【数学】2020届一轮复习（理）通用版考点测试3简单的逻辑联结词作业
考点测试3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
高考概览
考纲研读
1．了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义
2．理解全称量词与存在量词的意义
3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定
一、基础小题
1．命题“所有实数的平方都是正数”的否定为( )
A．所有实数的平方都不是正数
B．有的实数的平方是正数
C．至少有一个实数的平方是正数
D．至少有一个实数的平方不是正数
答案 D
解析 根据全称命题的否定为特称命题知，把“所有”改为“至少有一个”，“是”的否定为“不是”，故命题“所有实数的平方都是正数”的否定为“至少有一个实数的平方不是正数”，故选D．
2．若命题(綈p)∧q为真命题，则命题p，q的真假情况是( )
A．p真，q真 B．p假，q真
C．p真，q假 D．p假，q假
答案 B
解析 因为命题(綈p)∧q为真命题，所以綈p真且q真，所以p假，q真．
3．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则( )
A．綈p：∀x∈A，2x∉B B．綈p：∀x∉A，2x∉B
C．綈p：∃x∉A，2x∈B D．綈p：∃x∈A，2x∉B
答案 D
解析 因全称命题的否定是特称命题，故命题p的否定为綈p：∃x∈A，2x∉B．故选D．
4．命题“∀x>0，>0”的否定是( )
A．∃x<0，≤0 B．∃x>0，0≤x≤1
C．∀x>0，≤0 D．∀x<0，0≤x≤1
答案 B
解析 命题“∀x>0，>0”的否定是“∃x>0，≤0或x＝1”，即“∃x>0，0≤x≤1”，故选B．
5．已知集合A＝{x|x>2}，集合B＝{x|x>3}，以下命题正确的个数是( )
①∃x0∈A，x0∉B；②∃x0∈B，x0∉A；③∀x∈A，都有x∈B；④∀x∈B，都有x∈A．
A．4 B．3 C．2 D．1
答案 C
解析 因为A＝{x|x>2}，B＝{x|x>3}，所以BÜA，即B是A的真子集，所以①④正确，②③错误，故选C．
6．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形有一个内角是钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
答案 B
解析 选项A中，锐角三角形的所有内角都是锐角，所以A是假命题；选项B中，当x＝0时，x2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；选项C中，因为＋(－)＝0不是无理数，所以C是假命题；选项D中，对于任意一个负数x
，都有<0，不满足>2，所以D是假命题．故选B．
7．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x
y2．给出下列命题：
①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q．
其中的真命题是( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
答案 C
解析 由题意可知，命题p为真命题，命题q为假命题．故p∧q为假，p∨q为真，p∧(綈q)为真，(綈p)∨q为假，故真命题为②③．故选C．
8．下列命题中的假命题为( )
A．∀x∈R，ex>0 B．∀x∈N，x2>0
C．∃x0∈R，ln x0<1 D．∃x0∈N*，sin＝1
答案 B
解析 由函数y＝ex的图象可知，∀x∈R，ex>0，故选项A为真命题；当x＝0时，x2＝0，故选项B为假命题；当x0＝时，ln ＝－1<1，故选项C为真命题；当x0＝1时，sin＝1，故选项D为真命题．综上选B．
9．已知命题p：∀a∈R，方程ax＋4＝0有解；命题q：∃m>0，直线x＋my－1＝0与直线2x＋y＋3＝0平行．给出下列结论，其中正确的有( )
①命题“p∧q”是真命题；
②命题“p∧(綈q)”是真命题；
③命题“(綈p)∨q”是真命题；
④命题“(綈p)∨(綈q)”是真命题．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案 B
解析 因为当a＝0时，方程ax＋4＝0无解，所以命题p是假命题；当1－2m＝0，即m＝时两条直线平行，所以命题q是真命题．所以綈p是真命题，綈
q是假命题，所以①②错误，③④正确．故选B．
10．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A．(綈p)∨(綈q) B．p∨(綈q)
C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q
答案 A
解析 綈p表示甲没有降落在指定范围，綈q表示乙没有降落在指定范围，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”，也就是“甲没有降落在指定范围或乙没有降落在指定范围”．故选A．
11．已知p：∃x∈R，x2＋2x＋a≤0，若p是假命题，则实数a的取值范围是________．(用区间表示)
答案 (1，＋∞)
解析 由题意知∀x∈R，x2＋2x＋a>0恒成立，
∴关于x的方程x2＋2x＋a＝0的根的判别式Δ＝4－4a<0，∴a>1．∴实数a的取值范围是(1，＋∞)．
12．已知全集U＝R，A⊆U，B⊆U，如果命题p：x∈(A∩B)，那么綈p是________．
答案 x∉A或x∉B
