全国各地500套中考数学试题分类汇编 二次函数
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全国 500 套数学试题分类汇编
第 13 章 二次函数
2011 全国各地中考数学真题分类汇编第 13 章 二次函数
一、选择题
1. （2011 山东滨州，7，3 分）抛物线 22 3y x 可以由抛物线 2y x 平移得到,则下列平移过程正
确的是( )
A.先向左平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位
B.先向左平移 2 个单位,再向下平移 3 个单位
C.先向右平移 2 个单位,再向下平移 3 个单位
D.先向右平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位
【答案】B
【答案】D
2. （2011 广东广州市，5，3 分）下列函数中,当 x>0 时 y 值随 x 值增大而减小的是（ ）．
A．y = x2 B．y = x－１ C． y = 3
4
x D．y = 1
x
【答案】D
3. （2011 湖北鄂州，15，3 分）已知函数
2
2
1 1 3
5 1 3
x x
y
x x
≤
＞
，则使 y=k 成立的 x 值恰好有三个，则
k 的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4. （2011 山东德州 6,3 分）已知函数 ))(( bxaxy （其中 a b ）的图象
如下面右图所示，则函数 baxy 的图象可能正确的是
第 6 题图
y
x
1
1O
（A）
y
x
1
-1 O
（B）
y
x
-1
-1
O
（C）
1
-1
x
y
O
（D）
【答案】D
5. （2011 山东菏泽，8，3 分）如图为抛物线 2y ax bx c 的图像，A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点，
且 OA=OC=1，则下列关系中正确的是
A．a＋b=－1 B． a－b=－1 C． b<2a D． ac<0
【答案】B
6. （2011 山东泰安，20 ，3 分）若二次函数 y=ax2+bx+c 的 x 与 y 的部分对应值如下表：
X -7 -6 -5 -4 -3 -2
y -27 -13 -3 3 5 3
则当 x=1 时，y 的值为
A.5 B.-3 C.-13 D.-27
【答案】D
7. （2011 山东威海，7，3 分）二次函数 2 2 3y x x 的图象如图所示．当 y＜0 时，自变量 x 的取值范
围是（ ）．
A．－1＜x＜3 B．x＜－1 C． x＞3 D．x＜－1 或 x＞3
【答案】A
8. （2011 山东烟台，10,4 分）如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确
的是（ ）
A．m＝n，k＞h B．m＝n ，k＜h
C．m＞n，k＝h D．m＜n，k＝h
【答案】A
9. （2011 浙江温州，9，4 分）已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示．关于该函数在所给自变量取值范围
内，下列说法正确的是( )
A．有最小值 0，有最大值 3 B．有最小值－1，有最大值 0
C．有最小值－1，有最大值 3 D．有最小值－1，无最大值
【答案】D
10．（2011 四川重庆，7，4 分）已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则
下列结论中正确的是( )
A． a>0 B． b＜0 C． c＜0 D． a＋b＋c>0
【答案】D
11. （2011 台湾台北，6）若下列有一图形为二次函数 y＝2x2－8x＋6 的图形，则此图为何？
【答案】A
12. （2011 台湾台北，32）如图(十四)，将二次函数 22 8999931 ＋－＝ xxy 的图形画在坐标平面上，判断
方程
式 08999931 22 ＝＋－ xx 的两根，下列叙述何者正确？
A．两根相异，且均为正根 B．两根相异，且只有一个正根
C．两根相同，且为正根 D．两根相同，且为负根
【答案】A
13. （2011 台湾全区，28）图(十二)为坐标平面上二次函数 cbxaxy 2 的图形，且此图形通（－1 ,
1）、（2 ,－1）两点．下列关于此二次函数的叙述，何者正确？
A ．y 的最大值小于 0 B．当 x＝0 时，y 的值大于 1
C．当 x＝1 时，y 的值大于 1 D．当 x＝3 时，y 的值小于 0
【答案】Ｄ
14. （2011 甘肃兰州，5，4 分）抛物线 2 2 1y x x 的顶点坐标是
A．（1，0） B．（－1，0） C．（－2，1） D．（2，－1）
【答案】A
15. （2011 甘肃兰州，9，4 分）如图所示的二次函数 2y ax bx c 的图象中，刘星同学观察得出了下
面四条信息：（1） 2 4 0b ac ；（2）c>1；（3）2a－b<0；（4）a+b+c<0。你认为其中错误．．的有
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．1 个
x
y
-1 1O
1
【答案】D
16. （2011 江苏宿迁,8,3 分）已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（▲）
A．a＞0 B．当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大
C．c＜0 D．3 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的一个根
【答案】D
17. （2011 山东济宁，8，3 分）已知二次函数 2y ax bx c 中，其函数 y 与自变量 x 之间的部分对
应值如下表所示：
x …… 0 1 2 3 4 ……
y …… 4 1 0 1 4 ……
点 A（ 1x ， 1y ）、B（ 2x ， 2y ）在函数的图象上，则当 11 2,x 23 4x 时， 1y 与 2y 的大小关系正
确的是
A． 1 2y y B． 1 2y y C． 1 2y y D． 1 2y y
【答案】B
18. （2011 山东聊城，9，3 分）下列四个函数图象中，当 x<0 时，函数值 y 随自变量 x 的增大而减小的是
（ ）
【答案】D
19. （2011 山东潍坊，12，3 分）已知一元二次方程 2 0 ( 0)ax bx c a 的两个实数根 1x 、 2x 满足
1 2 4x x 和 1 2 3x x ，那么二次函数 2 ( 0)y ax bx c a 的图象有可能是（ ）
【答案】C
20．（2011 四川广安，10，3 分）若二次函数 2( ) 1y x m ．当 x ≤l 时， y 随 x 的增大而减小，则 m 的
取值范围是（ ）
A． m =l B． m >l C． m ≥l D． m ≤l
【答案】C
21. （2011 上海，4，4 分）抛物线 y＝－(x＋2)2－3 的顶点坐标是（ ）．
(A) （2，－3）； (B) （－2，3）； (C) （2，3）； (D) （－2，－3） ．
【答案】D
22. （2011 四川乐山 5，3 分）将抛物线 2y x 向左平移 2 个单位后，得到的抛物线的解析式是
A． 2( 2)y x B． 2 2y x C． 2( 2)y x D． 2 2y x
【答案】A
23. （2011 四川凉山州，12，4 分）二次函数 2y ax bx c 的图像如图所示，反比列函数 ay x
与正
比列函数 y bx 在同一坐标系内的大致图像是（ ）
第 12 题
O x
y
O
y
x
A
O
y
x
B
O
y
x
D
O
y
x
C
【答案】B
24. （2011 安徽芜湖，10,4 分）二次函数 2y ax bx c 的图象如图所示，则反比例函数 ay x
与一次函
数 y bx c 在同一坐标系中的大致图象是（ ）.
【答案】D
25. （2011 江苏无锡，9，3 分）下列二次函数中，图象以直线 x = 2 为对称轴，且经过点(0，1)的是
( )
A．y = (x − 2)2 + 1 B．y = (x + 2)2 + 1
C．y = (x − 2)2 − 3 D．y = (x + 2)2 − 3
【答案】C
26. （2011 江苏无锡，10，3 分）如图，抛物线 y = x2 + 1 与双曲线 y = k
x
的交点 A 的横坐标是 1，则关于 x
的不等式 k
x + x2 + 1 < 0 的解集是 ( )
A．x > 1 B．x < −1 C．0 < x < 1 D．−1 < x < 0
（第 10 题）
x
y
A
【答案】D
27. （2011 湖北黄冈，15，3 分）已知函数
2
2
1 1 3
5 1 3
x x
y
x x
≤
＞
，则使 y=k 成立的 x 值恰好有三个，则
k 的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
28. （2011 广东肇庆，10，3 分）二次函数 522 xxy 有
A． 最大值 5 B． 最小值 5 C． 最大值 6 D． 最小值 6
【答案】D
29. （2011 湖北襄阳，12，3 分）已知函数 12)3( 2 xxky 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是
A. 4k B. 4k C. 4k 且 3k D. 4k 且 3k
【答案】B
30. （2011 湖南永州，13，3 分）由二次函数 1)3(2 2 xy ，可知（ ）
A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 3x
C．其最小值为 1 D．当 3x 时，y 随 x 的增大而增大
【答案】C．
31. (20011 江苏镇江,8,2 分)已知二次函数 2 1
5y x x ,当自变量 x 取 m 时,对应的函数值大于 0,当自变
量 x 分别取 m-1,m+1 时对应的函数值 1y 、 2y ,则必值 1y , 2y 满足 ( )
A. 1y >0, 2y >0 B. 1y <0, 2y <0 C. 1y <0, 2y >0 D. 1y >0, 2y <0
答案【B 】
32. （2011 安徽芜湖，10，4 分）二次函数 2y ax bx c 的图象如图所示，则反比例函数 ay x
与一次
函数 y bx c 在同一坐标系中的大致图象是（ ）.
【答案】D
33.（2010 湖北孝感，12，3 分）如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 y 轴正半轴相交，其顶点坐标为 1 ,12
，
下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac－b2=4a；④a+b+c＜0.其中正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
34. （2011 湖南湘潭市，8，3 分）在同一坐标系中，一次函数 1 axy 与二次函数 axy 2 的图像可
能是
【答案】C
35.
二、填空题
1. （2011 浙江省舟山，15，4 分）如图，已知二次函数 cbxxy 2 的图象经过点（－1，0），（1，－2），
当 y 随 x 的增大而增大时， x 的取值范围是 ．
x
y
（第 15 题）
O
1
1
（1,-2）
cbxxy 2
-1
【答案】 1
2x
2. （2011 山东日照，17，4 分）如图，是二次函数 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的一部分， 给出下列
命题 ：①a+b+c=0；②b＞2a；③ax2+bx+c=0 的两根分别为-3 和 1；④a-2b+c＞0．其中正确的命题
是 ．（只要求填写正确命题的序号）
【答案】①③．
3. （2011 浙江杭州，23， 10)设函数 2 (2 1) 1y kx k x (k 为实数)．
(1)写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一直角坐标系中，用描点法画出这
两个特殊函数的图象；
(2)根据所画图象，猜想出：对任意实数 K，函数的图象都具有的特征，并给予证明；
(3)对任意负．实数 k，当 x
0
时，y 随 x 的增大而减小.这个函数解析式为_________________________（写出一个即可）
【答案】如： 22 , 3, 5y y x y xx
等，写出一个即可.
10．（ 2011 重庆江津， 18，4 分）将抛物线 y=x2－2x 向上平移 3 个单位,再向右平移 4 个单位等到的抛物
线是_______.
【答案】y=(x-5)2+2 或 y=x2-10x+27
11. （2011 江苏淮安，14，3 分）抛物线 y=x2-2x-3 的顶点坐标是 .
【答案】（1，-4）
12. （2011 贵州贵阳，14，4 分）写出一个开口向下的二次函数的表达式______．
【答案】y=-x2+2x+1
13. （2011 广东茂名，15，3 分）给出下列命题：
命题 1．点(1，1)是双曲线
xy 1 与抛物线 2xy 的一个交点．
命题 2．点(1，2)是双曲线
xy 2 与抛物线 22xy 的一个交 点．
命题 3．点(1，3)是双曲线
xy 3 与抛物线 23xy 的一个交点．
……
请你观察上面的命题,猜想出命题 n ( n 是正整数):
【答案】点(1，n)是双曲线
x
ny 与抛物线 2nxy 的一个交点 ．
14. （2011 山东枣庄，18，4 分）抛物线 2y ax bx c 上部分点的横坐标 x ，纵坐标 y 的对应值如下表：
x … －2 －1 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
从上表可知，下列说法中正确的是 ．（填写序号）
①抛物线与 x 轴的一个交点为（3,0）； ②函数 2y ax bx c 的最大值为 6；
③抛物线的对称轴是 1
2x ； ④在对称轴左侧， y 随 x 增大而增大．
【答案】①③④
15.
三、解答题
1. （2011 广东东莞，15，6 分）已知抛物线 21
2y x x c 与 x 轴有交点．
(1)求 c 的取值范围；
(2)试确定直线 y＝cx+l 经过的象限，并说明理由．
【答案】（1）∵抛物线与 x 轴没有交点
∴⊿＜0，即 1－2c＜0
解得 c＞ 1
2
(2)∵c＞ 1
2
∴直线 y= 1
2
x＋1 随 x 的增大而增大，
∵b=1
∴直线 y= 1
2
x＋1 经过第一、二、三象限
2. （ 2011 重庆江津， 25，10 分）已知双曲线
x
ky 与抛物线 y=zx2+bx+c 交于 A(2,3)、B(m,2)、c(－3,n)
三点.
(1)求双曲线与抛物线的解析式;
(2)在平面直角坐标系中描出点 A、点 B、点 C,并求出△ABC 的面积,
【答案】(1)把点 A(2,3)代入
x
ky 得 ：k=6·
∴反比例函数的解析式为：
xy 6 ·
把点 B(m,2)、C(－3,n)分别代入
xy 6 得： m=3,n=-2·
把 A(2,3)、B(3,2)、C(-3,-2)分别代入 y=ax2+bx+c 得：
239
239
324
cba
cba
cba
解之得
3
3
2
3
1
c
b
a
∴抛物线的解析式为：y=- 33
2
3
1 2 xx ·
(2)描点画图
S△ABC=
2
1 (1+6)×5-
2
1 ×1×1-
2
1 ×6×4= 122
1
2
35 =5·
3. （2011 江苏泰州，27，12 分）已知：二次函数 y=x2＋bx－3 的图像经过点 P（－2,5）．
（1）求 b 的值，并写出当 1＜x≤3 时 y 的取值范围；
（2）设点 P1（m,y1）、P2（m+1,y2）、P3(m+2,y3)在这个二次函数的图像上．
①当 m=4 时，y1、y2、y3 能否作为同一个三角形的三边的长？请说明理由；
y
x1
1
o
第 25 题图
-1
-1
·A(2,3)
y
x1
1
o
第 25 题图
-1
-1
·B(2,3)
·C(-2,-3)
②当 m 取不小于 5 的任意实数时，y1、y2、y3 一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．
【答案】解：（1）把点 P 代入二次函数解析式得 5= （－2）2－2b－3，解得 b=－2.
当 1＜x≤3 时 y 的取值范围为－4＜y≤0.
（2）①m=4 时，y1、y2、y3 的值分别为 5、12、21，由于 5+12＜21，不能成为三角形的三边长．
②当 m 取不小于 5 的任意实数时，y1、y2、y3 的值分别为 m2－2m－3、m2－4、m2＋2m－3，由于， m2
－2m－3＋m2－4＞m2＋2m－3，（m－2）2－8＞0，
当 m 不小于 5 时成立，即 y1＋y2＞y3 成立．
所以当 m 取不小于 5 的任意实数时，y1、y2、y3 一定能作为同一个三角形三边的长，
4. （2011 广东汕头，15，6 分）已知抛物线 21
2y x x c 与 x 轴有交点．
(1)求 c 的取值范围；
(2)试确定直线 y＝cx+l 经过的象限，并说明理由．
【答案】（1）∵抛物线与 x 轴没有交点
∴⊿＜0，即 1－2c＜0
解得 c＞ 1
2
(2)∵c＞ 1
2
∴直线 y= 1
2
x＋1 随 x 的增大而增大，
∵b=1
∴直线 y= 1
2
x＋1 经过第一、二、三象限
5. （2011 湖南怀化，22，10 分）已知：关于 x 的方程 012)31(2 axaax
（1） 当 a 取何值时，二次函数 12)31(2 axaaxy 的对称轴是 x=-2；
（2） 求证：a 取任何实数时，方程 012)31(2 axaax 总有实数根.
【答案】
(1)解：∵二次函数 12)31(2 axaaxy 的对称轴是 x=-2
∴ 22
)31(
a
a
解得 a=-1
经检验 a=-1 是原分式方程的解.
所以 a=-1 时，二次函数 12)31(2 axaaxy 的对称轴是 x=-2；
（2）1）当 a=0 时，原方程变为-x-1=0，方程的解为 x= -1；
2）当 a≠0 时，原方程为一元二次方程， 012)31(2 axaax ，
当 时，042 acb 方程总有实数根，
∴ 0)12(4a31 2 aa
整理得， 0122 aa
0)1( 2 a
∵a≠0 时 0)1( 2 a 总成立
所以 a 取任何实数时，方程 012)31(2 axaax 总有实数根.
6. (2011 江苏南京，24，7 分)（7 分）已知函数 y=mx2－6x＋1（m 是常数）．
⑴求证：不论 m 为何值，该函数的图象都经过 y 轴上的一个定点；
⑵若该函数的图象与 x 轴只有一个交点，求 m 的值．
【答案】解：⑴当 x=0 时， 1y ．
所以不论 m 为何值，函数 2 6 1y mx x 的图象经过 y 轴上的一个定点（0，1）．
⑵①当 0m 时，函数 6 1y x 的图象与 x 轴只有一个交点；
②当 0m 时，若函数 2 6 1y mx x 的图象与 x 轴只有一个交点，则方程 2 6 1 0mx x 有两
个相等的实数根，所以 2( 6) 4 0m ， 9m ．
综上，若函数 2 6 1y mx x 的图象与 x 轴只有一个交点，则 m 的值为 0 或 9．
10．（2011 四川绵阳 24，12）已知抛物线:y=x²-2x+m-1 与 x 轴只有一个交点，且与 y 轴交于 A 点,
如图，设它的顶点为 B
(1)求 m 的值；
(2)过 A 作 x 轴的平行线，交抛物线于点 C，求证是△ABC 是等腰直角三角形；
(3)将此抛物线向下平移 4 个单位后，得到抛物线 C'，且与 x 轴的左半轴交于 E 点，与 y 轴交于 F 点，如图.
请在抛物线 C'上求点 P，使得△EFP 是以 EF 为直角边的直角三角形.
【答案】（1）抛物线与 x 轴只有一个交点，说明△=0，∴m=2
（2）∵抛物线的解析式是 y=x²-2x+1,∴A（0，1），B（1，0）∴△AOB 是等腰直角三角形，又 AC
∥OB,∴∠BAC=∠OAB=45°A，C 是对称点，∴AB=BC，∴△ABC 是等腰直角三角形。
（3）平移后解析式为 y=x²-2x-3,可知 E(-1,0),F(0,-3)∴EF 的解析式为：y=-3x-3,平面内互相垂直的两条直线的
k 值相乘=-1，所以过 E 点或 F 点的直线为 y=1
3
x+b 把 E 点和 F 点分别代入可得 b=1
3
或-3，∴y=1
3
x+1
3
或 y=1
3
x-3
列方程得 y=1
3x+1
3
y=x²-2x-3
解方程 x1=-1,x2=10
3 , x1 是 E 点坐标舍去，把 x2=10
3
代入得 y=13
9 ,∴P1（10
3
，13
9
）同理
y=1
3x-3
y=x²-2x-3
易得 x1 = 0 舍去，x2=
7
3
代入 y=-20
9 ,∴P2(7
3,-20
9 )
11. （2011 贵州贵阳，21，10 分）
如图所示，二次函数 y=-x2+2x+m 的图象与 x 轴的一个交点为 A（3，0），另一个交点为 B，且与 y 轴
交于点 C．
（1）求 m 的值；（3 分）
（2）求点 B 的坐标；（3 分）
（3）该二次函数图象上有一点 D（x，y）（其中 x＞0，y＞0），使 S△ABD=S△ABC，求点 D 的坐标．（4 分）
（第 21 题图）
【答案】解：（1）将（3，0）代入二次函数解析式，得
-32+2×3+m=0．
解得，m=3．
（2）二次函数解析式为 y=-x2+2x+3，令 y=0，得
-x2+2x+3=0．
解得 x=3 或 x=-1．
∴点 B 的坐标为（-1，0）．
（3）∵S△ABD=S△ABC，点 D 在第一象限，
∴点 C、D 关于二次函数对称轴对称．
∵由二次函数解析式可得其对称轴为 x=1，点 C 的坐标为（0，3），
∴点 D 的坐标为（2，3）．
12. （2011 广东省，15，6 分）已知抛物线 21
2y x x c 与 x 轴有交点．
(1)求 c 的取值范围；
(2)试确定直线 y＝cx+l 经过的象限，并说明理由．
【答案】（1）∵抛物线与 x 轴没有交点
∴⊿＜0，即 1－2c＜0
解得 c＞ 1
2
(2)∵c＞ 1
2
∴直线 y= 1
2
x＋1 随 x 的增大而增大，
∵b=1
∴直线 y= 1
2
x＋1 经过第一、二、三象限
13. （2011 广东肇庆，25，10 分）已知抛物线 22
4
3 mmxxy （ m 0）与 x 轴交于 A 、 B 两点．
（1）求证：抛物线的对称轴在 y 轴的左侧；
（2）若
3
211
OAOB
（O 是坐标原点），求抛物线的解析式；
（3）设抛物线与 y 轴交于点C ，若 ABC 是直角三角形，求 ABC 的面积．
【答案】（1）证明：∵ m 0 ∴ 022
m
a
bx
∴抛物线的对称轴在 y 轴的左侧
（2）解：设抛物线与 x 轴交点坐标为 A（ 1x ，0），B（ 2x ，0），
则 021 mxx ， 04
3 2
21 mxx ， ∴ 1x 与 2x 异号
又
3
211
OAOB 0 ∴ OBOA 由（1）知：抛物线的对称轴在 y 轴的左侧
∴ 01 x ， 02 x ∴ 11 xxOA , 2xOB
代入
3
211
OAOB
得：
3
21111
1212
xxxx
即
3
2
21
21
xx
xx ，从而
3
2
4
3 2
m
m ，解得： 2m
∴抛物线的解析式是 322 xxy
（3）[解法一]：当 0x 时， 2
4
3 my ∴抛物线与 y 轴交点坐标为C （0， 2
4
3 m ）
∵ ABC 是直角三角形，且只能有 AC⊥BC，又 OC⊥AB，
∴∠CAB＝ 90°— ∠ABC，∠BCO＝ 90°— ∠ABC，∴∠CAB ＝∠BCO
∴Rt△AOC∽Rt△COB，
∴
OC
AO
OB
OC ，即 OBOAOC 2 ∴ 21
2
2
4
3 xxm
即 24
4
3
16
9 mm 解得： 33
2m
此时 2
4
3 m ＝ 1)33
2(4
3 2 ，∴点C 的坐标为（0，—1）∴OC＝1
又 222
21
2
21
2
12 4)4
3(4)(4)()( mmmxxxxxx
∵ m 0，∴ mxx 212 即 AB＝ m2 ∴ ABC 的面积＝
2
1 ABOC＝
2
1 m2 1＝ 33
2
[解法二]：略解: 当 0x 时， 2
4
3 my ∴点C （0， 2
4
3 m ）
∵ ABC 是直角三角形 ∴ 222 BCACAB
∴ 222
1
2
21 )4
3()( mxxx 222
2 )4
3( mx
∴ 4
21 8
92 mxx ∴ 42
8
9)4
3(2 mm
解得： 33
2m
∴ 33
2
4
322
1
4
3
2
1
2
1 22
21 mmmxxOCABS ABC
14. （2011 江苏盐城，23，10 分）已知二次函数 y= - 1
2
x2 -x+3
2
.
（1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（2）根据图象，写出当 y ＜ 0 时，x 的取值范围；
（3）若将此图象沿 x 轴向右平移 3 个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．
【答案】（1）画图(如图)；
（2）当 y ＜ 0 时，x 的取值范围是 x＜-3 或 x＞1；
（3）平移后图象所对应的函数关系式为 y=- 1
2
（x-2）2+2（或写成 y=- 1
2x2+2x）.
15. (20011 江苏镇江,24,7 分)如图,在△ABO 中,已知点 A( 3 ,3),B(-1,-1),O(0,0),正比例 y=-x 的图象是直线 l,直
线 AC∥x 轴交直线 l 于点 C.
(1)C 点坐标为_____;
(2)以点 O 为旋转中心,将△ABO 顺时针旋转角 a(0°0)
个单位，所得抛物线与 x 轴交与 C、D 两点，与原抛物线交与点 P.
