2020年北京市房山区中考数学二模试卷(含解析)

2020年北京市房山区中考数学二模试卷(含解析)

2020 年北京市房山区中考数学二模试卷 一、选择题（本大题共 8 小题，共 16.0 分） 1. 2015 年 9 月 3 日，中共中央总书记、国家主席、中央军委主席习近平在今年中国人民抗日战争 暨世界反法西斯战争胜利 70 周年大会上宣布：中国将裁减军队员额 30 万，将 30 万用科学记数 法表示为 A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 2. 如图所示的三视图表示的几何体是 A. B. C. D. . 在数轴上，实数 a，b 对应的点的位置如图所示，下列结论中，正确的是 A. 1 B. ȁ 1 C. 1 D. ȁ . 观察下列汽车标志，其中是中心对称图形的是 A. B. C. D. . 李阿姨是一名健步走运动的爱好者，她用手机软件记录了某个月 天 每天健步走的步数 单位： 万步 ，将记录结果绘制成如图所示的统计图，在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分 别是 A. 1.2 ， 1. B. 1. ， 1. C. 1. ， 1. D. 1. ， 1. . 如图，在 쳌䁩㈶ 中，R 为 BC 延长线上的点，连接 AR 交 BD 于点 P， 若 䁩ܴ㈶ ܣ 2 ，则 AP：PR 的值为 A. B. 2C. D. 2 7. 如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果． 下面有三个推断： 当投掷次数是 500 时，计算机记录“钉尖向上”的次数是 308，所以“钉尖向上”的概率是 .1 ； 随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在 .1 附近摆动，显示出一定的稳定性，可 以估计“钉尖向上”的概率是 .1 ； 若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为 1000 时，“钉尖向上”的频率一定是 .2 ． 其中合理的是 A. B. C. D. . 比 小的数是 A. 2 B. 1 C. D. 6 二、填空题（本大题共 8 小题，共 16.0 分） 9. 若分式 分9 分2 的值为零，则 分 ܣ ________． 1. 如图，在 쳌䁩 中， 䁩쳌 ܣ 9 ， 䁩 ܣ 1 ， 쳌 ܣ 2 ，以点 A 为圆心， AC 长为半径画弧，交 AB 边于点 D，则 䁩㈶ 的长为________ 结果保留 ． 11. 如图所示，在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“马”位于点 22 ， “炮”位于点 12 ，写出“兵”所在位置的坐标______ ． 12. 用如图所示的正方形和长方形若干张，拼成一个边长为 2 的正方形，需要 A 型来 a 张， 需要 B 型来 b 张，需要 C 型来 c 张，则 的值为________。 1. 11. 如果 2 ܣ ，那么代数式 21 2 1 的值是__________． 1. 已知一组数据 分1 ， 分2 ， 分 ， ， 分 的方差为 2，则另一组数据 分1 ， 分2 ， 分 ， ， 分 的方差为 ______． 1. 《九章算术》记载：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”译文：有一根 直立的竹竿原高 1 丈 1 丈 ܣ 1 尺 ，竹竿从某处折断，竹梢触地面离竹竿底部 4 尺，问竹竿折 断处离地面______尺？ 1. 尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线． 已知：如图，直线 l 与直线 l 外一点 . 求作：过点 P 与直线 l 平行的直线． 作法如下： 1 在直线 l 上任取两点 A，B，连接 AP，BP； 2 以点 B 为圆心，AP 长为半径作弧；以点 P 为圆心，AB 长为半径作弧；如图所示，两弧相交 于点 M； 过点 P，M 作直线； 直线 PM 即为所求． 