【数学】2020届一轮复习人教B版空间位置关系的判断与证明课时作业

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文档介绍

【数学】2020届一轮复习人教B版空间位置关系的判断与证明课时作业

一、选择题 ‎1.已知E,F,G,H是空间四点,命题甲:E,F,G,H四点不共面,命题乙:直线EF和GH不相交,则甲是乙成立的(  )‎ A.必要不充分条件     B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选B 若E,F,G,H四点不共面,则直线EF和GH肯定不相交,但直线EF和GH不相交,E,F,G,H四点可以共面,例如EF∥GH,故甲是乙成立的充分不必要条件.‎ ‎2.关于直线a,b及平面α,β,下列命题中正确的是(  )‎ A.若a∥α,α∩β=b,则a∥b B.若α⊥β,m∥α,则m⊥β C.若a⊥α,a∥β,则α⊥β D.若a∥α,b⊥a,则b⊥α 解析:选C A是错误的,因为a不一定在平面β内,所以a,b有可能是异面直线;B是错误的,若α⊥β,m∥α,则m与β可能平行,可能相交,也可能线在面内,故B错误;C是正确的,由直线与平面垂直的判断定理能得到C正确;D是错误的,直线与平面垂直,需直线与平面中的两条相交直线垂直.‎ ‎3.已知空间两条不同的直线m,n和两个不同的平面α,β,则下列命题中正确的是(  )‎ A.若m∥α,n∥β,α∥β,则m∥n B.若m∥α,n⊥β,α⊥β,则m∥n C.若m⊥α,n∥β,α⊥β,则m⊥n D.若m⊥α,n⊥β,α⊥β,则m⊥n 解析:选D 若m∥α,n∥β,α∥β,则m与n平行或异面,即A错误;若m∥α,n⊥β,α⊥β,则m与n相交或平行或异面,即B错误;若m⊥α,n∥β,α⊥β,则m与n相交、平行或异面,即C错误,故选D.‎ ‎4.如图,在三棱锥PABC中,不能证明AP⊥BC的条件是(  )‎ A.AP⊥PB,AP⊥PC B.AP⊥PB,BC⊥PB C.平面BPC⊥平面APC,BC⊥PC D.AP⊥平面PBC 解析:选B A中,因为AP⊥PB,AP⊥PC,PB∩PC=P,所以AP⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC,所以AP⊥BC,故A正确;C中,因为平面BPC⊥平面APC,平面BPC∩平面APC=PC,BC⊥PC,所以BC⊥平面APC.又AP⊂平面APC,所以AP⊥BC,故C正确;D中,由A知D正确;B中条件不能判断出AP⊥BC,故选B.‎ ‎5.如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:‎ ‎①BD⊥AC;‎ ‎②△BAC是等边三角形;‎ ‎③三棱锥DABC是正三棱锥;‎ ‎④平面ADC⊥平面ABC.‎ 其中正确的结论是(  )‎ A.①②④ B.①②③‎ C.②③④ D.①③④‎ 解析:选B 由题意知,BD⊥平面ADC,故BD⊥AC,①正确;AD为等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高,平面ABD⊥平面ACD,所以AB=AC=BC,△BAC是等边三角形,②正确;易知DA=DB=DC,结合②知③正确;由①知④不正确.故选B.‎ ‎6.(2018·全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为(  )‎ A. B. C. D. 解析:选A 如图所示,在正方体ABCDA1B‎1C1D1中,平面AB1D1与棱A‎1A,A1B1,A1D1所成的角都相等,又正方体的其余棱都分别与A‎1A,A1B1,A1D1平行,故正方体ABCDA1B‎1C1D1的每条棱所在直线与平面AB1D1所成的角都相等.如图所示,取棱AB,BB1,B‎1C1,C1D1,D1D,DA的中点E,F,G,H,M,N,则正六边形EFGHMN所在平面与平面AB1D1平行且面积最大,此截面面积为S正六边形EFGHMN=6××××sin 60°=.故选A.‎ 二、填空题 ‎7.(2018·天津六校联考)设a,b为不重合的两条直线,α,β为不重合的两个平面,给出下列命题:‎ ‎①若a∥α且b∥α,则a∥b;‎ ‎②若a⊥α且a⊥β,则α∥β;‎ ‎③若α⊥β,则一定存在平面γ,使得γ⊥α,γ⊥β;‎ ‎④若α⊥β,则一定存在直线l,使得l⊥α,l∥β.‎ 其中真命题的序号是________.