（1）求点 A 的坐标，并判断△PCA 存在时它的形状（不要求说理）
（2）在 x 轴上是否存在两条相等的线段，若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含 m 的式子
表示）；若不存在，请说明理由；
（3）△CDP 的面积为 S，求 S 关于 m 的关系式。
x
y
DACO
P
y
xO
（第 10 题）
【关键词】二次函数、图形的平移、等腰三角形、面积等
【答案】解：（1）令-2x2+4x=0 得 x1=0，x2=2
∴点 A 的坐标是（2，0），
△PCA 是等腰三角形，
（2）存在。
OC=AD=m,OA=CD=2，
（3）当 02 时，如图 2
作 PH⊥x 轴于 H，设 ( , )P PP x y ,
∵A（2，0），C（m,0）,
∴AC=m-2，∴AH= 2
2
m
∴ Px =OH= 2
2
mm = 2
2
m ,
把把 Px = 2
2
m 代入 y=-2x2+4x，得
得, Py = 21 22 m
∵CD=OA=2，
∴ 21 1 12( ) 22 2 2PS CD HP y m g ．
（2010 年广东省广州市）已知抛物线 y＝－x2＋2x＋2．
（1）该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标 ；
（2）选取适当的数据填入下表，并在图 7 的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；
x … …
y … …
（3）若该抛物线上两点 A（x1，y1），B（x2，y2）的横坐标满足 x1＞x2＞1，试比较 y1 与 y2 的大小．
-5-4-3-2-1 O 1 2 3 4 5 x
y
-1
1
【关键词】抛物线的顶点、对称轴、描点法画图、函数增减性
【答案】解：（1）x＝1；（1，3）
（2）
x … －1 0 1 2 3 …
y … －1 2 3 2 －1 …
-5-4-3-2-1 O 1 2 3 4 5 x
y
-1
1
（3）因为在对称轴 x＝1 右侧，y 随 x 的增大而减小，又 x1＞x2＞1，所以 y1＜y2．
（2010 年四川省眉山）如图，Rt△ABO 的两直角边 OA、OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上，O 为
坐标原点，A、B 两点的坐标分别为（ 3 ，0）、（0，4），抛物线 22
3y x bx c 经过 B 点，且顶点在
直线 5
2x 上．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若△DCE 是由△ABO 沿 x 轴向右平移得到的，当四边形 ABCD 是菱形时，试判断点 C 和点 D 是否
在该抛物线上，并说明理由；
（3）若 M 点是 CD 所在直线下方该抛物线上的 一个动
点，过点 M 作 MN 平行于 y 轴交 CD 于点 N．设点
M 的横坐标为 t，MN 的长度为 l．求 l 与 t 之间的
函数关系式，并求 l 取最大值时，点 M 的 坐标．
【关键词】抛物线、菱形、最值
【答案】 解：（1）由题意，可设所求抛物 线对应
的函数关系式为 22 5( )3 2y x m …（1 分）
∴ 22 54 ( )3 2 m
∴ 1
6m ……………………………………………………………（3 分）
∴所求函数关系式为： 2 22 5 1 2 10( ) 43 2 6 3 3y x x x …………（4 分）
（2）在 Rt△ABO 中，OA=3，OB=4，
∴ 2 2 5AB OA OB
∵四边形 ABCD 是菱形
∴BC=CD=DA=AB=5 ……………………………………（5 分）
∴C、D 两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）． …………（6 分）
当 5x 时， 22 105 5 4 43 3y
当 2x 时， 22 102 2 4 03 3y
∴点 C 和点 D 在所求抛物线上． …………………………（7 分）
（3）设直线 CD 对应的函数关系式为 y kx b ，则
5 4
2 0
k b
k b
解得： 4 8,3 3k b ．
∴ 4 8
3 3y x ………（9 分）
∵MN∥y 轴，M 点的横坐标为 t，
∴N 点的横坐标也为 t．
则 22 10 43 3My t t ， 4 8
3 3Ny t ，……………………（10 分）
∴ 2 2 24 8 2 10 2 14 20 2 7 34 ( )3 3 3 3 3 3 3 3 2 2N Ml y y t t t t t t
∵ 2 03
， ∴当 7
2t 时， 3
2l 最大 ，
此时点 M 的坐标为（ 7
2
， 1
2
）． ………………………………（12 分）
25．(2010 年重庆)今年我国多个省市遭受严重干旱．受旱灾的影响，4 月份，我市某蔬菜价格呈上升趋势，
其前四周每周的平均销售价格变化如下表：
周数 x 1 2 3 4
价格 y（元/千克） 2 2.2 2.4 2.6
进入 5 月，由于本地蔬菜的上市，此种蔬菜的平均销售价格 y（元/千克）从 5 月第 1 周的 2.8 元/千克下
降至第 2 周的 2.4 元/千克,且 y 与周数 x 的变化情况满足二次函数 cbxxy 2
20
1 ．
（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识直接写出 4 月份 y
与 x 所满足的函数关系式，并求出 5 月份 y 与 x 所满足的二次函数关系式；
（2）若 4 月份此种蔬菜的进价 m（元/千克）与周数 x 所满足的函数关系为 2.14
1 xm ，5 月份的
进价 m（元/千克）与周数 x 所满足的函数关系为 25
1 xm ．试问 4 月份与 5 月份分别在哪一周销售
此种蔬菜一千克的利润最大？且最大利润分别是多少？
（3）若 5 月的第 2 周共销售 100 吨此种蔬菜．从 5 月的第 3 周起，由于受暴雨的影响，此种蔬菜的可
销售量将在第 2 周销量的基础上每周减少 %a ，政府为稳定蔬菜价格，从外地调运 2 吨此种蔬菜，刚好满
足本地市民的需要，且使此种蔬菜的销售价格比第２周仅上涨 %8.0 a ．若在这一举措下，此种蔬菜在第３
周的总销售额与第 2 周刚好持平，请你参考以下数据，通过计算估算出 a 的整数值．
（参考数据： 136937 2 ， 1444382 ， 1521392 ， 1600402 ， 1681412 ）
【答案】．解：（1）4 月份 y 与 x 满足的函数关系式为 8.12.0 xy .
把 8.2,1 yx 和 4.2,2 yx 分别代入 cbxxy 2
20
1 ，得
4.22420
1
,8.220
1
cb
cb
解得
.1.3
,25.0
c
b
∴五月份 y 与 x 满足的函数关系式为 .1.325.005.0 2 xxy
（2）设 4 月份第 x 周销售此种蔬菜一千克的利润为 1W 元，5 月份第 x 周销售此种蔬菜一千克的利润为
2W 元.
.6.005.0)2.14
1()8.12.0(1 xxxW
∵-0.05＜0，∴ 1W 随 x 的增大而减小.
∴当 1x 时， 1W 最大=-0.05+0.6=0.55.
2W = )25
1()1.325.005.0( 2 xxx .1.105.005.0 2 xx
∵对称轴为 ,5.0)05.0(2
05.0
x 且-0.05＜0，
∴x＞-0.5 时，y 随 x 的增大而减小.
∴当 x=1 时， 2W 最大=1.
所以 4 月份销售此种蔬菜一千克的利润在第 1 周最大，最大利润为 0.55 元；5 月份销售此种蔬菜一千
克的利润在第 1 周最大，最大利润为 1 元.
（3）由题意知： .1004.2%8.014.22%1100 aa
整理，得 0250232 aa .解得
2
152923 a .
∵ 1521392 ， 1600402 ，而 1529 更接近 1521，∴ 391529 .
∴ 31a （舍去）或 8a .
答： a 的整数值为 8.
5．（2010 江苏泰州，5，3 分）下列函数中，y 随 x 增大而增大的是（ ）
A.
xy 3 B. 5 xy C. 1
2y x D. )0(2
1 2 xxy
【答案】C
【关键词】一次函数、反比例函数、二次函数的增减性
27．（2010 江苏泰州，27，12 分）如图，二次函数 cxy 2
2
1 的图象经过点 D
2
9,3 ，与 x 轴交于
A、B 两点．
⑴求 c 的值；
⑵如图①，设点 C 为该二次函数的图象在 x 轴上方的一点，直线 AC 将四边形 ABCD 的面积二等分，试
证明线段 BD 被直线 AC 平分，并求此时直线 AC 的函数解析式；
⑶设点 P、Q 为该二次函数的图象在 x 轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点 P、Q，使△AQP
≌△ABP？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用）
【答案】⑴ ∵抛物线经过点 D(
2
9,3 )
∴
2
9)3(2
1 2 c
∴c=6.
⑵过点 D、B 点分别作 AC 的垂线，垂足分别为 E、F，设 AC 与 BD 交点为 M，
∵AC 将四边形 ABCD 的面积二等分，即：S△ABC=S△ADC ∴DE=BF
又∵∠DME=∠BMF， ∠DEM=∠BFE
∴△DEM≌△BFM
∴DM=BM 即 AC 平分 BD
∵c=6. ∵抛物线为 62
1 2 xy
∴A（ 0,32 ）、B（ 0,32 ）
∵M 是 BD 的中点 ∴M（
4
9,2
3 ）
设 AC 的解析式为 y=kx+b，经过 A、M 点
4
9
2
3
032
bk
bk
解得
5
9
10
33
b
k
直线 AC 的解析式为
5
9
10
33 xy .
⑶存在．设抛物线顶点为 N(0，6)，在 Rt
△
AQN 中，易得 AN= 4 3 ，于是以 A 点为圆心，AB= 4 3 为半
径作圆与抛物线在 x 上方一定有交点 Q，连接 AQ，再作∠QAB 平分线 AP 交抛物线于 P，连接 BP、PQ，此
时由“边角边”易得
△
AQP≌△ABP．
【关键词】二次函数、一次函数、解直角三角形及其知识的综合运用
(201 0 年 浙 江 省 绍 兴 市 )如图,设抛物线 C1: 51 2 xay , C2: 51 2 xay ,C1 与 C2 的交点为
A, B,点 A 的坐标是 )4,2( ,点 B 的横坐标是－2.
（1）求 a 的值及点 B 的坐标；
（2）点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H,
在DH的右侧作正三角形DHG. 记过C2顶点Ｍ的
直线为 l ,且 l 与x轴交于点N.
① 若l 过△DHG 的顶点 G,点 D 的坐标为
(1, 2)，求点 N 的横坐标；
② 若l 与△DHG的边DG相交,求点N的横
坐标的取值范围.
【答案】解：（1）∵ 点 A )4,2( 在抛物线 C1 上，∴ 把点 A 坐标代入 51 2 xay 得 a =1.
∴ 抛物线 C1 的解析式为 422 xxy ,
设 B(－2,b)， ∴ b＝－4, ∴ B(－2,－4) .
（2）①如图 1，
∵ M(1, 5)，D(1, 2), 且 DH⊥x 轴，∴ 点 M 在 DH 上，MH=5.
过点 G 作 GE⊥DH,垂足为 E,
由△DHG 是正三角形,可得 EG= 3 , EH=1，
∴ ME＝4.
第 24 题图
设 N ( x, 0 ), 则 NH＝x－1,
由△MEG∽△MHN,得
HN
EG
MH
ME ,
∴
1
3
5
4
x
, ∴ x 134
5 ,
∴ 点 N 的横坐标为 134
5 ．
② 当点Ｄ移到与点 A 重合时,如图 2，
直线 l 与 DG 交于点 G,此时点Ｎ的横坐标最大．
过点Ｇ,Ｍ作 x 轴的垂线,垂足分别为点Ｑ,F,
设Ｎ（x，0），
∵ A (2, 4), ∴ G ( 322 , 2),
∴ NQ= 322 x ，ＮF = 1x , GQ=2, MF =5.
∵ △NGQ∽△NMF，
∴
MF
GQ
NF
NQ ,
∴
5
2
1
322
x
x ,
∴
3
8310 x .
当点 D 移到与点 B 重合时,如图 3，
直线 l 与 DG 交于点 D,即点 B,
此时点 N 的横坐标最小.
∵ B(－2, －4), ∴ H(－2, 0), D(－2, －4),
设 N（x，0），
∵ △BHN∽△MFN， ∴
MF
BH
FN
NH ，
∴
5
4
1
2
x
x , ∴
3
2x .
∴ 点 N 横坐标的范围为
3
2 ≤x≤
3
8310 .
（2010 年宁德市）（本题满分 12 分）如图 1，抛物线 34
1
4
1 2 xxy 与 x 轴交于 A、C 两点，与 y 轴
交于 B 点，与直线 bkxy 交于 A、D 两点。
第 24 题图 2
第 24 题图 3
图 4
⑴直接写出 A、C 两点坐标和直线 AD 的解析式；
⑵如图 2，质地均匀的正四面体骰子的各个面上依次标有数字－1、1、3、4.随机抛掷这枚骰子两次，
把第一次着地一面的数字 m 记做 P 点的横坐标，第二次着地一面的数字 n 记做 P 点的纵坐标.则点 nmP ,
落在图 1 中抛物线与直线围成区域内（图中阴影部分，含边界）的概率是多少？
【答案】解：⑴ A 点坐标：(－3，0)，C 点坐标：C(4，0)；
直线 AD 解析式：
4
3
4
1 xy .
⑵ 所有可能出现的结果如下（用列树状图列举所有可能同样得分）：
第一次
第二次 －1 1 3 4
－1
（－1，－
1）
（－1，
1）
（－1，3）（－1，4）
1 （1，－1）（1， 1） （1，3） （1，4）
3 （3，－1）（3， 1）（3， 3）（3， 4）
4 （4，－1）（4， 1）（4， 3）（4， 4）
总共有 16 种结果，每种结果出现的可能性相同，而落在图 1 中抛物线与直线围成区域内的结果有 7 种：
（－1，1），（1，－1），（1，1），（1，3），（3，－1），（3，1），（4，－1）.
因此 P（落在抛物线与直线围成区域内）＝
16
7 .
（注：落在抛物线与直线围成区域内的点列举错误 1 个扣 1 分，2 个及 2 个以上扣 2 分。由点列举错误
引起概率计算错误不扣分。）
（2010 年宁德市）（本题满分 13 分）如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝90°，BC＝6，AD＝3，∠DCB
y
x0
D(5,-2)
C
B
A
图 1
图 2
-1 3
＝30°.点 E、F 同时从 B 点出发，沿射线 BC 向右匀速移动.已知 F 点移动速度是 E 点移动速度的 2 倍，
以 EF 为一边在 CB 的上方作等边△EFG．设 E 点移动距离为 x（x＞0）.
⑴△EFG 的边长是____（用含有 x 的代数式表示），当 x＝2 时，点 G 的位置在_______；
⑵若△EFG 与梯形 ABCD 重叠部分面积是 y，求
①当 0＜x≤2 时，y 与 x 之间的函数关系式；
②当 2＜x≤6 时，y 与 x 之间的函数关系式；
⑶探求⑵中得到的函数 y 在 x 取含何值时，存在最大值，并求出最大值.
【答案】解：⑴ x，D 点；
⑵ ①当 0＜x≤2 时，△EFG 在梯形 ABCD 内部，所以 y＝
4
3 x2；
②分两种情况：
Ⅰ.当 2＜x＜3 时，如图 1，点 E、点 F 在线段 BC 上，
△EFG 与梯形 ABCD 重叠部分为四边形 EFNM，
∵∠FNC＝∠FCN＝30°,∴FN＝FC＝6－2x.∴GN＝3x－6.
由于在 Rt△NMG 中，∠G＝60°，
所以，此时 y＝
4
3 x2－
8
3 （3x－6）2＝
2
39
2
39
8
37 2 xx .
Ⅱ.当 3≤x≤6 时，如图 2，点 E 在线段 BC 上，点 F 在射线 CH 上，
△EFG 与梯形 ABCD 重叠部分为△ECP，
∵EC＝6－x,
∴y＝
8
3 （6－x）2＝
2
39
2
33
8
3 2 xx .
⑶当 0＜x≤2 时，∵y＝
4
3 x2 在 x＞0 时，y 随 x 增大而增大，
∴x＝2 时，y 最大＝ 3 ；
当 2＜x＜3 时，∵y＝
2
39
2
39
8
37 2 xx 在 x＝
7
18 时，y 最大＝
7
39 ；
B E→ F→ C
A D
G
y
O B C D
1
M
x
2
4
A
当 3≤x≤6 时，∵y＝
2
39
2
33
8
3 2 xx 在 x＜6 时，y 随 x 增大而减小，
∴x＝3 时，y 最大＝
8
39 .
综上所述：当 x＝
7
18 时，y 最大＝
7
39 .
21（8 分）（2010 年浙江省东阳市）如图，足球场上守门员在 O 处开出一高球，球从离地面 1 米的 A 处飞
出（ A 在 y 轴上），运动员乙在距O 点 6 米的 B 处发现球在自己头的正上方达到最高点 M ，距地面约
4 米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，
最大高度减少到原来最大高度的一半．
（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该
抛物线的表达式．
（2）足球第一次落地点C 距守门员多少
米？（取 734 ）
（3）运动员乙要抢到第二个落点 D ，他应
再向前跑多少米？（取 562 ）
【关键词】二次函数
【答案】（1）y=－ 4)6(12
1 2 x （3 分）
（2）y=0, x=6+4 3 ︽13………………………………………………………………2 分
（3）设 y= 2)(12
1 2 mx m=13+2 6 ︽18
y=0, x=18±2 6 ︽23 ∴ 再向前跑 10 米…………………3 分
B E F C
A D
G
N
M
图 1
B E C F
A D
G
P
H
图 2
23（10 分）（2010 年浙江省东阳市）如图，在一块正方形 ABCD 木板上要贴三种不同的墙纸，正方形 EFCG
部分贴 A 型墙纸，△ABE 部分贴 B 型墙纸，其余部分贴 C 型墙纸。A 型、B 型、C 型三种墙纸的单价分别为
每平方 60 元、80 元、40 元。
探究 1：如果木板边长为 2 米，FC＝1 米，则一块木板用墙纸的费用需 ▲ 元；
探究 2：如果木板边长为 1 米，求一块木板需用墙纸的最省费用；
探究 3：设木板的边长为 a（a 为整数），当正方形
EFCG 的边长为多少时？墙纸费用最省；如要用这
样的多块木板贴一堵墙（7×3 平方米）进行装饰，
要求每块木板 A 型的墙纸不超过 1 平方米，且尽量
不浪费材料，则需要这样的木板 ▲ 块。
【关键词】二次函数 最值
【答案】（1）220………………………………………………………………… 2 分
（2）y=20x2—20x+60 ……………………………………………………………………2 分
当 x=
2
1 时，y 小=55 元。…………………………………………………………………1 分
（3）y=20x2—20ax+60a2 …………………………………………………………………2 分
当 x=
2
1 a 时，…………………………………………………………………………1 分
21 块 …………………………………………………………………………………2 分
1.（2010 年四川省眉山市）如图，Rt△ABO 的两直角边 OA、OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上，O
为坐标原点，A、B 两点的坐标分别为（ 3 ，0）、（0，4），抛物线 22
3y x bx c 经过 B 点，且顶点
在直线 5
2x 上．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若△DCE 是由△ABO 沿 x 轴向右平移得到的，当四边形 ABCD 是菱形时，试判断点 C 和点 D 是否
在该抛物线上，并说明理由；
（3）若 M 点是 CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点 M 作 MN 平行于 y 轴交 CD 于点 N．设
点 M 的横坐标为 t，MN 的长度为 l．求 l 与 t 之间的函数关系式，并求 l 取最大值时，点 M 的坐
标．
【关键词】抛物线、直线的关系式、菱形的性质
【 答 案 】 解 ：（ 1 ） 由 题 意 ， 可 设 所 求 抛 物 线 对 应 的 函 数 关 系 式 为 22 5( )3 2y x m
∴ 22 54 ( )3 2 m
∴ 1
6m
∴所求函数关系式为： 2 22 5 1 2 10( ) 43 2 6 3 3y x x x
（2）在 Rt△ABO 中，OA=3，OB=4，
∴ 2 2 5AB OA OB
∵四边形 ABCD 是菱形
∴BC=CD=DA=AB=5
∴C、D 两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）．
当 5x 时， 22 105 5 4 43 3y
当 2x 时， 22 102 2 4 03 3y
∴点 C 和点 D 在所求抛物线上．
（3）设直线 CD 对应的函数关系式为 y kx b ，则
5 4
2 0
k b
k b
解得： 4 8,3 3k b ．
∴ 4 8
3 3y x
∵MN∥y 轴，M 点的横坐标为 t，
∴N 点的横坐标也为 t．
则 22 10 43 3My t t ， 4 8
3 3Ny t ，
∴ 2 2 24 8 2 10 2 14 20 2 7 34 ( )3 3 3 3 3 3 3 3 2 2N Ml y y t t t t t t
∵ 2 03
， ∴当 7
2t 时， 3
2l 最大 ，
此时点 M 的坐标为（ 7
2
， 1
2
）．
26. (2010 重庆市潼南县)如图, 已知抛物线 cbxxy 2
2
1 与 y 轴相交于 C，与 x 轴相交于 A、B，点 A
的坐标为（2，0），点 C 的坐标为（0，-1）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 E 是线段 AC 上一动点，过点 E 作 DE⊥x 轴于点 D，连结 DC，当△DCE 的面积最大时，求点 D
的坐标；
（3）在直线 BC 上是否存在一点 P，使△ACP 为等腰三角形，若存在，求点 P 的坐标，若不存在，说
明理由.
AB
C
E
D
x
y
o
题图26
解：（1）∵二次函数 cbxxy 2
2
1 的图像经过点 A（2，0）C(0,－1)
∴
1
022
c
cb
解得： b=－
2
1 c=－1-------------------2 分
∴二次函数的解析式为 12
1
2
1 2 xxy --------3 分
（2）设点 D 的坐标为（m，0） （0＜m＜2）
∴ OD=m ∴AD=2-m
由△ADE∽△AOC 得，
OC
DE
AO
AD --------------4 分
∴
12
2 DEm
∴DE=
2
2 m -----------------------------------5 分
∴△CDE 的面积=
2
1 ×
2
2 m ×m
=
24
2 mm =
4
1)1(4
1 2 m
当 m=1 时，△CDE 的面积最大
∴点 D 的坐标为（1，0）--------------------------8 分
（3）存在 由(1)知：二次函数的解析式为 12
1
2
1 2 xxy
设 y=0 则 12
1
2
10 2 xx 解得：x1=2 x2=－1
∴点 B 的坐标为（－1，0） C（0，－1）
设直线 BC 的解析式为：y=kx＋b
∴
1
0
b
bk 解得：k=-1 b=-1
∴直线 BC 的解析式为: y=－x－1
在 Rt△AOC 中，∠AOC=900 OA=2 OC=1
由勾股定理得：AC= 5
∵点 B(－1,0) 点 C（0，－1）
∴OB=OC ∠BCO=450
①当以点 C 为顶点且 PC=AC= 5 时，
设 P(k, －k－1)
过点 P 作 PH⊥y 轴于 H
∴∠HCP=∠BCO=450
CH=PH=∣k∣ 在 Rt△PCH 中
k2+k2= 2
5 解得 k1=
2
10 ， k2=－
2
10
∴P1（
2
10 ，－ 12
10 ） P2（－
2
10 ， 12
10 ）---10 分
②以 A 为顶点，即 AC=AP= 5
设 P(k, －k－1)
过点 P 作 PG⊥x 轴于 G
AG=∣2－k∣ GP=∣－k－1∣
在 Rt△APG 中 AG2＋PG2=AP2
（2－k)2+(－k－1)2=5
解得：k1=1,k2=0(舍)
∴P3(1, －2) ----------------------------------11 分
③以 P 为顶点，PC=AP 设 P(k, －k－1)
过点 P 作 PQ⊥y 轴于点 Q
PL⊥x 轴于点 L
∴L(k,0)
∴△QPC 为等腰直角三角形
PQ=CQ=k
由勾股定理知
CP=PA= 2 k
∴AL=∣k-2∣, PL=｜－k－1｜
在 Rt△PLA 中
( 2 k)2=(k－2)2＋(k＋1)2
解得：k=
2
5 ∴P4(
2
5 ,－
2
7 ) ------------------------12 分
综上所述： 存在四个点：P1（
2
10 ，－ 12
10 ）
P2（-
2
10 ， 12
10 ） P3(1, －2) P4(
2
5 ,－
2
7 )
（2010 年日照市）如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下 O 点打出一球向球洞 A 点飞去，球的
飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度 12 米时，球移动的水平距离为 9 米 ．已
知山坡 OA 与水平方向 OC 的夹角为 30o，O、A 两点相距 8 3 米．
（1）求出点 A 的坐标及直线 OA 的解析式；
（2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；
（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从 O 点直接打 入 球 洞 A
点 ．
（本题满分 10 分）
解：（1）在 Rt△AOC 中，
∵∠AOC=30 o ，OA=8 3 ，
∴AC=OA·sin30o=8 3 ×
2
1 = 34 ，
OC=OA·cos30o=8 3 ×
2
3 =12．
∴点 A 的坐标为（12， 34 ）． …………………………………2 分
设 OA 的解析式为 y=kx，把点 A（12， 34 ）的坐标代入得：
34 =12k ，
∴k=
3
3 ，
∴OA 的解析式为 y=
3
3 x； …………………… ……………………4 分
(2) ∵顶点 B 的坐标是（9，12）, 点 O 的坐标是（0，0）
∴设抛物线的解析式为 y=a(x-9) 2 +12，…………………………………6 分
把点 O 的坐标代入得：
0=a（0-9） 2 +12，解得 a=
27
4 ，
∴抛物线的解析式为 y=
27
4 (x-9) 2 +12
及 y=
27
4 x 2 +
3
8 x； …………………………………………………8 分
(3) ∵当 x=12 时，y=
3
32 34 ，
∴小明这一杆不能把高尔夫球从 O 点直接打入球洞 A 点．
（2010 年日照市）如图，是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线 x=1，若其与 x 轴一交点
为 A（3，0），则由图象可知，不等式 ax2+bx+c＜0 的解集是 .
答案：－1＜x＜3 ;
25．（2010 年湖北黄冈市）（15 分）已知 抛 物 线 2 ( 0)y ax bx c a
顶点为 C（1，1）且过原点 O.过抛物线上一点 P（x，y）向直线 5
4y 作垂线，垂足为 M，连 FM（如图）.
（1）求字母 a，b，c 的值；
（2）在直线 x＝1 上有一点 3(1, )4F ，求以 PM 为底边的等腰三角形 PFM 的 P 点的坐标，并证明此时△
PFM 为正三角形；
（3）对抛物线上任意一点 P，是否总存在一点 N（1，t），使 PM＝PN 恒成立，若存在请求出 t 值，若不
存在请说明理由.
