【数学】2020届一轮复习人教B版（文）3-4函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及简单三角函数模型的应用作业

【数学】2020届一轮复习人教B版（文）3-4函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及简单三角函数模型的应用作业

课时作业19　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及简单三角函数模型的应用 ‎ [基础达标]‎ 一、选择题 ‎1．[2019·唐山市高三五校联考]把函数y＝sin的图象向左平移个单位长度后，所得函数图象的一条对称轴的方程为(　　)‎ A．x＝0　　B．x＝ C．x＝ D．x＝－ 解析：解法一　把函数y＝sin的图象向左平移个单位长度后得到y＝sin＝sin的图象，令2x＋＝＋kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，令k＝0，则x＝，选择C.‎ 解法二　将函数y＝sin的图象向左平移个单位长度后得到y＝sin＝sin的图象，然后把选项代入检验，易知x＝符合题意，选择C.‎ 答案：C ‎2．[2019·河南顶级名校联考]将函数f(x)＝cos图象上所有的点向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则下列说法不正确的是(　　)‎ A．直线x＝为g(x)图象的对称轴 B．g(x)在上单调递减，且g(x)为偶函数 C．g(x)在上单调递增，且g(x)为奇函数 D．点是g(x)图象的对称中心 解析：由题意，g(x)＝cos，则g(x)＝sin2x.令2x＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，故A中说法正确．当x∈时，2x∈，g(x)单调递减，但g(x)为奇函数，故B中说法不正确．当x∈时，2x∈，g(x)单调递增，又g(x)为奇函数，故C中说法正确．g(x)图象的对称中心为(k∈Z)，故D中说法正确．‎ 答案：B ‎3．[2019·成都检测]已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．现将函数f(x)图象上的所有点向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为(　　)‎ A．g(x)＝2sin B．g(x)＝2sin C．g(x)＝2cos2x D．g(x)＝2sin 解析：由图象，知A＝2，T＝4×＝π，所以ω＝＝2，将点代入f(x)＝2sin(2x＋φ)得sin＝－1，即＋φ＝2kπ＋‎ eq f(3π,2)(k∈Z)，结合|φ|<，得φ＝，所以f(x)＝2sin，所以g(x)＝f＝2sin，故选D.‎ 答案：D ‎4．[2019·河北、河南重中点学联考]若对于任意x∈R都有f(x)＋‎2f(－x)＝3cosx－sinx，则函数f(2x)图象的对称中心为(　　)‎ A.(k∈Z) B.(k∈Z)‎ C.(k∈Z) D.(k∈Z)‎ 解析：因为f(x)＋‎2f(－x)＝3cosx－sinx，‎ 所以f(－x)＋‎2f(x)＝3cosx＋sinx.‎ 解得f(x)＝cosx＋sinx＝sin，‎ 所以f(2x)＝sin.‎ 令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)．‎ 所以f(2x)图象的对称中心为(k∈Z)．‎ 答案：D ‎5．[2019·安徽滁州模拟]已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)的最小正周期为T，将曲线y＝f(x)向左平移个单位之后，得到曲线y＝sin，则函数f(x)的一个单调递增区间为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：∵曲线y＝f(x)向左平移个单位后所得曲线的解析式为y＝sin＝sin，∴由题意知＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，∴φ＝2kπ－(k∈Z)，又∵|φ|<，∴φ＝－，因此函数f(x)＝sin ‎.令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋π(k∈Z)．