请回答：PM 平行于 l 的依据是_____________________________． 三、计算题（本大题共 1 小题，共 5.0 分） 17. 计算： 2 1 2 1 ． 四、解答题（本大题共 11 小题，共 63.0 分） 18. 解不等式组： 2分 1 分 分1 分 1 19. 已知：如图， ㈶쳌䁩 ，DB 平分 ㈶䁩 ，CE 平分 쳌䁩㈶ ，交 AB 于点 E， BD 于点 . 求证：点 O 到 EB 与 ED 的距离相等． 20. 关于 x 的一元二次方程 分 2 2ʹ 1分 ʹ 2 1 ܣ 有两个不相等的实数根． 1 求 m 的取值范围； 2 写出一个满足条件的 m 的值，并求此时方程的根． 21. 已知如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O， ㈶䁩 ， 쳌㈶ ． 1 求证：四边形 AODE 是矩形； 2 连接 OE，求证： ܣ 쳌䁩 ； 若 쳌 ܣ ， 쳌䁩㈶ ܣ 12 ，四边形 AODE 的面积 ܣ _________． 22. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 ܣ 分 2 与反比例函数 ܣ 分 的图象交于点 2和点 B． 1 求反比例函数的表达式和点 B 的坐标； 2 直接写出不等式 分 分 2 的解集． 23. 已知 쳌䁩 ，以 AB 为直径的 分别交 AC 于 D，BC 于 E，连接 ED， 若 ． 1 求证： 쳌 ܣ 䁩 ； 2 若 쳌 ܣ ， 쳌䁩 ܣ 2 ，求 CD 的长． 24. 某中学对七年级女生仰卧起坐的测试成绩进行统计分析，将数据整理好后，画出如图所示的频 数直方图 不完整 . 已知图中从左到右第一、二、三、四、六组的频率依次是 .1 ， .1 ， .2 ， . ， . ，第五组的频数是 36，根据所给的统计图回答下列问题： 1 第五组的频率是多少 参加这次测试的女生有多少人 2 若次数在 24 次 含 24 次 以上为达标 此标准为中考体育标准 ，则该校八年级女生的达标率 为多少 25. 如图 1，AB 为半圆 O 的直径，半径的长为 4cm，点 C 为半圆上一动点，过点 C 作 䁩 쳌 ，垂 足为点 E，点 D 为弧 AC 的中点，连接 DE，如果 ㈶ ܣ 2 ，求线段 AE 的长． 小何根据学习函数的经验，将此问题转化为函数问题解决． 小华假设 AE 的长度为 xcm，线段 DE 的长度为 ycm． 当点 C 与点 A 重合时，AE 的长度为 ʹ ，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行探究． 下面是小何的探究过程，请补充完整： 说明：相关数据保留一位小数 ． 1 通过取点、画图、测量，得到了 x 与 y 的几组值，如下表： 分ʹ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ʹ 0 1. 2. . . .7 ______ . .7当 分 ܣ ʹ 时，请你在图中帮助小何完成作图，并使用刻度尺度量此时线段 DE 的长度，填写 在表格空白处： 2 在图 2 中建立平面直角坐标系，描出补全后的表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图 象； 结合画出的函数图象解决问题，当 ㈶ ܣ 2 时，AE 的长度约为______cm． 26. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线的表达式为 ܣ 2分 2 ʹ分 2ʹ 2 2ʹ ，线段 AB 的两个 端点分别为 12 ， 쳌2 ． 1 若抛物线经过原点，求出 m 的值； 2 求抛物线顶点 C 的坐标 用含有 m 的代数式表示 ； 若抛物线与线段 AB 恰有一个公共点，结合函数图象，求出 m 的取值范围． 27. 