2020人教版数学八年级上册重点知识点梳理归纳 附同步试题

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2020人教版数学八年级上册重点知识点梳理归纳 附同步试题

八年级数学上册暑假预习资料知识点清单+测试题 第十一章 三角形知识点清单 一、知识框架: 二、知识概念: 1.三角形:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成 的图形叫做三角形. 2.三边关系:三角形任意两边的和大于第三边,任意两边的差 小于第三边. 3.高:从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点 和垂足间的线段叫做三角形的高. (钝角三角形三条高的交点在三角形外,直角三角形的三条高 的交点在三角形上,锐角三角形的三条高在三角形内) 4.中线:在三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段叫做 三角形的中线. (三条中线的交点叫重心) 5.角平分线:三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交, 这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. (三角形三条角平分线的交点到三边距离相等) 6.三角形的稳定性:三角形的形状是固定的,三角形的这个性 质叫三角形的稳定性. (例如自行车的三角形车架利用了三角形具有稳定性) 7.多边形:在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫 做多边形. 8.多边形的内角:多边形相邻两边组成的角叫做它的内角. 9.多边形的外角:多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角 叫做多边形的外角. 10.多边形的对角线:连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫 做多边形的对角线. 11.正多边形:在平面内,各个角都相等,各条边都相等的多边 形叫正多边形. 12.平面镶嵌:用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完 全覆盖,叫做用多边形覆盖平面, 13.公式与性质: ⑴三角形的内角和:三角形的内角和为 180° ⑵三角形外角的性质: 性质 1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 性质 2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. ⑶多边形内角和公式:n边形的内角和等于( 2)n  ·180° ⑷多边形的外角和:多边形的外角和为 360°. ⑸多边形对角线的条数:①从 n 边形的一个顶点出发可以引 ( 3)n  条对角线,把多边形分成( 2)n  个三角形.②n边形共有 ( 3) 2 nn 条 对角线. 第十一章 测试试题 一、选择题 1.下列说法正确的是( ) A.三角形的角平分线是射线 B.三角形的三条高都在三角形内 C.三角形的三条角平分线有可能在三角形内,也可能在三角 形外 D.三角形的三条中线相交于一点 2.在三角形的三个外角中,锐角最多只有( ) A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.0 个 3.若三角形三个内角的度数比为 1:2:3,则这个三角形是 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形 4.等腰三角形两边长分别为 3,7,则它的周长为( ) A.13 B.17 C.13 或 17 D.不能确定 5.如图,下列说法错误的是( ) A.∠B>∠ACD B.∠B+∠ACB=180°—∠A C.∠B+∠ACB<180° D.∠HEC>∠B 6.如图是一个五边形的木架,它的内角和是( )[来源: A.720° B.540° C.360° D.180° 7.以下列各组线段为边,能组成三角形的是( ) A.1cm,2cm,4cm B.8cm,6cm,4cm C.12cm,5cm,6cm D.2cm,3cm,6cm 8.下列各值能成为某多边形的内角和的是( ) A.430° B.4343° C.4320° D.4360° 9.如图,∠ABC 和∠ACB 的平分线交于 O 点,∠A=80°,则∠ BOC 等于( ) A.95° B.120° C.130° D 无法确定 10.电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC,AB=6,AC=7,BC=8, 如果跳蚤开始时在 BC 边的 P0处,BP0=2,跳蚤第一步从 P0 跳 到 AC 边的 P1(第一次落点)处,且 CP1=CP0;第二步从 P1 跳到 AB 边的 P2(第二次落点)处,且 AP2=AP1;第三步从 P2 跳到 BC 边的 P3(第三次落点)处,且 BP3=BP2;……;跳蚤 按上述规则一直跳下去,第 n 次落点为 Pn(n 为正整数),则 点 P2013 与 P2016 之间的距离为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 11.要使六边形木架不变形,至少要再钉上_______根木条. 12.下列条件中:①∠A+∠B=∠C;②∠A:∠B:∠C=1:2: 3;③∠A=90°—∠B;④∠A=∠B=∠C.能确定△ABC 是直角三 角形的条件有____________. 13.一个四边形的四个内角中,最多有________个钝角,最多有 ________个锐角. 14.如图,∠1+∠2+∠3+∠4 等于_________. 15.如图,若∠A=70°,∠ABD=120°,则∠ACD=______. 16.已知 a、b、c 是三角形的三边长,化简:︱ a—b+c︳+︱a— b—c︳=__________. 17.如图,将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上,∠1=30°, ∠2=50°,则∠3 的度数是____________. 18.如图,在△ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,则△ABD 的面 积______△ACD 的面积(填“>”“<”或“=”). 19.如图,△ABC 中,∠A=40°,∠B=72°,CE 平分∠ACB,CD ⊥AB 于 D,DF⊥CE 于 F,则 ∠CDF=_______.[来源:学_科_网 20.