（1）a＝－1，b＝2，c＝0
（2）过 P 作直线 x=1 的垂线，可求 P 的纵坐标为 1
4
，横坐标为 11 32
.此时，MP＝MF＝PF＝1，故
△MPF 为正三角形.
（3）不存在.因为当 t＜ 5
4
，x＜1 时，PM 与 PN 不可能相等，同理，当 t＞ 5
4
，x＞1 时，PM 与 PN 不
可能相等.
（2010 年湖北黄冈市）（11 分）某同学从家里出发，骑自行车上学时，速度 v（米/秒）与时间 t（秒）的
关系如图 a，A（10，5），B（130，5），C（135，0）.
（1）求该同学骑自行车上学途中的速度 v 与时间 t 的函数关系式；
（2）计算该同学从家到学校的路程（提示：在 OA 和 BC 段的运动过程中的平均速度分别等于它们中
点时刻的速度，路程＝平均速度×时间）；
（3）如图 b，直线 x＝t（0≤t≤135），与图 a 的图象相交于 P、Q，用字母 S 表示图中阴影部分面积，
试求 S 与 t 的函数关系式；
（4）由（2）（3），直接猜出在 t 时刻，该同学离开家所超过的路程与此时 S 的数量关系.
图 a 图 b
（1）
1 (0 10)2
5 (10 130)
135 (130 135)
v t t
v t
v t t
（2）2.5×10+5×120+2×5＝635（米）
（3）
2
2
1 (0 10)4
5 25 (10 130)
1 (130 135)2
S t t
S t t
S t t
+135t-8475
(4) 相等的关系
（2010 年湖北黄冈市）若函数
2 2 ( 2)
2
x xy
x
≤
（x>2）
，则当函数值 y＝8 时，自变量 x 的值是（ ）
A．± 6 B．4 C．± 6 或 4 D．4 或－ 6
14.D
7. （2010 年安徽中考） 若二次函数 52 bxxy 配方后为 kxy 2)2( 则 b 、 k 的值分别
为………………（ ）
A）0.5 B）0.1 C）—4.5 D）—4.1
【关键词】二次函数
【答案】D
23．（2010 年浙江省东阳市）（10 分）如图，在一块正方形 ABCD 木板上要贴三种不同的墙纸，正方形 EFCG
部分贴 A 型墙纸，△ABE 部分贴 B 型墙纸，其余部分贴 C 型墙纸。A 型、B 型、C 型三种墙纸的单价分别为
每平方 60 元、80 元、40 元。
探究 1：如果木板边长为 2 米，FC＝1 米，则一块木板用墙纸的费用需 ▲ 元；
探究 2：如果木板边长为 1 米，求一块木板需用墙纸的最省费用；
探究 3：设木板的边长为 a（a 为整数），当正方形
EFCG 的边长为多少时？墙纸费用最省；如要用这
样的多块木板贴一堵墙（7×3 平方米）进行装饰，
要求每块木板 A 型的墙纸不超过 1 平方米，且尽量
不浪费材料，则需要这样的木板 ▲ 块。
【关键词】二次函数、正方形
【答案】 220)1.(23 ………………………………………………………………… 2 分
（2）y=20x2—20x+60 ……………………………………………………………………2 分
当 x=
2
1 时，y 小=55 元。…………………………………………………………………1 分
（3）y=20x2—20ax+60a2 …………………………………………………………………2 分
当 x=
2
1 a 时，…………………………………………………………………………1 分
21 块 …………………………………………………………………………………2 分
22. （2010 年安徽中考）春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用 20 天时间，采用每天降低水位
以减少捕捞成本的办法，对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售。
九（1）班数学建模兴趣小组根据调查，整理出第 x 天（ 201 x 且 x 为整数）的捕捞与销售的相关
信息如下：
⑴在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一末的捕捞量相比是如何变化的？
⑵假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且能在当天全部售出，求第 x 天的收入 y（元）与 x
（天）之间的函数关系式？（当天收入＝日销售额—日捕捞成本）
试说明⑵中的函数 y 随 x 的变化情况，并指出在第几天 y 取得最大值，最大值是多少？
【关键词】二次函数
【答案】
解：（1）解：该养殖场每天的捕捞量与前一天的捕捞量相比每天减少了 10kg.
（1） 解：由题意，得
220(950 10 ) (5 )(950 10 ) 2 40 142505
xy x x x x
（3）解：∵ 2 22 0, 2 40 14250 2( 10) 14450y x x x
又1 20x 且 x 为整数，
∴当1 10x 时，y 随 x 的增大而增大
当10 20x 时，y 随 x 的增大而减小
当 x=10 时，即在第 10 天，y 取得最大值，最大值为 14450 元。
1、（2010 年宁波市）如图，已知二次函数 cbxxy 2
2
1 的图象经过 A（2，0）、B（0，－6）两点。
（1）求这个二次函数的解析式
（2）设该二次函数的对称轴与 x 轴交于点 C，连结 BA、BC，求△ABC 的面积。
y
xC
A
O
B
第 20 题
【关键词】二次函数
【答案】解：（1）把 A（2，0）、B（0，－6）代入 cbxxy 2
2
1
得：
6
022
c
cb
解得
6
4
c
b
∴这个二次函数的解析式为 642
1 2 xxy
（2）∵该抛物线对称轴为直线 4
)2
1(2
4
x
∴点 C 的坐标为（4，0）
∴ 224 OAOCAC
∴ 6622
1
2
1 OBACS ABC
2. (2010 年兰州市)二次函数
23 6 5y x x 的图像的顶点坐标是
A．（-1，8） B．（1，8） C．（-1，2） D．（1，-4）
【关键词】二次函数
【答案】A
3. (2010 年兰州市)抛物线 cbxxy 2
图像向右平移 2 个单位再向下平移 3 个单位，所得图像的解析
式为 322 xxy ，则 b、c 的值为
A . b=2， c=2 B. b=2，c=0
C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2
【关键词】二次函数
【答案】B
4. (2010 年兰州市)如图，小明的父亲在相距 2 米的两棵树
间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子
的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，
身高 1 米的小明距较近的那棵树 0.5 米时，头部刚好接
触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为
米.
【关键词】二次函数
【答案】
2
1
3. (2010 年兰州市)（本题满分 11 分）如图 1，已知矩形 ABCD 的顶点 A 与点 O 重合，AD、AB 分别在 x 轴、
y 轴上，且 AD=2，AB=3；抛物线 cbxxy 2
经过坐标原点 O 和 x 轴上另一点 E（4,0）
（1）当 x 取何值时，该抛物线的最大值是多少？
（2）将矩形 ABCD 以每秒1 个单位长度的速度从图 1 所示的位置沿 x 轴的正方向匀速平行移动，同时一
动点 P 也以相同的速度从点 A 出发向 B 匀速移动.设它们运动的时间为 t 秒（0≤t≤3），直线 AB
与 该 抛物线的交点为 N（如图 2 所示）.
① 当 4
11t
时，判断点 P 是否在直线 ME 上，并说明理由；
② 以 P、N、C、D 为顶点的多边形面积是否可能为 5，若有可能，求出此时 N 点的坐标；若无可
能，请说明理由．
图 1 第 28 题图 图 2
【关键词】二次函数
【答案】
解：（1）因抛物线 cbxxy 2
经过坐标原点 O（0,0）和点 E（4,0）
故可得 c=0,b=4
所以抛物线的解析式为 xxy 42 …………………………………………1 分
由 xxy 42 22 4y x
得当 x=2 时，该抛物线的最大值是 4. …………………………………………2 分
（2）① 点 P 不在直线 ME 上.
已知 M 点的坐标为(2,4)，E 点的坐标为(4,0)，
设直线 ME 的关系式为 y=kx+b.
于是得
42
04
bk
bk
，解得
8
2
b
k
所以直线 ME 的关系式为 y=-2x+8. …………………………………………3 分
由已知条件易得，当 4
11t
时，OA=AP= 4
11
，
)4
11,4
11(P
…………………4 分
∵ P 点的坐标不满足直线 ME 的关系式 y=-2x+8. [来源:Zxxk.Com]
∴ 当 4
11t
时，点 P 不在直线 ME 上. ……………………………………5 分
②以 P、N、C、D 为顶点的多边形面积可能为 5
∵ 点 A 在 x 轴的非负半轴上，且 N 在抛物线上，
∴ OA=AP=t.
∴ 点 P，N 的坐标分别为(t,t)、(t,-t 2+4t) …………………………………6 分
∴ AN=-t 2+4t (0≤t≤3) ,
∴ AN-AP=(-t 2+4 t)- t=-t 2+3 t=t(3-t )≥0 , ∴ PN=-t 2+3 t
…………………………………………………………………………………7 分
（ⅰ）当 PN=0，即 t=0 或 t=3 时，以点P，N，C，D 为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为 AD，∴
S= 2
1
DC·AD= 2
1
×3×2=3.
（ⅱ）当 PN≠0 时，以点 P，N，C，D 为顶点的多边形是四边形
∵ PN∥CD，AD⊥CD，
∴ S= 2
1
(CD+PN)·AD= 2
1
[3+(-t 2+3 t)]×2=-t 2+3 t+3…………………8 分
当-t 2+3 t+3=5 时，解得 t=1、2…………………………………………………9 分
而 1、2 都在 0≤t≤3 范围内，故以 P、N、C、D 为顶点的多边形面积为 5
综上所述，当 t=1、2 时，以点 P，N，C，D 为顶点的多边形面积为 5，
当 t=1 时，此时 N 点的坐标（1,3）………………………………………10 分
当 t=2 时，此时 N 点的坐标（2,4）………………………………………11 分
说明：（ⅱ）中的关系式，当 t=0 和 t=3 时也适合.（故在阅卷时没有（ⅰ），只有
1.(2010 福建泉州市惠安县)如图，抛物线 322 xxy 与 x 轴交于 A B， 两点，与 y 轴交于 C 点．
（1）求抛物线的顶点坐标；
(2) 设直线 3y x 与 y 轴的交点是 D ，在线段 BD 上任取一点 E （不与 B D， 重合），经过
A B E， ， 三点的圆交直线 BC 于点 F ，试判断 AEF△ 的形状，并说明理由.
【关键词】二次函数
【答案】解：（1） 322 xxy = 31122 xx = 4)1( 2 x
∴ （1，-4）；
F
E
G(O)
B
A
C
H
K
F
E
G(O)
B
A
C
图① 图②
（2）由抛物线 322 xxy 和直线 3y x 可求得：
A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）、D（0，3）
∴OB=OC=OD=3
∴∠OBD=∠OBC=450
又∵∠OBD=∠AFE，∠OBC=∠AEF
∴∠AFE=∠AEF=450
∴∠EAF=900，AE=AF
∴△AEF 是等腰直角三角形
2.(2010 福建泉州市惠安县) 如图，把两个全等的等腰直角三角板 ABC 和 EFG（其直角边长均为 4）叠放在
一起，使三角板 EFG 的直角顶点 G 与三角板 ABC 的斜边中点 O 重合（如图①）.现将三角板 EFG 绕 O 点
按顺时针方向旋转（旋转角α满足条件：00＜α＜900），四边形 CHGK 是旋转过程中两三角板的重叠部
分（如图②）.
（1）在上述过程中，BH 与 CK 有怎样的数量关系？证明你发现的结论；
(2)连接 HK，在上述旋转过程中，设 BH=x，△GKH 的面积为 y,
①求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；
②当△GKH 的面积恰好等于△ABC 面积的 5
16
，求此时 BH 的长.
【关键词】二次函数
【答案】（1）BH=CK.
如图 2，∵点 O 是等腰直角三角板 ABC 斜边中点
∴∠B=∠GCK=450 ，BG=CG
由旋转的性质，知∠BGH=∠CGK
∴△BGH≌△CGK
∴BH=CK.
（2）① 由(1)易知 S 四边形 CHGK = S2
1
△ABC =4，
x
y
O
x＝1
第 25 题
A
C
B
∴S△GKH = S 四边形 CHGK-S△KCH=4-
2
1 CH×CK
得 y = 422
1 2 xx （0＜χ＜4）
②当 y = 5
16
×8=
2
5 时，
即 422
1 2 xx =
2
5 ，解得χ=1 或χ=3.
∴当△GKH 的面积恰好等于△ABC 面积的 5
16
时，BH=1 或 BH=3.
3.(2010 年山东聊城)如图，已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为 x＝1，且抛物线经过 A（—1，0）、
B（0，—3）两点，与 x 轴交于另一点 B．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）在抛物线的对称轴 x＝1 上求一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，并求出此
时点 M 的坐标；
（3）设点 P 为抛物线的对称轴 x＝1 上的一动点，求使∠PCB＝90°的点 P 的坐标．
【关键词】二次函数
【答案】⑴设抛物线的解析式为 y ＝ax2＋bx＋c，则有：
12
3
0
a
b
c
cba
解得：
3
2
1
c
b
a
，所以抛物线的解析式为 y ＝x2－2x－3.
⑵令 x2－2x－3＝0，解得 x1＝－１，x2＝3,所以 B 点坐标为（3，0）.
设直线 BC 的解析式为 y ＝kx2＋b,
则
3
03
b
bk ，解得
3
1
b
k ，所以直线解析式是 y ＝x－3.
当 x＝1 时，y＝－2.所以 M 点的坐标为（1，－2）.
⑶方法一：要使∠PBC＝90°，则直线 PC 过点 C，且与 BC 垂直，
又直线 BC 的解析式为 y ＝x－3，
所以直线 PC 的解析式为 y ＝－x－3，当 x＝1 时，y＝－4，
所以 P 点坐标为（1，－4）.
方法二：设 P 点坐标为（1，y），则 PC2＝12＋（－3－y）2,BC2＝32＋32；PB2＝22＋y2
由∠PBC＝90°可知△PBC 是直角三角形，且 PB 为斜边，则有 PC2＋BC2＝PB2.
所以：[12＋（－3－y）2]＋[32＋32]＝22＋y2；解得 y ＝－4，
所以 P 点坐标为（1，－4）.
1、（2010 福建德化）如图 1，已知抛物线经过坐标原点 O 和 x 轴上另一点 E，顶点 M 的坐标为 (2,4)；矩
形 ABCD 的顶点 A 与点 O 重合，AD、AB 分别在 x 轴、y 轴上，且 AD=2，AB=3.
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）将矩形 ABCD 以每秒 1 个单位长度的速度从图 1 所示的位置沿 x 轴的正方向匀速平行移动，同时
一动点 P 也以相同的速度．．．．．从点 A 出发向 B 匀速移动，设它们运动的时间为 t 秒（0≤t≤3），直线
AB 与 该 抛物线的交点为 N（如图 2 所示）.
① 当 t=
2
5 时，判断点 P 是否在直线 ME 上，并说明理由；
② 设以 P、N、C、D 为顶点的多边形面积为 S，试问 S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大
值；若不存在，请说明理由．
答案：（1） xxy 42
（2）①点 P 不在直线 ME 上
②依题意可知：P（t ,t ），N（t ， tt 42 ）
当 30 t 时，以 P、N、C、D 为顶点的多边形是四边形 PNCD，依题意可得：
PNCPCD SSS = ODCD
2
1 + BCPN
2
1 = 232
1 + 242
1 2 ttt = 332 tt
=
4
21)2
3( 2 t
∵抛物线的开口方向：向下，∴当t =
2
3 ，且 32
30 t 时， 最大S =
4
21
当 03或t 时,点 P、N 都重合，此时以 P、N、C、D 为顶点的多边形是三角形
图 2
BC
O AD E
My
x
P
N
·
图 1
BC
O (A)D E
M
y
x
依题意可得， ABCDSS 矩形2
1 = 322
1 =3
综上所述，以 P、N、C、D 为顶点的多边形面积 S 存在最大值
2、（2010 盐城）已知：函数 y=ax2+x+1 的图象与 x 轴只有一个公共点．
（1）求这个函数关系式；
（2）如图所示，设二次．．函数 y=ax2+x+1 图象的顶点为 B，与 y 轴的交点为 A，P 为图象上的一点，若以
线段 PB 为直径的圆与直线 AB 相切于点 B，求 P 点的坐标；
（3）在(2)中，若圆与 x 轴另一交点关于直线 PB 的对称点为 M，试探索点 M 是否在抛物线 y=ax2+x+1
上，若在抛物线上，求出 M 点的坐标；若不在，请说明理由．
关键词：二次函数与圆
答案 ：1）当a=0时，y=x+1，图象与x轴只有一个公共点………(1分)
当a≠0时，△=1-4a=0，a= 1
4
，此时，图象与x轴只有一个公共点．
∴函数的解析式为：y=x+1 或`y=1
4
x2+x+1……（3 分）
（2）设P 为二次函数图象上的一点，过点P 作PC⊥x
轴于点C．
∵y=ax2+x+1 是二次函数，由（1）知该函数关系式为：
y=1
4
x2+x+1，则顶点为 B（-2，0），图象与 y 轴的交点
坐标为 A（0，1）………（4 分）
∵以 PB 为直径的圆与直线 AB 相切于点 B ∴PB⊥AB 则∠PBC=∠BAO
∴Rt△PCB∽Rt△BOA
∴
AO
BC
OB
PC ，故 PC=2BC，……………………………………………………（5 分）
设 P 点的坐标为(x，y)，∵∠ABO 是锐角，∠PBA 是直角，∴∠PBO 是钝角，∴x<-2
∴BC=-2-x，PC=-4-2x，即 y=-4-2x， P 点的坐标为(x，-4-2x)
∵点 P 在二次函数 y=1
4
x2+x+1 的图象上，∴-4-2x=1
4
x2+x+1…………………（6 分）
A
x
y
OB
解之得：x1=-2，x2=-10
∵x<-2 ∴x=-10，∴P 点的坐标为：(-10，16)…………………………………（7 分）
（3）点 M 不在抛物线y=ax2+x+1 上……………………………………………（8 分）
由（2）知：C 为圆与 x 轴的另一交点，连接 CM，CM 与直线 PB 的交点为 Q，过点 M 作 x 轴的垂线，
垂足为 D，取 CD 的中点 E，连接 QE，则 CM⊥PB，且 CQ=MQ
∴QE∥MD，QE=1
2
MD，QE⊥CE
∵CM⊥PB，QE⊥CE PC⊥x 轴 ∴∠QCE=∠EQB=∠CPB
∴tan∠QCE= tan∠EQB= tan∠CPB =1
2
CE=2QE=2×2BE=4BE，又 CB=8，故 BE=8
5
，QE=16
5
∴Q 点的坐标为(-18
5
，16
5
)
可求得 M 点的坐标为(14
5
，32
5
)…………………………………………………（11 分）
∵1
4
(14
5
)2+(14
5
)+1 =144
25
≠32
5
∴C 点关于直线 PB 的对称点 M 不在抛物线y=ax2+x+1 上……………………（12 分）
(其它解法，仿此得分)
8．(2010 年北京崇文区) 函数 y=x2-2x-2 的图象如右图所示，根据其中提供的信息，可求得使 y≥1 成立
的 x 的取值范围是（ ）
A． 31 x B． 31 x
C． 31 xx 或 D． 31 xx 或
【关键词】二次函数图象及取值范围
【答案】D
23．(2010 年北京崇文区) 已知 P（ 3,m )和 Q（1，m ）是抛 物 线
22 1y x bx 上的两点．
（1）求b 的值；
（2）判断关于 x 的一元二次方程 22 1x bx =0 是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，
请说明理由；
（3）将抛物线 22 1y x bx 的图象向上平移 k （ k 是正整数）个单位，使平移后的图象与 x 轴无
交点，求 k 的最小值．
【关键词】求二次函数解析式、与 X 轴交点个数、平移
【答案】解：(1)因为点 P、Q 在抛物线上且纵坐标相同，所以 P、Q 关于抛物线对称轴对称并且到对
称轴距离相等．
所以，抛物线对称轴 3 1
4 2
bx ，所以， 4b ．[来源:学科网]
（2）由（1）可知，关于 x 的一元二次方程为 22 4 1x x =0．
因为， 2 4b ac =16-8=8 0．
所以，方程有两个不同的实数根，分别是
1
212 2
bx a
， 2
212 2
bx a
．
（3）由（1）可知，抛物线 22 4 1y x x 的图象向上平移 k （ k 是正整数）个单位后的解析式为
22 4 1y x x k ．
若使抛物线 22 4 1y x x k 的图象与 x 轴无交点，只需 22 4 1 0x x k 无实数解即
可．
由 2 4b ac =16 8(1 )k =8 8k <0，得 1k
又 k 是正整数，所以 k 得最小值为 2．
2５．(2010 年北京崇文区) 已知抛物线 2 1y ax bx 经过点 A（1，3）和点 B（2，1）．
（1）求此抛物线解析式；
（2）点 C、D 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，求四边形 ABCD 周长的最小值；
（3）过点 B 作 x 轴的垂线，垂足为 E 点．点 P 从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对称轴到达 F 点,
再沿 FE 到达 E 点，若 P 点在对称轴上的运动速度是它在直线 FE 上运动速度的 2 倍,试确定点 F 的位置,
使得点 P 按照上述要求到达 E 点所用的时间最短．（要求：简述确定 F 点位置的方法，但不要求证明）
【关键词】二次函数与动点
【答案】解：（1）依题意：
3 1,
1 4 2 1.
a b
a b
解得 2,
4.
a
b
抛物线的解析式为 22 4 1y x x ．
（2）点 A（1，3）关于 y 轴的对称点 A的坐标是（-1，3），点 B（2，1）关于 x 轴的对称点 B的坐标
是（2，-1）．由对称性可知
AB BC CD DA = ' 'AB B C CD DA AB A B
由勾股定理可求 AB= 5 ， 5A B ．
所以，四边形 ABCD 周长的最小值是 5 5AB A B ．
（3）确定 F 点位置的方法：过点 E 作直线 EG 使对称轴到直线 EG 成 45角，则 EG
与对称轴的交点为所求的 F 点．
设对称轴于 x 轴交于点 H，在 Rt HEF 中，由 HE=1， 90 , 45FHE EFH ，
得 HF=1．所以，点 F 的坐标是（1，1）．
23．（2010 年门头沟区）已知：关于 x 的一元二次方程 01)2()1( 2 xmxm （m 为实数）
（1）若方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求证：无论 m 取何值，抛物线 1)2()1( 2 xmxmy 总过 x 轴上的一
个固定点；
（3）若 m 是整数，且关于 x 的一元二次方程 01)2()1( 2 xmxm 有两个不相等的整数根，把
抛物线 1)2()1( 2 xmxmy 向右平移 3 个单位长度，求平移后的解析式．
【关键词】二次函数与一元二次方程
【答案】解：（1）△= 22 )1(4)2( mmm
∵方程有两个不相等的实数根,
∴ 0m .………………………………………………………………………………1 分
∵ 01 m ,
∴m 的取值范围是 1,0 mm 且 .…………………………………………………2 分
（2）证明：令 0y 得， 01)2()1( 2 xmxm .
∴
)1(2
)2(
)1(2
)2( 2
m
mm
m
mmx .[来源:学_科_网 Z_X_X_K]
∴ 1)1(2
2
1
m
mmx ，
1
1
)1(2
2
2
mm
mmx . …………………………………4 分
∴抛物线与 x 轴的交点坐标为（ 0,1 ），（ 0,1
1
m
）,
∴无论 m 取何值，抛物线 1)2()1( 2 xmxmy 总过定点（ 0,1 ）.…5 分
（3）∵ 1x 是整数 ∴只需
1
1
m
是整数.
∵ m 是整数，且 1,0 mm ,
∴ 2m .……………………………………………………………………………6 分
当 2m 时，抛物线为 12 xy ．
把它的图象向右平移 3 个单位长度，得到的抛物线解析式为
861)3( 22 xxxy .……………………………………………………7 分
24．（2010 年门头沟区）如图，已知抛物线 C1： 5)2( 2 xay 的顶点为 P，与 x 轴相交于 A、B 两点（点
A 在点 B 的左边），点 A 的横坐标是 1 ．
（1）求 p 点坐标及 a 的值；
（2）如图（1），抛物线 C2 与抛物线 C1 关于 x 轴对称，将抛物线 C2 向左平移，平移后的抛物线记为 C3，
C3 的顶点为 M，当点 P、M关于点 A 成中心对称时，求 C3 的解析式 khxay 2)( ；[来源:学科网 ZXXK]
（3）如图（2），点 Q 是 x 轴负半轴上一动点，将抛物线 C1 绕点 Q 旋转 180°后得到抛物线 C4．抛物线
C4 的顶点为 N，与 x 轴相交于 E、F 两点（点 E 在点 F 的左边），当以点 P、N、E 为顶点的三角形是直角三
角形时，求顶点 N 的坐标．
【关键词】二次函数、平衡、旋转
R
G
C1
C4
P
N
FE HA BQ
y
x
【答案】解：（1）由抛物线 C1： 5)2( 2 xay 得顶点 P 的坐标为（2，5）…….1 分
∵点 A（－1，0）在抛物线 C1 上∴
9
5a .………………2 分
（2）连接 PM，作 PH⊥x 轴于 H，作 MG⊥x 轴于 G..
∵点 P、M 关于点 A 成中心对称,
∴PM 过点 A，且 PA＝MA..
∴△PAH≌△MAG..
∴MG＝PH＝5，AG＝AH＝3.