∴函数f(x)的单调增区间为(k∈Z)．令k＝0，得函数f(x)的一个单调递增区间为，结合选项可知，故选A.‎ 答案：A 二、填空题 ‎6．函数f(x)＝tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝所得线段长为，则f＝________.‎ 解析：依题意＝，∴ω＝4.‎ ‎∴f(x)＝tan4x.‎ ‎∴f＝tanπ＝0.‎ 答案：0‎ ‎7．[2019·山西省八校第一次联考]已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，则φ＝________.‎ 解析：由函数图象得A＝2，所以y＝2sin(ωx＋φ)，因为图象过点(0，－1)，所以sinφ＝－，因为x＝0位于图象的单调递减区间，所以φ＝2kπ－(k∈Z)，又－π<φ<0，所以φ＝－.‎ 答案：－ ‎8．[2019·山东省，湖北省部分重点中学二轮质量检测]已知函数f(x)＝sinωx＋2cosωx(ω>0)的图象与x轴的两个相邻交点之间的距离为2π，则f的值为________．‎ 解析：由题意可知，f(x)的最小正周期为4π.‎ ‎∵f(x)＝sinωx＋2cosωx＝sin(ωx＋φ0)(其中tanφ0＝2)，‎ ‎∴＝4π，解得ω＝，‎ ‎∴f(x)＝sinx＋2cosx，‎ ‎∴f＝sin＋2cos＝.‎ 答案： 三、解答题 ‎9．已知函数f(x)＝2sin(其中0<ω<1)，若点是函数f(x)图象的一个对称中心．‎ ‎(1)试求ω的值；‎ ‎(2)先列表，再作出函数f(x)在区间x∈[－π，π]上的图象．‎ 解析：(1)∵点是函数f(x)图象的一个对称中心，‎ ‎∴－＋＝kπ，k∈Z，∴ω＝－3k＋.‎ ‎∵0<ω<1，∴k＝0，ω＝.‎ ‎(2)由(1)知，f(x)＝2sin，x∈[－π，π]，列表如下：‎ x＋ ‎－ ‎－ ‎0‎ π x ‎－π ‎－ ‎－ π y ‎－1‎ ‎－2‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎－1‎ 则函数f(x)在区间x∈[－π，π]上的图象如图所示．‎ ‎10．[2017·山东卷]设函数f(x)＝sin＋sin，其中0＜ω＜3，已知f＝0.‎ ‎(1)求ω；‎ ‎(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．‎ 解析：(1)因为f(x)＝sin＋sin，‎ 所以f(x)＝sinωx－cosωx－cosωx ‎＝sinωx－cosωx＝ ‎＝sin.‎ 由题设知f＝0，所以－＝kπ，k∈Z，‎ 故ω＝6k＋2，k∈Z.‎ 又0＜ω＜3，所以ω＝2.‎ ‎(2)由(1)得f(x)＝sin，‎ 所以g(x)＝sin＝sin.‎ 因为x∈，所以x－∈.‎ 当x－＝－，即x＝－时，g(x)取得最小值－.‎ ‎[能力挑战]‎ ‎11．[2019·豫南九校联考]已知函数f(x)＝sin－2sincos.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；‎ ‎(2)若x∈，且F(x)＝－4λf(x)－cos的最小值是－，求实数λ的值．‎ 解析：(1)∵f(x)＝sin－2sincos＝cos2x＋·sin2x＋(sinx－cosx)(sinx＋cosx)‎ ‎＝cos2x＋sin2x＋sin2x－cos2x ‎＝cos2x＋sin2x－cos2x ‎＝sin，‎ ‎∴函数f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．‎ ‎∴函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．‎ ‎(2)F(x)＝－4λf(x)－cos ‎＝－4λsin－ ‎＝2sin2－4λsin－1‎ ‎＝22－1－2λ2.‎ ‎∵x∈，∴0≤2x－≤，‎ ‎∴0≤sin≤1.‎ ‎①当λ<0时，当且仅当sin＝0时，f(x)取得最小值，最小值为－1，这与已知不相符；‎ ‎②当0≤λ≤1时，当且仅当sin＝λ时，f(x)取得最小值，最小值为－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－，解得λ＝－(舍)或λ＝ ‎；‎ ‎③当λ>1时，当且仅当sin＝1时，f(x)取得最小值，最小值为1－4λ，由已知得1－4λ＝－，解得λ＝，这与λ>1矛盾．‎ 综上所述，λ＝.‎