在△ABC 中,D、E 分别是 BCC 、AC 上的点,AE=2CE, BD=2CD,AD、BE 交于点 F,若 S△ABC=3,则四边形 DCEF 的 面积为______________. 三、解答题 [来源:Z&xx&k.Com] 21.如图所示,某厂规定一块模板中 AB、CD 的延长线相交成 80°的角,因交点不在模板上,不便测量,工人师傅连接 AC, 测得∠BAC=34°,∠DCA=65°,此时 AB、CD 的延长线相交成 的角是否符合规定?为什么? 22.如图所示,已知△ABC 中,E 是 AC 延长线上一点,D 是 BC 上一点.下面的命题正确吗?若正确,请说明理由. (1)∠1=∠E+∠A+∠B; (2)∠1>∠A. 23.如图所示,已知在△ABC 中,D 是 BC 边上一点,∠1=∠ 2,∠3=∠4,∠BAC=63°,求∠DAC 的度数. 24.如图,已知∠B=∠ADB,∠1=15°,∠2=20°,求 ∠3 的度数. 25.如图,△ABC 中,∠B=34°,∠ACB=104°,AD 是 BC 边上 的高,AE 是∠BAC 的平分线,求∠DAE 的度数. 26.如图所示,在△ABC 中,BD、CD 是∠ABC、∠ACB 的平分 线,BP、CP 是∠CBE、∠BCF 的平分线. (1)若∠A=30°,求∠BDC、∠BPC 的度数; (2)不论∠A 为多少,试探索∠D+∠P 的值是变化还是不变 化的.说明理由. 27.如图 1 所示,在△ABC 中,∠1=∠2,∠C>∠B,E 为 AD 上一点,且 EF⊥BC 于 F. (1)试探索∠DEF 与∠B、∠C 的大小关系; (2)如图 2所示,当点 E 在 AD 的延长线上时,其余条件不 变,你在(1)中探索得到的结论是否还成立?说明理由. 参考答案 1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.B 7.B 8.C 9.C 10.C 11.3 12.①②③ 13.3 14.360° 15.50° 16.2c 17.20° 18.= 19.74° 20. 2 1 21.不符合规定.理由:延长 AB、CD 相交于点 O,由三角形 内角和定理知∠AOC=180°-34°-65°=81°≠80°. 22.(1)正确.理由:∠1=∠E+∠DCE,而∠DCE=∠A+∠ B,所以∠1=∠E+∠A+∠B; (2)正确.理由:∠1>∠DCE,∠DCE>∠A,所以∠1>∠A. 23.∵∠4 是△ABD 的外角,∴∠4=∠1+∠2. 而∠1=∠2,∠3=∠4,∴∠4=2∠2=∠3. 在△ABC 中,∵∠BAC=63°,∴∠2+∠3+63°=180°, ∴ 2 1 ∠3+∠3=180°-63°,∴∠3=78°. 在△DCAC 中,∵∠4=∠3=78°,∴∠DAC=180°-78°-78° =24°. 24.∵∠ADB=∠1+∠2,∠1=15°,∠2=20°, ∴∠ADB=15°+20°=35°. ∵∠B=∠ADB,∴∠B=35°. 又∵∠3=∠B+∠2,∴∠3=35°+20°=55°. 25.在△ABC 中,∠B=34°,∠ACB=104°, ∴∠BAC=180°-34°-104°=42°. ∵AE 平分∠BAC,∴∠CAE=∠BAE=21°. ∴∠AEC=34°+21°=55°. 又∵AD 是 BC 边上的高, ∴∠DAE=90°-∠AEC=90°-55°=35°. 26.( 1)由角平分线性质可知:∠ABD=∠1,∠ACD=∠2. ∴∠BDC=180°-(∠1+∠2)=180°- 2 1 (180°-∠A)=90°+ 2 1 ∠A=90°+15°=105°. 由三角形的外角和为 360°可知:2(∠3+∠4)= 360°-( 180° -∠A), ∴∠3+∠4=90°+ 2 1 ∠A. ∴∠P=180°-(∠3+∠4)=90°- 2 1 ∠A=75°; (2)由(1)可知:∠BDC=90°+ ∠A., ∠P=90°- ∠A, ∴∠BDC+∠P=180°. ∴不论∠A 为多少,∠D+∠P 的值是不变化的. 27.( 1)∵∠1=∠2,∴∠1= 2 1 ∠BAC. ∵∠BAC=180°-(∠B+∠C), ∴∠1=90°- 2 1 (∠B+∠ C). [来源:Zxxk.Com] ∴∠EDF=∠1+∠B=90°+ 2 1 (∠B-∠C). 又∵EF⊥BC,∴∠EFD=90°, ∴∠DEF=90°-∠EDF= 2 1 (∠C-∠B);[来源:学科网] (2)当点 E 在 AD 延长线上时,其余条件不变,(1)中的结论仍 然成立.理由同(1). 第十二章 全等三角形知识点清单 一、知识框架: 二、知识概念: 1.基本定义: ⑴全等形:能够完全重合的两个图形叫做全等形. ⑵全等三角形:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. ⑶对应顶点:全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点. ⑷对应边:全等三角形中互相重合的边叫做对应边. ⑸对应角:全等三角形中互相重合的角叫做对应角. 2.基本性质: ⑴三角形的稳定性:三角形三边的长度确定了,这个三角形的 形状、大小就全确定,这个性质叫做三角形的稳定性. ⑵全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等. 3.全等三角形的判定定理: ⑴边边边( SSS ):三边对应相等的两个三角形全等. ⑵边角边( SAS ):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全 等. ⑶角边角( ASA):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全 等. ⑷角角边( AAS ):两角和其中一个角的对边对应相等的两个三 角形全等. ⑸斜边、直角边( HL ):斜边和一条直角边对应相等的两个直 角三角形全等. 4.角平分线: ⑴画法: ⑵性质定理:角平分线上的点到角的两边的距离相等. ⑶性质定理的逆定理:角的内部到角的两边距离相等的点在角 的平分线上. (三角形三条角平分线的交点到三边距离相等) 5.证明的基本方法: ⑴明确命题中的已知和求证.(包括隐含条件,如公共边、公共 角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边 角关系) ⑵根据题意,画出图形,并用数字符号表示已知和求证. ⑶经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程. 第十二章 测试试题 一、填空题 1.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC 交 BC 于 点 D.若 CD=4,则点 D 到斜边 AB 的距离为________. 2.