∴顶点 M 的坐标为（ 4 ，5）.…………………3 分
∵抛物线 C2 与 C1 关于 x 轴对称，抛物线 C3 由 C2 平移得到
∴抛物线 C3 的表达式 5)4(9
5 2 xy . ………4 分
（3）∵抛物线 C4 由 C1 绕 x 轴上的点 Q 旋转 180°得到
∴顶点 N、P 关于点 Q 成中心对称.
由（2）得点 N 的纵坐标为 5.
设点 N 坐标为（m，5），作 PH⊥x 轴于 H，作 NG⊥x 轴于 G，作 PR⊥NG 于 R.
∵旋转中心 Q 在 x 轴上,
∴EF＝AB＝2AH＝6.
∴EG＝3，点 E 坐标为（ 3m ，0），H 坐标为（2，0），R 坐标为（m，－5）.
根据勾股定理，得
,104m4mPRNRPN 2222
50m10mHEPHPE 2222
3435NE 222
①当∠PNE＝90º时，PN2+ NE2＝PE2，
解得 m＝
3
44 ，∴N 点坐标为（
3
44 ，5）
②当∠PEN＝90º时，PE2+ NE2＝PN2，
解得 m＝
3
10 ，∴N 点坐标为（
3
10 ，5）.
③∵PN＞NR＝10＞NE，∴∠NPE≠90º ……7 分
综上所得，当 N 点坐标为（
3
44 ，5）或（
3
10 ，5）时，以点 P、N、E 为顶点的三角形是直角三角
形．……………………8 分
说明：点 N 的坐标都求正确给 8 分，不讨论③不扣分．
1. （2010 年山东省济南市）在平面直角坐标系中，抛物线 2 1y x 与 x 轴的交点的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【关键词】二次函数与坐标轴的交点
【答案】B
2.（2010 年台湾省）坐标平面上有一函数 y=24x248 的图形，其顶点坐标为何？
(A) (0，2) (B) (1，24) (C) (0，48) (D) (2，48)
【关键词】二次函数的顶点
【答案】C
3. （2010 年台湾省）坐标平面上，若移动二次函数 y=2(x175)(x176)6 的图形，使其与 x 轴交于两点，
且此两点的距离为 1 单位，则移动方式可为下列哪一种？
(A) 向上移动 3 单位 (B) 向下移动 3 单位
(C) 向上移勤 6 单位 (D) 向下移动 6 单位
【关键词】二次函数的平移
【答案】D
4.（2010 年山东省济南市）如图，已知抛物线 2y x bx c 经过点（1，-5）和（-2，4）
（1）求这条抛物线的解析式．
（ 2 ） 设 此 抛 物 线 与 直 线 y x 相 交 于 点 A ， B （ 点 B 在 点 A 的 右 侧 ）， 平 行 于 y 轴 的 直 线
0 5 1x m m 与抛物线交于点 M，与直线 y x 交于点 N，交 x 轴于点 P，求线段 MN 的长
（用含 m 的代数式表示）．
（3）在条件（2）的情况下，连接 OM、BM，是否存在 m 的值，使△BOM 的面积 S 最大？若存在，请
求出 m 的值，若不存在，请说明理由．
【关键词】二次函数
【答案】
xO P
N
M
B
A
y
y=x
x=m
21．（2010 山东德州）为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯．已知太
阳能路灯售价为 5000 元/个，目前两个商家有此产品．甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过 100
个，按原价付款；若一次购买 100 个以上，且购买的个数每增加一个，其价格减少 10 元，但太阳能路
灯的售价不得低于 3500 元/个．乙店一律按原价的 80℅销售．现购买太阳能路灯 x 个，如果全部在甲商
家购买，则所需金额为 y1 元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为 y2 元.
（1）分别求出 y1、y2 与 x 之间的函数关系式；
（2）若市政府投资 140 万元，最多能购买多少个太阳能路灯？
【关键词】二次函数、一次函数、方案设计
【答案】解：（1）由题意可知，
当 x≤100 时，购买一个需 5000 元，故 1 5000y x ；
当 x≥100 时，因为购买个数每增加一个，其价格减少 10 元，但售价不得低于 3500 元/个，所以
x≤
10
35005000 +100=250．
即 100≤x≤250 时，购买一个需 5000-10(x-100)元，故 y1=6000x-10x2；
当 x>250 时，购买一个需 3500 元，故 1 3500y x ；
所以，
x
xx
x
y
3500
106000
5000
2
1
).250(
)250100(
)1000(
x
x
x
，
，
2 5000 80% 4000y x x ．
(2) 当 0”，“<”或“=”）
22、（2009 年兰州）二次函数 22
3y x 的图象如图 12 所示，点 0A 位 于 坐 标 原
点， 点 1A ， 2A ， 3A ，…， 2008A 在 y 轴的正半轴上，点 1B ， 2B ，
3B ，…， 2008B 在二次函数 22
3y x 位于第一象限的图象上，
若△ 0 1 1A B A ,△ 1 2 2A B A ，△ 2 3 3A B A ，…，△ 2007 2008 2008A B A
都为等边三角形，则△ 2007 2008 2008A B A 的边长＝ .
23、（2009 年北京市）若把代数式 2 2 3x x 化为 2x m k 的 形式，其中
,m k 为常数，则 m k = .
24．(2009 年咸宁市)已知 A 、B 是抛物线 2 4 3y x x 上位置不同的两点，且关于抛物线的对称轴对称，
则点 A 、 B 的坐标可能是_____________．（写出一对即可）
25、（2009 年安徽）已知二次函数的图象经过原点及点（ 1
2
， 1
4
），且图象与 x 轴的另一交点到原
点的距离为 1，则该二次函数的解析式为 ．
26、（2009 年黄石市）若抛物线 2 3y ax bx 与 2 3 2y x x 的两交点关于原点对称，则 a b、 分别
为 ．
27、（2009 黑龙江大兴安岭）当 x 时，二次函数 222 xxy 有最小值．
三、解答题
1、（2009 年株洲市）如图 1， Rt ABC 中， 90A ， 3tan 4B ，点 P 在线段 AB 上运动，点Q 、 R
分别在线段 BC 、 AC 上，且使得四边形 APQR 是矩形．设 AP 的长为 x ，矩形 APQR 的面积为 y ，已
知 y 是 x 的函数，其图象是过点（12，36）的抛物线的一部分（如图 2 所示）．
O
（1）求 AB 的长；
（2）当 AP 为何值时，矩形 APQR 的面积最大，并求出最大值．
为了解决这个问题，孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论：
张明：图 2 中的抛物线过点（12，36）在图 1 中表示什么呢？
李明：因为抛物线上的点 ( , )x y 是表示图 1 中 AP 的长与矩形 APQR 面积的对应关系，那么，（12，36）
表示当 12AP 时， AP 的长与矩形 APQR 面积的对应关系.
赵明：对，我知道纵坐标 36 是什么意思了！
孔明：哦，这样就可以算出 AB ，这个问题就可以解决了.
请根据上述对话，帮他们解答这个问题.
图 1
2、（2009 年株洲市）已知 ABC 为直角三角形， 90ACB ，
AC BC ,点 A 、C 在 x 轴上，点 B 坐标为（3 ， m ）（ 0m ），线
段 AB 与 y 轴相交于点 D ，以 P （1，0）为顶点 的抛物线过点 B 、
D ．
（1）求点 A 的坐标（用 m 表示）；
（2）求抛物线的解析式；
（3）设点Q 为抛物线上点 P 至点 B 之间的一动点，连结 PQ 并延长交 BC 于点 E ，连结 BQ 并延长交 AC
于点 F ，试证明： ( )FC AC EC 为定值．
R
Q
P
C
B
A
3、（2009 年重庆市江津区）某商场在销售旺季临近时 ，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童
装开始时的售价为每件 20 元，并且每周（7 天）涨价 2 元，从第 6 周开始，保持每件 30 元的稳定价格销
售，直到 11 周结束，该童装不再销售。
（1）请建立销售价格 y（元）与周次 x 之间的函数关系；
（ 2 ） 若 该 品 牌 童 装 于 进 货 当 周 售 完 ， 且 这 种 童 装 每 件 进 价 z （ 元 ） 与 周 次 x 之 间 的 关 系 为
12)8(8
1 2 xz ， 1≤ x ≤11，且 x 为整数，那么该品牌童装在第几周售出后，每件获得利润最大？
并求最大利润为多少？
4、（2009 年重庆市江津区）如图，抛物线 cbxxy 2 与 x 轴交与 A(1,0),B(- 3，0)两点，
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交 y 轴与 C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得△QAC 的周长最小？
若存在，求出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点 P，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点 P 的
坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.
5、（2009 年滨州）某商品的进价为每件 40 元．当售价为每 件 60 元时，每星期可卖出
300 件，现需降价处理，且经市场调查：每降价 1 元，每星 期可多卖出 20 件．在确保盈
利的前提下，解答下列问题：
（1）若设每件降价 x 元、每星期售出商品的利润为 y 元，请写出 y 与 x 的函数关系式，并求出自变量 x 的
取值范围；
（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
（3）请画出上述函数的大致图象．
6、（2009 年滨州） 如图①，某产品标志的截面图形由一个等腰梯形和抛物线的一部分组成，在等腰梯形
ABCD 中， AB DC∥ ， 20cm 30cm 45AB DC ADC ， ， °．对于抛物线部分，其顶点为CD 的
中点 O ，且过 A B、 两点，开口终端的连线 MN 平行且等于 DC ．
（1）如图①所示，在以点 O 为原点，直线 OC 为 x 轴的坐标系内，点C 的坐标为 (15 0)， ，
试求 A B、 两点的坐标；
（2）求标志的高度（即标志的最高点到梯形下底所在直线的距离）；
（3）现根据实际情况，需在标志截面图形的梯形部分的外围均匀镀上一层厚度为 3cm 的保护膜，如图②，
第 26 题图
N
B
CD
A
M y
x
（第 4 题图①）
）
O
A B
CD
（第 4 题图②）
））
20cm
30cm45°
请在图中补充完整镀膜部分的示意图，并求出镀膜的外围周长．
7、 (2009 年四川省内江市)如图所示，已知点 A（－1，0），B（3，0），C（0，t），且 t＞0，tan∠BAC=3，
抛物线经过 A、B、C 三点，点 P（2，m）是抛物线与直线 )1(: xkyl 的一个交点。
（1）求抛物线的解析式；
（2）对于动点 Q（1，n），求 PQ+QB 的最小值；
（3）若动点 M 在直线l 上方的抛物线上运动，
求△AMP 的边 AP 上的高 h 的最大值。
8、（2009 仙桃）如图，已知抛物线 y＝x2＋bx＋c 经过矩形 ABCD 的两个顶点 A、B，AB 平行于 x 轴，对角
线 BD 与抛物线交于点 P，点 A 的坐标为(0，2)，AB＝4．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若 S△APO＝
2
3 ，求矩形 ABCD 的面积．
9、（2009 年长春）如图，直线 3 64y x 分别与 x 轴、 y 轴交于 A B、 两
点，直线 5
4y x 与 AB 交于点C ，与过点 A 且平行于 y 轴的直线交于点 D ．点
E 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴向左运动．过点 E 作 x 轴的垂
线，分别交直线 AB OD、 于 P Q、 两点，以 PQ 为边向右作正方形 PQMN ，
设正方形 PQMN 与 ACD△ 重叠部分（阴影部分）的面积为 S（平方单位）．点
E 的运动时间为 t （秒）．
（1）求点C 的坐标．（1 分）
（2）当 0 5t 时，求 S 与t 之间的函数关系式．（4 分）
（3）求（2）中 S 的最大值．（2 分）
（4）当 0t 时，直接写出点 94 2
， 在正方形 PQMN 内部时t 的取值范围．（3 分）
10、（2009 年郴州市） 如图 11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点 M（－2， 1- ），且 P（ 1- ，
－2）为双曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动点，PA 垂直于 x 轴，QB 垂直于 y 轴，垂足分别是 A、B．
（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；
（2）当点 Q 在直线 MO 上运动时，直线 MO 上是否存在这样的点 Q，使得△OBQ 与△OAP 面积相
等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）如图 12，当点 Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以 OP、OQ 为邻边的平行四边形 OPCQ，
y
x
D
N
MQ
B
C
O
P
E A
求平行四边形 OPCQ 周长的最小值．
10、（2009 年 常 德 市 ）已知二次函数过点 A （0， 2 ），B（ 1 ，0），C（ 5 9
4 8
， ）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）判断点 M（1， 1
2
）是否在直线 AC 上？
（3）过点 M（1， 1
2
）作一条直线l 与二次函数的图象交于 E、F 两点（不同于 A，B，C 三点），请自
已给出 E 点的坐标，并证明△BEF 是直角三角形．
11、(2009 年陕西省) 如图，在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且 OB＝2OA，点 A 的坐标是(－1，2)．
图 11
图 12
图 8
（1）求点 B 的坐标；
（2）求过点 A、O、B 的抛物线的表达式；
（3）连接 AB，在（2）中的抛物线上求出点 P，使得 S△ABP＝S△ABO．
12、(2009 年黄冈市)新星电子科技公司积极应对 2008 年世界金融危机，及时调整投资方向，瞄准光伏产
业，建成了太阳能光伏电池生产线．由于新产品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的影响，产品
投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天
结算 1 次）．公司累积获得的利润 y（万元）与销售时间第 x（月）之间的函数关系式（即前 x 个月的利润
总和 y 与 x 之间的关系）对应的点都在如图所示的图象上．该图象从左至右，依次是线段 OA、曲线 AB 和
曲 线 BC ， 其 中 曲 线 AB 为 抛 物 线 的 一 部 分 ， 点 A 为 该 抛 物 线 的 顶 点 ， 曲 线 BC 为 另 一 抛 物 线
25 205 1230y x x 的一部分，且点 A，B，C 的横坐标分别为 4，10，12
（1）求该公司累积获得的利润 y（万元）与时间第 x（月）之间的函数关系式；
（2）直接写出第 x 个月所获得 S（万元）与时间 x（月）之间的函数关系式（不需要写出计算过程）；
（3）前 12 个月中，第几个月该公司所获得的利润最多？最多利润是多少万元？
13、(2009 武汉)某商品的进价为每件 40 元，售价为每件 50 元，每个月可卖出 210 件；如果每件商品的售
价每上涨 1 元，则每个月少卖 10 件（每件售价不能高于 65 元）．设每件商品的售价上涨 x 元（ x 为正整
数），每个月的销售利润为 y 元．
（1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为 2200 元？根据以上结论，请你直接写出售价
在什么范围时，每个月的利润不低于 2200 元？
14、(2009 武汉)如图，抛物线 2 4y ax bx a 经过 ( 1 0)A ， 、 (0 4)C ， 两点，与 x 轴交于另一点 B ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点 ( 1)D m m ， 在第一象限的抛物线上，求点 D 关于直线 BC 对称的点的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接 BD ，点 P 为抛物线上一点，且 45DBP °，求点 P 的坐标．
y
xO
A B
C
15、(2009 年安顺)如图，已知抛物线与 x 交于 A(－1，0)、E(3，0)两点，与 y 轴交于点 B(0，3)。
（1） 求抛物线的解析式；
（2） 设抛物线顶点为 D，求四边形 AEDB 的面积；
（3） △AOB 与△DBE 是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。
16、（2009 重庆綦江）如图，已知抛物线 ( 1)2 3 3( 0)y a x a 经过点 ( 2 )A ，0 ，抛物线的顶点为 D ，
过O 作射线OM AD∥ ．过顶点 D 平行于 x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在 x 轴正半轴上，连结 BC ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若动点 P 从点O 出发，以每秒 1 个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点 P 运动的时间为 ( )t s ．问
当t 为何值时，四边形 DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？
（3）若OC OB ，动点 P 和动点Q 分别从点O 和点 B 同时出发，分别以每秒 1 个长度单位和 2 个长度
y M
CD
单位的速度沿OC 和 BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间
为t ( )s ，连接 PQ ，当t 为何值时，四边形 BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时 PQ 的长．
17、（2009 威海）如图，在直角坐标系中，点 A,B,C 的坐标分别为（-1，0），（3，0）。（0，3），过 A,B,C
三点的抛物线的对称轴为直线l ，D 为对称轴l 上一动点．
（1） 求抛物线的解析式；
（2） 求当 AD+CD 最小时点 D 的坐标；
（3） 以点 A 为圆心，以 AD 为半径作⊙A．
①证明：当 AD+CD 最小时，直线 BD 与⊙A 相切．
②写出直线 BD 与⊙A 相切时，D 点的另一个坐标：___________．
18、（2009 年内蒙古包头）已知二次函数 2y ax bx c （ 0a ）的图象经过点 (1 0)A ， ， (2 0)B ， ，
(0 2)C ， ，直线 x m （ 2m ）与 x 轴交于点 D ．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在直线 x m （ 2m ）上有一点 E （点 E 在第四象限），使得 E D B、 、 为顶点的三角形与以
A O C、 、 为顶点的三角形相似，求 E 点坐标（用含 m 的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点 F ，使得四边形 ABEF 为平行四边形？若存在，请
求出 m 的值及四边形 ABEF 的面积；若不存在，请说明理由．
y
xO
19、（2009 山西省太原市）已知，二次函数的表达式为 24 8y x x ．写出这个函数图象的对称轴和顶点
坐标，并求图象与 x 轴的交点的坐标．
20、（2009 湖北省荆门市） 一开口向上的抛物线与 x 轴交于 A（ 2m ，0），B（m＋2，0）两点，记抛物
线顶点为 C，且 AC⊥BC．
（1）若 m 为常数，求抛物线的解析式；
（2）若 m 为小于 0 的常数，那么（1）中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？
（3）设抛物线交 y 轴正半轴于 D 点，问是否存在实数 m，使得△BCD 为等腰三角形？若存在，求出 m
的值；若不存在，请说明理由．
OA B
C
ly
x
O BA
C
D
x
y
第 25 题图
20、（2009 年淄博市）如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的边长是 2．O 为坐标原点，点 A 在 x
的正半轴上，点 C 在 y 的正半轴上．一条抛物线经过 A 点，顶点 D 是 OC 的中点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）正方形 OABC 的对角线 OB 与抛物线交于 E 点，线段 FG 过点 E 与 x 轴垂直，分别交 x 轴和线段
BC 于 F，G 点，试比较线段 OE 与 EG 的长度；
（3）点 H 是抛物线上在正方形内部的任意一点，线段 IJ 过点 H 与 x 轴垂直，分别交 x 轴和线段 BC 于
I、J 点，点 K 在 y 轴的正半轴上，且 OK=OH，请证明△OHI≌△JKC．
21、（2009 年贵州省黔东南州）凯里市某大型酒店有包房 100 间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房
费 100 元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高 20 元，则减少 10 间包房租出，若每间包房收费再
提高 20 元，则再减少 10 间包房租出，以每次提高 20 元的这种方法变化下去。
（1）设每间包房收费提高 x（元），则每间包房的收入为 y1（元），但会减少 y2 间包房租出，请分别
写出 y1、y2 与 x 之间的函数关系式。
（2）为了投资少而利润大，每间包房提高 x（元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为 y（元），
请写出 y 与 x 之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理
O A
BC
D
E
y
xF
G
H
I
J
K
（第 24 题）
由。
22、（2009 年贵州省黔东南州）已知二次函数 22 aaxxy 。
（1）求证：不论 a 为何实数，此函数图象与 x 轴总有两个交点。
（2）设 a<0，当此函数图象与 x 轴的两个交点的距离为 13 时，求出此二次函数的解析式。
（3）若此二次函数图象与 x 轴交于 A、B 两点，在函数图象上是否存在点 P，使得△PAB 的面积为
2
133 ，
若存在求出 P 点坐标，若不存在请说明理由。
23、（2009 年江苏省）如图，已知二次函数 2 2 1y x x 的图象的顶点为 A ．二次函数 2y ax bx 的
图象与 x 轴交于原点O 及另一点C ，它的顶点 B 在函数 2 2 1y x x 的图象的对称轴上．
（1）求点 A 与点C 的坐标；
（2）当四边形 AOBC 为菱形时，求函数 2y ax bx 的关系式．
24、（2009 年浙江省绍兴市）定义一种变换：平移抛物线 1F 得到抛物线 2F ，使 2F 经过 1F 的顶点 A ．设 2F
的对称轴分别交 1 2F F， 于点 D B， ，点C 是点 A 关于直线 BD 的对称点．
（1）如图 1，若 1F ： 2y x ，经过变换后，得到 2F ： 2y x bx ，点C 的坐标为 (2 0)， ，则①b 的值等
于______________；
②四边形 ABCD 为（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
（2）如图 2，若 1F ： 2y ax c ，经过变换后，点 B 的坐标为 (2 1)c ， ，求 ABD△ 的面积；
（3）如图 3，若 1F ： 21 2 7
3 3 3y x x ，经过变换后， 2 3AC ，点 P 是直线 AC 上的动点，求点 P
到点 D 的距离和到直线 AD 的距离之和的最小值．
26、（2009 年深圳市）已知：Rt△ABC 的斜边长为 5，斜边上的高为 2，将这个直角三角形放置在平面直角
坐标系中，使其斜边 AB 与 x 轴重合（其中 OA0，n>0），连接 DP
交 BC 于点 E。
①当△BDE 是等腰三角形时，直接写出．．．．此时点 E 的坐标。
②又连接 CD、CP，△CDP 是否有最大面积？若有，求出△CDP 的最大面的最大面积和此时点 P 的坐标；若
没有，请说明理由。
27、（2009 年台州市）如图，已知直线 1 12y x 交坐标轴于 BA， 两点，以线段 AB 为边向上作正方形
ABCD ，过点 CD，A， 的抛物线与直线另一个交点为 E ．
（1）请直接写出点 DC, 的坐标；
图 11
（2）求抛物线的解析式；
（3）若正方形以每秒 5 个单位长度的速度沿射线 AB 下滑，直至顶点 D 落在 x 轴上时停止．设正方形落
在 x 轴下方部分的面积为 S ，求 S 关于滑行时间t 的函数关系式，并写出相应自变量t 的取值范围；
（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上 EC , 两点间的抛物线弧所扫
过的面积．
28、（2009 年宁波市）如图，抛物线 2 5 4y ax ax a 与 x 轴相交于点 A、B，且过点 (5 4)C ， ．
（1）求 a 的值和该抛物线顶点 P 的坐标；
（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．
29、(2009 年义乌)如图，抛物线 2y ax bx c 与 x 轴的一个交点 A 在点（-2，0）和（-1，0）之间（包
括这两点），顶点 C 是矩形 DEFG 上（包括边界和内部）的一个
动点，则
(1)abc # 0 (填“ ”或“ ”)；
(1)a 的取值范围是 #
30、（2009 河池）
如图 12，已知抛物线 2 4 3y x x 交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 C，抛物线的对称轴交 x 轴于点 E，
点 B 的坐标为（ 1 ，0）．
（1）求抛物线的对称轴及点 A 的坐标；
（2）在平面直角坐标系 xoy 中是否存在点 P，
与 A、B、C 三点构成一个平行四边形？若存在，
请写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连结 CA 与抛物线的对称轴交于点 D，在抛物线上是否存在
点 M，使得直线 CM 把四边形 DEOC 分成面积相等的两部分？
若存在，请求出直线 CM 的解析式；若不存在，请说明理由．
O
A
B
C
D
E
y
x
1 12y x
A B
P
x
y
O
（第 23 题）
C（5,4）
O
D
B
C
A x
y
E
图 12
31、（2009 柳州）
如图 11，已知抛物线 baxaxy 22 （ 0a ）与 x 轴的一个交点为 ( 1 0)B ， ，与 y 轴的负半轴交于点
C，顶点为 D．
（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与 x 轴的另一个交点 A 的坐标；
（2）以 AD 为直径的圆经过点 C．
①求抛物线的解析式；
②点 E 在抛物线的对称轴上，点 F 在抛物线上，
且以 EFAB ，，， 四点为顶点的四边形为平行四边形，求点 F 的坐标．
32、(2009 烟台市) 如图，抛物线 2 3y ax bx 与 x 轴交于 A B， 两点，与 y 轴交于 C 点，且经过点
(2 3 )a， ，对称轴是直线 1x ，顶点是 M ．
（1） 求抛物线对应的函数表达式；
（2） 经过 C,M 两点 作直线与 x 轴交 于点 N ，在 抛物线上 是否存在 这样的点 P ，使 以点
P A C N， ， ， 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说
明理由；
（3） 设直线 3y x 与 y 轴的交点是 D ，在线段 BD 上任取一点 E （不与 B D， 重合），经过
A B E， ， 三点的圆交直线 BC 于点 F ，试判断 AEF△ 的形状，并说明理由；
（4） 当 E 是直线 3y x 上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）．
O B x
y
A
M
C
1
3
33、（2009 恩施市）如图，在 ABC△ 中， 90 10A BC ABC °， ，△ 的面积为 25，点 D 为 AB 边上的
任意一点（ D 不与 A 、B 重合），过点 D 作 DE BC∥ ，交 AC 于点 E ．设 DE x ，以 DE 为折线将 ADE△
翻折（使 ADE△ 落在四边形 DBCE 所在的平面内），所得的 A DE△ 与梯形 DBCE 重叠部分的面积记为
y ．
O x
y
AB
C
D
图 11
（1）用 x 表示 ADE△ 的面积；
（2）求出 0 5x ≤ 时 y 与 x 的函数关系式；
（3）求出5 10x 时 y 与 x 的函数关系式；
34、1．（2009 年甘肃白银）［12 分+附加 4 分］如图 14（1），抛物线 2 2y x x k 与 x 轴交于 A、B 两点，
与 y 轴交于点 C（0， 3 ）．［图 14（2）、图 14（3）为解答备用图］
（1） k ，点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ；
（2）设抛物线 2 2y x x k 的顶点为 M，求四边形 ABMC 的面积；
（3）在 x 轴下方的抛物线上是否存在一点 D，使四边形 ABDC 的面积最大？若存在，请求出点 D 的坐标；
若不存在，请说明理由；
（4）在抛物线 2 2y x x k 上求点 Q，使△BCQ 是以 BC 为直角边的直角三角形．
图 14（1） 图 14（2） 图 14（3）
35、（2009 年甘肃庆阳）（10 分）图 19 是二次函数 21 22y x 的图象在 x 轴上方的一部分，若这段图
象与 x 轴所围成的阴影部分面积为 S，试求出 S 取值的一个范围．
图 19
36（2009 年甘肃庆阳）如图 18，在平面直角坐标系中，将一块腰长为 5 的等腰直角三角板 ABC 放在第二
象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点 C 的坐标为（ 1 ，0），点 B 在抛物线 2 2y ax ax 上．
（1）点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ；
（2）抛物线的关系式为 ；
（3）设（2）中抛物线的顶点为 D，求△DBC 的面积；
（4）将三角板 ABC 绕顶点 A 逆时针方向旋转 90°，到达 AB C △ 的位置．请判断点 B、C 是否在（2）
中的抛物线上，并说明理由．
图 18
37、（2009 年广西南宁）如图 14，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下
底相距80 米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度
相等．设甬道的宽为 x 米．
（1）用含 x 的式子表示横向甬道的面积；
（2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；
（3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过 6 米.如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关
系，比例系数是 5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米 0.02 万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所
建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？
图 14
38、(2009 年鄂州)24、如图所示．某校计划将一块形状为锐角三角形 ABC 的空地进行生态环境改造．已
知△ABC 的边 BC 长 120 米，高 AD 长 80 米。学校计划将它分割成△AHG、△BHE、△GFC 和矩形 EFGH 四
部分(如图)。其中矩形 EFGH 的一边 EF 在边 BC 上．其余两个顶点 H、G 分别在边 AB、AC 上。现计划在△
AHG 上种草，每平方米投资 6 元；在△BHE、△FCG 上都种花，每平方米投资 10 元；在矩形 EFGH 上兴建
爱心鱼池，每平方米投资 4 元。
(1)当 FG 长为多少米时，种草的面积与种花的面积相等？
(2)当矩形 EFGH 的边 FG 为多少米时，△ABC 空地改造总投资最小？最小值为多少？
39、(2009 年鄂州)如图所示，将矩形 OABC 沿 AE 折叠，使点 O 恰好落在 BC 上 F 处，以 CF 为边作正方形
CFGH，延长 BC 至 M，使 CM＝｜CF—EO｜，再以 CM、CO 为边作矩形 CMNO
(1)试比较 EO、EC 的大小，并说明理由
(2)令
；四边形
四边形
CNMN
CFGH
S
Sm ，请问 m 是否为定值？若是，请求出 m 的值；若不是，请说明理由
(3)在(2)的条件下，若 CO＝1，CE＝
3
1 ，Q 为 AE 上一点且 QF＝
3
2 ，抛物线 y＝mx2+bx+c 经过 C、Q 两点，
请求出此抛物线的解析式.
