【数学】2021届一轮复习人教A版（理）第八章第二讲空间点、直线、平面之间的位置关系作业

【数学】2021届一轮复习人教A版（理）第八章第二讲空间点、直线、平面之间的位置关系作业

第二讲　空间点、直线、平面之间的位置关系 ‎1.[2020石家庄市重点高中高三摸底测试]如图8-2-1,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB =AC =AA1 =‎2‎,BC =2,点D为BC的中点,则异面直线AD与A1C所成的角为(　　)‎ 图8-2-1‎ A.π‎2‎ B.π‎3‎ C.π‎4‎ D.‎π‎6‎ ‎2.[2019广东省汕头市联考]给出下列命题:‎ ‎(1)若直线a与平面α不平行,则a与平面α内的所有直线都不平行;‎ ‎(2)若直线a与平面α不垂直,则a与平面α内的所有直线都不垂直;‎ ‎(3)若异面直线a,b不垂直,则过a的任何平面与b都不垂直;‎ ‎(4)若直线a和b共面,直线b和c共面,则a和c共面.‎ 其中错误命题的个数为(　　)‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎3.[2019昆明市高考模拟]已知直线l⊥平面α,直线m∥平面β,若α⊥β,则下列结论正确的是(　　)‎ A.l ∥ β或l⊂β B.l ∥ m C.m⊥α D.l⊥m ‎4.[2019贵州贵阳适应性考试]设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下面四个命题:‎ ‎①若α⊥β,β⊥γ,则α ∥γ;②若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n;③若m∥α,n⊂α,则m∥n;④若α∥β,γ∩α =m,γ∩β =n,则m∥n.‎ 其中是真命题的序号为(　　)‎ A.①④ B.①② C.②③④ D.④‎ ‎5.[2019湖南重点中学联考]正四面体SABC中,D是AB的中点,E是SB的中点,则异面直线AE与CD所成角的余弦值是(　　)‎ A.‎1‎‎6‎ B.‎1‎‎4‎ C.‎1‎‎3‎ D.‎‎1‎‎2‎ ‎6.[2020陕西省部分学校摸底检测]将正方形ABCD中的△ACD沿对角线AC折起,使得平面ABC垂直于平面ACD,则异面直线AB与CD所成的角为(　　)‎ A.90° B.60° C.45° D.30°‎ ‎7.[2020广东七校第二次联考]如图8-2-2,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P,Q分别是线段AD1和B1C上的动点,且满足AP =B1Q,‎ 图8-2-2‎ 则下列命题错误的是(　　)‎ A.存在P,Q运动到某一位置,使AB∥PQ B.△BPQ的面积为定值 C.当点P不与点A重合时,直线PB1与AQ是异面直线 D.无论P,Q运动到什么位置,均有BC⊥PQ ‎8.[2019湖南师大附中模拟]图8-2-3是一几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F 分别为P4A,P1D的中点,‎ 图8-2-3‎ 在此几何体中,给出下面4个结论:‎ ‎①直线BE与直线CF 异面;‎ ‎②直线BE与直线AF 异面;‎ ‎③直线EF ∥平面PBC;‎ ‎④平面BCE⊥平面PAD.‎ 其中正确的有(　　)‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎9.[2019福建五校第二次联考]已知正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为1,点M在线段BC上(点M异于B,C两点),点N为线段CC1的中点.若平面AMN截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面为四边形,则线段BM长度的取值范围为(　　)‎ A.