如图,若△AOB≌△A′OB′,∠B=30°,∠AOA′=52°,OB 与 A′B′交于点 C,则∠A′CO 的度数是________. 3.如图,在△ABC 中,∠B=∠C=50°,BD=CF,BE=CD, 则∠EDF 的度数是________. 4.如图,AD 是△ABC 的角平分线,DE⊥AC,垂足为 E,BF ∥AC 交 ED 的延长线于点 F.若 BC 恰好平分∠ABF,AE=2BF, 给出下列四个结论:①DE=DF;②DB=DC;③AD⊥BC;④ AC=3BF,其中正确的结论是________(填序号). 二、选择题 5.下列各组的两个图形属于全等图形的是( ) 6.如图,已知△ABC≌△CDA,∠BAC=85°,∠B=65°,则 ∠CAD 的度数为( ) A.85° B.65° C.40° D.30° 7.如图,AE∥DF,AE=DF,要使△EAC≌△FDB,需要添加 下列选项中的( ) A.AB=CD B.CE=BF C.∠A=∠D D.AB=BC 8.如图,两根长度为 12 米的绳子,一端系在旗杆上,另一端 分别固定在地面两个木桩上,则两个木桩离旗杆底部的距离 BD 与 CD 的大小关系是( ) A.BD>CD B.BD<CD C.BD=CD D.不能确定 9.如图,AB∥CD,AP、CP 分别平分∠BAC、∠ACD,PE⊥ AC 于点 E,PN⊥DC 于点 N,交 AB 于点 M.若 PE=3,则 MN 的长为( ) A.3 B.6 C.9 D.无法确定 10.如图是由 4 个相同的小正方形组成的网格图,其中∠1+ ∠2 等于( ) A.90° B.150° C.180° D.210° 11.如图,已知 EA⊥AB,BC∥EA,ED=AC,AD=BC,则下 列式子不一定成立的是( ) A.∠EAF=∠ADF B.DE⊥AC C.AE=AB D.EF=FC 12.如图,在方格纸中以 AB 为一边作△ABP,使之与△ABC 全 等,从 P1,P2,P3,P4 四个点中找出符合条件的点 P,则点 P 有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 13.如图,在△ABC 中,∠C=90°,AC=BC,AD 平分∠CAB 交 BC 于点 D,DE⊥AB 于点 E.若 BC=7,则 AE 的长为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 14.如图,在△ABC 和△DEB 中,点 C 在边 BD 上,AC 交 BE 于点 F.若 AC=BD,AB=ED,BC=BE,则∠ACB 等于( ) A.∠EDB B.∠BED C.1 2∠AFB D.2∠ABF 三、解答题 15.如图,已知△ABE≌△ACD. (1)如果 BE=6,DE=2,求 BC 的长; (2)如果∠BAC=75°,∠BAD=30°,求∠DAE 的度数. 16.如图,已知 CE⊥AB,DF⊥AB,AC=BD,CE=DF.求证: AC∥BD. 17.如图,两车从路段 AB 的两端同时出发,沿平行路线以相 同的速度行驶,相同时间后分别到达 C、D 两地,CE⊥AB, DF⊥AB,C、D 两地到路段 AB 的距离相等吗?为什么? 18.如图,已知∠DAB=∠CBE=90°,点 E 是线段 AB 的中 点,CE 平分∠DCB 且与 DA 的延长线相交于点 F,连接 DE. 求证:DE 平分∠FDC. 19.如图,在△ABC 中,点 O 是∠ABC、∠ACB 平分线的交 点,AB+BC+AC=12,过点 O 作 OD⊥BC 于点 D,且 OD= 2,求△ABC 的面积. 20.如图,已知△ABC,按如下步骤作图:①以 A 为圆心,AB 长为半径画弧;②以 C 为圆心,CB 长为半径画弧,两弧相交 于点 D;③连接 BD,与 AC 交于点 E,连接 AD,CD. (1)求证:△ABC≌△ADC; (2)试猜想 BD 与 AC 的位置关系,并说明理由. 21.阅读下面材料: 学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”) 和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后,小聪继续对“两个 三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究. 小聪将命题用符号语言表示为:在△ABC 和△DEF 中,AC= DF,BC=EF,∠B=∠E. 小聪的探究方法是对∠B 分为“直角、钝角、锐角”三种情况进 行探究. 第一种情况:当∠B 是直角时,如图①,在△ABC 和△DEF 中, AC=DF,BC=EF,∠B=∠E=90°,根据“HL”,可以判定 Rt△ABC≌Rt△DEF; 第二种情况:当∠B 是锐角时,如图②,BC=EF,∠B=∠E <90°,在射线 EM 上有点 D,使 DF=AC,则△ABC 和△DEF 的关系是________; A.全等 B.不全等 C.不一定全等 第三种情况:当∠B 是钝角时,如图③,在△ABC 和△DEF 中, AC=DF,BC=EF,∠B=∠E>90°.过点 C 作 AB 边的垂线, 交 AB 的延长线于点 M,过点 F 作 DE 边的垂线,交 DE 的延 长线于点 N,根据“AAS”,可以知道△CBM≌△FEN,请补全 图形,进而证出△ABC≌△DEF. 22.如图,在△ABC 中,∠B=∠C,AB=8,BC=6,点 D 为 AB 的中点,点 P 在线段 BC 上以每秒 2 个单位长度的速度由 点 B 向点 C 运动,同时点 Q 在线段 CA 上以每秒 a 个单位长 度的速度由点 C 向点 A 运动.设运动时间为 t 秒(0≤t≤3). (1)用含 t 的代数式表示线段 PC 的长; (2)若点 P、Q 的运动速度相等,当 t=1 时,△BPD 与△CQP 是否全等?请说明理由. (3)若点 P、Q 的运动速度不相等,则当△BPD 与△CQP 全等 时,求 a 的值. 23.(1)如图①,点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 BC、CD 上,∠EAF=45°,试判断 BE、EF、FD 之间的数量关系; (2)小聪延长 CD 至点 G,使 DG=BE,连接 AG,得到△ADG, 从而发现 EF=BE+FD,请你利用图①证明上述结论; (3)如图②,四边形 ABCD 中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+ ∠D=180°,点 E、F 分别在边 BC、CD 上,则当∠EAF 与∠ BAD 满足______________关系时,仍有 EF=BE+FD,说明 理由. 参考答案 1.4 2.82° 3.50° 4.①②③④ 5-14:DDACB CDCDC 15.解:(1)∵△ABE≌△ACD,∴BE=CD,∠BAE=∠CAD.