(4)在(3)的条件下，若抛物线 y＝mx2+bx+c 与线段 AB 交于点 P，试问在直线 BC 上是否存在点 K，使得以 P、
B、K 为顶点的三角形与△AEF 相似?若存在，请求直线 KP 与 y 轴的交点 T 的坐标?若不存在，请说明理
由。
40、（2009 年河南）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点 B（4，0）、C（8，0）、D（8，
8）.抛物线 y=ax2+bx 过 A、C 两点.
(1)直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的解析式；
(2)动点 P 从点 A 出发．沿线段 AB 向终点 B 运动，同时点 Q 从点 C 出发，沿线段 CD
向终点 D 运动．速度均为每秒 1 个单位长度，运动时间为 t 秒.过点 P 作 PE⊥AB 交 AC 于点 E
①过点 E 作 EF⊥AD 于点 F，交抛物线于点 G.当 t 为何值时，线段 EG 最长?
②连接 EQ．在点 P、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形?
请直接写出相应的 t 值.
41、如图，△OAB 是边长为 2 的等边三角形，过点 A 的直线 。轴交于点与 Exmxy
3
3
（1）求点 E 的坐标；
（2）求过 A、O、E 三点的抛物线解析式；
（3）若点 P 是（2）中求出的抛物线 AE 段上一动点（不与 A、E 重合），设四边形 OAPE 的面积为 S，求 S
的最大值。
42、（2009 江西）如图，抛物线 2 2 3y x x 与 x 轴相交于 A 、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴
相交于点 C ，顶点为 D .
（1）直接写出 A 、 B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连接 BC ，与抛物线的对称轴交于点 E ，点 P 为线段 BC 上的一个动点，过点 EMBED Equation.DSMT4
P 作交抛物线于点 F ，设点 P 的横坐标为 m ；
①用含 m 的代数式表示线段 PF 的长，并求出当 m 为何值时，四边形 PEDF 为平行四边形？
②设 BCF△ 的面积为 S ，求 S 与 m 的函数关系式.
43、（2009 年烟台市） 某商场将进价为 2000 元的冰箱以 2400 元售出，平均每天能售出 8 台，为了配合国
家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低 50 元，平
均每天就能多售出 4 台．
（1）假设每台冰箱降价 x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是 y 元，请写出 y 与 x 之间的函数表达式；
（不要求写自变量的取值范围）
（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利 4800 元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少
元？
（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？
44、（2009 年烟台市）如图，抛物线 2 3y ax bx 与 x 轴交于 A B， 两点，与 y 轴交于 C 点，且经过点
(2 3 )a， ，对称轴是直线 1x ，顶点是 EMBED Equation.DSMT4 M ．
（5） 求抛物线对应的函数表达式；
（6） 经过 C,M 两点 作直线与 x 轴交 于点 N ，在 抛物线上 是否存在 这样的点 P ，使 以点
P A C N， ， ， 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说
明理由；
（7） 设直线 3y x 与 y 轴的交点是 D ，在线段 BD 上任取一点 E （不与 B D， 重合），经过
A B E， ， 三点的圆交直线 BC 于点 F ，试判断 AEF△ 的形状，并说明理由；
（8） 当 E 是直线 3y x 上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）．
45、（2009 年嘉兴市）如图，曲线 C 是函数
xy 6 在第一象限内的图象，抛物线是函数 422 xxy 的
图象．点 ),( yxPn （ 1 2n ，， ）在曲线 C 上，且 x y， 都是整数．
（1）求出所有的点 ( )nP x y， ；
（2）在 nP 中任取两点作直线，求所有不同直线的条数；
（3）从（2）的所有直线中任取一条直线，求所取直线与抛物线有公共点的概率．
46、(2009 年牡丹江市)如图二次函数 2y x bx c 的图象经过 1A ，0 和 3 0B ， 两点，且交 y 轴于点
C ．
O B x
y
A
M
C
1
3
6
4
2
2 4 6
y
xO
（1）试确定b 、 c 的值；
（2）过点C 作CD x∥ 轴交抛物线于点 D，点 M 为此抛物线的顶点，试确定 MCD△ 的形状．
0 x
y
A B
C
47、（2009 南宁市）26．如图 14，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下
底相距80 米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度
相等．设甬道的宽为 x 米．
（1）用含 x 的式子表示横向甬道的面积；
（2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；
（3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过 6 米.如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关
系，比例系数是 5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米 0.02 万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所
建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？
48、（2009 年清远）已知二次函数 2y ax bx c 中的 x y， 满足下表：
x … 2
EMBED
Equation.
DSMT4
1
0 1 2 …
y … 4 0 2 2 0 …
求这个二次函数关系式．
49、（2009 年清远）如图，已知一个三角形纸片 ABC ， BC 边的长为 8， BC 边上的高为 6 ， B 和 C
都为锐角， EMBED Equation.DSMT4 M 为 AB 一动点（点 M 与点 A B、 不重合），过点 M 作 MN BC∥ ，
交 AC 于点 N ，在 AMN△ 中，设 MN 的长为， MN 上的高为 h ．
（1）请你用含 x 的代数式表示 h ．
（2）将 AMN△ 沿 MN 折叠，使 AMN△ 落在四边形 BCNM 所在平面，设点 A 落在平面的点为 1A ，
1A MN△ 与四边形 BCNM 重叠部分的面积为 y ，当 x 为何值时， y 最大，最大值为多少？
SHAPE * MERGEFORMAT
B C
NM
A
50、（2009 年衢州）如图，已知点 A(-4，8)和点 B(2，n)在抛物线 2y ax 上．
(1) 求 a 的值及点 B 关于 x 轴对称点 P 的坐标，并在 x 轴上找一点 Q，使得 AQ+QB 最短，求出点 Q 的坐
标；
(2) 平移抛物线 2y ax ，记平移后点 A 的对应点为 A′，点 B 的对应点为 B′，点 C(-2，0)和点 D(-4，0)
是 x 轴上的两个定点．
① 当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′ 最短，求此时抛物线的函数解析式；
② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形 A′B′CD 的周长最短？若存在，求出此时抛
物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．
4 x2
2
A 8
-2O
-2
-4
y
6
B
CD
-4
4
51、（2009 年舟山）如图，已知点 A(-4，8)和点 B(2，n)在抛物线 2y ax 上．
(1) 求 a 的值及点 B 关于 x 轴对称点 P 的坐标，并在 x 轴上找一点 Q，使得 AQ+QB 最短，求出点 Q 的坐
标；
(2) 平移抛物线 2y ax ，记平移后点 A 的对应点为 A′，点 B 的对应点为 B′，点 C(-2，0)和点 D(-4，0)是 x
轴上的两个定点．
① 当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′ 最短，求此时抛物线的函数解析式；
② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形 A′B′CD 的周长最短？若存在，求出此时抛
物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．
4 x2
2
A 8
-2O
-2
-4
y
6
B
CD
-4
4
53、（2009 年广州市）如图 13，二次函数 )0(2 pqpxxy 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y
轴交于点 C（0，-1），ΔABC 的面积为
4
5 。
（1）求该二次函数的关系式；
（2）过 y 轴上的一点 M（0，m）作 y 轴上午垂线，若该垂线与ΔABC 的外
接圆有公共点，求 m 的取值范围；
（3）在该二次函数的图象上是否存在点 D，使四边形 ABCD 为直角梯形？若
存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由。
54、（2009 年衡阳市）已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，
－2），求这个二次函数的关系式．
55、（2009 年益阳市）阅读材料：
如图12-1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，
外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a)，中间的这条直线
在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计
算三角形面积的新方法： ahS ABC 2
1 ，即三角形面积等于水平宽与
铅垂高乘积的一半.
解答下列问题：
如图 12-2，抛物线顶点坐标为点 C(1,4),交 x 轴于点 A(3,0)，交 y 轴于点 B.
(1)求抛物线和直线 AB 的解析式；
B
C
铅垂高
水平宽
h
a
图 12-1
A
2
(2)点 P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结 PA，PB，当 P 点运动到顶点 C 时，求△CAB
的铅垂高 CD 及 CABS ；
(3)是否存在一点 P，使 S△PAB=
8
9 S△CAB，若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由.
图 12-2
x
C
O
y
A
B
D
1
1
56、（2009 年济宁市）某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为 100 元，售价为 130 元，每星期可卖出
80 件.商家决定降价促销，根据市场调查，每降价 5 元，每星期可多卖出 20 件.
（1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元？
（2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多少？
57、（2009 年日照）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设
施的下部 ABCD 是矩形，其中 AB=2 米，BC=1 米；上部 CDG 是等边三角形，固定点 E 为 AB 的中点．△EMN
是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持
和 AB 平行的伸缩横杆．
（1）当 MN 和 AB 之间的距离为 0.5 米时，求此时△EMN 的面积；
（2）设 MN 与 AB 之间的距离为 x 米，试将△EMN 的面积 S（平方米）表示成关于 x 的函数；
（3）请你探究△EMN 的面积 S（平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由．
EA B
G
N
D
M
C
（第 23 题图）
58、（2009 年福州）已知直线 l：y=－x+m（m≠0）交 x 轴、y 轴于 A、B 两点，点 C、M 分别在
线段 OA、AB 上，且 OC=2CA，AM=2MB，连接 MC，将△ACM 绕点 M 旋转 180°，得到△FEM，则点 E 在
y 轴上, 点 F 在直线 l 上;取线段 EO 中点 N,将 ACM 沿 MN 所在直线翻折，
得到△PMG，其中 P 与 A 为对称点.记：过点 F 的双曲线为 1C ，过点 M
且以 B 为顶点的抛物线为 2C ，过点 P 且以 M 为顶点的抛物线为 3C .
(1) 如图 10，当 m=6 时，①直接写出点 M、F 的坐标，②求 1C 、 2C 的
函数解析式；
（2）当 m 发生变化时， ①在 1C 的每一支上，y 随 x 的增大如何变化？
请说明理由。
②若 2C 、 3C 中的 y 都随着 x 的增大而减小,写出 x 的取值范围。
59、（2009 年宜宾）如图，在平面直角坐标系 x O y 中，等腰梯形 OABC 的下底边 OA 在 x 的正半轴上，BC
∥OA，OC=AB，tan∠BAO=
3
4 ,点 B 的坐标为（7，4）。
（1）求 A、C 的坐标；
（2）求经过点 O、B、C 的抛物线的解析式；
（3）在第一象限内（2）中的抛物线上是否存在一点 P，使得经过点 P 且与等腰梯形一腰平行的直线将该
梯形分成面积相等的两个部分？若存在，请求出点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由．
图 10
HG
60、（2009 年福州）如图 9，等边 ABC 边长为 4，E 是边 BC 上动点， ACEH 于 H，过 E 作 EF ∥ AC ，
交线段 AB 于点 F ，在线段 AC 上取点 P ，使 EBPE 。设 )20( xxEC 。
（1） 请直接写出图中与线段 EF 相等的两条线段（不再另外添加辅助线）；
（2） Q 是线段 AC 上的动点，当四边形 EFPQ 是平行四边形时,求□EFPQ 的面积（用含 x 的代数式表示）；
（3） 当（2）中 的□EFPQ 面积最大值时，以 E 为圆心， r 为半径作圆，根据⊙E 与此时□EFPQ 四条边
交点的总个数，求相应的 r 的取值范围。
61、（2009 年重庆）某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机
每台的售价 y（元）与月份 x 之间满足函数关系 50 2600y x ，
去年的月销售量 p（万台）与月份 x 之间成一次函数关系，其中两个
月的销售情况如下表：
月份 1 月 5 月
销售量 3.9 万台 4.3 万台
（1）求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？
（2）由于受国际金融危机的影响，今年 1、2 月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年 12 月份下降了
%m ，且每月的销售量都比去年 12 月份下降了 1.5m%．国家实施“家电下乡”政策，即对农村家庭购买
新的家电产品，国家按该产品售价的 13%给予财政补贴．受此政策的影响，今年 3 至 5 月份，该厂家销往
农村的这种电视机在保持今年 2 月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年 2 月份增加了 1.5 万
台．若今年 3 至 5 月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴 936 万元，求 m 的值（保留一位小数）．
（参考数据： 34 5.831≈ ， 35 5.916≈ ， 37 6.083≈ ， 38 6.164≈ ）
62、（2009 年重庆）已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上，OC
在 x 轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点 O 作∠AOC 的平分线交 AB 于点 D，连接 DC，过点 D 作 DE⊥DC，
交 OA 于点 E．
（1）求过点 E、D、C 的抛物线的解析式；
（2）将∠EDC 绕点 D 按顺时针方向旋转后，角的一边与 y 轴的正半轴交于点 F，另一边与线段 OC 交于点
G．如果 DF 与（1）中的抛物线交于另一点 M，点 M 的横坐标为 6
5
，那么 EF=2GO 是否成立？若成立，请
给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）对于（2）中的点 G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点 Q，使得直线 CQ 与 AB 的交点 P 与
点 C、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
63、（2009 年广西钦州）如图，已知抛物线 y＝ 3
4
x2＋bx＋c 与坐标轴交于 A、B、C 三点， A 点
的坐标为（－1，0），过点 C 的直线 y＝ 3
4t
x－3 与 x 轴交于点 Q，点 P 是线段 BC 上的一个动点，过 P 作
PH⊥OB 于点 H．若 PB＝5t，且 0＜t＜1．
（1）填空：点 C 的坐标是_▲_，b＝_▲_，c＝_▲_；
（2）求线段 QH 的长（用含 t 的式子表示）；
（3）依点 P 的变化，是否存在 t 的值，使以 P、H、Q 为顶点的三角形与△COQ
相似？若存在，求出所有 t 的值；若不存在，说明理由．
64、（2009 年广西梧州）如图（9）-1，抛物线 2 3y ax ax b 经过 A（ 1 ，0），C（3， 2 ）两点，
与 y 轴交于点 D，与 x 轴交于另一点 B．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若直线 )0(1 kkxy 将四边形 ABCD 面积二等分，求 k 的值；
D
O BA x
y
C
y=kx+1
（3）如图（9）-2，过点 E（1，1）作 EF⊥ x 轴于点 F，将△AEF 绕平面内某点旋
转 180°得△MNQ（点 M、N、Q 分别与点 A、E、F 对应），使点 M、N 在抛物线上，作 MG⊥ x 轴于点 G，
若线段 MG︰AG＝1︰2，求点 M，N 的坐标．
E
F
M
N
G
O BA x
y
Q
65. (2009 年甘肃定西)如图 14（1），抛物线 2 2y x x k 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C（0， 3 ）．［图
14（2）、图 14（3）为解答备用图］
（1） k ，点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ；
（2）设抛物线 2 2y x x k 的顶点为 M，求四边形 ABMC 的面积；
（3）在 x 轴下方的抛物线上是否存在一点 D，使四边形 ABDC 的面积最大？若存在，请求出点 D 的坐标；
若不存在，请说明理由；
（4）在抛物线 2 2y x x k 上求点 Q，使△BCQ 是以 BC 为直角边的直角三角形．
66、2009 年包头）某商场试销一种成本为每件 60 元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且
获利不得高于 45%，经试销发现，销售量 y（件）与销售单价 x（元）符合一次函数 y kx b ，且 65x
时， 55y ； 75x 时， 45y ．
（1）求一次函数 y kx b 的表达式；
（2）若该商场获得利润为W 元，试写出利润W 与销售单价 x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商
场可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若该商场获得利润不低于 500 元，试确定销售单价 x 的范围．
67、（2009 年包头）已知二次函数 2y ax bx c （ 0a ）的图象经过点 (1 0)A ， ， (2 0)B ， ， (0 2)C ， ，
直线 x m （ 2m ）与 x 轴交于点 D ．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在直线 x m （ 2m ）上有一点 E （点 E 在第四象限），使得 E D B、 、 为顶点的三角形与以
A O C、 、 为顶点的三角形相似，求 E 点坐标（用含 m 的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点 F ，使得四边形 ABEF 为平行四边形？若存在，请
求出 m 的值及四边形 ABEF 的面积；若不存在，请说明理由．
y
xO
68、（2009 年长沙）如图，二次函数 2y ax bx c （ 0a ）的图象与 x 轴交于 A B、 两点，与 y 轴相
交于点C ．连结 AC BC A C、 ， 、 两点的坐标分别为 ( 3 0)A ， 、 (0 3)C ， ，且当 4x 和 2x 时二次函
数的函数值 y 相等．
（1）求实数 a b c， ， 的值；
（2）若点 M N、 同时从 B 点出发，均以每秒 1 个单位长度的速度分别沿 BA BC、 边运动，其中一个点到
达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为 t 秒时，连结 MN ，将 BMN△ 沿 MN 翻折，B 点恰好
落在 AC 边上的 P 处，求t 的值及点 P 的坐标；
（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点 Q ，使得以 B N Q， ， 为项点的三角形与
ABC△ 相似？如果存在，请求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．
y
O x
C
N
B
P
MA
（3）点 P 是抛物线 21
4y x 对称轴右侧图象上的一动点，过点 P 作 PQ PO⊥ 交 x 轴于点Q ，是否
存在点 P 使得 OPQ△ 与 CDF△ 相似？若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，
请说明理由．
70、(2009 宁夏)如图，抛物线 21 2 22 2y x x 与 x 轴交于 A B、 两点，与 y 轴交于C 点．
（1）求 A B C、 、 三点的坐标；
（2）证明 ABC△ 为直角三角形；
（3）在抛物线上除C 点外，是否还存在另外一个点 P ，使 ABP△ 是直角三角形，若存在，请求出点 P 的
坐标，若不存在，请说明理由．
71、（2009 肇庆）已知一元二次方程 2 1 0x px q 的一根为 2．
y
xBOA
C
（1）求 q 关于 p 的关系式；
（2）求证：抛物线 2 y x px q 与 x 轴有两个交点；
（3）设抛物线 2y x px q 的顶点为 M，且与 x 轴相交于 A（ 1x ，0）、B（ 2x ，0）两点，求使△AMB
面积最小时的抛物线的解析式．
72、1．（2009 年中山）正方形 ABCD 边长为 4，M 、 N 分别 是 BC 、
CD 上的两个动点，当 M 点在 BC 上运动时，保持 AM 和 MN 垂直，
（1）证明： Rt RtABM MCN△ ∽ △ ；
（2）设 BM x ，梯形 ABCN 的面积为 y ，求 y 与 x 之间的 函 数 关 系
式；当 M 点运动到什么位置时，四边形 ABCN 面积最大，并 求 出 最 大
面积；
（3）当 M 点运动到什么位置时 Rt RtABM AMN△ ∽ △ ，求 x 的值．
2．（2009 年漳州）阅读材料，解答问题．
例：用图象法解一元二次不等式： 2 2 3 0x x ．
解：设 2 2 3y x x ，则 y 是 x 的二次函数．
1 0a ，
∴抛物线开口向上．
又当 0y 时， 2 2 3 0x x ，
解得 1 21 3x x ， ．
由此得抛物线 2 2 3y x x 的大致图象如图所示．
观察函数图象可知：当 1x 或 3x 时， 0y ．
2 2 3 0x x 的解集是： 1x 或 3x ．
（1）观察图象，直接写出一元二次不等式： 2 2 3 0x x 的解集是____________；
（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式： 2 1 0x ．（大致图象画在答题卡．．．上）
75、（2009 年漳州）如图 1，已知：抛物线 21
2y x bx c 与 x 轴交于 A B、 两点，与 y 轴交于点C ，经
过 B C、 两点的直线是 1 22y x ，连结 AC ．
（1）B C、 两点坐标分别为 B（_____，_____）、C（_____，_____），抛物线的函数关系式为______________；
（2）判断 ABC△ 的形状，并说明理由；
（3）若 ABC△ 内部能否截出面积最大的矩形 DEFC （顶点 D E F、 、 、G 在 ABC△ 各边上）？若能，
求出在 AB 边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由．
[抛物线 2y ax bx c 的顶点坐标是
24,2 4
b ac b
a a
]
C
A O B x
y
C
A O B x
y
图 1 图 2(备用)
76、（2009 年哈尔滨）张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一 边利用足够
长的墙另三边用总长为 32 米的篱笆恰好围成．围成的花圃是 如图所示的
矩形 ABCD．设 AB 边的长为 x 米．矩形 ABCD 的面积为 S 平方 米．
（1）求 S 与 x 之间的函数关系式（不要求写出自变量 x 的 取值范围）．
（2）当 x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值．
（参考公式：二次函数 2y ax bx c （ 0a ），当
2
bx a
时，
24
4
ac by a
最大(小)值 )
77、（2009 年牡丹江）如图二次函数 2y x bx c 的图象经过 1A ，0 和 3 0B ， 两点，且交 y 轴于点
C ．
（1）试确定b 、 c 的值；
（2）过点C 作CD x∥ 轴交抛物线于点 D，点 M 为此抛物线的顶点，试确定 MCD△ 的形状．
参考公式：顶点坐标
24
2 4
b ac b
a a
，
78、（2009 年兰州）如图 17，某公路隧道横截面为抛物线， 其最大高
度为 6 米，底部宽度 OM 为 12 米. 现以 O 点为原点，OM 所在直线为 x 轴建立直角坐标系.
(1)直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标；
(2)求这条抛物线的解析式；
(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD- DC- CB，
使 C、D 点在抛物线上，A、B 点在地面 OM 上，
则这个“支撑架”总长的最大值是多少？
77、（2009 年遂宁）25.如图，二次函数的图象经过点 D(0， 39
7 )，且顶点 C 的横坐标为 4，该图象在 x 轴
上截得的线段 AB 的长为 6.
