【数学】2020届一轮复习（文）通用版4-4解三角形作业

【数学】2020届一轮复习（文）通用版4-4解三角形作业

‎§4.4　解三角形 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 正弦定 理与余 弦定理 ‎①理解正弦定理与余弦定理的推导过程;②掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形的度量问题 ‎2018课标全国Ⅱ,7,5分 余弦定理的应用 倍角公式 ‎★★☆‎ ‎2018课标全国Ⅰ,16,5分 正弦定理与余弦定理的应用 三角形的面积公式 ‎2017课标全国Ⅰ,11,5分 正弦定理的应用 诱导公式,两角和的正弦公式 ‎2017课标全国Ⅱ,16,5分 正弦定理与余弦定理的应用 诱导公式,两角和的正弦公式 解三角 形及其 应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 ‎2018课标全国Ⅲ,11,5分 三角形的面积 余弦定理 ‎★★★‎ ‎2016课标全国Ⅲ,9,5分 解三角形 正弦定理 ‎2016课标全国Ⅱ,15,5分 解三角形 正弦定理,同角三角函数基本关系 分析解读　　从近几年的高考试题来看,本节内容一直是高考考查的重点和热点,命题呈现出如下特点:1.利用正、余弦定理解决平面图形的计算问题时,要能在平面图形中构造出三角形;2.解三角形时,观察图形中的几何条件,再利用数形结合求解;3.正、余弦定理与三角形的面积公式、两角和与差的三角公式、二倍角公式结合起来考查,注意公式之间的联系,会用方程和函数思想解决三角形的最值问题,常以解答题的形式出现,有时也会出现在选择题或填空题中,分值为5分或12分.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点一　正弦定理与余弦定理 ‎1.(2015广东,5,5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2‎3‎,cos A=‎3‎‎2‎且b0,所以c=3.‎ 故△ABC的面积为‎1‎‎2‎bcsin A=‎3‎‎3‎‎2‎.‎ 解法二:由正弦定理,得‎7‎sin ‎π‎3‎=‎2‎sinB,‎ 从而sin B=‎21‎‎7‎,‎ 又由a>b,知A>B,所以cos B=‎2‎‎7‎‎7‎.‎ 故sin C=sin(A+B)=sinB+‎π‎3‎ ‎=sin Bcos π‎3‎+cos Bsin π‎3‎=‎3‎‎21‎‎14‎.‎ 所以△ABC的面积为‎1‎‎2‎absin C=‎3‎‎3‎‎2‎.‎ ‎6.(2014安徽,16,12分)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,△ABC的面积为‎2‎,求cos A与a的值.‎ 解析　由三角形面积公式,得‎1‎‎2‎×3×1·sin A=‎2‎,‎ 故sin A=‎2‎‎2‎‎3‎.‎ 因为sin2A+cos2A=1,‎ 所以cos A=±‎1-sin‎2‎A=±‎1-‎‎8‎‎9‎=±‎1‎‎3‎.‎ ‎①当cos A=‎1‎‎3‎时,由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A=32+12-2×1×3×‎1‎‎3‎=8,‎ 所以a=2‎2‎.‎ ‎②当cos A=-‎1‎‎3‎时,由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A=32+12-2×1×3×‎-‎‎1‎‎3‎=12,‎ 所以a=2‎3‎.‎ ‎7.(2014重庆,18,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+b+c=8.‎ ‎(1)若a=2,b=‎5‎‎2‎,求cos C的值;‎ ‎(2)若sin Acos2B‎2‎+sin Bcos2A‎2‎=2sin C,且△ABC的面积S=‎9‎‎2‎sin C,求a和b的值.‎ 解析　(1)由题意可知c=8-(a+b)=‎7‎‎2‎.‎ 由余弦定理得cos C=a‎2‎‎+b‎2‎-‎c‎2‎‎2ab=‎2‎‎2‎‎+‎5‎‎2‎‎2‎-‎‎7‎‎2‎‎2‎‎2×2×‎‎5‎‎2‎=-‎1‎‎5‎.‎ ‎(2)由sin Acos2B‎2‎+sin Bcos2A‎2‎=2sin C可得 sin A·‎1+cosB‎2‎+sin B·‎1+cosA‎2‎=2sin C,‎ 化简得sin A+sin Acos B+sin B+sin Bcos A=4sin C.