又 ∵BE=6,DE=2,∴EC=DC-DE=BE-DE=4,∴BC=BE +EC=10. (2)∵∠CAD=∠BAC-∠BAD=75°-30°=45°,∴∠BAE=∠ CAD=45°,∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=45°-30°=15°. 16.证明:∵CE⊥AB,DF⊥AB,∴∠AEC=∠BFD=90°.(2 分)在 Rt△ACE 和 Rt△BDF 中,∵  AC=BD, CE=DF,∴Rt△ACE≌ Rt△BDF(HL),∴∠A=∠B,∴AC∥BD. 17.解:C、D 两地到路段 AB 的距离相等.理由如下:由题 意可知AC=BD.∵CE⊥AB,DF⊥AB,∴∠AEC=∠BFD=90°. ∵ AC ∥ BD , ∴∠A = ∠ B. 在 △AEC 和 △BFD 中 ,   ∠AEC=∠BFD, ∠A=∠B, AC=BD, ∴△AEC≌△BFD(AAS),∴CE=DF,∴ C、D 两地到路段 AB 的距离相等. 18.证明:过点 E 作 EH⊥CD.∵CE 平分∠DCB,∠CBE=90°, ∴BE=EH.∵点 E 是线段 AB 的中点,∴AE=BE,∴AE=EH. 又∵∠DAB=90°,∴DE 平分∠FDC. 19.解:如图,作 OE⊥AB 于 E,OF⊥AC 于 F,连接 OA.(2 分)∵点 O 是∠ABC、∠ACB 的平分线的交点,∴OE=OD, OF=OD,即 OE=OF=OD=2,(5 分)∴S△ABC=S△ABO+S△BCO +S△ACO=1 2CAB·OE+1 2CBC·OD+1 2CAC·OF=1 2 222(AB+BC+AC) =1 222212=12. 20.(1)证明:由作图步骤可得 AB=AD,BC=DC.在△ABC 与 △ADC 中,   AB=AD, BC=DC, AC=AC, ∴△ABC≌△ADC(SSS). (2)解:BD⊥AC.(5 分)理由如下:由(1)知△ABC≌△ADC, ∴∠BAC=∠DAC.在△ABE 与△ADE 中,   AB=AD, ∠BAE=∠DAE, AE=AE, ∴△ABE≌△ADE(SAS),∴∠AEB=∠AED.(8 分)又∵∠AEB +∠AED=180°,∴∠AEB=90°,∴BD⊥AC. 21.解:第二种情况:C 解析:由题意可知满足条件的点 D 有两个(如图②),所以△ABC 和△DEF 不一定全等.故选 C. 第三种情况:补全图形如图③所示. 证明:∵∠ABC=∠DEF,∴∠CBM=∠FEN.∵CM⊥AB,FN ⊥DE,∴∠CMB=∠FNE=90°.在△CBM 和△FEN 中,   ∠CMB=∠FNE, ∠CBM=∠FEN, BC=EF, ∴△CBM≌△FEN(AAS), ∴CM=FN.在 Rt△AMC 和 Rt△DNF 中,  CM=FN, AC=DF, ∴Rt△AMC≌Rt△DNF(HL),∴∠A=∠D.在△ABC和△DEF中,   ∠A=∠D, ∠ABC=∠DEF, BC=EF, ∴△ABC≌△DEF(AAS). 22.解:(1)PC=BC-PB=6-2t. (2)△BPD 与△CQP 全等.理由如下:∵t=1,∴PB=CQ=2, ∴PC=BC-PB=6-2=4.∵AB=8,点 D 为 AB 的中点, ∴ BD = AD = 4 , ∴ PC = BD. 在 △BPD 与 △CQP 中 ,   BP=CQ, ∠B=∠C, BD=CP, ∴△BPD≌△CQP(SAS). (3)∵点 P、Q 的运动速度不相等,∴BP≠CQ.又∵△BPD 与 △CQP 全等,∠B=∠C,∴BP=PC,BD=CQ,∴2t=6-2t, at=4,解得 t=3 2,a=8 3. 23.(1)解:EF=BE+DF. (2)证明:∵四边形 ABCD 为正方形,∴AB=AD,∠B=∠ADC =∠BAD=90°,∴∠ADG=180°-∠ADC=90°=∠B.在 △ABE 和△ADG 中,   AB=AD, ∠B=∠ADG, BE=DG, ∴△ABE≌△ADG, ∴∠BAE=∠DAG.∵∠EAF=45°,∴∠DAF+∠BAE=∠ BAD-∠EAF=90°-45°=45°,∴∠DAF+∠DAG=45°,即 ∠GAF=45°,∴∠GAF=∠EAF.在△GAF 和△EAF 中,   AG=AE, ∠GAF=∠EAF, AF=AF, ∴△AFG≌△AFE(SAS),∴GF=EF. ∵GF=DG+FD=BE+FD,∴EF=BE+FD. (3)解:∠BAD=2∠EAF 理由如下:如图,延长 CB 至 M, 使 BM=DF,连接 AM.∵∠ABC+∠D=180°,∠ABC+∠ABM = 180° , ∴∠D = ∠ ABM. 在 △ABM 和 △ADF 中 ,   AB=AD, ∠ABM=∠D, BM=DF, ∴△ABM≌△ADF(SAS),∴AF=AM,∠DAF =∠BAM.∵∠BAD=2∠EAF,∴∠DAF+∠BAE=∠EAF, ∴∠BAE+∠BAM=∠EAM=∠EAF.在△FAE 和△MAE 中,   AE=AE, ∠EAF=∠EAM, AF=AM, ∴△FAE≌△MAE(SAS),∴EF=EM. ∵EM=BE+BM=BE+DF,∴EF=BE+DF. 第十三章 轴对称知识点清单 一、知识框架: 二、知识概念: 1.基本概念: ⑴轴对称图形:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部 分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形. ⑵两个图形成轴对称:把一个图形沿某一条直线折叠,如果它 能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对 称. ⑶线段的垂直平分线:经过线段中点并且垂直于这条线段的直 线,叫做这条线段的垂直平分线. ⑷等腰三角形:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等 的两条边叫做腰,另一条边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角, 底边与腰的夹角叫做底角. ⑸等边三角形:三条边都相等的三角形叫做等边三角形. 2.