如图 1， 䁩 ܣ 쳌䁩 ， 䁩㈶ ܣ 䁩 ， 䁩쳌 ܣ ㈶䁩 ܣ ，AD、BE 相交于点 M，连接 CM 1 求证： 쳌 ܣ ㈶ ，并用含 a 的式子表示 ᦙ쳌 的度数； 2 当 ܣ 9 时，取 AD，BE 的中点分别为点 P、Q，连接 CP，CQ，PQ，如图 2，判断 䁩䁨的形状，并加以证明． 28. 如图，在矩形 ABCD 中， 쳌 ܣ ， 쳌䁩 ܣ ，O 是 AD 的中点，以 O 为圆心在 AD 的下方作半径 为 3 的半圆 O，交 AD 于 E、F． 1 连接 BD，直接写出点 O 到 BD 的距离为________； 2 将线段 AF 连带半圆 O 绕点 A 顺时针旋转，得到半圆 ，设其直径为 ㌴ ，旋转角为 1 ； 当半圆 与线段 AB 相切时，设切点为 R，求弧 ㌴ܴ 的弧长； 当半圆 与线段 BC 相切时，设切点为 R，求扇形 ܴ㌴ 面积； 设 ㌴ 到 AD 的距离为 m，当 ʹ ȁ 7 2 时，则 的取值范围是多少． sin9 ܣ cos1 ܣ tan7 ܣ ，结果保留 【答案与解析】 1.答案：C 解析：解：30 万 ܣ 1 ， 故选：C． 科学记数法的表示形式为 1 的形式，其中 1 1 ，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原 数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 ȁ 1 时，n 是正数；当原数的绝对值 1 时，n 是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 1 的形式，其中 1 1 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 2.答案：B 解析：解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体应该是 圆柱． 故选 B． 由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状． 主视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为柱体． 3.答案：B 解析： 本题主要考查了数轴、比较有理数的大小、绝对值的知识点，根据 a、b 两点在数轴上的位置判断出 其取值范围是 1 1 ，解答此题的关键 . 根据 a、b 两点在数轴上的位置判断出其取值范 围，再对各选项进行逐一分析即可． 解：a、b 两点在数轴上的位置可知： 1 1 ． ȁ 1 ， ȁ 1 ， ． 只有 B 选项正确． 故选 B． 4.答案：C 解析： 本题考查了中心对称图形 . 一个图形绕某点旋转 1 与自身重合的图形是中心对称图形 . 根据中心对 称图形的定义即可判断． 解： . 不是中心对称图形，不符合题意； B.不是中心对称图形，不符合题意； C.是中心对称图形，符合题意； D.不是中心对称图形，不符合题意． 故选 C． 5.答案：B 解析： 本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大 或从大到小 重新排列后， 最中间的那个数 最中间两个数的平均数 ，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好， 不把数据按要求重新排列，就会出错． 中位数，因图中是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个数 或最中间的两个数 即 可，本题是最中间的两个数；对于众数可由条形统计图中出现频数最大或条形最高的数据写出． 解：由条形统计图中出现频数最大条形最高的数据是在第四组，7 环，故众数是 1. 万步 ； 因图中是按从小到大的顺序排列的，最中间的步数都是 1. 万步 ，故中位数是 1. 万步 ． 故选 B． 6.答案：A 解析： 本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质的应用． 证得 ㈶∽ ܴ쳌 ，得到 ㈶ ㈶䁩ܴ ܣ ܴ ，结合已知得到 䁩ܴ ܣ 2 ㈶ ，即可求得答案． 