2=90°，∠3+∠2=9 0°， ∴∠3=∠1=60°． ∴△ABC 是等边三角形． 题二： 答案：见详解 详解： (1)∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC=60°. ∵∠EFB=60°，∴∠ABC=∠EFB.∴EF∥DC(内错角相等，两直线平行). ∵DC=EF，∴四边形 EFCD 是平行四边形. (2)连接 BE. ∵BF=EF，∠EFB=60°，∴△EFB 是等边三角形. ∴EB=EF，∠EBF=60°. ∵DC=EF，∴EB=DC. ∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB=60°，AB=AC. ∴∠EBF=∠ACB.∴△AEB≌△ADC(SAS).∴AE=AD. 题三： 答案：19． 详解：∵BC 边上的垂直平分线是 DE， ∴BE=CE， ∵AB=8，AC=11， ∴△ABE 的周长为：AB+AE+BE=AB+AE+CE=AB+AC=8+11=19． 故答案为：19． 题四： 答案：见详解 详解：(1)∵△ABC 是等边三角形，∠ADE=60° ∴∠ADE=∠B=60°，∠ADC=∠2+∠ADE=∠1+∠B ∴∠1=∠2． (2)如图，在 AB 上取一点 M，使 BM=BD，连接 MD． ∵△ABC 是等边三角形 ∴∠B=60° ∴△BMD 是等边三角形，∠BMD=60°．∠AMD=120°． ∵CE 是△ABC 外角∠ACF 的平分线， ∴∠ECA=60°，∠DCE=120°． ∴∠AMD=∠DCE， ∵BA BM=BC BD，即 MA=CD． 在△AMD 和△DCE 中 ∠1＝∠2，AM＝DC，∠AMD＝∠DCE， ∴△AMD≌△DCE(ASA)． ∴AD=DE． 思维拓展 答案：C. 详解：根据题意画出图形，注意分别从∠BAC 是顶角与∠BAC 是底角去分析，然后利用等腰 三角形与直角三角形的性质，即可求得答案： 如图 1：AB=AC， ∵AD⊥BC，∴BD=CD= 1 2 BC，∠ADB=90°. ∵AD= 1 2 BC，∴AD=BD. ∴∠B=45°. 即此时△ABC 底角的度数为 45°. 如图 2，AC=BC， ∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°. ∵AD= 1 2 BC，∴AD= 1 2 AC，∴∠C=30°.∴∠CAB=∠B=(1800－∠A)÷2=75°. 即此时△ABC 底角的度数为 75°. 综上所述，△ABC 底角的度数为 45°或 75°.故选 C.