基本性质: ⑴对称的性质: ①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称,对称轴 都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. ②对称的图形都全等. ⑵线段垂直平分线的性质: ①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. ②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分 线上. ⑶关于坐标轴对称的点的坐标性质 ①点 P ( , )xy关于 x轴对称的点的坐标为 'P ( , )xy . ②点 P ( , )xy关于 y 轴对称的点的坐标为 "P ( , )xy . ⑷等腰三角形的性质: ①等腰三角形两腰相等. ②等腰三角形两底角相等(等边对等角). ③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线,底边上的高相 互重合. ④等腰三角形是轴对称图形,对称轴是三线合一(1 条). ⑸等边三角形的性质: ①等边三角形三边都相等. ②等边三角形三个内角都相等,都等于 60° ③等边三角形每条边上都存在三线合一. ④等边三角形是轴对称图形,对称轴是三线合一(3 条). 3.基本判定: ⑴等腰三角形的判定: ①有两条边相等的三角形是等腰三角形. ②如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相 等(等角对等边). ⑵等边三角形的判定: ①三条边都相等的三角形是等边三角形. ②三个角都相等的三角形是等边三角形. ③有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形. 4.基本方法: ⑴做已知直线的垂线: ⑵做已知线段的垂直平分线: ⑶作对称轴:连接两个对应点,作所连线段的垂直平分线. ⑷作已知图形关于某直线的对称图形: ⑸在直线上做一点,使它到该直线同侧的两个已知点的距离 之和最短. 第十三章 测试试题 一、单选题 1.在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,D,E 是边 AB 上两点,且 CE 所在 直线垂直平分线段 AD,CD 平分∠BCE,AC=5cm,则 BD 的长 为( ) A. 5cm B. 6cm C. 7cm D. 8cm 2.如图,点 P 是∠AOB 内任意一点,OP=6cm,点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点,△PMN 周长的最小值 是 6cm,则∠AOB 的度数是( ) A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 3.在 424 的正方形网格中,已将图中的四个小正方形涂上阴 影,若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影,是整个阴 影部分组成的图形成轴对称图形,那么符合条件的小正方形 共有( ) A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 4.在平面直角坐标系中,点 P(﹣3,2)关于直线 对称点的 坐标是( ) A. (﹣3,﹣2) B. (3,2) C. (2,﹣3) D. (3,﹣2) 5.如图,在五边形 ABCDE 中,AB=AC=AD=AE,且 AB∥ ED,∠EAB=120°,则∠DCB=( ) A. 150° B. 160° C. 130° D. 60° 6.已知等腰三角形的周长为 14,其腰长为 4,则它的底边长为 ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 4 或 6 7.如图,AD⊥BC,BD=DC,点 C 在 AE 的垂直平分线上,则 AB,AC,CE 的长度关系为( ) A. AB>AC=CE B. AB=AC>CE C. AB>AC>CE D. AB=AC=CE 8.点 P(2,﹣3)关于 x 轴的对称点的坐标为( ) A. (﹣2,﹣3) B. (2,3) C. (﹣2,3) D. (3,﹣2) 9.在一些美术字中,有的汉字是轴对称图形.下面 4 个汉字 中,可以看作是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 10.△ABC 中,AB=AC,CD 为 AB 上的高,且△ADC 为等腰 三角形,则∠BCD 等于( ) A. 67.5° B. 22.5° C. 45° D. 67.5°或 22.5° 11.等腰三角形的一个角是 40°,则它的顶角是( ) A. 40° B. 70° C. 100° D. 40°或 100° 12.在△ABC 中,AD 是∠BAC 的角平分线,且 AB=AC+CD. 若∠BAC=60°则∠ABC=( ) A. 20° B. 30° C. 40° D. 50° 二、填空题 13.如图△ABC 中,∠BAC=78°,AB=AC,P 为△ABC 内一 点,连 BP,CP,使∠PBC=9°,∠PCB=30°,连 PA,则∠ BAP 的度数为_______. 14.在平面直角坐标系中,过(-1,0)作 y 轴的平行线 L,若 点 A(3,-2),则 A 点关于直线 L 对称的点的坐标为 ______. 15.如图所示,△ABC 为等边三角形,D 为 AB 的中点,高 AH=10 cm,P 为 AH 上一动点,则 PD+PB 的最小值为 _______cm. 16.如图为 6 个边长相等的正方形的组合图形,则 ______ 17.如图,在△ABC 中,AB=AC,DE 是 AB 的垂直平分线,△BCE 的周长为 24,BC=10 则 AB 的长为______. 三、解答题 18.如图,在长度为 1 个单位长度的小正方形组成的正方形网 格中,点 A、B、C 在小正方形的顶点上. (1)在图中画出与△ABC 关于直线 l 成轴对称的△A′B′C′; (2)在直线 l 上找一点 P(在答题纸上图中标出),使 PB+PC 的长最短. 19.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB 的垂 直平分线分别交 AB 和 AC 于点 D、E. (1)求证:AE=2CE; (2)连结 CD,请判断△BCD 的形状,并说明理由. 20.如图,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AE=AC,AF⊥ CB,垂足为 F. (1)求证:△ABC≌△ADE; (2)求∠FAE 的度数; (3)求证:CD=2BF+DE. 21.如图,在等腰△ABC 中,AB=AC,点 D 在 BC 上,且 AD=AE. (1)若∠BAC=90°,∠BAD=30°,求∠EDC 的度数? (2)猜想∠EDC 与∠BAD 的数量关系?(不必证明) 22.如图,在△ABC 中,AB=AC,CD 是∠ACB 的平分线, DE∥BC,交 AC 于点 E. (1)求证:DE=CE. (2)若∠CDE=35°,求∠A 的度数. 第十四章 整式的乘除与分解因式知识点清单 一、知识框架: 二、知识概念: 1.基本运算: ⑴同底数幂的乘法: m n m na a a  ⑵幂的乘方: nm mnaa ⑶积的乘方: n nnab a b 2.