解： 在 쳌䁩㈶ 中， ㈶쳌䁩 ，且 ㈶ ܣ 쳌䁩 ， ㈶∽ ܴ쳌 ， 则 ㈶ 쳌ܴ ܣ ܴ ，即 ㈶ ㈶䁩ܴ ܣ ܴ ， 又 䁩ܴ㈶ ܣ 2 ，即 䁩ܴ ܣ 2 ㈶ ， ㈶ ㈶ 2 ㈶ ܣ ܣ ܴ ， 即 AP： ܴ ܣ ：5． 故选 A． 7.答案：B 解析： 本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义． 根据已知图和各个推断的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题． 解：当投掷次数是 500 时，计算机记录“钉尖向上”的次数是 308， 所以此时“钉尖向上”的频率是： ܣ .1 ，但“钉尖向上”的概率不一定是 .1 ，故 错误， 随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在 .1 附近摆动，显示出一定的稳定性， 可以估计“钉尖向上”的概率是 .1. 故 正确， 若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为 1000 时，“钉尖向上”的概率可能是 .2 ，但不一定 是 .2 ，故 错误， 故选：B． 8.答案：C 解析： 本题考查了有理数比较大小，两负数比较大小，绝对值大的数反而小是解题关键． 根据两负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得答案． 解： ， 故选 C． 9.答案：3 解析： 本题考查了分式的值为零的条件，具备两个条件： 1 分子为 0； 2 分母不为 . 这两个条件缺一不 可．根据分式的值为零的条件可以求出 x 的值． 解：由分式的值为零的条件得 分 9 ܣ 且 分 2 ， 由 分 9 ܣ ，解得 分 ܣ ， 故答案为 .10.答案： 解析： 本题主要考查了弧长公式的运用，解题时注意弧长公式为： ܣ ܴ 1 弧长为 l，圆心角度数为 n，圆 的半径为 ܴ. 先根据 䁩쳌 ܣ 9 ， 䁩 ܣ 1 ， 쳌 ܣ 2 ，得到 쳌䁩 ܣ ，进而得出 ܣ ，再根据 䁩 ܣ 1 ，即可得到弧 CD 的长． 解： 䁩쳌 ܣ 9 ， 䁩 ܣ 1 ， 쳌 ܣ 2 ， 쳌䁩 ܣ ， ܣ ， 又 䁩 ܣ 1 ， 弧 CD 的长为 1 1 ܣ ， 故答案为 ． 11.答案： 2 解析： 本题考查了坐标确定位置，确定出原点的位置并建立平面直角坐标系 是解题的关键，以“马”的位置向左 2 个单位，向下 2 个单位为坐标 原点建立平面直角坐标系，然后写出兵的坐标即可． 解：建立平面直角坐标系如图， 兵的坐标为 2 ． 故答案为 2 ． 12.答案：25 解析： 本题考查了完全平方公式与几何背景的结合，根据完全平方公式求出拼成后的正方形的面积的表达 式是解题的关键 . 利用完全平方公式求出拼成后的正方形的面积，然后即可得出所需各类卡片的数量 即可． 解： 2 2 ܣ 2 12 9 2 ， 拼成一个边长为 2 的正方形需要 A 类卡片 4 张，B 类卡片 12 张，C 类卡片 9 张， ܣ 12 9 ܣ 2 ． 故答案为 25． 13.答案：3 解析： 本题考查了分式的化简求值，但做题的关键是要寻求解这个题的简便方法：先化简要求的分式，然 后观察化简后的代数式与已知条件之间的关系，然后再求解，即可得出答案． 解：原式 ܣ 2 21 2 1 ܣ 1 2 2 1 ܣ 1 ܣ 2 ， 2 ܣ ， 2 ܣ ， 原式 ܣ ． 故答案为 3． 14.答案：18 解析：解： 一组数据 分1 ， 分2 ， 分 ， 分 的方差为 2， 另一组数据 分1 ， 分2 ， 分 ， 分 的方差为 2 2 ܣ 1 ． 故答案为 18． 如果一组数据 分1 、 分2 、 、 分 的方差是 2 ，那么数据 分1 、 分2 、 、 分 的方差是 2 2 ，依此 规律即可得出答案． 本题考查了方差的定义．当数据都加上一个数时，平均数也加上这个数，方差不变，即数据的波动 情况不变；当数据都乘以一个数时，平均数也乘以这个数 不为 ，方差变为这个数的平方倍． 