抛物线及其标准方程同步试题

抛物线及其标准方程同步试题

抛物线及其标准方程同步试题 ‎　　一、选择题 ‎　　1．若 是定直线 外的一定点，则过 与 相切圆的圆心轨迹是（　）‎ ‎　　A．圆       B．椭圆     C．双曲线一支       D．抛物线 ‎　　2．抛物线 的焦点到准线的距离是（　）‎ ‎　　A．2.5      B．5        C．7.5      D．10‎ ‎　　3．已知原点为顶点， 轴为对称轴的抛物线的焦点在直线 上，则此抛物线的方程是（　）‎ ‎　　A．　　B．　　C．　　D． ‎ ‎　　4．．抛物线 的焦点坐标是（　）．‎ ‎　　A．　　B．　　C．　　D． ‎ ‎　　5．抛物线 （ ）的焦点坐标为（　）‎ ‎　　A．        B． ‎ ‎　　C．       D． 时为 ， 时为 ‎ ‎　　6．抛物线 的准线方程是（　）‎ ‎　　A．　　B．　　C．　　D． ‎ ‎　　7．若点 到点 的距离比它到直线 的距离小1，则 点的轨迹方程是（　）‎ ‎　　A．        B． ‎ ‎　　C．         D． ‎ ‎　　8．抛物线 的焦点位于（　）‎ ‎　　A． 轴的负半轴上       B． 轴的正半轴上 ‎　　C． 轴的负半轴上       D． 轴的正半轴上 ‎　　9．抛物线 的焦点坐标是（　）‎ ‎　　A．        B． ‎ ‎　　C．      D． ‎ ‎　　10．与椭圆 有相同的焦点，且顶点在原点的抛物线方程是（　）‎ ‎　　A．　　B．　　C．　　D． ‎ ‎　　11．过（0，1）作直线，使它与抛物线 仅有一个公共点，这样的直线有（　）条 ‎　　A．1        B．2        C．3        D．4‎ ‎　　12．设抛物线 （ ）与直线 （ ）有两个公共点，其横坐标分别是 、 ，而 是直线与 轴交点的横坐标，则 、 、 关系是（　）‎ ‎　　A．　　B． ‎ ‎　　C．　　D． ‎ ‎　　13．已知点 ， 是抛物线 的焦点，点 在抛物线上移动时， 取得最小值时 点的坐标为（　）．‎ ‎　　A．（0，0）　　B． 　　C．　　D．（2，2）‎ ‎　　14．设 ， 是抛物线 上的不同两点，则 是弦 过焦点的（　）．‎ ‎　　A．充分不必要条件　　B．必要不充分条件 ‎　　C．充要条件　　D．不充分不必要条件 ‎　　二、填空题　‎ ‎　　1．过点（－2，3）的抛物线的标准方程为__________．‎ ‎　　2．点M与 的距离比它到直线 的距离小1，则点 的轨迹方程为___________．‎ ‎　　3．已知椭圆以抛物线 的顶点为中心，以此抛物线的焦点为右焦点，又椭圆的短轴长为2，则此椭圆方程为___________．‎ ‎　　4．在抛物线 上有一点 ，它到焦点的距离是20，则 点的坐标是_________．‎ ‎　　5．已知抛物线 （ ）上一点 到焦点 的距离等于 ，则 =_______， =________．‎ ‎　　6．抛物线 的焦点弦的端点为 ， ，且 ，则 =_______．‎ ‎　　7．若正三角形的一个顶点在原点，另两个顶点在抛物线 （ ）上，则这个三角形的面积为__________．‎ ‎　　8．抛物线 上的一点 到 轴的距离为12，则 与焦点 间的距离 =______．‎ ‎　　9．若以曲线 的中心为顶点，左准线为准线的抛物线与已知曲线右准线交于 、 两点，若 点的纵坐标为 ，则 点的纵坐标为__________．‎ ‎　　10．过抛物线 的对称轴上一点 作一条直线与抛物线交于 、 两点，若 点的纵坐标为 ，则 点的纵坐标为__________．‎ ‎　　11．在抛物线 内，通过点（2，1）且在此点被平分的弦所在直线的方程是________．