整式的乘法: ⑴单项式单项式:系数 系数,同字母同字母,不同字母为积 的因式. ⑵单项式多项式:用单项式乘以多项式的每个项后相加. ⑶多项式 多项式:用一个多项式每个项乘以另一个多项式每 个项后相加. 3.计算公式: ⑴平方差公式:    22a b a b a b     ⑵完全平方公式: 2 222a b a ab b    ; 2 222a b a ab b    整式乘法 整式除法 因式分解 乘法法则 4.整式的除法: ⑴同底数幂的除法: m n m na a a  ⑵单项式  单项式:系数  系数,同字母  同字母,不同字母作 为商的因式. ⑶多项式 单项式:用多项式每个项除以单项式后相加. ⑷多项式 多项式:用竖式. 5.因式分解:把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形 叫做把这个式子因式分解. 6.因式分解方法: ⑴提公因式法:找出最大公因式. ⑵公式法: ①平方差公式:   22a b a b a b    ②完全平方公式:  2222a ab b a b    ③立方和: 3 3 2 2( )( )a b a b a ab b     ④立方差: 3 3 2 2( )( )a b a b a ab b     ⑶十字相乘法:     2x p q x pq x p x q      ⑷拆项法 ⑸添项法 第十四章 测试试题 一、填空题 1.计算:-x2·x3=________; 1 2a2b 3=________; -1 2 2017 222016=________. 2.因式分解:a-ab2=______________. 3.已知 2a2+2b2=10,a+b=3,则 ab=________. 4.对于实数 m,n 定义如下的一种新运算“☆”:m☆n=m2-mn -3,下列说法:①0☆1=-3;②x☆(x-2)=-2x-3;③方程 (x+1) ☆(x-1)=0 的解为 x=1 2;④整式 3x☆1 可进行因式分 解.其中正确的说法是__________(填序号). 二、选择题 5.计算(-2a)2 的结果是( ) A.-4a2 B.2a2 C.-2a2 D.4a2 6.下列运算正确的是( ) A.(x+y)2=x2+y2 B.x2·x5=x10 C.x+y=2xy D.2x3÷x=2x2 7.下列四个多项式中,能因式分解的是( ) A.a2+b2 B.a2-a+2 C.a2+3b D.(x+y)2-4 8.若(x-2)(x+3)=x2-ax+b,则 a、b 的值是( ) A.a=5,b=6 B.a=1,b=-6 C.a=-1,b=-6 D.a=5,b=-6 9.如果关于 x 的代数式 9x2+kx+25 是一个完全平方式,那 么 k 的值是( ) A.15 B.±5 C.30 D.±30 10.已知 x+y=-4,xy=2,则 x2+y2 的值为( ) A.10 B.11 C.12 D.13 11.已知 3a=5,9b=10,则 3a+2b 的值为( ) A.50 B.-50 C.500 D.-500 12.若 a、b、c 为一个三角形的三边长,则式子(a-c)2-b2 的 值( ) A.一定为正数 B.一定为负数 C.可能是正数,也可能是负数 D.可能为 0 13.图 ①是一个长为 2a、宽为 2b(a>b)的长方形,用剪刀沿图 中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长 方形,然后按图②那样拼成一个正方形,则中间空的部分的面 积是( ) A.ab B.(a+b)2 C.(a-b)2 D.a2-b2 14.在求 1+6+62+63+64+65+66+67+68+69 的值时,小林 发现:从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的 6 倍,于 是她设:S=1+6+62+63+64+65+66+67+68+69①,然后在 ①式的两边都乘以 6,得 6S=6+62+63+64+65+66+67+68 +69+610②,②-①得 6S-S=610-1,即 5S=610-1,所以 S = 610-1 5 . 得出答案后,爱动脑筋的小林想:如果把“6”换成字 母“a”(a≠0 且 a≠1),能否求出 1+a+a2+a3+a4+…+a2018 的 值?你的答案是( ) A. a2018-1 a-1 B. a2019-1 a-1 C. a2018-1 a D.a2018-1 三、解答题 15.计算: (1)x·x7; (2)a2·a4+(a3)2; (3)(-2ab3c2)4; (4)(-a3b)2÷(-3a5b2). 16.化简: (1)(a+b-c)(a+b+c); (2)(2a+3b)(2a-3b)-(a-3b)2. 17.若关于 x 的多项式(x2+x-n)(mx-3)的展开式中不含 x2 和 常数项,求 m,n 的值. 18.分解因式: (1)4x3y+xy3-4x2y2; (2)y2-4-2xy+x2. 19.观察下列关于自然数的等式: 32-4212=5; ① 52-4222=9; ② 72-4232=13; ③ …… 根据上述规律解决下列问题: (1)完成第四个等式:92-42________2=________; (2)写出你猜想的第 n 个等式(用含 n 的式子表示),并验证其正 确性. 20.小红家有一块 L 形菜地,把 L 形菜地按如图所示分成面 积相等的两个梯形种上不同的蔬菜.已知这两个梯形的上底都 是 a 米,下底都是 b 米,高都是(b-a)米. (1)请你算一算,小红家的菜地面积共有多少平方米? (2)当 a=10,b=30 时,面积是多少平方米? 21.先化简,再求值: (1)[(x-y)2+(x+y)(x-y)]÷2x,其中 x=3,y=1; (2)(m-n)(m+n)+(m+n)2-2m2,其中 m、n 满足方程组  m+2n=1, 3m-2n=11. 22.(1)已知 a-b=1,ab=-2,求(a+1)(b-1)的值; (2)已知(a+b)2=11,(a-b)2=7,求 ab 的值; (3)已知 x-y=2,y-z=2,x+z=5,求 x2-z2 的值. 23.先阅读下列材料,再解答下列问题: 材料:因式分解:(x+y)2+2(x+y)+1. 解:将“x+y”看成整体,令 x+y=A,则 原式=A2+2A+1=(A+1)2. 再将“A”还原,得原式=(x+y+1)2. 上述解题用到的是“整体思想”,“整体思想”是数学解题中常用 的一种思想方法,请你解答下列问题: (1)因式分解:1+2(x-y)+(x-y)2=__________; (2)因式分解:(a+b)(a+b-4)+4; (3)求证:若 n 为正整数,则式子(n+1)(n+2)(n2+3n)+1 的值 一定是某一个整数的平方. 参考答案 1.