15.答案： .2 解析： 此题主要考查了勾股定理的应用有关知识，根据题意结合勾股定理得出折断处离 地面的长度即可． 解：设折断处离地面的高度 OA 是 x 尺，根据题意可得： 分 2 2 ܣ 1 分 2 ， 解得： 分 ܣ .2 ， 答：折断处离地面的高度 OA 是 .2 尺． 故答案为 .2 ． 16.答案：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，两点确定一条直线 解析： 本题考查的是尺规作图有关知识，根据题意给出的作法和画出的图形直接写出依据即可解答． 解：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，两点确定一条直线． 故答案为两组对边分别相等的四边形是平行四边形，两点确定一条直线． 17.答案：解：原式 ܣ 2 1 2 2 2 2 ܣ 2 2 ． 解析：本题涉及特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式化简、绝对值 4 个考点．在计算时， 需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟 练掌握特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算． 18.答案：解： 2分 1 分 分1 分 1由 得 分 2 ， 由 得 分 ȁ 2 ； 不等式组的解集为 2 分 2 ． 解析：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小 小无解了确定不等式组的解集． 本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取 小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 19.答案：证明： ㈶쳌䁩 ， ㈶䁩 쳌䁩㈶ ܣ 1 ， ㈶쳌 平分 ㈶䁩 ，CE 平分 쳌䁩㈶ ， ㈶䁩 䁩㈶ ܣ 9 ， ㈶䁩 ܣ 9 ，又 CE 平分 쳌䁩㈶ ， 䁩 是 BD 的垂直平分线， 쳌 ܣ ㈶ ，又 ㈶䁩 ܣ 9 ， 䁩 平分 쳌㈶ ， 点 O 到 EB 与 ED 的距离相等． 解析：【试题解析】 根据平行线的性质和角平分线的定义得到 ㈶䁩 ܣ 9 ，根据等腰三角形的三线合一证明即可． 本题考查的是平行线的性质、角平分线的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握角平 分线的性质是解题的关键． 20.答案：解： 1 方程有两个不相等的实数根， ܣ 2ʹ 1 2 ʹ 2 1 ȁ ， 解得 ʹ ȁ ； 2 根据题意，可取 分 ܣ 1 ， 此时方程为 分 2 分 ܣ ， 分分 ܣ ， 解得 分1 ܣ ， 分2 ܣ ． 解析：本题主要考查的是因式分解法解一元二次方程和根的判别式． 1 根据方程有两个不相等的实数根时 ȁ 求解即可； 2 任意取满足 1 的 m，进行解方程即可． 21.答案： 1 证明： ㈶䁩 ， 쳌㈶ ， 四边形 AODE 是平行四边形， 在菱形 ABCD 中， 䁩 쳌㈶ ， 平行四边形 AODE 是矩形， 故四边形 AODE 是矩形； 2 证明： 四边形 AODE 是矩形， ㈶ ܣ ， 有菱形 ABCD， 쳌䁩 ܣ ㈶ ， ܣ 쳌䁩 ； 9 ． 解析： 本题考查了矩形的判定以及菱形的性质，还考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法 是解题的关键． 1 根据菱形的性质得出 䁩 쳌㈶ ，再根据平行四边形的判定定理得四边形 AODE 为平行四边形，由 矩形的判定定理得出四边形 AODE 是矩形； 2 根据矩形的性质和菱形的性质可得结论； 证明 쳌䁩 是等边三角形，得出 OA，由勾股定理得出 OB，由菱形的性质得出 ㈶ ܣ 쳌 ，即可 求出四边形 AODE 的面积． 