(0,‎1‎‎3‎] B.(0,‎1‎‎2‎] C.[‎2‎‎3‎,1) D.[‎1‎‎2‎,1)‎ ‎10.[交汇题]设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且直线m⊂平面α,直线n⊂平面β,给出下列说法:①“m⊥n”是“n⊥α”的必要条件;②“m∥n”是“m∥β”的必要条件;③“m∥n”是“α∥β”的充要条件;④“m⊥n”是“α⊥β”的充分条件.其中所有正确说法的序号是　　　　. ‎ ‎11.[2019安徽蚌埠模拟]已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F 分别为AA1,AB的中点,点M是正方形ABB1A1内的动点,若C1M∥平面CD1EF ,则点M的轨迹长度为　　　　. ‎ 第二讲　空间点、直线、平面之间的位置关系 ‎1.B　解法一　取B1C1的中点D1,连接A1D1,D1C.易证A1D1∥AD,故A1D1,A1C所成的角就是AD,A1C所成的角.∵AB=AC=‎2‎,BC=2,D为BC的中点,∴AD⊥BC,∴AD=AB‎2‎ - BD‎2‎‎=‎‎(‎2‎‎)‎‎2‎ - ‎‎1‎‎2‎=1,∴A1D1=AD=1,又A1C=AA‎1‎‎2‎+AC‎2‎‎=‎‎(‎2‎‎)‎‎2‎+(‎‎2‎‎)‎‎2‎=2,D1C=D‎1‎C‎1‎‎2‎‎+‎C‎1‎C‎2‎‎=‎1‎‎2‎‎+(‎‎2‎‎)‎‎2‎=‎‎3‎,‎ ‎∴A1D‎1‎‎2‎+D1C2=A1C2,∴△A1D1C为直角三角形,cos∠D1A1C=‎1‎‎2‎,即异面直线AD与A1C所成的角为π‎3‎,故选B.‎ 解法二　易知AB,AC,AA1两两垂直,以A为坐标原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图D 8 - 2 - 9所示的空间直角坐标系,‎ 图D 8 - 2 - 9‎ 则A(0,0,0),A1(0,0,‎2‎),B(‎2‎,0,0),C(0,‎2‎,0),∴D(‎2‎‎2‎,‎2‎‎2‎,0),∴AD=(‎2‎‎2‎,‎2‎‎2‎,0),A‎1‎C=(0,‎2‎, - ‎2‎),‎ ‎∴cos=AD‎·‎A‎1‎C‎|AD||A‎1‎C|‎‎=‎‎1‎‎2‎,即异面直线AD与A1C所成的角为π‎3‎.故选B.‎ ‎2.C　对于(1),若直线a在平面α内,此时直线a和平面α不平行,但是平面α内有直线和a是平行的,故(1)错误.对于(2),若直线a在平面α内,这时直线a和平面α不垂直,但是平面α内有直线和a是垂直的,故(2)错误.对于(3),根据线面垂直的定义可知,(3)是正确的.对于(4),a,c有可能是异面直线,故(4)错误.综上所述,有3个命题是错误命题,故选C.‎ ‎3.A　因为l⊥α,α⊥β,所以l∥β或l⊂β,A正确;因为l⊥α,m∥β,且α⊥β,则l∥m或l与m相交或l与m异面,B,D错误;因为m∥β,且α⊥β,则m∥α或m⊂α或m与α相交,C错误.故选A.‎ ‎4.D　对于①,垂直于同一个平面的两个平面可能平行,也可能相交,故命题①是假命题;‎ 对于②,分别在两个互相垂直的平面内的两条直线可能平行,可能相交,也可能异面,故命题②是假命题;‎ 对于③,直线m与n可能平行,也可能异面,故命题③是假命题;‎ 对于④,由面面平行的性质定理知命题④是真命题.故选D.‎ ‎(简解:也可在判断出命题①②是假命题之后直接排除A,B,C,从而选D)‎ ‎5.A　如图D 8 - 2 - 10,设正四面体SABC的棱长为2,取BE的中点F,连接CF,DF,则AE∥DF,∠CDF即为AE与CD所成角或其补角,CD=‎3‎,DF=‎3‎‎2‎,CF=‎(‎1‎‎2‎‎)‎‎2‎+(‎‎3‎‎)‎‎2‎‎=‎‎13‎‎2‎,∴cos∠CDF=‎3+‎3‎‎4‎ - ‎‎13‎‎4‎‎2×‎3‎×‎‎3‎‎2‎‎=‎‎1‎‎6‎>0,∴‎1‎‎6‎即为异面直线AE和CD所成角的余弦值,故选A.