-x5 1 8a6b3 -1 2 2.a(1+b)(1-b) 3.2 4.①③④ 5-14:DDDCD CABCB 15.解:(1)原式=x8. (2)原式=a6+a6=2a6. (3)原式=16a4b12c8. (4)原式=a6b2÷(-3a5b2)=-1 3a. 16.解:(1)原式=(a+b)2-c2=a2+2ab+b2-c2. (2)原式=4a2-9b2-(a2-6ab+9b2)=3a2+6ab-18b2.(8 分) 17.解:原式=mx3+(m-3)x2-(3+mn)x+3n.(3 分)∵展开式 中不含 x2 和常数项,得到 m-3=0,3n=0,(6 分)解得 m=3, n=0. 18.解:(1)原式=xy(2x-y)2. (2)原式=(x-y)2-4=(x-y+2)(x-y-2). 19.解:(1)4 17 (2)第 n 个等式为(2n+1)2-4n2=4n+1.(5 分)左边=(2n+1)2- 4n2=4n2+4n+1-4n2=4n+1.右边=4n+1.左边=右边,∴ (2n+1)2-4n2=4n+1. 20.解:(1)小红家的菜地面积共有 221 2 ( a+b)(b-a)=(b2- a2)(平方米). (2)当 a=10,b=30 时,面积为 900-100=800(平方米). 21.解:(1)原式=(x2-2xy+y2+x2-y2)÷2x=(2x2-2xy)÷2x= x-y.当 x=3,y=1 时,原式=3-1=2. (2)  m+2n=1①, 3m-2n=11②,①+②,得 4m=12,解得 m=3.将 m=3 代入①,得 3+2n=1,解得 n=-1.(8 分)原式=m2-n2+m2+ 2mn+n2-2m2=2mn.当 m=3,n=-1 时,原式=2232(-1)= -6. 22.解:(1)∵a-b=1,ab=-2,∴原式=ab-(a-b)-1=- 2-1-1=-4. (2)∵(a+b)2=a2+2ab+b2=11①,(a-b)2=a2-2ab+b2=7②, ∴①-②得 4ab=4,∴ab=1. (3)由 x-y=2,y-z=2,得 x-z=4.又∵x+z=5,∴原式= (x+z)(x-z)=20. 23.(1)(x-y+1)2 (2)解:令 A=a+b,则原式=A(A-4)+4=A2-4A+4=(A- 2)2,再将 A 还原,得原式=(a+b-2)2. (3)证明:(n+1)(n+2)(n2+3n)+1=(n2+3n)[(n+1)(n+2)]+1 =(n2+3n)(n2+3n+2)+1.令 n2+3n=A,则原式=A(A+2)+ 1=A2+2A+1=(A+1)2,∴原式=(n2+3n+1)2.∵n 为正整数, ∴n2+3n+1 也为正整数,∴式子(n+1)(n+2)(n2+3n)+1 的 值一定是某一个整数的平方. 第十五章 分式知识点清单 一、知识框架 : 二、知识概念: 1.分式:形如 A B ,AB、 是整式,B 中含有字母且 B 不等于 0 的整式 叫做分式.其中 A 叫做分式的分子, 叫做分式的分母. 2.分式有意义的条件:分母不等于 0. 3.分式的基本性质:分式的分子和分母同时乘以(或除以)同 一个不为 0 的整式,分式的值不变. 4.约分:把一个分式的分子和分母的公因式(不为 1 的数)约 去,这种变形称为约分. 5.通分:异分母的分式可以化成同分母的分式,这一过程叫做 通分. 6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式 称为最简分式,约分时,一般将一个分式化为最简分式. 7.分式的四则运算: ⑴同分母分式加减法则:同分母的分式相加减,分母不变,把 分子相加减.用字母表示为: a b a b c c c  ⑵异分母分式加减法则:异分母的分式相加减,先通分,化为 同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算. 用字母表示为: a c ad cb b d bd  ⑶分式的乘法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的 分子,把分 母相乘的积作为积的分母.用字母表示为: a c ac b d bd ⑷分式的除法法则:两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒 位置后再与被除式相乘.用字母表示为: a c a d ad b d b c bc    ⑸分式的乘方法则:分子、分母分别乘方.用字母表示为: n n n aa bb  8.整数指数幂: ⑴ m n m na a a  (mn、 是正整数) ⑵ nm mnaa (mn、 是正整数) ⑶ n nnab a b (n是正整数) ⑷ m n m na a a  ( 0a  ,mn、 是正整数,mn ) ⑸ (n是正整数) ⑹ 1n na a   ( ,n 是正整数) 9.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分 母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出 未知数的值;③检验(求出未知数的值后必须验根,因为在把 分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围, 可能产生增根). 第十五章 测试试题 一、选择题 1.若代数式 1 푥-3在实数范围内有意义,则实数 x 的取值范围是 ( ) A.x<3 B.x>3 C.x≠3 D.x=3 2.下列等式成立的是( ) A.1 푎+2 푏= 3 푎+푏 B. 1 2푎+푏= 1 푎+푏 C. 푎푏 푎푏-푏2= 푎 푎-푏 D. 푎 -푎+푏=- 푎 푎+푏 3.下列运算结果为 x-1 的是( ) A.1-1 푥 B.푥2-1 푥 · 푥 푥+1 C.푥+1 푥 ÷ 1 푥-1 D.푥2+2x+1 푥+1 4.化简 푚2 푚-푛+ 푛2 푛-푚的结果是( ) A.m+n B.n-m C.m-n D.-m-n 5.当 x=6,y=3 时,代数式( 푥 푥+푦 + 2푦 푥+푦)· 3푥푦 푥+2푦的值是( ) A.2 B.3 C.6 D.9 6.计算 푎2-4 푎2+2a+1÷푎2-4a+4 (푎+1)2 - 2 푎-2的结果为 ( ) A.푎+2 푎-2 B.푎-4 푎-2 C. 푎 푎-2 D.a 7.甲、乙两人同时从 A 地出发到 B 地,如果甲的速度 v 保持不 变,而乙先用1 2v 的速度到达中点,再用 2v 的速度到达 B 地,则下 列结论中正确的是( ) A.甲、乙同时到达 B 地 B.甲先到达 B 地 C.乙先到达 B 地 D.谁先到达 B 地与 v 有关 8.(2016 黑龙江龙东中考)关于 x 的分式方程2푥-푚 푥+1 =3 的解是正 数,则字母 m 的取值范围是( ) A.m>3 B.m<3 C.m>-3 D.m<-3 二、填空题 9.