⑴求二次函数的解析式；
⑵在该抛物线的对称轴上找一点 P，使 PA+PD 最小，求出点 P 的坐标；
⑶在抛物线上是否存在点 Q，使△QAB 与△ABC 相似？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说
明理由．
8、（2009 年济南）已知：抛物线的对称轴为与 x 轴交于 A B， 两点，与 y 轴交于点 C，其中 3 0A ， 、
0 2C ， ．
（1）求这条抛物线的函数表达式．
（2）已知在对称轴上存在一点 P，使得 PBC△ 的周长最小．请求出点 P 的坐标．
（3）若点 D 是线段OC 上的一个动点（不与点 O、点 C 重合）．过点 D 作 DE PC∥ 交 x 轴于点 E．连接 PD 、
PE ．设CD 的长为 m ， PDE△ 的面积为 S ．求 S 与 m 之间的函数关系式．试说明 S 是否存在最大值，
1x ，
若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
9、（2009 年凉山州）如图，已知抛物线 2y x bx c 经过 (1 0)A ， ， (0 2)B ， 两点，顶点为 D ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将 OAB△ 绕点 A 顺时针旋转 90°后，点 B 落到点C 的位置，将抛物线沿 y 轴平移后经过点C ，求
平移后所得图象的函数关系式；
（3）设（2）中平移后，所得抛物线与 y 轴的交点为 1B ，顶点为 1D ，若点 N 在平移后的抛物线上，且满
足 1NBB△ 的面积是 1NDD△ 面积的 2 倍，求点 N 的坐标．
83、（2009 年广州市）如图 13，二次函数 )0(2 pqpxxy 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交
于点 C（0，-1），ΔABC 的面积为
4
5 。
（1）求该二次函数的关系式；
（2）过 y 轴上的一点 M（0，m）作 y 轴上午垂线，若该垂线与ΔABC 的外
A
C
x
y
BO
y
x
B
AO D
（第 26 题）
接圆有公共点，求 m 的取值范围；
（3）在该二次函数的图象上是否存在点 D，使四边形 ABCD 为直角梯形？若存在，求出点 D 的坐标；
若不存在，请说明理由。
4.（2009 年衡阳市）已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，－2），求这个二次函数的关
系式．
5.（2009 年益阳市）阅读材料：
如图12-1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，
外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a)，中间的这条直线
在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计
算三角形面积的新方法： ahS ABC 2
1 ，即三角形面积等于水平宽与
铅垂高乘积的一半.
解答下列问题：
如图 12-2，抛物线顶点坐标为点 C(1,4),交 x 轴于点 A(3,0)，交 y 轴于点 B.
(1)求抛物线和直线 AB 的解析式；
(2)点 P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结 PA，PB，当 P 点运动到顶点 C 时，求△CAB
的铅垂高 CD 及 CABS ；
(3)是否存在一点 P，使 S△PAB=
8
9 S△CAB，若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由.
图 12-2
x
C
O
y
A
B
D
1
1
89、（2009 年济宁市）某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为 100 元，售价为 130 元，每星期可
卖出 80 件.商家决定降价促销，根据市场调查，每降价 5 元，每星期可多卖出 20 件.
（1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元？
（2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多少？
B
C
铅垂高
水平宽
h
a
图 12-1
A
2
O
90、（2009 年株洲市）如图 1，Rt ABC 中， 90A ， 3tan 4B ，点 P 在线段 AB 上运动，点Q 、R
分别在线段 BC 、 AC 上，且使得四边形 APQR 是矩形．设 AP 的长为 x ，矩形 APQR 的面积为 y ，已
知 y 是 x 的函数，其图象是过点（12，36）的抛物线的一部分（如图 2 所示）．
（1）求 AB 的长；
（2）当 AP 为何值时，矩形 APQR 的面积最大，并求出最大值．
为了解决这个问题，孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论：
张明：图 2 中的抛物线过点（12，36）在图 1 中表示什么呢？
李明：因为抛物线上的点 ( , )x y 是表示图 1 中 AP 的长与矩形 APQR 面积的对应关系，那么，（12，36）
表示当 12AP 时， AP 的长与矩形 APQR 面积的对应关系.
赵明：对，我知道纵坐标 36 是什么意思了！
孔明：哦，这样就可以算出 AB ，这个问题就可以解决了.
请根据上述对话，帮他们解答这个问题.
图 1 图 2
3.（2009 年株洲市）已知 ABC 为直角三角形， 90ACB ， AC BC ,点 A 、C 在 x 轴上，点 B 坐
标为（3 ， m ）（ 0m ），线段 AB 与 y 轴相交于点 D ，以 P （1，0）为顶点的抛物线过点 B 、 D ．
（1）求点 A 的坐标（用 m 表示）；
（2）求抛物线的解析式；
（3）设点Q 为抛物线上点 P 至点 B 之间的一动点，连结 PQ 并延长交 BC 于点 E ，连结 BQ 并延长交 AC
于点 F ，试证明： ( )FC AC EC 为定值．
R
Q
P
C
B
A
93. （2009 年重庆市江津区）某商场在销售旺季临近时 ，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种
童装开始时的售价为每件 20 元，并且每周（7 天）涨价 2 元，从第 6 周开始，保持每件 30 元的稳定价格
销售，直到 11 周结束，该童装不再销售。
（1）请建立销售价格 y（元）与周次 x 之间的函数关系；
（ 2 ） 若 该 品 牌 童 装 于 进 货 当 周 售 完 ， 且 这 种 童 装 每 件 进 价 z （ 元 ） 与 周 次 x 之 间 的 关 系 为
12)8(8
1 2 xz ， 1≤ x ≤11，且 x 为整数，那么该品牌童装在第几周售出后，每件获得利润最大？
并求最大利润为多少？
94、 （2009 年重庆市江津区）如图，抛物线 cbxxy 2 与 x 轴交与 A(1,0),B(- 3，0)两点，
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交 y 轴与 C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得△QAC 的周长最小？
若存在，求出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点 P，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点 P 的
坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.
【关键词】与二次函数有关的面积问题
第 26 题图
AB
C
95、(2009 年宁德市)如图，已知抛物线 C1： 52 2 xay 的顶点为 P，与 x 轴相交于 A、B 两点
（点 A 在点 B 的左边），点 B 的横坐标是 1．
（1）求P点坐标及a的值；（4分）
（2）如图（1），抛物线 C2 与抛物线 C1 关于 x 轴对称，将抛物线 C2 向右平移，平移后的抛物线记为
C3，C3 的顶点为 M，当点 P、M 关于点 B 成中心对称时，求 C3 的解析式；（4 分）
（3）如图（2），点 Q 是 x 轴正半轴上一点，将抛物线 C1 绕点 Q 旋转 180°后得到抛物线 C4．抛物线
C4 的顶点为 N，与 x 轴相交于 E、F 两点（点 E 在点 F 的左边），当以点 P、N、F 为顶点的三角形是直角三
角形时，求点 Q 的坐标．（5 分）
【关键词】二次函数,勾股定理的运用
解：（1）由抛物线 C1： 52 2 xay 得
顶点 P 的为（-2，-5）
∵点 B（1，0）在抛物线 C1 上
∴ 5210 2 a
解得，a＝5
9
（2）连接 PM，作 PH⊥x 轴于 H，作 MG⊥x 轴于 G
∵点 P、M 关于点 B 成中心对称
∴PM 过点 B，且 PB＝MB
∴△PBH≌△MBG
∴MG＝PH＝5，BG＝BH＝3
∴顶点 M 的坐标为（4，5）
抛物线 C2 由 C1 关于 x 轴对称得到，抛物线 C3 由 C2 平移得到
∴抛物线 C3 的表达式为 549
5 2 xy
（3）∵抛物线 C4 由 C1 绕点 x 轴上的点 Q 旋转 180°得到
∴顶点 N、P 关于点 Q 成中心对称
由（2）得点 N 的纵坐标为 5
设点 N 坐标为（m，5）
y
x
A
O
B
P
M
图 1
C1
C2 C3
图（1）
y
x
A
O
B
P
N
图 2
C1
C4
Q
E F
图（2）
y
x
A
O
B
P
M
图(1)
C1
C2 C3
H
G
y
x
A
O
B
P
N
图(2)
C1
C4
Q
E F
H G
K
作 PH⊥x 轴于 H，作 NG⊥x 轴于 G
作 PK⊥NG 于 K
∵旋转中心 Q 在 x 轴上
∴EF＝AB＝2BH＝6
∴FG＝3，点 F 坐标为（m+3，0）
H 坐标为（2，0），K 坐标为（m，-5），
根据勾股定理得
PN2＝NK2+PK2＝m2+4m+104
PF2＝PH2+HF2＝m2+10m+50
NF2＝52+32＝34
①当∠PNF＝90º时，PN2+ NF2＝PF2，解得 m＝44
3
，∴Q 点坐标为（19
3
，0）
②当∠PFN＝90º时，PF2+ NF2＝PN2，解得 m＝10
3
，∴Q 点坐标为（2
3
，0）
③∵PN＞NK＝10＞NF，∴∠NPF≠90º
综上所得，当 Q 点坐标为（19
3
，0）或（2
3
，0）时，以点 P、N、F 为顶点
的三角形是直角三角形．
4.(2009 年河北)已知抛物线 2y ax bx 经过点 ( 3 3)A ， 和点 P （t，0），且 t ≠ 0．
（1）若该抛物线的对称轴经过点 A，如图 12，
请通过观察图象，指出此时 y 的最小值，
并写出 t 的值；
（2）若 4t ，求 a、b 的值，并指出此时抛
物线的开口方向；
（3）直．接．写出使该抛物线开口向下的 t 的一个值．
98、(2009 年潍坊)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，半径为 1 的圆的
圆心 O 在坐标原点，且与两坐标轴分别交于 A B C D、 、 、 四点．抛物线 2y ax bx c 与 y 轴交于点 D ，
与直线 y x 交于点 M N、 ，且 MA NC、 分别与圆 O 相切于点 A 和点 C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴交 x 轴于点 E ，连结 DE ，并延长 DE 交圆O 于 F ，求 EF 的长．
（3）过点 B 作圆O 的切线交 DC 的延长线于点 P ，判断点 P 是否在抛物线上，说明理由．
A
OP x
y
图 12
- 3
- 3
O x
y
N
C
D
E
F
BM
A
99、（09 湖北宜昌）已知：直角梯形 OABC 的四个顶点是 O(0，0)，A( 3
2
，1)， B(s，t)，C( 7
2
，0)，抛物线
y=x2＋mx－m 的顶点 P 是直角梯形 OABC 内部或边上的一个动点，m 为常数．
(1)求 s 与 t 的值，并在直角坐标系中画出．．直角梯形 OABC；
(2)当抛物线 y=x2＋mx－m 与直角梯形 OABC 的边 AB 相交时，求 m 的取值范围．
（第 24 题）
100、（09 湖南怀化）如图 11，已知二次函数 22)( mkmxy 的图象与 x 轴相交于两个不同的点
1( 0)A x， 、 2( 0)B x ， ，与 y 轴的交点为C ．设 ABC△ 的外接圆 的 圆 心 为 点
P ．
（1）求 P⊙ 与 y 轴的另一个交点 D 的坐标；
（2）如果 AB 恰好为 P⊙ 的直径，且 ABC△ 的面积等于 5 ， 求 m 和 k 的
值．
21 1 2 1 1 52 2ABCS AB OC m △ 解得 .2m
101、（09 湖南邵阳）如图（十二），直线l 的解析式为 4y x ，它与 x 轴、y 轴分别相交于 A B、 两点．平
行于直线l 的直线 m 从原点 O 出发，沿 x 轴的正方形以每秒 1 个单位长度的速度运动，它与 x 轴、 y 轴分
别相交于 M N、 两点，设运动时间为t 秒（ 0 4t ≤ ）．
（1）求 A B、 两点的坐标；
（2）用含t 的代数式表示 MON△ 的 面 积
1S ；
（ 3 ） 以 MN 为 对 角 线 作 矩 形
OMPN ，记 MPN△ 和 OAB△ 重合 部 分
的面积为 2S ，
①当 2 t ≤ 4 时，试探究 2S 与t 之间 的 函
数关系式；
②在直线 m 的运动过程中，当t 为何值时， 2S 为 OAB△ 面积的 5
16
？
102、（2009 安徽年）23．已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示．
（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．
【解】
（2）写出批发该种水果的资金金额 w（元）与批发量 m（kg）之间的
函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什
O M A
PN
yl
m
x
B
O M A
PN
yl
m
x
B
E P
F
图十二
么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．
【解】
（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函
数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出 60kg 以上该种水果，
且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，
使得当日获得的利润最大．
【解】
（2009 年湖北荆州）已知：点 P（ 1a ， 1a ）关于 x 轴的对称点在反比例函数 8 ( 0)y xx
的图
像上，
y 关于 x 的函数 2 2 (2 1) 1y k x k x 的图像与坐标轴只有两个不同的交点 A﹑B，求 P 点坐标和△PAB
的面积.
（2009 年湖北荆州）由于国家重点扶持节能环保产业，某种节能产品的销售市场逐渐回暖．某经销商销售
这种产品，年初与生产厂家签订了一份进货合同，约定一年内进价为 0.1 万元／台，并预付了 5 万元押金。
他计划一年内要达到一定的销售量，且完成此销售量所用的进货总金额加上押金控制在不低于 34 万元，
但不高于 40 万元．若一年内该产品的售价 y（万元／台）与月次 x（1 12x 且为整数）满足关系是式：
0.05 0.25 (1 4)
0.1 (4 6)
0.015 0.01 (6 12)
x x
y x
x x
，一年后发现实际．．每月的销售量 p （台）与月次 x 之间存在如图所示的
变化趋势．
⑴ 直接写出实际．．．．．．每月的销售量 p （台）与月次 x 之间
的函数关系式；
⑵ 求前三个月中每月的实际销售利润 w （万元）与月
次 x 之间的函数关系式；
⑶ 试判断全年哪一个月的的售价最高，并指出最高售价；
⑷ 请通过计算说明他这一年是否完成了年初计划的销售量．
36
4 月
20
40
Ｏ x
p （台）
12 月
（2009 年茂名市）如图，把抛物线 2y x 与直线 1y 围成的图形OABC 绕原点O 顺时针旋转90°后，再
沿 x 轴向右平移 1 个单位得到图形 1 1 1 1O A B C ，则下列结论错误．．的是（ ）
A．点 1O 的坐标是 (1 0)， B．点 1C 的坐标是 (2 1)，
C．四边形 1 1 1O BA B 是矩形 D．若连接OC，则梯形 1 1OCA B 的面积是 3
O
y
x1O
B
1B
1C
1A
11A （ ，） 11C（，）
103、（2009 年茂名市）茂名石化乙烯厂某车间生产甲、乙两种塑料的相关信息如下表，请你解答下列问题：
出厂价 成本价 排污处理费
甲种塑料 2100（元/吨） 800（元/吨） 200（元/吨）
乙种塑料 2400（元/吨） 1100（元/吨）
100（元/吨）
每月还需支付设备管理、
维护费 20000 元
（1）设该车间每月生产甲、乙两种塑料各 x 吨，利润分别为 1y 元和 2y 元，分别求 1y 和 2y 与 x 的函
数关系式（注：利润=总收入-总支出）；（6 分）
（2）已知该车间每月生产甲、乙两种塑料均不超过 400 吨，若某月要生产甲、乙两种塑料共 700 吨，
求该月生产甲、乙塑料各多少吨，获得的总利润最大？最大利润是多少？（4 分）
104、（2009 年茂名市）如图，在 Rt ABC△ 中， 90 60 24BAC C BC °， °， ，点 P 是 BC 边上的
动点（点 P 与点 B C、 不重合），过动点 P 作 PD BA∥ 交 AC 于点 D．
（1）若 ABC△ 与 DAP△ 相似，则 APD 是多少度？ （2 分）
（2）试问：当 PC 等于多少时， APD△ 的面积最大？最大面积是多少？ （4 分）
（3）若以线段 AC 为直径的圆和以线段 BP 为直径的圆相外切，求线段 BP 的长．（4 分）
价
目品
种
60°
A
D
CB P
105、1．（2009 年湖北十堰市）如图①， 已知抛物线 32 bxaxy （a≠0）与 x 轴交于点 A(1，0)和点
B (－3，0)，与 y 轴交于点 C．
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M ，问在对称轴上是否存在点 P，使△CMP 为等腰三角形？若存在，
请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
(3) 如图②，若点 E 为第二象限抛物线上一动点，连接 BE、CE，求四边形 BOCE 面积的最大值，并求此
时 E 点的坐标．
107、（2009 年山东青岛市）某水产品养殖企业为指导该企
业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖
情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价 1y 25
24
y2（元）
x（月）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
第 2 题图
2
2
1
8y x bx c
O
（元）与销售月份 x （月）满足关系式 3 368y x ，而其每千克成本 2y （元）与销售月份 x （月）满
足的函数关系如图所示．
（1）试确定 b c、 的值；
（2）求出这种水产品每千克的利润 y （元）与销售月份 x （月）之间的函数关系式；
（3）“五·一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？
108、（2009 年新疆乌鲁木齐市）如图 9，在矩形OABC 中，已知 A 、C 两点的坐标分别为 (4 0) (0 2)A C，、 ， ，
D 为OA 的中点．设点 P 是 AOC 平分线上的一个动点（不与点O 重合）．
（1）试证明：无论点 P 运动到何处， PC 总与 PD 相等；
（2）当点 P 运动到与点 B 的距离最小时，试确定过O P D、 、 三点的
抛物线的解析式；
（3）设点 E 是（2）中所确定抛物线的顶点，当点 P 运动到何处时，
PDE△ 的周长最小？求出此时点 P 的坐标和 PDE△ 的周长；
（ 4 ） 设 点 N 是 矩 形 OABC 的 对 称 中 心 ， 是 否 存 在 点 P ， 使
90CPN °？若存在，请直接写出点 P 的坐标．
109、19．（2009 年佛山市）（1）请在坐标系中画出二次函数
2 2y x x 的大致图象；
（2）在同一个坐标系中画出 2 2y x x 的图象向上平移两个单位后的图象；
（3）直接写出平移后的图象的解析式.
注：图中小正方形网格的边长为1.
110、（2009 年广东省）正方形 ABCD 边长为 4， M 、 N 分别是 BC 、CD 上的两个动点， 当 M 点
在 BC 上运动时，保持 AM 和 MN 垂直，
（1）证明： Rt RtABM MCN△ ∽ △ ；
（2）设 BM x ，梯形 ABCN 的面积为 y ，求 y 与 x 之间的函数关系式；当 M 点运动到什么位置时，
四边形 ABCN 面积最大，并求出最大面积；
（3）当 M 点运动到什么位置时 Rt RtABM AMN△ ∽ △ ，求此时 x 的值．
y
O x
P
D
B
(4 0)A ，
(0 2)C ，
图 9
x
y
O
第 19 题图
D
M
A
B C
N
111、（2009 年山西省）某批发市场批发甲、乙两种水果，根据以往经验和市场行情，预计夏季某一段时间
内，甲种水果的销售利润 y甲 （万元）与进货量 x （吨）近似满足函数关系 0.3y x甲 ；乙种水果的销
售利润 y乙 （万元）与进货量 x （吨）近似满足函数关系 2y ax bx 乙 （其中 0a a b ， ， 为常数），
且进货量 x 为 1 吨时，销售利润 y乙 为 1.4 万元；进货量 x 为 2 吨时，销售利润 y乙 为 2.6 万元．
（1）求 y乙 （万元）与 x （吨）之间的函数关系式．
（2）如果市场准备进甲、乙两种水果共 10 吨，设乙种水果的进货量为t 吨，请你写出这两种水果所获
得的销售利润之和W （万元）与 t （吨）之间的函数关系式．并求出这两种水果各进多少吨时获得
的销售利润之和最大，最大利润是多少？
112、（2009 年黄石市）已知关于 x 的函数 2 1y ax x （ a 为常数）
（1）若函数的图象与 x 轴恰有一个交点，求 a 的值；
（2）若函数的图象是抛物线，且顶点始终在 x 轴上方，求 a 的取值范围．
113．（2009 年黄石市）为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对
购买彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数 y（台）
与补贴款额 x （元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补贴款额 x 的不断增大，销售量也不
断增加，但每台彩电的收益 Z （元）会相应降低且 Z 与 x 之间也大致满足如图②所示的一次函数关系．
1200
800
0 400
y(台)
x(元)
z(元)
x(元)
200
160
2000
图① 图②
（1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？
（2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数 y 和每台家电的收益 Z 与政府补贴款额 x 之
间的函数关系式；
（3）要使该商场销售彩电的总收益 w（元）最大，政府应将每台补贴款额 x 定为多少？并求出总收益 w 的
最大值．
113、（2009 年黄石市）正方形 ABCD 在如图所示的平面直角坐标系中， A 在 x 轴正半轴上， D 在 y 轴的
负半轴上， AB 交 y 轴正半轴于 E BC， 交 x 轴负半轴于 F ， 1OE ，抛物线 2 4y ax bx 过
A D F、 、 三点．
（1）求抛物线的解析式；（3 分）
（2）Q 是抛物线上 D F、 间的一点，过Q 点作平行于 x 轴的直线交边 AD 于 M ，交 BC 所在直线于 N ，
若 3
2 FQNAFQMS S △四边形 ，则判断四边形 AFQM 的形状；（3 分）
（3）在射线 DB 上是否存在动点 P ，在射线CB 上是否存在动点 H ，使得 AP PH⊥ 且 AP PH ，若存
在，请给予严格证明，若不存在，请说明理由．（4 分）
O
y
x
B E
A
D
C
F
114、(2009 年云南省)如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点 A、B 的坐标分别为 (0 4)A ， 和 ( 2 0)B ， ，
连结 AB ．
（1）现将 AOB△ 绕点 A 按逆时针方向旋转 90°得到 1 1AO B△ ，请画出 1 1AO B△ ，并直接写出点 1B 、 1O
的坐标（注：不要求证明）；
（2）求经过 B 、 A 、 1O 三点的抛物线对应的函数关系式，并画出抛物线的略图．
115、（ 2009 年 枣 庄 市 ） 如图，抛物线的顶点为 A（2，1），且经过原点 O，与 x 轴的另一个交点为 B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上求点 M，使△MOB 的面积是△AOB 面积的 3 倍；
（3）连结 OA，AB，在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 N，使△OBN 与△OAB 相似？若存在，求出 N
点的坐标；若不存在，说明理由．
2011 中考模拟试题分类汇编第 13 章 二次函数
选择题
A 组
1、(中江县 2011 年初中毕业生诊断考试) 小李从如图所示的二次函数 cbxaxy 2 的图象中，观察得
出了下面四条信息：（1）b2－4ac＞0；（2）c＞1；（3）ab＞0；（4）a－b＋c＜0. 你认为其中错误．．的有( )
A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 1 个
y
x
O
A
B
第 24 题图
答案：A
2、(2011 年江阴市周庄中学九年级期末考)在平面直角坐标系中，如果抛物线 y＝2x2 不动，而把 x 轴、y
轴分别向上、向右平移 2 个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是 ( )
A．y＝2(x + 2)2－2 B．y＝2(x－2)2 + 2
C．y＝2(x－2)2－2 D．y＝2(x + 2)2 + 2
答案：A
3、（2011 淮北市第二次月考五校联考）下列函数中，不是二次函数的是（ ）
A、y= 221 x B、y=2（x-1）2+4
C、y= )4)(1(2
1 xx D、y=（x-2）2-x2
答案 D
4、（2011 淮北市第二次月考五校联考）根据下列表格的对应值，判断方程 ax2+bx+c=0（a≠0）一
个解 x 的取值范围（ ）
x 3.23 3.24 3.25 3.26
y=ax2+bx+c －0.06 －0.02 0.03 0.09
A、 30,b>0,c>0 B.a<0,b<0,c0,c<0 D.a<0,b>0,c>o
答案：D
16．（2011 北京四中模拟）己知二次函数 2y ax bx c= + + ，且 0, 0a a b c< - + > 则一定有（ ）.
A： 2 4 0b ac- > B： 2 4 0b ac- =
C： 2 4 0b ac- < D： 2 4 0b ac- £
答案：A
17．（2011 年北京四中 34 模）已知抛物线 m2xxy 2 ，若点 P（ 2 ，5）与点 Q 关于该抛物线的对
称轴对称，则点 Q 的坐标是（ ）
1
2
A．（0 ，5 ） B．（2 ，5） C．（3 ， 5 ） D．（4 ， 5 ）
答案：D
18．（2011 年北京四中 34 模）已知二次函数 2 ( 0)y ax bx c a 的图
象如右图所示，下列结论：① 0abc ②b a c
③ 2 0a b ④ ( )( 1a b m am b m 的实数)， 其中正确 的结
论有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
答案：B
19．（2011 年杭州市上城区一模）下列函数的图象，经过原点的是（ ）
A. xxy 35 2 B. 12 xy C.
xy 2 D. 73 xy
答案：A
20.（2011 年杭州市模拟）二次函数 2y ax bx c 的图象如图所示，则一次函数 2 4y bx b ac 与反
比例函数 a b cy x
在同一坐标系内的图象大致为
答案：D
21. （2011 年杭
州市模拟）如图，在直角梯形 ABCD 中，AD ∥ BC ， 90C ， 6cmCD ， 2AD cm ，
动点 ,P Q 同时从点 B 出发，点 P 沿 BA 、 AD 、DC 运动到点 C 停止，点Q 沿 BC 运动到
C 点停止，两点运动时的速度 都是1cm /s ，而当点 P 到达点 A 时，点Q 正好到达点C ．设 P 点运动的
第 7 题
第 9 题
x
y
0
时间为 (s)t ， BPQ△ 的面积为 y 2(cm ) ．则能正确表示整个运动中 y 关于t 的函数关系的大致图象是
A． B． C． D．
答案：B
22．（2011 年海宁市盐官片一模）已知二次函数 13123 2 xxy ，则函数值 y 的最小值是（ ▲ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. －1
答案：D
23．（赵州二中九年七班模拟）点 E 为正方形 ABCD 的 BC 边的中点，动点 F 在对角线 AC 上运动，连接 BF、
EF．设 AF＝x，△BEF 的周长为 y，那么能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是（ ）
O x O OOx x x
y y y y
A B C D
A
B C
D
F
E
答案：B
24．（赵州二中九年七班模拟）二次函数 cbxaxy 2 的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）。
A. 0,0,0 cba B. 0,0,0 cba
C. 0,0,0 cba D. .,0,0 cba 0
答案：D
一、填空题
A 组
1、（2011 重庆市纂江县赶水镇）在正方形的网格中，抛物线 y1=x2+bx+c 与直线 y2=kx+m 的图象如图所示，
请你观察图象并回答：当－1”或“<”或“=”号）．
答案：＜
2 、（ 重 庆 一 中 初 2011 级 10 — 11 学 年 度 下 期 3 月 月 考 ） 小 颖 同 学 想 用 “ 描 点 法 ” 画 二 次 函 数
2 ( 0)y ax bx c a 的图象，取自变量 x 的 5 个值，分别计算出对应的 y 值，如下表：
1、 x 2、 … 3、 2 4、 1 5、 0 6、 1 7、 2 8、 …
9、 y 10、 …11、 1
1 12、 213、 －
1 14、 215、 516、 …
由于粗心，小颖算错了其中的一个 y 值，请你指出这个算错的 y 值所对应的 x= ______．
答案：2
3、（2011 年北京四中四模）抛物线 34 2 xy 的顶点坐标是_____.