‎ 因为sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)=sin C,‎ 所以sin A+sin B=3sin C.由正弦定理可知a+b=3c.‎ 又因为a+b+c=8,所以a+b=6.‎ 由于S=‎1‎‎2‎absin C=‎9‎‎2‎sin C,所以ab=9,从而a2-6a+9=0,‎ 解得a=3,b=3.‎ ‎8.(2012课标全国,17,12分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,c=‎3‎asin C-ccos A.‎ ‎(1)求A;‎ ‎(2)若a=2,△ABC的面积为‎3‎,求b,c.‎ 解析　(1)由c=‎3‎asin C-c·cos A及正弦定理得‎3‎·sin A·sin C-cos A·sin C-sin C=0.‎ 由于sin C≠0,所以sinA-‎π‎6‎=‎1‎‎2‎.‎ 又0c.已知BA·BC=2,cos B=‎1‎‎3‎,b=3.求:‎ ‎(1)a和c的值;‎ ‎(2)cos(B-C)的值.‎ 解析　(1)由BA·BC=2得c·acos B=2.‎ 又cos B=‎1‎‎3‎,所以ac=6.‎ 由余弦定理,得a2+c2=b2+2accos B.‎ 又b=3,所以a2+c2=9+2×2=13.‎ 解ac=6,‎a‎2‎‎+c‎2‎=13‎得a=2,c=3或a=3,c=2.‎ 因为a>c,所以a=3,c=2.‎ ‎(2)在△ABC中,sin B=‎1-cos‎2‎B=‎1-‎‎1‎‎3‎‎2‎=‎2‎‎2‎‎3‎.‎ 由正弦定理,得sin C=cbsin B=‎2‎‎3‎×‎2‎‎2‎‎3‎=‎4‎‎2‎‎9‎.‎ 因为a=b>c,所以C为锐角,因此cos C=‎1-sin‎2‎C=‎1-‎‎4‎‎2‎‎9‎‎2‎=‎7‎‎9‎.‎ 于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C ‎=‎1‎‎3‎×‎7‎‎9‎+‎2‎‎2‎‎3‎×‎4‎‎2‎‎9‎=‎23‎‎27‎.‎ ‎9.(2014课标Ⅱ,17,12分)四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2.‎ ‎(1)求C和BD;‎ ‎(2)求四边形ABCD的面积.‎ 解析　(1)由题设及余弦定理得 BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos C=13-12cos C,①‎ BD2=AB2+DA2-2AB·DAcos A=5+4cos C.②‎ 由①②得cos C=‎1‎‎2‎,故C=60°,BD=‎7‎.‎ ‎(2)∵四边形ABCD的内角A与C互补,C=60°,‎ ‎∴A=120°.‎ 四边形ABCD的面积S=‎1‎‎2‎AB·DAsin A+‎1‎‎2‎BC·CDsin C ‎=‎1‎‎2‎×1×2×sin 120°+‎1‎‎2‎×3×2×sin 60°=2‎3‎.‎ ‎【三年模拟】‎ 时间:50分钟　分值:70分 一、选择题(每小题5分,共30分)‎ ‎1.(2019届安徽皖中摸底考试,11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinAsinB+sinC+ba+c=1,则C=(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.π‎6‎ B.π‎3‎ C.‎2π‎3‎ D.‎‎5π‎6‎ 答案　B　‎ ‎2.(2019届湖南顶级名校10月联考,5)如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则所得新三角形的形状为(　　)‎ A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.由增加的长度决定 答案　A　‎ ‎3.(2019届河南郑州一中10月月考,9)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cos A=-‎10‎‎10‎,c=‎5‎,△ABC的面积为‎3‎‎2‎,则a=(　　)‎ A.1 B.2 C.3 D.2‎‎3‎ 答案　C　‎ ‎4.(2019届甘肃顶级名校10月联考,10)若△ABC的内角A,B满足sinBsinA=2cos(A+B),则tan B的最大值为(　　)‎ A.‎3‎‎3‎ B.‎3‎‎2‎ C.‎2‎‎2‎ D.