‎ 解析:①中a与b也可能相交或异面,故不正确.‎ ‎②垂直于同一直线的两平面平行,正确.‎ ‎③中存在γ,使得γ与α,β都垂直,正确.‎ ‎④中只需直线l⊥α且l⊄β就可以,正确.‎ 答案:②③④‎ ‎8.若P为矩形ABCD所在平面外一点,矩形对角线的交点为O,M为PB的中点,给出以下四个命题:①OM∥平面PCD;②OM∥平面PBC;③OM∥平面PDA;④OM∥平面PBA.其中正确的个数是________.‎ 解析:由已知可得OM∥PD,∴OM∥平面PCD且OM∥平面PAD.故正确的只有①③.‎ 答案:①③‎ ‎9.如图,∠ACB=90°,DA⊥平面ABC,AE⊥DB交DB于E,AF⊥DC交DC于F,且AD=AB=2,则三棱锥DAEF 体积的最大值为________.‎ 解析:因为DA⊥平面ABC,所以DA⊥BC,又BC⊥AC,DA∩AC=A,所以BC⊥平面ADC,所以BC⊥AF.又AF⊥CD,BC∩CD=C,所以AF⊥平面DCB,所以AF⊥EF,AF⊥DB.又DB⊥AE,AE∩AF=A,所以DB⊥平面AEF,所以DE为三棱锥DAEF的高.因为AE为等腰直角三角形ABD斜边上的高,所以AE=,设AF=a,FE=b,则△AEF的面积S=ab≤×=×=(当且仅当a=b=1时等号成立),所以(VDAEF)max=××=.‎ 答案: 三、解答题 ‎10.(2018·长春质检)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.‎ ‎(1)证明:PB∥平面ACE;‎ ‎(2)设PA=1,AD=,PC=PD,求三棱锥PACE的体积.‎ 解:(1)证明:连接BD交AC于点O,连接OE.‎ 在△PBD中,PE=DE,‎ BO=DO,所以PB∥OE.‎ 又OE⊂平面ACE,PB⊄平面ACE,‎ 所以PB∥平面ACE.‎ ‎(2)由题意得AC=AD,‎ 所以VPACE=VPACD=VPABCD ‎=×S▱ABCD·PA ‎=××2××()2×1=.‎ ‎11.如图,在直三棱柱ABCA1B‎1C1中,AB=AC=AA1=3,BC=2,D是BC的中点,F是CC1上一点.‎ ‎(1)当CF=2时,证明:B‎1F⊥平面ADF;‎ ‎(2)若FD⊥B1D,求三棱锥B1ADF的体积.‎ 解:(1)证明:因为AB=AC,D是BC的中点,‎ 所以AD⊥BC.‎ 在直三棱柱ABCA1B‎1C1中,因为BB1⊥底面ABC,AD⊂底面ABC,所以AD⊥B1B.‎ 因为BC∩B1B=B,所以AD⊥平面B1BCC1.‎ 因为B‎1F⊂平面B1BCC1,所以AD⊥B‎1F.‎ 在矩形B1BCC1中,因为C‎1F=CD=1,B‎1C1=CF=2,‎ 所以Rt△DCF≌Rt△FC1B1,‎ 所以∠CFD=∠C1B‎1F,所以∠B1FD=90°,‎ 所以B‎1F⊥FD.‎ 因为AD∩FD=D,所以B‎1F⊥平面ADF.‎ ‎(2)由(1)知AD⊥平面B1DF,CD=1,AD=2,‎ 在Rt△B1BD中,BD=CD=1,BB1=3,‎ 所以B1D==.‎ 因为FD⊥B1D,‎ 所以Rt△CDF∽Rt△BB1D,‎ 所以=,即DF=×=,‎ 所以VB1ADF=VAB1DF=S△B1DF×AD=××××2=.‎ ‎12.(2018·石家庄摸底)如图,在多面体ABCDPE中,四边形ABCD和CDPE都是直角梯形,AB∥DC,PE∥DC,AD⊥DC,PD⊥平面ABCD,AB=PD=DA=2PE,CD=3PE,F是CE的中点.‎ ‎(1)求证:BF∥平面ADP;‎ ‎(2)已知O是BD的中点,求证:BD⊥平面AOF.‎ 证明:(1)取PD的中点为G,连接FG,AG,‎ ‎∵F是CE的中点,‎ ‎∴FG是梯形CDPE的中位线,‎ ‎∵CD=3PE,‎ ‎∴FG=2PE,FG∥CD,‎ ‎∵CD∥AB,AB=2PE,‎ ‎∴AB∥FG,AB=FG,‎ 即四边形ABFG是平行四边形,‎ ‎∴BF∥AG,‎ 又BF⊄平面ADP,AG⊂平面ADP,‎ ‎∴BF∥平面ADP.‎ ‎(2)延长AO交CD于M,连接BM,FM,‎ ‎∵BA⊥AD,CD⊥DA,AB=AD,O为BD的中点,‎ ‎∴四边形ABMD是正方形,则BD⊥AM,MD=2PE.‎ ‎∴MD綊FG.∴四边形DMFG为平行四边形.‎ ‎∴FM∥PD,‎ ‎∵PD⊥平面ABCD,∴FM⊥平面ABCD,‎ ‎∴FM⊥BD,‎ ‎∵AM∩FM=M,∴BD⊥平面AMF,‎ 即BD⊥平面AOF.‎
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