答案：（0，－3）
4、(2011 年江阴市周庄中学九年级期末考)抛物线 362 xxy 的顶点坐标是________.
答案：(3，－6)
5、（2011 北京四中模拟 6）把抛物线 2xy 向上平移 2 个单位，那么所得抛物线与 x 轴
的两个交点之间的距离是 .
答案：4
6、（2011 淮北市第二次月考五校联考）抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）上两点，当 x 取-1 与 3 时，y
值相同，抛物线的对称轴是__________.
答案 X＝1
7．（淮安市启明外国语学校 2010－2011 学年度第二学期初三数学期中试卷）如图，菱形 ABCD 的三个顶点
在二次函数 y=ax2－2ax+3
2
（a＜0）的图象上，点 A、B 分别是该抛物线的顶点和抛物线与 y 轴的交点，
则点 D 的坐标为 ．
答案：（2，3
2
）
8、（2011 年北京四中模拟 28）抛物线 22 1y x 的顶点坐标是 ．
答案：（0，-1）
9、(2011 浙江杭州模拟 14)老师给出一个 y 关于 x 的函数，甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一
个性质：甲：函数图象不经过第三象限；乙：函数图象经过第一象限；丙：当 x<2 时，y 随 x 的增大而减
小；丁：当 x<2 时 y>0.已知这四位同学叙述都正确。请写出满足上述所有性质的一个函数______________.
答案： 答案不唯一.例如： 2( 2) 1y x
10、(2011 浙江杭州模拟 15)甲、乙两位同学对问题“求函数
2
2 1
x
xy 的最小值”提出各自的想法。
甲说：“可以用配方法，把它配成 2)1( 2
xxy ，所以函数的最小值为-2”。乙说：“我也用配方法，
但我配成 2)1( 2
xxy ，最小值为 2”。你认为__________（填写“甲对”、“乙对”、“甲、乙都对”或
“甲乙都不对”）的。你还可以用________法等方法来解决．
答案：乙 图象（答案不唯一）
11、（2011 年黄冈中考调研六）抛物线 y＝7x2＋28x＋30 的顶点坐标为 。
答案 )2,2(
12、已知关于 x 的函数 y＝（m－1）x2＋2x＋m 图像与坐标轴有且只有 2 个交点，则 m＝
答案：
13.(河北省中考模拟试卷)抛物线 y=（x+1）2-2 的顶点坐标是 ．
答案：(-1,-2)
B 组
第 7 题图
1．（2011 年三门峡实验中学 3 月模拟）抛物线 21
2y x 向上平移 2 个单位，再向右平移 1 个单位后，得
到的抛物线的解析式为____________．
答案： 21 ( 1) 22 x 或 21 3
2 2x x
2．（2011 年三门峡实验中学 3 月模拟）如图，已知⊙P 的半径为 2，圆 心P在抛
物 线 21 12y x 上 运 动 ， 当 ⊙P 与 x 轴 相 切 时 ， 圆 心 P 的 坐 标 为
.
答案： )2,6( 或 )2,6(
3．（ 2011 年杭州三月月考）将二次函数 2xy 的图象向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位后，所得
图象的函数表达式是 ▲ 。
答案： 21 2 xy
4．（2011 天一实验学校 二模）．如图，在第一象限内作射线 OC,与 x 轴的夹角为 30o,在射线 OC 上取一点
A，过点 A 作 AH⊥x 轴于点 H.在抛物线 y=x2 (x>0)上取点 P，在 y 轴上 取点
Q，使得以 P，O，Q 为顶点的三角形与△AOH 全等，则符合条件的点 A 的 坐
标是 _______________ .
源答案：(3， 3) ,(1
3
3，1
3
) , (2 3，2) , (2
3
3，2
3
)
5．（2011 浙江杭州育才初中模拟）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一
条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线。如图，点 A、B、C、D 分别是“蛋
圆”与坐标轴的交点，点 D 的坐标为（0，-3）AB 为半圆直径，半 圆圆心 M
（ 1 ，0 ）， 半径 为 2 ， 则 “蛋 圆” 的 抛物 线部 分 的解 析式 为
__________________。经过点 C 的“蛋圆”的切线的解析式为
__________________。（08 年益阳第 20 题）
第 2 题
O x
A
y
H
C
y=x2
答案：y=x2-2x-3, y=-2x-3
6．（2011 年浙江杭州 27 模）我们知道，根据二次函数的平移规律，可以由简单的函数通过平移后得到较
复杂的函数，事实上，对于其他函数也是如此。如一次函数，反比例函数等。请问
1
23
x
xy 可以由
xy 1
通过_________________________平移得到。
答案：向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位
7. （2011 年浙江省杭州市模 2） 如图，在第一象限内作 射线 OC，与
x 轴的夹角为 30°，在射线 OC 上取一点 A，过点 A 作 AH ⊥ x 轴 于
点 H．在抛物线 y=x2（x＞0）上取点 P，在 y 轴上取点 Q，使得以 P，
O，Q 为顶点的三角形与△AOH 全等，则符合条件的点 A 的 坐 标
是 .
答案：(
3
3 ，
3
1 )(
3
32 ，
3
2 )(3， 3 )(2 3 ，2)
8.（安徽芜湖 2011 模拟）如图，是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一 部分，其
对称轴为直线 x=1，若其与 x 轴一交点为 A（3，0），则由图象 可知，不
等式 ax2+bx+c>0 的解集是 .
答案: x＜-1 或 x>3
9.（河南新乡 2011 模拟）已知抛物线 2 1y x x 与 x 轴的一个交点为 ( 0)m， ，则代数
式 2 2008m m 的值为＿＿＿＿＿＿＿．
答案：2009
10.（浙江杭州进化 2011 一模）老师给出一个 y 关于 x 的函数，甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数
的一个性质：甲：函数图象不经过第三象限；乙：函数图象经过第一象限；丙：当 x<2 时，y 随 x 的增大
而减小；丁：当 x<2 时 y>0.已知这四位同学叙述都正确。请写出满足上述所有性质的一个函数
第 7 题
______________.
答案：答案不唯一.例如： 2( 2) 1y x
11．（2011 北京四中模拟）如图示：己知抛物线 1C ， 2C 关于 x 轴 对
称，抛物线 1C ， 3C 关于 y 轴对称。如果抛物线 2C 的解析式是
( )23y=- 2 14 x- + ，那么抛物线 3C 的解析式是
12．（江西省九校 2010—2011 第一次联考）将抛物线 22y x 向下平移 1 个单位，得到的抛物线
是 ．
答案：y＝2x2-1
13．（北京四中 2011 中考模拟 12）一个函数具有下列性质：①它的图象不经过第三象限；②图象经过点（－
1，1）；③当 1x 时函数值 y 随自变量 x 增大而增大.试写出一个满足上述三条性质的函数的解析
式 。
答案： 212( 2), ( 0), ( 2)y x x y x y xx
≥ 等（写一个即可）
14．（北京四中 2011 中考模拟 13）把抛物线 2xy 向上平移 2 个单位，那么所得抛物线与 x 轴的两个交
点之间的距离是 .
答案： 22 ；
15．（北京四中 2011 中考模拟 14）抛物线 y=(k+1)x 22 k -9 开口向下,且经过原点,则 k=_____.
答案：-3;
y
x
3C
O
1C
2C
第 11 题
图
二、解答题
A 组
1、（衢山初中 2011 年中考一模）如图，在平面直角坐标系中，点 A，B，C 的坐标分别
为 (0 2) (3 2) (2 3)，，，，， ．
（1）请在图中画出 ABC△ 向下平移 3 个单位的像 A B C △ ；
（2）若一个二次函数的图象经过（1）中 A B C △ 的三个顶点，
求此二次函数的关系式．
xO
y
A
C
B
答案：20、（1）
xO
y
A
C
BA
C
B
（2）由题意得 , ,A B C 的坐标分别是（0，-1），（3，-1），（2，0）
设过点 , ,A B C 的二次函数的关系式为 2y ax bx c ，则有
1
9 3 1
4 2 0
c
a b c
a b c
解得 1 3, , 12 2a b c
∴二次函数的关系式为 21 3 12 2y x x
2、(中江县 2011 年初中毕业生诊断考试)
如图，在平面直角坐标系中，开口向下的抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，D 是抛物线的顶点，O 为坐标
原点. A、B 两点的横坐标分别是方程 01242 xx
的两根，且 cos∠DAB＝
2
2 .
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）作 AC⊥AD，AC 交抛物线于点 C，求点 C 的坐标及直线 AC 的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，在 x 轴上方的抛物线上是否存在一点 P，使△APC 的面积最大？如果存在，请求
出点 P 的坐标和△APC 的最大面积；如果不存在，请说明理由.
答案：（10 分）解：（1）解方程 01242 xx 得 61 x ， 22 x .
∴A（－2，0），B（6，0）.
过 D 作 DE⊥x 轴于 E， ∵D 是顶点，
∴点 E 是 AB 的中点，∴E（2，0）.
在 Rt△DAE 中，∵cos∠DAB＝
2
2 ，∴∠DAE＝45°，
∴AE＝DE＝4，∴D（2，4）
（由 A、B、D 三点坐标解出二次函数解析式，不论用顶点式、两根式还是一般式均可）
∴抛物线的解析式为 4)2(4
1 2 xy （或写成 34
1 2 xxy ）.
（2）∵AC⊥AD，由（1）∠DAE＝45°得：
∠BAC＝45°，△ACG 是等腰直角三角形.
∴设 C（a，b）（显然 a＞0，b＜0），
则 b＝―a―2，即 C（a，―a―2）
∵点 C 在抛物线上，∴―a―2＝―
4
1 （a―2）2＋4
a2―8a―20＝0
解之得：a1＝10，a2＝－2（舍去）
∴C（10，－12）
设直线 AC 的方程为 nmxy ，代入 A、C 的坐标，得
.1012
,20
nm
nm 解之得：
.2
,1
n
m
∴直线 AC 的解析式为 y＝―x―2.
（3）存在点 P（4，3），使 S△APC 最大＝54.
理由如下：
作 CG⊥x 轴于 G，PF∥y 轴交 x 轴于 Q，交 AC 于 F. 设点 P 的横坐标是 h，
则 G（10，0），P（h， 4)2(4
1 2 h ），F（h，－h－2）
∴PF＝ 524
1)2(4)2(4
1 22 hhhh
△PCF 的高等于 QG .
S△APC＝S△APF＋S△PCF
＝
2
1 PF·AQ＋
2
1 PF·QG
＝
2
1 PF（AQ＋QG）＝
2
1 PF·AG
＝ 12)524
1(2
1 2 hh
＝ 54)4(2
3 2 h
∴当 h＝4 时，S△APC 最大＝54. 点 P 的坐标为（4，3）.
3、（2011 年北京四中四模）已知二次函数的图象经过点（－1，－5），（0，－4）和（1，1）.求这个二次
函数的解析式.
答案：设所求函数的解析式为 ,2 cbxaxy 把（―1，―5），（0，－4），（1，1）分别代入，得
.1
,4
,5
cba
c
cba
， 解这个方程组，得
.4
,3
,2
c
b
a
所求的函数的解析式为 432 2 xxy
4、（2011 北京四中模拟 7）已知二次函数 y ax bx c a b a c 2 2 2 20 4 0，其中 ， ，它的图象与 x
轴只有一个交点，交点为 A，与 y 轴交于点 B，且 AB=2 .
(1)求二次函数解析式；
(2)当 b<0 时，过 A 的直线 y=x＋m 与二次函数的图象交于点 C，在线段 BC 上依次取 D、E 两点，若
DE BD EC2 2 2 ，试确定DAE 的度数，并简述求解过程。
答案 解法一：(1)∵ y ax bx c 2 的图象与 x 轴只有一个交点
∴一元二次方程 ax bx c2 ＝0 有两个相等的实数根 b ac2 4 0
又b a c2 2 24 0 4 4 02 2a c ac
由 AB=2，得 A 与 B 不重合，又 a>0 ∴c>0 ∴ac=1
∴二次函数与 x 轴，y 轴交点坐标为 A a B c A a B c( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 1 0 0， ， ， 或 ， ， ，
在 RtABO 中， OA OB AB OA a a OB c AB2 2 2 1 1 2 ， ， ，
( ) ( )1 4 1 4 22 2 2 2 2
a c a c a，整理得
把(1)代入(2)，解得 a a 2
2
2
2
或 舍( ) 把 a c 2
2 1 2代入 得( )
二次函数解析式为 222
2222
2 22 xxyxxy 或
(2)当 b<0 时，由二次函数的解析式
y x x x A B 2
2 2 2 2
2 2 2 0 0 22 2( ) ( ) ( )，得 ， ， ，
解得由
，过点直线又
2
222
2
2
2
)02(
2
xy
xxy
xy
m
Amxy
直线与二次函数图象交点 C 的坐标为 ( )2 2 2，
过 C 点作 CF︿x 轴，垂足为 F，可推得 AB=AC，BAC=90(如图所示)
y
B D E C
1 2 M
O A F x
在 CF 上截取 CM=BD，连结 EM、AM，则 EC CM EM2 2 2
CE BD DE
EM DE
2 2 2
可证 ABD≌ACM 从而可证 DAE≌MAE
∴∠1=∠2，∠DAE=∠EAM ∴∠DAM=∠BAC=90 ∴∠DAE=45
5、（2011 北京四中模拟 8）如图，在直角坐标系 xOy 中，正方形 OABC 的边长为 2cm，点 A、C 分别在 x
轴、y 轴的正半轴上。抛物线 cbxxy 2 经过点 B、C。
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 D、E 分别是 AB、BC 上的动点，且点 D 从点 A 开始，以
1cm/s 的速度沿 AB 向点 B 移动，同时点 E 从点 B 开始，以 1cm/s
的速度沿 BC 向点 C 移动。运动 t 秒（t≤2）后，能否在抛物线
上找到一点 P，使得四边形 BEDP 为平行四边形。如果能，请求
出 t 值和点 P 的坐标；如果不能，请说明理由。
答案
222 xxy ;能,
2
173 t ,P
2
317,2
117
6、（2011 淮北市第二次月考五校联考）已知，二次函数 y=x2+bx+c 的图象过点 A（－1，0）和点 B（3，0）
两点，且与 y 轴交于点 C，
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△ABC 的面积。
答案 解：(1)y＝(x+1)(x-3)=x2-2x-3 ………………2 分
(2)AB=3-(-1)=4 ………………4 分
S△ABC=
2
1 ×4×3=6 ………………8 分
7、（2011 淮北市第二次月考五校联考）丁丁推铅球的出手高度为 1.6m，在如图所示的直角坐标系中，铅
球运动路线是抛物线 y=－0.1（x－k）2+2.5，求铅球的落点与丁丁的距离。
答案 y=0.1 x2+0.2kx-0.1k2+2.5 ………………2 分
-0.1k2+2.5=1.6 k＝±3 k＝3 ………………4 分
0.1（x－3）2+2.5=0 x1=－2(舍去) x2=8
所以, 铅球的落点与丁丁的距离为 8cm. ………………8 分
8．（淮安市启明外国语学校 2010－2011 学年度第二学期初三数学期中试卷）如图所示，在平面直角坐标
系中，抛物线 y=ax2+bx+3（a≠0）经过 ( 1 0)A ， 、 (3 0)B ， 两点，抛物线与 y 轴交点为 C，其顶点为 D，
连接 BD，点 P 是线段 BD 上一个动点（不与 B、D 重合），过点 P 作 y 轴的垂线，垂足为 E，连接 BE．
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点 D 的坐标；
（2）如果 P 点的坐标为（x，y），△PBE 的面积为 s，求 s 与 x 的函数关系式，写出自变量 x 的取值范围，
并求出 s 的最大值；
（3）在（2）的条件下，当 s 取得最大值时，过点 P 作 x 的垂线，垂足为 F，连接 EF，把△PEF 沿直线
EF 折叠，点 P 的对应点为 P＇，请直接写出 P＇点坐标，并判断点 P＇是否在该抛物线上．
答案：（1）抛物线解析式为： 2 2 3y x x ． 顶点 D 的坐标为 (1 4)， ．
（2）设直线 BD 解析式为： y kx b （ 0k ），把 B D、 两点坐标代入，
得 3 0
4.
k b
k b
，
解得 2 6k b ， ．∴直线 AD 解析式为 2 6y x ．
，s=1
2
PE·OE 21 1 1 ( 2 6) 32 2 2s PE OE xy x x x x ∴ 2 3 (1 3)s x x x
2
2 9 9 3 93 4 4 2 4s x x x
．
∴当 3
2x 时， s 取得最大值，最大值为 9
4
．
（3）当 s 取得最大值， 3
2x ， 3y ，∴ 3 32P
， ．
∴四边形 PEOF 是矩形．
作点 P 关于直线 EF 的对称点 P，连接 P E P F 、 ．
过 P作 P H y ⊥ 轴于 H ， P F 交 y 轴于点 M ．
设 MC m ，则 33 2MF m P M m P E ， ， ．
在 Rt P MC△ 中，由勾股定理，
1
123 1 2 3
3
1
Dy
C
BA
P
2E
xO
第 8 题图
(E)
1
123 1 2 3
3
1
D
y
C
BA
P
2
xO F
P
M
H
2
2 23 (3 )2 m m
．解得 15
8m ．
∵CM P H P M P E ，∴ 9
10P H ．
由 EHP EP M △ ∽△ ，可得 EH EP
EP EM
， 6
5EH ．
∴ 6 93 5 5OH ． ∴ P坐标 9 9
10 5
， ． 不在抛物线上。
9．（2011 年浙江省杭州市城南初级中学中考数学模拟试题）已知二次函数 2y ax bx c 的图象 Q 与 x 轴有
且只有一个交点 P，与 y 轴的交点为 B（0，4），且 ac＝b，
（1）求这个二次函数的解析式。
（2）将一次函数 y＝－3x 的图象作适当平移，使它经过点 P，记所得的图象为 L，图象 L 与 Q 的另一个
交点为 C，请在 y 轴上找一点 D，使得△CDP 的周长最短。
答案：（1）由 B（0，4）得，c=4.
Q 与 x 轴的交点 P（
2
b
a
，0），
由条件 ac b ，得 b ca
，所以
2
b
a
= 22
c ，即 P（ 2 ，0）．
所以 4 ,
4 2 4 0.
b a
a b
解得 1,
4.
a
b
所求二次函数的解析式为 2 4 4y x x ．
（2）设图象 L 的函数解析式为 y= 3 x+b，因图象 L 过点 P（ 2 ，0），
所以 6b ，即平移后所得一次函数的解析式为
y= 3 6x ．
令 3 6x = 2 4 4x x ，
解得 1 2x ， 2 5x ．
将它们分别代入 y= 3 6x ，
得 1 0y ， 2 9y ．
OP
B
C
x
y
P’
D
所以图象 L 与 Q 的另一个交点为 C（ 5 ，9）．
∵点 P（ 2 ，0）关于 y 轴的对称点为点 P’（2，0）
则直线 CP’的解析式为 9 18
7 7y x ，且与 y 轴的交点为 18(0 , )7D
即 y CDPC在 轴上使得 最小的点是 18(0 , )7D
10．（2011 年上海市卢湾区初中毕业数学模拟试题）已知：抛物线 2y ax bx c 经过点 0,0O ， 7,4A ，
且对称轴l 与 x 轴交于点 5,0B .
（1）求抛物线的表达式；[来源:学科网 ZXXK]
（2）如图，点 E 、 F 分别是 y 轴、对称轴l 上的点，且四边形 EOBF 是矩形，点 55, 2C
是 BF 上一点，
将 BOC 沿着直线 OC 翻折， B 点与线段 EF 上的 D 点重合，求 D 点的坐标；
（3）在（2）的条件下，点G 是对称轴l 上的点，直线 DG 交 CO 于点 H ， : 1: 4DOH DHCS S ，求G 点坐
标.
O B
C
DE F
x
y
(第 3 题图)
l
答案：（1）由题意得
5,2
0,
49 7 4
b
a
c
a b c
解，得
4 ,21
40 ,21
0.
a
b
c
∴ 24 40
21 21y x x .
（2）∵ BOC 与 DOC 重合， 55, 2OB BC ，∴ 55, 2BO DO CD BC ， 90OBC ODC ，
∴ 90EDO FDC ，又 90EDO EOD ，
∴ EOD FDC ，∵ 90OED DFC ，∴ EOD ∽ FDC ，
∴ 5 25
2
ED EO OD
FC DF CD
，
∵四边形 OEFB 是矩形，∴ EF OB ， EO FB ，
设 FC x ，则 2 , 5 2ED x DF x ，∴ 10 4EO x ，
∴ 510 4 2x x ，解，得 3
2x ，∴ 3, 4ED EO ，∴ 3,4D .
（3）过点 H 作 HP OB ，垂足为点 P .
∵ : 1: 4DOH DHCS S ，∴ 1
4
DOH
DHC
S OH
S HC
，
∵ HP OB ， CB OB ，∴ HP ∥ BC ，
∴ 1
5
OH OP PH
OC OB BC
，∴ 11, 2OP PH ，∴ 11, 2H
.
∴经过点 3,4D ， 11, 2H
的直线 DG 的表达式为 7 5
4 4y x ，
∴ 155, 2G
.
11．（ 2010－2011 学年度河北省三河市九年级数学第一次教学质量检测试题） 如图 1，已知抛物线经过坐
标原点 O 和 x 轴上另一点 E，顶点 M 的坐标为 (2,4)；矩形 ABCD 的顶点 A 与点 O 重合，AD、AB 分别
在 x 轴、y 轴上，且 AD=2，AB=3.
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）将矩形 ABCD 以每秒 1 个单位长度的速度从图 1 所示的位置沿 x 轴的正方向匀速平行移动，同时
一动点 P 也以相同的速度．．．．．从点 A 出发向 B 匀速移动，设它们运动的时间为 t 秒（0≤t≤3），直线
AB 与 该 抛物线的交点为 N（如图 2 所示）.