‎ ‎　　12．已知点（－2，3）与抛物线 （ ）的焦点的距离是5，则 =_________．‎ ‎　　13．焦点在直线 的抛物线的标准方程是________________．‎ ‎　　三、解答题 ‎　　1．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是 轴，抛物线上的点 到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和 的值．‎ ‎　　2．已知点 和抛物线 上的动点 ，点 分线段 为 ，求点 的轨迹方程．‎ ‎　　3．求顶点在原点，以 轴为对称轴，其上各点与直线 的最短距离为1的抛物线方程．‎ ‎　　4．抛物线的顶点在原点 ，焦点在 轴上， 、 为抛物线上两点，且 ， 方程为 ， ，求抛物线方程．‎ ‎　　5．若直线 交抛物线 于 、 两点，且 中点的横坐标是2，求 ．‎ ‎　　6．过抛物线 的焦点引一直线，已知直线被抛物线截得的弦被焦点分成2：1，求这条直线的方程．‎ ‎　　7．某抛物线形拱桥跨度是20米，拱度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱长． ‎ ‎　　8．已知抛物线 ，过焦点 的直线 交抛物线交于 ， 两点，直线 的倾斜角为 ，求证： ．‎ ‎　　9．是否存在同时满足下列两个条件的直线 ：①与抛物线 有两个不同的交点 ， ；②线段 被直线 垂直平分．若不存在，说明理由；若存在，求出 的方程．‎ ‎　　10．如果抛物线 和圆 相交，它们在 轴上方的交点为 、 ，那么当 为何值时，线段 中点 在直线 ？‎ ‎　　参考答案： ‎ ‎　　一、1．D　2．B　3．D　4．B　5．C　6．D　7．C　8．C　9．B ‎　　10．B　11．C　12．C　13．D　14．C ‎　　二、1． 或；2．；3． ‎ ‎　　4．（18，12）或（18，－12）；5． ，；6．4 ‎ ‎　　7．；8．13；9．；10． ‎ ‎　　11．；12．4；13． 或 ‎ ‎　　三、1．据题意可知，抛物线方程应设为 （ ），则焦点是 ‎ ‎　　 点 在抛物线上，且 ，故 ， ‎ ‎　　解得   或 ‎ ‎　　 抛物线方程 ， ‎ ‎　　2．设 ， ， ‎ ‎　　 ， ‎ ‎　　即 ， ，而点 在抛物线 上， ‎ ‎　　 ，即所求点 的轨迹方程为 ‎ ‎　　3．依题设可设抛物线方程为 （ ）‎ ‎　　 此抛物线上各点与直线 的最短距离为1，此抛物线在直线 下方而且距离为1的直线 相切．‎ ‎　　由 有 ‎ ‎　　   ‎ ‎　　 所求抛物线方程为： ‎ ‎　　4．设方程为 （ ）‎ ‎　　 ， 方程为    方程为 ‎ ‎　　由     ，由 ‎ ‎　　 ，又 ‎ ‎　　又     ， 所求方程为 ‎ ‎　　由对称性可知开口向左的方程为 ‎ ‎　　5． ‎ ‎　　6．由 得焦点 ，设所求弦两端点为 ， ，直线 ‎　　　　①‎ ‎　　　　　②‎ ‎　　又 过焦点 ，且 ，故    ③‎ ‎　　由②③解得 或 ‎ ‎　　把 、 代入①式得 ‎ ‎　　故所求的直线方程为 ‎ ‎　　7．3.84米．  ‎ ‎　　8．分 、 两种情况证明．‎ ‎　　9．若存在直线 ，则 垂直平分 ，所以 ．设 的方程为 ，代入 ‎　　 整理得 ，则 中点为 ，代入 的方程得 ，故 ．经检验满足 ，故符合条件的直线 存在，其方程为 ．‎ ‎　　10．设 ， ， ，由 及 可得 ．因为 ，‎ ‎　　 ．‎ ‎　　所以 ， ．又 在直线 上，所以 ，解得 ，又由 得 或 ．所以当 时，线段 的中点 在直线 上．‎ ‎ ‎ ‎ ‎