1 见答案； 2 见答案； 解： 쳌䁩㈶ ܣ 12 ， 쳌䁩㈶ ， 쳌䁩 ܣ 1 12 ܣ ， 쳌 ܣ 쳌䁩 ， 쳌䁩 是等边三角形， ܣ 1 2 ܣ ， 在菱形 ABCD 中， 䁩 쳌㈶ ， 由勾股定理得 쳌 ܣ 2 2 ܣ 27 ܣ ， 四边形 ABCD 是菱形， ㈶ ܣ 쳌 ܣ ， 四边形 AODE 的面积 ܣ ㈶ ܣ ܣ 9 ． 故答案为 9 ． 22.答案：解： 1 把 2 代入 ܣ 分 2 中， 得： 2 2 ܣ ，即 ܣ 把 2 代入 ܣ 分 中，得 ܣ ， 即 ܣ 分 ， 联立方程组 ܣ 分 2 ܣ 分 ， 解得： 分 ܣ 2 ܣ 或 分 ܣ ܣ 2 ， 则 쳌 2 ； 2 如图： 分 分 2 的解集 分 2 或 分 ． 解析：此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式；熟练掌握待 定系数法求直线解析式是解决问题的关键． 1 由点 A 在直线 ܣ 分 2 上，即可求出 a 的值，从而可得点 A 的坐标，根据点 A 在反比例函数 ܣ 分 的图象上，即可求出反比例函数的解析式，然后将一次函数与反比例函数联立方程组，解方程 组即可求出点 B 的坐标； 2 根据一次函数 ܣ 分 2 与反比例函数 ܣ 分 的交点坐标即可得不等式的解集． 23.答案： 1 证明： ㈶ ܣ 䁩 ， ㈶䁩 ܣ 䁩 ， ㈶䁩 ܣ 쳌 ， ㈶䁩 ㈶ ܣ 1쳌 ㈶ ܣ 1 ㈶䁩 ܣ 쳌 쳌 ܣ 䁩 ， 쳌 ܣ 䁩 ； 2 解：连接 BD， 쳌 为直径， 쳌㈶ 䁩 ， 设 䁩㈶ ܣ ， 由 1 知 䁩 ܣ 쳌 ܣ ， 则 ㈶ ܣ ， 在 ܴ 쳌㈶ 中，由勾股定理可得： 쳌㈶ 2 ܣ 쳌 2 ㈶ 2 ܣ 2 2 在 ܴ 䁩쳌㈶ 中，由勾股定理可得： 쳌㈶ 2 ܣ 쳌䁩 2 䁩㈶ 2 ܣ 2 2 2 2 2 ܣ 2 2 2 整理得： ܣ 2 ， 即： 䁩㈶ ܣ 2 ． 解析：本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的 关键． 1 由等腰三角形的性质得到 ㈶䁩 ܣ 䁩 ，由圆内接四边形的性质得到 ㈶䁩 ܣ 쳌 ，由此推得 쳌 ܣ 䁩 ，由等腰三角形的判定即可证得结论； 2 连接 AE，由 AB 为直径，可证得 쳌䁩 ，结合勾股定理和垂径定理可求得 CD 的长． 24.答案：解： 11 .1 .1 .2 . . ܣ .2 ； .2 ܣ 1 人 答：第五组的频率是 .2 ，参加这次测试的女生有 180 人． 2. .2 . ܣ . ܣ ％ 答：该校八年级女生的达标率为 标 ． 解析： 本题主要考察频数分布直方图，解题关键是读懂统计图，然后根据题目要求求解． 解析： 1 根据各组的频率和为 1，即可求得第五组的频率，再利用公式：样本容量 ܣ 频数 频率，便可求得 女生的人数． 2 达标率即为第四、五、六组的频率和，求和可得． 25.答案： 1. 2 根据数据表格画图象得 2. 或 .9 解析：解： 1 根据题意取点、画图、测量的 分 ܣ 时， ܣ .故答案为： . 2 见答案 当 ㈶ ܣ 2 时，问题可以转化为折线 ܣ 2分 分 2分 分 与 2 中图象的交点 经测量得 分 ܣ 2. 或 .9 时 ㈶ ܣ 2 ． 故答案为： 2. 或 .926.答案：解： 1 抛物线 ܣ 2分 2 ʹ分 2ʹ 2 2ʹ 经过原点， 2ʹ 2 2ʹ ܣ ， 解得 ʹ1 ܣ ， ʹ2 ܣ 1 ； 2 ܣ 2分 2 ʹ分 2ʹ 2 2ʹ ܣ 2分 2 2ʹ分 ʹ 2 2ʹ ܣ 2分 ʹ 2 2ʹ ， 顶点 C 的坐标为 ʹ2ʹ ； 由顶点 C 的坐标可知，抛物线的顶点 C 在直线 ܣ 2分 上移动． 当抛物线过点 A 时， ʹ ܣ 2 或 1； 当抛物线过点 B 时， ʹ ܣ 2 或 5． 所以 ʹ ܣ 2 时，抛物线与线段 AB 有两个公共点，不符合题意． 结合函数的图象可知，m 的取值范围为 1 ʹ 且 ʹ 2 ． 解析： 1 将 分 ܣ ， ܣ 代入 ܣ 2分 2 ʹ分 2ʹ 2 2ʹ ，得到关于 m 的方程，解方程即可求 出 m 的值； 2 利用配方法将抛物线的一般式化为顶点式，进而求出顶点 C 的坐标； 由 2 所求顶点 C 的坐标可知，抛物线的顶点 C 在直线 ܣ 2分 上移动．