‎‎2‎‎4‎ 答案　A　‎ ‎5.(2018河南许昌、平顶山联考,8)如图所示,为了测量A,B两处岛屿间的距离,小张以D为观测点,测得A,B分别在D处的北偏西30°、北偏东30°方向,再往正东方向行驶40海里到C处,测得B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,则A,B两处岛屿间的距离为(　　)‎ A.20‎3‎海里 B.40‎3‎海里 C.20(1+‎3‎)海里 D.40海里 答案　B　‎ ‎6.(2018山西晋城一模,9)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且csinB+‎π‎3‎=‎3‎‎2‎a,CA·CB=20,c=7,则△ABC的内切圆的半径为(　　)‎ A.‎2‎ B.1 C.3 D.‎‎3‎ 答案　D　‎ 二、填空题(每小题5分,共20分)‎ ‎7.(2019届湖北重点中学开学测试,15)△ABC的面积S=‎1‎‎4‎(a2+b2-c2),则角C的大小为　　　　. ‎ 答案　45°‎ ‎8.(2019届山西康杰中学等名校9月联考,15)在△ABC中,内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,且asin A+bsin B-csin C=‎3‎bsin A,若c=2,则△ABC面积的最大值为　　　　. ‎ 答案　2+‎‎3‎ ‎9.(2018豫北、豫南精英对抗赛,16)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其外接圆半径为‎2‎‎3‎‎3‎,b=2,则△ABC的周长的取值范围是　　　　　　. ‎ 答案　(2+2‎3‎,6]‎ ‎10.(2017江西南昌十校二模,16)在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且B为锐角,若sinAsinB=‎5c‎2b,sin B=‎7‎‎4‎,S△ABC=‎5‎‎7‎‎4‎,则b的值为　　　　. ‎ 答案　‎‎14‎ 三、解答题(共20分)‎ ‎11.(2019届湖南八校8月调研,17)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且cosAa+cosBb=sinCc.‎ ‎(1)证明:sin Asin B=sin C;‎ ‎(2)若b2+c2-a2=‎6‎‎5‎bc,求tan B.‎ 解析　(1)证明:根据正弦定理,可设asinA=bsinB=csinC=k(k>0),则a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C.‎ 代入cosAa+cosBb=sinCc中,得cosAksinA+cosBksinB=sinCksinC,‎ 变形可得sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).‎ 在△ABC中,由A+B+C=π,得sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,‎ 所以sin Asin B=sin C.‎ ‎(2)由已知及余弦定理,得cos A=b‎2‎‎+c‎2‎-‎a‎2‎‎2bc=‎3‎‎5‎.‎ 所以sin A=‎1-cos‎2‎A=‎4‎‎5‎.‎ 由(1)中sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B,‎ 得‎4‎‎5‎sin B=‎4‎‎5‎cos B+‎3‎‎5‎sin B,‎ 故tan B=sinBcosB=4.‎ ‎12.(2019届广东珠海10月调研,17)在△ABC中,a,b,c是内角A,B,C的对边,且cos B=‎3‎‎5‎,sin Acos B-(c-cos A)sin B=0.‎ ‎(1)求b的值;‎ ‎(2)求△ABC周长的最大值.‎ 解析　(1)由sin Acos B-(c-cos A)sin B=0得 sin Acos B+cos Asin B=c·sin B.‎ ‎∴sin C=c·sin B,即sinCc=sin B.‎ 由正弦定理得sinBb=sinCc,故b=1.‎ ‎(2)由(1)及余弦定理得a2+c2=b2+2ac·cos B=1+‎6‎‎5‎ac.‎ ‎∴(a+c)2=1+‎16‎‎5‎ac≤1+‎16‎‎5‎a+c‎2‎‎2‎,‎ ‎∴a+c≤‎5‎,当且仅当a=c时,“=”成立.‎ ‎∴△ABC的周长的最大值为‎5‎+1.‎