某种电子元件的面积大约为 0.000 000 69 平方毫米,将 0.000 000 69 这个数用科学记数法表示为 . 10.当 x= 时,分式 푥-2 2푥+5的值为 0. 11.某市为治理污水,需要铺设一段全长 600 m 的污水排放管道. 铺设 120 m 后,为加快施工速度,后来每天比原计划增加 20 m, 结果共用 11 天完成这一任务,求原计划每天铺设管道的长度. 如果设原计划每天铺设 x m 管道,那么根据题意,可列方 程: . 12.计算:(- 2 3 푎-2푏-1c) -2 ÷(- 3 2 푎2푏-2) 2 = . 13.如图,点 A、B 在数轴上,它们所对应的数分别是-4、2푥+2 3푥-5 ,且 点 A、B 到原点的距离相等,则 x= . 14.甲、乙二人做某种机械零件,已知甲是技术能手,每小时比乙 多做 3 个,甲做 30 个所用的时间与乙做 20 个所用的时间相等, 那么甲每小时做 个零件. 15.计算(1- 1 푥+1)(x+1)的结果是 . 16.若 a2+5ab-b2=0,则푏 푎-푎 푏的值为 . 三、解答题 17.化简:2푎-1 푎-1 - 푎2-a (푎-1)2. 18.计算:(2-2푥 푥+1 + x-1)÷푥2-x 푥+1. 19.列方程或方程组解应用题: 为了响应“十三五”规划中提出的绿色环保的倡议,某校文印室 提出了每个人都践行“双面打印,节约用纸”.已知打印一份资料, 如果用 A4 厚型纸单面打印,总质量为 400 克,将其全部改成双 面打印,用纸将减少一半;如果用 A4 薄型纸双面打印,这份资料 的总质量为 160 克.已知每页薄型纸比厚型纸轻 0.8 克,求 A4 薄型纸每页的质量.(墨的质量忽略不计) 20.先化简,再求值: (2푎푏2 푎+푏 ) 3 ÷( 푎푏3 푎2-푏2) 2 ·[ 1 2(푎-푏)] 2 ,其中 a=-1 2,b=2 3. 21.解分式方程: (1)푥-3 푥-2+1=- 3 푥-2; (2) 3 푥+1= 푥 푥-1-1. 22.先化简: (2푥2+2x 푥2-1 - 푥2-x 푥2-2x+1)÷ 푥 푥+1, 然后解答下列问题: (1)当 x=3 时,求代数式的值; (2)原代数式的值能等于-1 吗?为什么? 23.先化简,再求值: 푎+3 푎+2÷푎2+6a+9 푎2-4 -푎+1 푎+3,其中 a=(3-√5)0+(1 3) -1 -√(-1)2. 24.某商场用 24 000 元购入一批空调,然后以每台 3 000 元的价 格销售,因天气炎热,空调很快售完;商场又以 52 000 元的价格 再次购入该种型号的空调,数量是第一次购入的 2 倍,但购入的 单价上调了 200 元,每台的售价也上调了 200 元. (1)商场第一次购入的空调每台进价是多少元? (2)商场既要尽快售完第二次购入的空调,又要在这两次空调销 售中获得的利润率不低于 22%,打算将第二次购入的部分空调 按每台九五折出售,最多可将多少台空调打折出售? 参考答案 1 .C 2. C 3. B 4. A 5. C 6. C 7. B 8. D 9. 6.9210-7 10. 2 11. 120 푥 +600-120 푥+20 =11(或 120 푥 + 480 푥+20 = 11) 12. 푏6 푐2 13. 11 5 14. 9 15.x 16. 5 17.原式=2푎-1 푎-1 -푎(푎-1) (푎-1)2 =2푎-1 푎-1 - 푎 푎-1 =2푎-1-푎 푎-1 =1. 18.原式=2-2푥+(푥+1)(푥-1) 푥+1 · 푥+1 푥(푥-1) =푥2-2x+1 푥+1 · 푥+1 푥(푥-1) =(푥-1)2 푥+1 · 푥+1 푥(푥-1) =푥-1 푥 . 19.设 A4 薄型纸每页的质量为 x 克,则厚型纸每页的质量为 (x+0.8)克.根据题意,得 400 푥+0.821 2=160 푥 . 解得,x=3.2. 经检验,x=3.2 是原分式方程的根,且符合题意. 答:A4 薄型纸每页的质量为 3.2 克. 20. (2푎푏2 푎+푏 ) 3 ÷( 푎푏3 푎2-푏2) 2 ·[ 1 2(푎-푏)] 2 =(2푎푏2)3 (푎+푏)3 ·(푎2-푏2)2 (푎푏3)2 · 1 4(푎-푏)2 =8푎3푏6 (푎+푏)3·(푎+푏)2(a-b)2 푎2푏6 · 1 4(푎-푏)2= 2푎 푎+푏. 当 a=-1 2,b=2 3时,原式=2×(-1 2) -1 2+2 3 =-6. 21.解析 (1)去分母,得 x-3+x-2=-3, 移项,得 x+x=-3+3+2, 合并同类项,得 2x=2, 系数化为 1,得 x=1, 经检验,x=1 为原分式方程的根, ∴分式方程的解为 x=1. (2)两边同时乘(x+1)(x-1),得 3(x-1)=x(x+1)-(x+1)(x-1),解得 x=2. 检验:当 x=2 时, (x+1)(x-1)=(2+1)(2-1)=3≠0, ∴原方程的解为 x=2. 22.原式=[ 2푥(푥+1) (푥+1)(푥-1) - 푥(푥-1) (푥-1)2]·푥+1 푥 =( 2푥 푥-1 - 푥 푥-1)·푥+1 푥 =푥+1 푥-1 . (1)当 x=3 时,原式=2. (2)不能.理由:如果푥+1 푥-1 =-1, 那么 x+1=-x+1,则 x=0, 当 x=0 时,原代数式中的除式=0,矛盾, ∴原代数式的值不能等于-1. 23.原式=푎+3 푎+2÷ (푎+3)2 (푎-2)(푎+2)-푎+1 푎+3 =푎+3 푎+22(푎+2)(푎-2) (푎+3)2 -푎+1 푎+3 = 푎-2 푎+3-푎+1 푎+3 = -3 푎+3, ∵a=(3-√5)0+(1 3) -1 -√(-1)2=1+3-1=3, ∴原式= -3 3+3=-3 6 =-1 2. 24. (1)设第一次购入的空调每台进价是 x 元,依题意,得 52 000 푥+200=2224 000 푥 ,解得 x=2 400,经检验,x=2 400 是原方程的解. 答:第一次购入的空调每台进价为 2 400 元. (2)第一次购进空调的数量为 24 000÷2 400=10 台,总收入为 3 000210=30 000 元, 第二次购进空调的数量为 52 000÷(2 400+200)=20 台,不妨设打 折售出 y 台空调, 则总收入为(3 000+200)·(20-y)+(3 000+200)·0.95y=(64 000- 160y)元. 两次空调销售的总利润为[30 000+(64 000-160y)]-(24 000+52 000)=(18 000-160y)元, 依题意,得 18 000-160y≥(24 000+52 000)222%, 解得 y≤8. 答:最多可将 8 台空调打折出售.
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