解析 x∈(A∩B)即x∈A且x∈B，所以其否定为：x∉A或x∉B．
二、高考小题
13．(2015·全国卷Ⅰ)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则綈p为( )
A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2n
C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n
答案 C
解析 根据特称命题的否定为全称命题，所以綈p：∀n∈N，n2≤2n，故选C．
14．(2016·浙江高考)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得nn
B．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>n
C．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)>n0
D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0
答案 D
解析 “f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定为“f(n)∉N*或f(n)>n”，全称命题的否定为特称命题，故选D．
17．(2017·山东高考)已知命题p：∀x>0，ln (x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2．下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．p∧(綈q)
C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)
答案 B
解析 ∵∀x>0，x＋1>1，∴ln (x＋1)>0，∴命题p为真命题；当b0
B．存在四边相等的四边形不是正方形
C．“存在实数x，使x>1”的否定是“不存在实数x，使x≤1”
D．若x，y∈R且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1
答案 C
解析 x2＋x＋1＝x＋2＋≥，A是真命题；菱形的四边相等，但不是正方形，B是真命题；“存在实数x，使x>1”的否定是“对于任意实数x，有x≤1”，C是假命题；“若x，y∈R且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1”的逆否命题是“若x，y均不大于1，则x＋y≤2”是真命题，D是真命题，故选C．
22．(2018·湖南湘东五校4月联考)已知命题“∃x∈R，4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，0) B．[0，4]
C．[4，＋∞) D．(0，4)
答案 D
解析 因为命题“∃x∈R，4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，所以其否定命题“∀x∈R，4x2＋(a－2)x＋>0”是真命题，则Δ＝(a－2)2－4×4×＝a2－4a<0，解得0x；命题q：∀x∈，＋∞，2x＋21－x>2．则下列命题中是真命题的为( )
A．綈q B．p∧(綈q)
C．p∧q D．(綈p)∨(綈q)
答案 C
解析 取x0＝，可知 >2，故命题p为真；因为2x＋21－x≥2＝2，当且仅当x＝时等号成立，故命题q为真；故p∧q为真，即选项C正确，故选C．
24．(2018·湖北八市3月联考)已知平面α，β，直线a，b．命题p：若α∥β，a∥α，则a∥β；命题q：若a∥α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b，下列为真命题的是( )
A．p∧q B．p∨(綈q)
C．p∧(綈q) D．(綈p)∧q
答案 D
解析 命题p中，直线a与平面β可能平行，也可能在平面β内，所以命题p为假命题，綈p为真命题；由线面平行的性质定理知命题q为真命题，綈q为假命题，所以(綈p)∧q为真命题，故选D．
25．(2018·江西赣州摸底)已知命题m：“∀x0∈0，，x0x0”，则在命题p1：m∨n，p2：m∧n，p3：(綈m)∨n和p4：m∧(綈n)中，真命题是( )
A．p1，p2，p3 B．p2，p3，p4
C．p1，p3 D．p2，p4
答案 A
解析 如图，由指数函数y＝x与对数函数y＝logx的图象可以判断命题m是真命题，命题n也是真命题，根据复合命题的性质可知p1，p2，p3均为真命题，故选A．
26．(2018·广东华南师大附中测试三)设有两个命题：
p：关于x的不等式ax>1(a>0，且a≠1)的解集是{x|x<0}；
q：函数y＝lg (ax2－x＋a)的定义域为R．
如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是________．
答案 00，x∈R恒成立，则
解得a>．由p∨q为真命题，p∧q为假命题可得命题p，q中一真一假，若p真q假，则若p假q真，则则0x2，即m>－1时，必须大根x1＝2m<1，即m<．
(2)当x1－4．
(3)当x1＝x2，即m＝－1时，x1＝x2＝－2<1也满足条件．
∴满足条件①的m的取值范围为－4－1时，小根x2＝－m－3<－4且m<0，无解．
(2)当m<－1时，小根x1＝2m<－4且m<0，
解得m<－2．
(3)当m＝－1时，f(x)＝－(x＋2)2≤0恒成立，
∴不满足②．
∴满足①②的m的取值范围是{m|－4
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