分别求出抛物线过点 A、 点 B 时，m 的值，画出此时函数的图象，结合图象即可求出 m 的取值范围． 本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，直线与抛物线的位置关系，提现了转 化思想和数形结合思想的应用． 27.答案：解： 1 䁩쳌 ܣ ㈶䁩 ܣ ， 䁩㈶ ܣ 쳌䁩 ， 在 䁩㈶ 和 쳌䁩 中， 䁩 ܣ 䁩쳌 䁩㈶ ܣ 쳌䁩 䁩㈶ ܣ 䁩 䁩㈶≌ 쳌䁩 ， 쳌 ܣ ㈶ ； 䁩㈶≌ 쳌䁩 ， 䁩㈶ ܣ 䁩쳌 ， 쳌䁩 中， 쳌䁩 쳌䁩 ܣ 1 ， 쳌ᦙ 쳌ᦙ ܣ 1 ， 쳌ᦙ 中， ᦙ쳌 ܣ 1 1 ܣ ； 2 䁩䁨 为等腰直角三角形． 证明：由 1 可得， 쳌 ܣ ㈶ ， ㈶ ，BE 的中点分别为点 P、Q， ܣ 쳌䁨 ， 䁩㈶≌ 쳌䁩 ， 䁩 ܣ 䁩쳌䁨 ， 在 䁩 和 쳌䁩䁨 中， 䁩 ܣ 䁩쳌 䁩 ܣ 䁩쳌䁨 ܣ 쳌䁨 ， 䁩≌ 쳌䁩䁨 ， 䁩 ܣ 䁩䁨 ，且 䁩 ܣ 쳌䁩䁨 ， 又 䁩 䁩쳌 ܣ 9 ， 쳌䁩䁨 䁩쳌 ܣ 9 ， 䁩䁨 ܣ 9 ， 䁩䁨 为等腰直角三角形． 解析：本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定以及三角形内角和定理的 综合应用． 1 由 䁩 ܣ 䁩쳌 ， 䁩㈶ ܣ 䁩 ， 䁩쳌 ܣ ㈶䁩 ܣ ，利用 SAS 即可判定 䁩㈶≌ 쳌䁩 ；根据 䁩㈶≌ 쳌䁩 ， 得出 䁩㈶ ܣ 䁩쳌 ，再根据三角形内角和为 1 ，即可得到 ᦙ쳌 ܣ ； 2 先根据 SAS 判定 䁩≌ 쳌䁩䁨 ，再根据全等三角形的性质，得出 䁩 ܣ 䁩䁨 ， 䁩 ܣ 쳌䁩䁨 ，最 后根据 䁩쳌 ܣ 9 即可得到 䁩䁨 ܣ 9 ，进而得到 䁩䁨 为等腰直角三角形． 28.答案：解： 1 12 ； 2 如下图所示，当半圆 与 AB 相切，切点为 R，连接 ܴ ， ܴ ܣ 9 ， ， ܴ ܣ 9 ， ㌴ܴ ܣ 9 9 ܣ 19 ， ； 如下图所示，当半圆 与线段 BC 相切时，切点为 R，过点 作 쳌 于 P，连接 ܴ ， ܴ쳌 ܣ 9 ，易得四边形 쳌ܴ 是矩形， ܴ ܣ 쳌 ܣ ， ܣ ， ， ܣ 9 ， ܴ㌴ ܣ 1 ， ； 如图 1，过 ㌴ 作 ㌴䁨 ㈶ 于 Q， 当 ㌴ 到 AD 的距离为 7 2 时，有 ㌴䁨 ܣ 7 2 ， 此时 ， 所以 ܣ ； 如图 2，当 Q 落在 DA 延长线时， 可求得 ܣ 1 ， 所以当 ʹ ȁ 7 2 时， 的取值范围是 1 ． 解析： 本题主要考查点到直线的距离，弧长，扇形的面积和角 的范围，解题的关键是掌握相似三角形的判 定与性质，矩形的判定与性质及切线的性质等知识点，注意分类讨论，属于较难题． 1 过点 O 作 쳌㈶ 于 N，所以 ܣ 䁩 ，由四边形 ABCD 是矩形，所以 ㈶ ܣ 쳌䁩 ܣ ， 쳌㈶ ܣ 9 ， 因为 쳌 ܣ ，所以 쳌㈶ ܣ 1 ，又因为 쳌㈶ ܣ ㈶ ܣ 9 ， ㈶쳌 ܣ ㈶ ，所以 ㈶쳌∽ ㈶ ， 所以 쳌㈶ ㈶ ܣ 쳌 ，从而容易得到 ON 的值，即 ON 就是点 O 到 BD 的距离； 2 当半圆 与 AB 相切，切点为 R，连接 ܴ ，得 ܴ ܣ 9 ，因为 ，所以 ܴ ܣ 9 ， ㌴ܴ ܣ 9 9 ܣ 19 ，由弧长公式可得弧 ㌴ܴ 的值； 当半圆 与线段 BC 相切时，切点为 R，过点 作 쳌 于 P，连接 ܴ ，易得四边形 쳌ܴ是矩形， ܴ ܣ 쳌 ܣ ， ܣ ， ， ܣ 9 ， ܴ㌴ ܣ 1 ， 算 出结果即可； 过点 ㌴ 作 ㌴䁨 ㈶ 于 Q，分垂足 Q 落在线段 AD 上和线段 DA 延长线上两种情况，利用 ܴ 䁨㌴中， 求得 䁨㌴ 的度数即可得出 的范围． 解： 1 如图，过点 O 作 쳌㈶ 于 N， ܣ 䁩 ， 四边形 ABCD 是矩形， ㈶ ܣ 쳌䁩 ܣ ， 쳌㈶ ܣ 9 ， 又 쳌 ܣ ， 쳌㈶ ܣ 1 ， 쳌㈶ ܣ ㈶ ܣ 9 ， ㈶쳌 ܣ ㈶ ， ㈶쳌∽ ㈶ ， 쳌㈶ ㈶ ܣ 쳌 ， ܣ 12 ； 2 见答案； 见答案； 见答案．