【数学】2020届一轮复习人教版（理）第8章第3讲圆的方程作业
A组 基础关
1．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( )
A．x2＋(y－2)2＝5 B．(x－2)2＋y2＝5
C．x2＋(y＋2)2＝5 D．(x－1)2＋y2＝5
答案 B
解析 因为所求圆的圆心与圆(x＋2)2＋y2＝5的圆心(－2，0)关于原点(0,0)对称，所以所求圆的圆心为(2,0)，半径为，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.
2．若a∈，则方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示的圆的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 B
解析 方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆的条件为a2＋4a2－4(2a2＋a－1)>0，即3a2＋4a－4<0，解得－2
0)，则圆的标准方程为(x－a)2＋(y－a－1)2＝r2，又圆经过点A(1，1)和点B(2，－2)，故有
解得故该圆的面积是25π.
解法二：由题意可知圆心C在AB的中垂线
y＋＝，即x－3y－3＝0上．
由解得故圆心C为(－3，－2)，
半径r＝|AC|＝5，圆的面积是25π.
6．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
答案 A
解析 设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，则即代入x2＋y2＝4，得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
7．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是( )
A．[2,6] B．[4,8]
C．[，3] D．[2，3]
答案 A
解析 ∵直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，
∴A(－2,0)，B(0，－2)，则|AB|＝2.
∵点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，圆心为(2,0)，半径为，∴圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d1＝＝2，故点P到直线x＋y＋2＝0的距离d2的范围为[，3 ]，
则S△ABP＝|AB|d2＝d2∈[2,6]．故选A.
8．(2018·宜昌模拟)已知圆C：x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐标为________．
答案 (0，－1)
解析 圆C的方程可化为2＋(y＋1)2＝－k2＋1.所以当k＝0时圆C的面积最大，此时圆的方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)．
9．已知实数x，y满足(x＋2)2＋(y－3)2＝1，则|3x＋4y－26|的最小值为________．
答案 15
解析 解法一：|3x＋4y－26|最小值的几何意义是圆心到直线3x＋4y－26＝0的距离减去半径后的5倍，|3x＋4y－26|min＝5，(a，b)是圆心坐标，r是圆的半径．圆的圆心坐标为(－2,3)，半径是1，所以圆心到直线的距离为＝4，所以|3x＋4y－26|的最小值为5×(4－1)＝15.
解法二：令x＋2＝cosθ，y－3＝sinθ，则x＝cosθ－2，y＝sinθ＋3，|3x＋4y－26|＝|3cosθ－6＋4sinθ＋12－26|＝|5sin(θ＋φ)－20|，其中tanφ＝，所以其最小值为|5－20|＝15.
10．在平面直角坐标系内，若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a的取值范围为________．
答案 (－∞，－2)
解析 圆C的标准方程为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，所以圆心为(－a,2a)，半径r＝2，故由题意知
解得a<－2，故实数a的取值范围为(－∞，－2)．
B组 能力关
1．圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a>0，b>0)对称，则＋的最小值是( )
A．2 B．
C．4 D．
答案 D
解析 由圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0知其标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，∵圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a>0，b>0)对称，∴该直线经过圆心(－1,3)，即－a－3b＋3＝0，∴a＋3b＝3(a>0，b>0)，∴＋＝(a＋3b)＝≥＝，当且仅当＝，即a＝b时取等号．故选D.
2．(2018·银川模拟)方程|y|－1＝表示的曲线是( )
A．一个椭圆 B．一个圆
C．两个圆 D．两个半圆
答案 D
解析 由题意知|y|－1≥0，则y≥1或y≤－1，当y≥1时，原方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1(y≥1)，其表示以(1,1)为圆心，1为半径的上半圆；当y≤－1时，原方程可化为(x－1)2＋(y＋1)2＝1(y≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心，1为半径的下半圆．所以方程|y|－1＝表示的曲线是两个半圆．选D.
3．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．5－4 B．－1
C．6－2 D．
答案 A
解析 圆C1，C2的图形如图所示．
设P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理，|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.作C1关于x轴的对称点C′1(2，－3)，
连接C′1C2，与x轴交于点P，连接PC1，可知|PC1|＋|PC2|的最小值为|C′1C2|，则|PM|＋|PN|的最小值为5－4.故选A.
4．已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)若M(m，n)，求的最大值和最小值．
解 (1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得
(x－2)2＋(y－7)2＝8，所以圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2.
又|QC|＝＝4>2.
所以点Q在圆C外，所以|MQ|max＝4＋2＝6，
|MQ|min＝4－2＝2.
(2)可知表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，则＝k.
因为直线MQ与圆C有交点，
所以≤2，可是2－≤k≤2＋，
所以的最大值为2＋，最小值为2－.
5．在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.
(1)求圆心P的轨迹方程；
(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．
解 (1)设P(x，y)，圆P的半径为r，则y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，所以y2＋2＝x2＋3，即y2－x2＝1.所以P点的轨迹方程为y2－x2＝1.
(2)设P的坐标为(x0，y0)，则＝，即
|x0－y0|＝1.所以y0＝x0±1.
当y0＝x0＋1时，由y－x＝1，得(x0＋1)2－x＝1，所以所以r2＝3，所以圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3；
当y0＝x0－1时，由y－x＝1，得(x0－1)2－x＝1，所以所以r2＝3，所以圆P的方程为x2＋(y＋1)2＝3.
综上所述，圆P的方程为x2＋(y±1)2＝3.