‎ 图D 8 - 2 - 10‎ ‎6.B　解法一　如图D 8 - 2 - 11,连接BD,取AC,BD,AD的中点分别为O,M,N,连接ON,OM,MN,则由三角形的中位线定理知ON=‎1‎‎2‎CD,MN=‎1‎‎2‎AB,所以所求的角为∠ONM或其补角.连接BO,OD,因为AB=BC,所以BO⊥AC.因为平面ABC⊥平面ACD,且平面ABC∩平面ACD=AC,BO⊂平面ABC,所以BO⊥平面ACD,所以BO⊥OD.设原正方形ABCD的边长为2,则BO=OD=‎2‎,所以BD=2,所以OM=‎1‎‎2‎BD=1,所以ON=MN=OM=1,所以△OMN是等边三角形,所以∠ONM=60°,即异面直线AB与CD所成的角为60°,故选B.‎ 图D 8 - 2 –11 图D 8 - 2 - 12‎ 解法二　如图D 8 - 2 - 12,设AC的中点为O,连接DO,OB,因为AD=DC,所以DO⊥AC.因为平面ABC⊥平面ACD,且平面ABC∩平面ACD=AC,DO⊂平面ACD,所以DO⊥平面ABC.延长BO到E,使得EO=BO,连接DE,AE,CE,易证得四边形ABCE为正方形,所以AB∥EC,所以异面直线AB与CD所成的角为∠DCE或其补角.设AC=2a,则EC=ED=CD=‎2‎a,所以△DCE为等边三角形,所以∠DCE=60°,即异面直线AB与CD所成的角为60°,故选B.‎ 解法三　如图D 8 - 2 - 13,设AC的中点为O,连接BO,OD,‎ 图D 8 - 2 - 13‎ 因为AD=CD,AB=BC,所以DO⊥AC,OB⊥AC.因为平面ABC⊥平面ACD,且平面ABC∩平面ACD=AC,OD⊂平面ACD,所以OD⊥平面ABC.以O为坐标原点,OA,OB,OD的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系.设AC=2a,则D(0,0,a),A(a,0,0),B(0,a,0),C( - a,0,0),所以AB=‎ ‎( - a,a,0),DC=( - a,0, - a),所以cos=AB‎·‎DC‎|AB|·|DC|‎‎=‎ - a·( - a)+0+0‎‎2‎a·‎2‎a=‎‎1‎‎2‎,所以异面直线AB与CD所成的角为60°,故选B.‎ ‎7.B　对于选项A,当P,Q分别是线段AD1和B1C的中点时,AB∥PQ,故A正确;对于选项B,P在A处时,△BPQ的面积为‎1‎‎2‎,P在AD1的中点时,△BPQ的面积为‎2‎‎4‎,故△BPQ的面积不是定值,故B错误;对于选项C,当点P不与点A重合时,假设直线PB1与AQ是共面直线,则AP与B1Q共面,与题意矛盾,所以直线PB1与AQ是异面直线,故C正确;对于选项D,BC垂直于PQ在平面ABCD内的射影,由三垂线定理得无论P,Q运动到什么位置,均有BC⊥PQ,故D正确.故选B.‎ ‎8.B　将展开图还原为几何体(示意图如图D 8 - 2 - 14所示),连接BE,CF,EF,CE,AF.‎ 图D 8 - 2 - 14‎ 因为E,F分别为PA,PD的中点,所以EF∥AD∥BC,即直线BE与CF共面,①错误;因为B∉平面PAD,E∈平面PAD,E∉AF,所以BE与AF是异面直线,②正确;因为EF∥AD∥BC,EF⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以EF∥平面PBC,③正确;易知平面PAD与平面BCE不一定垂直,④错误.故选B.‎ ‎9.B　易知正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为1.若M为BC的中点,则MN∥AD1,所以此时截面为四边形AMND1,所以BM=‎1‎‎2‎符合题意.若0

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