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【数学】2020届一轮复习(理)通用版4-7-1系统知识——正弦定理、余弦定理及应用举例作业
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【数学】2020届一轮复习(理)通用版4-7-1系统知识——正弦定理、余弦定理及应用举例作业
课时跟踪检测(二十五) 系统知识——正弦定理、余弦定理及应用举例 1.(2019·邵阳联考)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=3,b=,A=,则B=( ) A. B. C.或 D. 解析:选A 由正弦定理得=,∴sin B=,∴B=或B=,又b
1. ∴角B不存在,即满足条件的三角形不存在. 5.(2019·广州调研)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b=,c=4,cos B=,则△ABC的面积为( ) A.3 B. C.9 D. 解析:选B 由余弦定理b2=c2+a2-2accos B,得7=16+a2-6a,解得a=3,∵cos B=,∴sin B=,∴S△ABC=casin B=×4×3×=.故选B. 6.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=2a,b=4,cos B=.则c的值为( ) A.4 B.2 C.5 D.6 解析:选A ∵c=2a,b=4,cos B=,∴由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,即16=c2+c2-c2=c2,解得c=4. 7.(2018·兰州一模)△ABC中,内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,c=2a,bsin B-asin A=asin C,则sin B的值为( ) A. B. C. D. 解析:选C 由正弦定理,得b2-a2=ac,又c=2a,所以b2=2a2,所以cos B==,所以sin B=. 8.已知A,B两地间的距离为10 km,B,C两地间的距离为20 km,现测得∠ABC=120°,则A,C两地间的距离为( ) A.10 km B.10 km C.10 km D.10 km 解析:选D 如图所示,由余弦定理可得,AC2=100+400-2×10×20×cos 120°=700, ∴AC=10(km). 9.(2019·豫南豫北联考)线段的黄金分割点的定义:若点C在线段AB上,且满足AC2=BC·AB,则称点C为线段AB的黄金分割点.在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,若角B的平分线交边AC于点D,则点D为边AC的黄金分割点,利用上述结论,可以求出cos 36°=( ) A. B. C. D. 解析:选B 不妨设AB=2,利用黄金分割点的定义得AD=-1,易知∠A=∠ABD=36°,故AD=BD=-1.在△ABD中,cos 36°==,故选B. 10.(2019·莆田联考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若asin Bcos C+csin Bcos A=b,且a>b,则B=( ) A. B. C. D. 解析:选A ∵asin Bcos C+csin Bcos A=b,∴根据正弦定理可得sin Asin Bcos C+sin Csin Bcos A=sin B,即sin B(sin Acos C+sin Ccos A)=sin B.∵sin B≠0,∴sin(A+C)=,即sin B=.∵a>b,∴A>B,即B为锐角,∴B=,故选A. 11.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是( ) A.10 海里 B.10 海里 C.20 海里 D.20 海里 解析:选A 画出示意图如图所示,易知,在△ABC中,AB=20海里,∠CAB=30°,∠ACB=45°, 根据正弦定理得=, 解得BC=10(海里). 12.(2018·湖南长郡中学模拟)若△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2bsin 2A=asin B,且c=2b,则=( ) A.2 B.3 C. D. 解析:选A 由2bsin 2A=asin B,得4bsin A·cos A=asin B,由正弦定理得4sin B·sin A·cos A=sin A·sin B,∵sin A≠0,且sin B≠0,∴cos A=,由余弦定理得a2=b2+4b2-b2,∴a2=4b2,∴=2.故选A. 13.(2019·凌源模拟)已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=+,A=75°,cos B=,则b=________. 解析:在△ABC中,由cos B=,可得sin B=,由A=75°,可得sin A=,根据正弦定理=,得=,解得b=2. 答案:2 14.(2018·惠州二调)在△ABC中,设角A,B,C的对边分别是a,b,c,且C=60°,c=,则=________. 解析:由正弦定理知==2,所以a=2sin A,则====4. 答案:4 15.如图所示,一艘海轮从A处出发,测得灯塔在海轮的北偏东15°方向,与海轮相距20海里的B处,海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处,又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向,则海轮的速度为________海里/分. 解析:由已知得∠ACB=45°,∠B=60°,由正弦定理得=,所以AC=== 10,所以海轮航行的速度为=(海里/分). 答案: 16.(2019·河南实验中学模拟)△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,如果△ABC的面积等于8,a=5,tan B=-,那么=________. 解析:由tan B=-,得sin B=,cos B=-. 由△ABC的面积S=8,得S=acsin B=8,解得c=4. 由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B=25+16-2×5×4×=65,则b=. 由正弦定理,得==, 则===. 答案:
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