① 当 t=
2
5 时，判断点 P 是否在直线 ME 上，并说明理由；
② 设以 P、N、C、D 为顶点的多边形面积为 S，试问 S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大
值；若不存在，请说明理由．
图 2
BC
O AD E
My
x
P
N
·
图 1
BC
O (A)D E
M
y
x
_M
_A
_B
_O
_x
_y
第 1 题图
答案：（1） xxy 42
（2）①点 P 不在直线 ME 上
②依题意可知：P（t ,t ），N（t ， tt 42 ）
当 0＜t＜3 时，以 P、N、C、D 为顶点的多边形是四边形 PNCD，依题意可得：
PNCPCD SSS = ODCD
2
1 + BCPN
2
1 = 232
1 + 242
1 2 ttt = 332 tt
=
4
21)2
3( 2 t
∵抛物线的开口方向向下，∴当t =
2
3 ，且 0＜t＝
2
3 ＜3 时， 最大S =
4
21
当 03或t 时,点 P、N 都重合，此时以 P、N、C、D 为顶点的多边形是三角形
依题意可得， ABCDSS 矩形2
1 = 322
1 =3
综上所述，以 P、N、C、D 为顶点的多边形面积 S 存在最大值
4
21 ．
12、(2011 浙江杭州模拟 15)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 4-2-2 xxy 与直线 xy 交于点 A、B，M 是抛物线上一个动点，
连接 OM。
（1） 当 M 为抛物线的顶点时，求△OMB 的面积；
（2） 当点 M 在抛物线上，△OMB 的面积为 10 时，求点 M 的坐标；
（3） 当点 M 在直线 AB 的下方且在抛物线对称轴的右侧，M
运动到何处时，△OMB 的面积最大；
答案：
13、（2011 年北京四中中考模拟 20）(本题 14 分)已知直角梯形纸片 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图
所示，四个顶点的坐标分别为 O(0，0)，A(10，0)，B(8， 32 )，C(0， 32 )，点 T 在线段 OA 上(不与线
段端点重合)，将纸片折叠，使点 A 落在射线 AB 上(记为点 A′)，折痕经过点 T，折痕 TP 与射线 AB 交于
点 P，设点 T 的横坐标为 t，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为 S；
(1)求∠OAB 的度数，并求当点 A′在线段 AB 上时，S 关于 t 的函数关系式；
(2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求 t 的取值范围；
(3)S 存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时 t 的值；若不存在，请说明理由。
解：(1) ∵A，B 两点的坐标分别是 A(10，0)和 B(8， 32 )，
∴ 3810
32OABtan ，
∴ 60OAB
当点 A´在线段 AB 上时，∵ 60OAB ，TA=TA´，
∴△A´TA 是等边三角形，且 ATTP ，
∴ )t10(2
360sin)t10(TP ， )t10(2
1AT2
1APPA ，
∴ 2
TPA )t10(8
3TPPA2
1SS ，
当 A´与 B 重合时，AT=AB= 460sin
32
，
所以此时 10t6 。
(2)当点 A´在线段 AB 的延长线，且点 P 在线段 AB(不与 B 重合)上时，
纸片重叠部分的图形是四边形(如图(1)，其中 E 是 TA´与 CB 的交点)，
当点 P 与 B 重合时，AT=2AB=8，点 T 的坐标是(2，0)
y
x
O
BC
AT
y
x
O
BC
AT
A
A´
B
P
T
EC
O
y
x
A´
AT
C
O
y
x
P
F
又由(1)中求得当 A´与 B 重合时，T 的坐标是(6，0)
所以当纸片重叠部分的图形是四边形时， 6t2 。
(3)S 存在最大值
○1 当 10t6 时， 2)t10(8
3S ，
在对称轴 t=10 的左边，S 的值随着 t 的增大而减小，
∴当 t=6 时，S 的值最大是 32 。
○2 当 6t2 时，由图○1 ，重叠部分的面积 EBATPA SSS
∵△A´EB 的高是 60sinBA ，
∴
2
3)4t10(2
1)t10(8
3S 22
34)2t(8
3)28t4t(8
3 22
当 t=2 时，S 的值最大是 34 ；
○3 当 2t0 ，即当点 A´和点 P 都在线段 AB 的延长线是(如图○2 ，其中 E 是 TA´与 CB 的交点，F 是
TP 与 CB 的交点)，
∵ ETFFTPEFT ，四边形 ETAB 是等腰形，∴EF=ET=AB=4，
∴ 343242
1OCEF2
1S
综上所述，S 的最大值是 34 ，此时 t 的值是 2t0 。
14、（2011 年北京四中中考模拟 18） 已知二次函数 bxaxy 2 的图
象经过点（2，0）、（－1，6）。
（1）求二次函数的解析式；
（2）画出它的图象；
（3）写出它的对称轴和顶点坐标。
解：（1）依题意，得：
6
024
ba
ba ，解得：
4
2
b
a
所以，二次函数的解析式为：y＝2x2－4x
图 5
BE
（2）（图略）；（3）对称轴为 x＝1，顶点坐标为（1，－2）。
15、（2011 年北京四中中考模拟 19）（本小题满分 6 分）
已知抛物线与 x 轴交于 A（－1，0）和 B（3，0）两点，且与 y 轴交于点 C（0，3）。
（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴方程和顶点 M 坐标；（3）求四边形 ABMC 的面积。
解：（1）y=—x2+2x+3；（2）x=1，M（1，4），（3）9；
16、（北京四中模拟）
已知：二次函数 2 ( 0)y ax bx c a 的图象与 X 轴交于 A（1，0）、B（5，0），抛物线的顶点为 P，
且 PB= 2 5 ，
求：（1）二次函数的解析式。
（2）求出这个二次函数的图象；
（3）根据图象回答：当 x 取什么值时，y 的值不小于 0。
解（1）由题意，设二次函数的解析式为 y=a(x-1)(x-5),即 y=ax2-6ax+5a
对称轴为 x=3，设对称轴与 x 轴的交点为 C(3,0)
∴OC=3 ∵OB=5 ∴BC=2
∵P 是顶点，BP= 2 5 ∴PC=4 P（3，-4）
∴ 23 6 3 5 3 4a a ∴ 19
9a
∴二次函数的解析式为 219 144 95
9 9 9y x
（2）略 （3）当 11
∴美丽抛物线的顶点只有 B1B2.
①若 B1 为顶点，由 B1(1,
12
7 )，则 d=1-
12
7 =
12
5
②若 B2 为顶点，由 B2(2,
12
11 )，则 d=1-
1)12
112( =
12
11
综上所述，d 的值为
12
5 或
12
11 时，存在美丽抛物线。
2. （2011 浙江慈吉 模拟）已知如图, 四边形 ABCD 是平行四边形, A、B 均在 x 轴上, 点 C 的坐标是(6, 3),
AD 所在的直线的解析式为 1 xy .
(1)求 A、B、D 的坐标；
(2)以 D 为顶点的抛物线经过点 B, 若将抛物线向上平移 m ( 0m )个单位后经过点 A, 求原抛物线的解
析式及 m 的值.
答案：
（1）当 0y 时， 01 x ，得 1x
点 A 的坐标为（ 0,1 ）
四边形 ABCD 是平行四边形
AB∥CD，AB=CD
3 CD yy
31 x 得 2x
点 D 的坐标为（ 3,2 ）
AB=CD= 4 DC xx
点 B 的坐标是（ 0,3 ）
（2）设原抛物线的解析式为 3)2( 2 xay
把点 B 的坐标（ 0,3 ）代入得 03)23( 2 a
3a
原抛物线的解析式为 3)2(3 2 xy
设原抛物线向上平移 m 个单位后的解析式为 mxy 3)2(3 2
把点 A（ 0,1 ）代入得 0327 m
24m
3．（ 2011 年杭州三月月考）如图，已知抛物线与 x 轴交于点 ( 2 0)A ， ， (4 0)B ， ，与 y 轴交于点 (0 8)C ， ．
（1）求抛物线的解析式及其顶点 D 的坐标；
（2）设直线 CD 交 x 轴于点 E ．在线段OB 的垂直平分线上是否存在点 P ，使得点 P 到直线CD 的距
离等于点 P 到原点O 的距离？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）过点 B 作 x 轴的垂线，交直线CD 于点 F ，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段 EF 总有
公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？
答案：
（1）设抛物线解析式为 ( 2)( 4)y a x x ，把 (0 8)C ， 代入得 1a ．
2 2 8y x x 2( 1) 9x ， 顶点 (19)D ，
（2）假设满足条件的点 P 存在，依题意设 (2 )P t， ，
由 (0 8) (19)C D，， ， 求得直线CD 的解析式为 8y x ，
它与 x 轴的夹角为 45 ，设OB 的中垂线交CD 于 H ，则 (210)H ， ．
则 10PH t ，点 P 到CD 的距离为 2 2 102 2d PH t ．
又 2 2 22 4PO t t ．
2 24 102t t ．
平方并整理得： 2 20 92 0t t
10 8 3t ．
存在满足条件的点 P ， P 的坐标为 (2 10 8 3) ， ．
（3）由上求得 ( 8 0) (412)E F ，， ， ．
①若抛物线向上平移，可设解析式为 2 2 8 ( 0)y x x m m ．
A B
C
O x
y
当 8x 时， 72y m ．
当 4x 时， y m ．
72 0m ≤ 或 12m ≤ ．
0 72m ≤ ．
②若抛物线向下移，可设解析式为 2 2 8 ( 0)y x x m m ．
由
2 2 8
8
y x x m
y x
，
有 2 0x x m ．
1 4 0m ≥△ ， 10 4m ≤ ．
向上最多可平移 72 个单位长，向下最多可平移 1
4
个单位长．
４．（2011 年三门峡实验中学 3 月模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 cbxxy 2 的图象与
x 轴交于 A、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与 y 轴交于 C（0，-3）点，点 P 是直线
BC 下方的抛物线上一动点.
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连结 PO、PC，并把△POC 沿 CO 翻折，得到四边形 POＰ ' C， 那么是否存在点 P，使四边形 POＰ ' C
为菱形？若存在，请求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点 P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大并求出此时 P 点的坐标和四边形 ABPC 的最大
面积.
答案：
解：（1）将 B、C 两点的坐标代入得
3
03
c
cb
解得：
3
2
c
b
所以二次函数的表达式为： 322 xxy ．
A B
C
O x
y
D
F
H
P
E
（2）存在点 P，使四边形 POP /
C 为菱形．设 P 点坐标为（x， 322 xx ），
PP /
交 CO 于 E
若四边形 POP /
C 是菱形，则有 PC＝PO．
连结 PP /
则 PE⊥CO 于 E，
∴OE=EC= 2
3
∴ y =
2
3 ．
∴ 322 xx =
2
3
解得 1x =
2
102 ， 2x =
2
102 （不合题意，舍去）
∴P 点的坐标为（
2
102 ，
2
3 ）
（3）过点 P 作 y 轴的平行线与 BC 交于点 Q，与 OB 交于点 F，
设 P（x， 322 xx ），
易得，直线 BC 的解析式为 3 xy
则 Q 点的坐标为（x，x－3）.
FBQPOFQPOCABSSSS CPQBPQABCABPC 2
1
2
1
2
1
四边形
3)3(2
1342
1 2 xx
=
8
75
2
3
2
3 2
x
当
2
3x 时，四边形 ABPC 的面积最大
此时 P 点的坐标为
4
15,2
3 ，四边形 ABPC 的面积
8
75的最大值为 ．
5.（2011 浙江杭州义蓬一模）如图①， 已知抛物线 32 bxaxy （a≠0）与 x 轴交于点 A(1，0)和点 B
(－3，0)，与 y 轴交于点 C．
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 设抛物线的对称轴与
x 轴交于点 N ，问在对称
轴上是否存在点 P，使△
CNP 为等腰三角形？若存
在，请直接写出所有符合
条件的点 P 的坐标；若不
存在，请说明理由．
(3) 如图②，若点 E 为第
三象限抛物线上一动点，
连接 BE、CE，求四边形 BOCE 面积的最大值，并求此时 E 点的坐标.
答案：
2
-2
-4
-6
-8
-10
-5
5
10
15
y
x
0
C
N A B
-10
-5
5
10
15
2
-2
-4
-6
-8
y
x
0
C
A B
图① 图②
如图①， 已知抛物线 32 bxaxy （a≠0）与 x 轴交于点 A(1，0)和点 B (－3，0)，与 y 轴交于点 C．
(1) y=x 2 +2x-3
(2)P(-1, 10 ),P(-1,- 10 ),P(-1,-6),P(-1,-
3
5 )
(3) S=1/2×3×(-x 2 -2x+3)+ 1/2×3×(-x)
S=-3/2(x+3/2) 2 +63/8
X=-3/2 , S=63/8
E(-3/2,-15/4)
6. （2011 广东南塘二模）已知抛物线 y＝ 23
4
3
2 2 xx
（1）求抛物线与坐标轴的交点坐标；
（2）不列表画出大致图象，根据图象求当 y＜0 时自变量 x 的取值范围。
答案：（1）(－1，0)、(3，0)、(0，－2)
（2）－1＜x＜3
7.（浙江杭州金山学校 2011 模拟）（根据杭州启正中学 2010 学年第二学期九下期初摸底卷第 14 题改编）
已知关于 x 的函数 2( 1) 4y k x x k 的图像与坐标轴只有 2 个交点，求 k 的值.
答案：解：分情况讨论：
（ⅰ） 1 0k 时，得 1k . 此时 4 1y x 与坐标轴有两个交点，符合题意.
（ⅱ） 1 0k 时，得到一个二次函数.
1 抛物线与 x 轴只有一个交点， 16 4 ( 1) 0k k 解得 1 17
2k
② 抛物线与 x 轴有两个交点，其中一个交点是（0,0）
把（0,0）带入函数解析式，易得 0k
8 ．（ 2011 年 海 宁 市 盐 官 片 一 模 ） 如 图 ， 抛 物 线
y
xO
A B
C
2 4y ax bx a 经过 ( 1 0)A ， 、 (0 4)C ， 两点，与 x 轴交于另一点 B ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点 ( 1)D m m ， 在第一象限的抛物线上，求点 D 关于直线 BC 对称的点的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接 BD ，点 P 为抛物线上一点，且 45DBP °，求点 P 的坐标．
答案：解：（1）抛物线 2 4y ax bx a 经过 ( 1 0)A ， ， (0 4)C ， 两点，
4 0
4 4.
a b a
a
，
解得 1
3.
a
b
，
抛物线的解析式为 2 3 4y x x ．
（2）点 ( 1)D m m ， 在抛物线上， 21 3 4m m m ，
即 2 2 3 0m m ， 1m 或 3m ．
点 D 在第一象限，点 D 的坐标为 (3 4)， ．
由（1）知 45OA OB CBA ， °．
设点 D 关于直线 BC 的对称点为点 E ．
(0 4)C ， ， CD AB ∥ ，且 3CD ，
45ECB DCB °，
E 点在 y 轴上，且 3CE CD ．
1OE ， (01)E ， ．
即点 D 关于直线 BC 对称的点的坐标为（0，1）．
（3）作 PF AB⊥ 于 F ， DE BC⊥ 于 E ．
由（1）有： 4 45OB OC OBC ， °，
45DBP CBD PBA °， ．
(0 4) (3 4)C D ，， ， ， CD OB ∥ 且 3CD ．
45DCE CBO °，
y
xO
A B
C D
EP
F
y
xO
A B
C D
E
y
xO 4
8
－8
－4
3 2
2DE CE ．
4OB OC ， 4 2BC ， 5 2
2BE BC CE ，
3tan tan 5
DEPBF CBD BE
．
设 3PF t ，则 5BF t ， 5 4OF t ，
( 5 4 3 )P t t ， ．
P 点在抛物线上，
23 ( 5 4) 3( 5 4) 4t t t ，
0t （舍去）或 22
25t ， 2 66
5 25P
， ．
9．（赵州二中九年级七班模拟）已知抛物线 y＝(k－1)x2＋2kx＋k－2 与 x 轴有两个不同的交点。
(1)求 k 的取值范围；
(2)当 k 为整数，且关于 x 的方程 3x＝kx－1 的解是负数时，求抛物 线的解
析式；
(3)在(2)的条件下，若在抛物线和 x 轴所围成的封闭图形内画出一 个最大
的正方形，使得正方形的一边在 x 轴上，其对边的两个端点在抛物线 上，试求
出这个最大正方形的边长。
答案：
解：(1)△ 24 4( 1)( 2)k k k 12 8k ，
依题意，得 12 8 0,
1 0.
k
k
∴ k 的取值范围是 2
3k 且 1k ． ①
(2)解方程3 1x kx ，得
1
3x k
．
∵方程3 1x kx 的解是负数，
∴3 0k ． ∴ 3k ． ②
综合①②，及 k 为整数，可得 2k ．
∴抛物线解析式为 2 4y x x ．
(3)如图，设最大正方形 ABCD 的边长为 m，则 B、C 两点的纵坐标为 m ，
且由对称性可知：B、C 两点关于抛物线对称轴对称．
∵抛物线的对称轴为： 2x ．
∴点 C 的坐标为 ( 2 , )2
m m ．
∵C 点在抛物线上，
∴ 2( 2 ) 4( 2 )2 2
m m m ．
整理，得 2 4 16 0m m ．
∴ 4 4 5 2 2 52m (舍负)
∴ 2 5 2m ．
2011 中考模拟分类汇编：二次函数的应用
三、选择题
1. （2011 年北京四中中考全真模拟 15）某兴趣小组做实验，将一个装满水的酒瓶倒 置，并设法使瓶里的
水从瓶口匀速流出，那么该倒置酒瓶内水面高度 h 随水流出时。水面高度 h 与水流时间 t 之间关系的函
数图象为（ ）
（第 1 题）
答案：B
2.（浙江杭州靖江 2011 模拟）我们知道，根据二次函数的平移规律，可以由简单的函数通过平移后得到
较复杂的函数，事实上，对于其他函数也是如此。如一次函数，反比例函数等。请问
1
23
x
xy 可以由
xy 1
通过_________________________平移得到。（原创）
答案：向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位
3、（2011 年黄冈市浠水县）如图，已知：正方形 ABCD 边长为 1，E、F、G、H 分别为各边上的点，且 AE=BF=CG=DH,
设小正方形 EFGH 的面积为s ，AE 为 x ，则s 关于 x 的函数图象大致是（ ）
答案：B
四、填空题
1、如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽 AB＝1.6m，涵洞顶点 O 到水面的距离 CO 为 2.4m，
在图中直角坐标系内，涵洞截面所在抛物线的解析式是___ _______．
答案： 215
2y x
2．（2011 北京四中一模）函数 y=ax2 －ax＋3x＋1 的图象与 x 轴有且只有一个交点，那么 a 的值
为 ．
答案：a＝0，a=1，a＝9
3.（2011 灌南县新集中学一模）抛物线 2axy 与直线 2y x 交于（1， m ），则 a = .
(D)
答案： -2
4.（2011 灌南县新集中学一模）已知点 A（ m ，0）是抛物线 2 2 1y x x 与 x 轴的一个交点，则代数
式 2 2 2007m m 的值是 ．
答案： 2008
5、（2011 年黄冈市浠水县）如图，半圆 A 和半圆 B 均与 y 轴相切于 O，其直径
CD、EF 和 x 轴垂直，以 O 为顶点的两条抛物线分别经过点 C、E 和 D、F，
则图中阴影部分面积是：_________.
答案：
6、（2011 年浙江杭州 27 模）如图，AB 是半图的直径，C 为 BA
延长线上的一点，CD 切半圆于点 E。已知 OA＝1，设 DF＝x， AC ＝
y，则 y 关于 x 的函数解析式是_____________。
答案：
x
xy
1
解答题
A 组
1、（2011 重庆市纂江县赶水镇）已知：抛物线 cbxxy 2 的对称轴是 x=2,且经过点 A(1,0)，且与 x 轴
的另一个交点为 B，与 y 轴交于点 C.
（1）确定此二次函数的解析式及顶点 D 的坐标；
（2）将直线 CD 沿 y 轴向下平移 3 个单位长度，求平移后直线 m 的解析式；
（3）在直线 m 上是否存在一点 E，使得以点 E、A、B、C 为顶点的四边形是梯形，如果存在，求出满足
条件的 E 点的坐标，如果不存在，说明理由.
答案：.解：(1)抛物线 cbxxy 2 的对称轴是 x=2,且经过点 A(1,0)
22
b
2
0=1+b+c
∴b=－4,c=3
∴y=x2－4x+3 [来源:学科网 ZXXK]
∴y=(x－2)2－1 ∴顶点 F 坐标（2，－1）…
(2) 设 CD 的解析式为：y=kx+b D(2,－1) C(0,3)
∴ 3= b
－1=2k+b
解得：k=－2,b=3
∴DC 的解析式为：y=－2x+3
设平移后直线 m 的解析式为：y=－2x+k
∵直线 CD 沿 y 轴向下平移 3 个单位长度
∴直线 m 经过原点
∴平移后直线 m 的解析式为：y=－2x
（3）过点 C 作 CE∥AB 交 M 于点 E
由 y=－2x
y=3
∴x=
2
3 ,y=3
∴E 点的坐标为(
2
3 ,3)
过点 A 作 E1A∥BC 交 m 于点 E1
设 CB 解析式为 y=kx+b
∵经过 B(3,0)，C（0，3）
∴CB 解析式为：y=－x+3
设 E1A 解析式为：y=－x+b
∵E1A 过点 A（1，0）
∴b=1
∴E1A 的解析式为 y=－x+1
∵y=－2x
∴x=－1,y=2
∴E1 点坐标为（－1，2）
过点 B 作 BE3∥AC，则可求 E3 坐标为：E3（9，－18）
－1 4
－3
A B
C
2、（2011 年北京四中五模）如图，已知二次函数 y＝ax 2 ＋bx+c 的图象与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点
C.
（1）写出 A、B、C 三点的坐标；
（2）求出二次函数的解析式.
解：（1）A、B、C 三点的坐标为 A（－1，0），B(4，0)，C(0，－3) （2 分）
（2）设解析式为：y＝a（x＋1）（x－4）（3 分）
∴－3＝a（0＋1）（0－4） a＝
4
3 （5 分）
∴y＝ 3x4
9x4
3 2 －－ （6 分）
3、(2011 年江阴市周庄中学九年级期末考)（本题 10 分）恩施州绿色、富硒产品和特色农产品在国际市场
上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地．上市时，外商李经理按市场价格 10 元/千克在该州收购了
2000 千克香菇存放入冷库中．据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨 0.5 元，但冷库存放这批香菇时
每天需要支出各种费用合计 340 元，而且香菇在冷库中最多保存 110 天，同时，平均每天有 6 千克的香菇
损坏不能出售．
（1）若存放 x 天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为 y 元，试写出 y 与 x 之间的函
数关系式．
（2）李经理想获得利润 22500 元，需将这批香菇存放多少天后出售？（利润＝销售总金额－收购成本
－各种费用）
（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？
解：（1）由题意得 y 与 x 之间的函数关系式为
y ＝ xx 620005.010
= 200009403 2 xx （1≤ x ≤110，且 x 为整数）
（不写取值范围不扣分）……….（3 分）
（2）由题意得： 200009403 2 xx -10×2000-340 x =22500
解方程得： 1x =50 2x =150（不合题意，舍去）
李经理想获得利润 2250 元需将这批香菇存放 50 天后出售。..........（6 分）
（2）设最大利润为W ，由题意得
W = 200009403 2 xx -10 ×2000-340 x
23( 100) 30000x ………（8 分）
当 100 时， 30000W 最大
100 天＜110 天
存放 100 天后出售这批香菇可获得最大利润 30000 元．……..（10 分）
4、（2011 北京四中模拟 6）如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽 AB 为 6 米，最高点离地面的
距离 OC 为 5 米．以最高点 O 为坐标原点，抛物线的对称轴为 y 轴，1 米为数轴的单位长度，建立平面直
角坐标系，求:（1）以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出 x 的取值范围；（2）有一辆宽 2.8
米，高 1 米的农用货车（货物最高处与地面 AB 的距离）能否通过此隧道？
答案 解：（1）设所求函数的解析式为 2axy ．
由题意，得 函数图象经过点 B（3，-5），
∴-5=9a．
∴
9
5a ．
∴所求的二次函数的解析式为 2
9
5 xy ．
x 的取值范围是 33 x ．
（2）当车宽 8.2 米时，此时 CN 为 4.1 米，对应
45
49
9
8.94.19
5 2 y ，
EN 长为
45
49 ，车高
45
451 米，∵
45
45
45
49 ，
∴农用货车能够通过此隧道.
5．（淮安市启明外国语学校 2010－2011 学年度第二学期初三数学期中试卷）某商店经销一种销售成本为
每千克 40 元的水产品，据市场分析，按每千克 50 元销售，一个月能售出 500 千克；若销售单价每涨 1
元，月销售量就减少 10 千克．针对这种水产品的销售情况，请回答下列问题：
(1)当销售单价定为每千克 65 元时，计算月销售量和月销售利润；
(2)销售单价定为每千克 x 元（x＞50），月销售利润为 y 元，求 y（用含 x 的代数式表示）
(3)月销售利润能达到 10000 元吗？请说明你的理由．
答案：（1）销量 500－ 101
5065 ＝350（千克）；利润（65－40）×350＝8750（元）
答：月销售量为 400 千克，月销售利润为 8750 元
O
x
y
A BC
（2）y= [500-(x-50)10](x-40)=(1000-10x)(x-40)= -10 2x +1400x-40000
（3）不能．由（2）知，y=-10 2)70( x +9000 当销售价单价 x＝70 时，月销售量利润最大为 9000 元.
6．（ 2010－2011 学年度河北省三河市九年级数学第一次教学质量检测试题） 一家计算机专买店 A 型计算
器每只进价 12 元，售价 20 元，多买优惠：凡是一次买 10 只以上的，每多买一只，所买的全部计算器
每只就降低 0.10 元，例如，某人买 20 只计算器，于是每只降价 0.10×（20-10）＝1（元），因此，所
买的全部 20 只计算器都按每只 19 元的价格购买．但是最低价为每只 16 元．
（1）求一次至少买多少只，才能以最低价购买？
（2）写出专买店当一次销售 x（x＞10）只时，所获利润 y 元）与 x（只）之间的函数关系式，并写出自
变量 x 的取值范围；
（3）一天，甲买了 46 只，乙买了 50 只，店主却发现卖 46 只赚的钱反而比卖 50 只赚的钱多，你能用
数学知识解释这一现象吗？为了不出现这种现象，在其他优惠条件不变的情况下，店家应把最低价
每只 16 元至少提高到多少？
答案：（1）设一次购买 x 只，则 20－ 0.1( 10)x 16，解得 50x ．
∴一次至少买 50 只，才能以最低价购买 ．
（2）当10 50x ≤ 时， 2[20 0.1( 10) 12] 0.1 9y x x x x
当 50x 时， (20 16) 4y x x ．
（3） 2 20.1 9 0.1( 45) 202.5y x x x ．
① 当 10＜x≤45 时， y 随 x 的增大而增大，即当卖的只数越多时，利润更大．
② 当 45＜x≤50 时， y 随 x 的增大而减小，即当卖的只数越多时，利润变小．
且当 46x 时，y1=202.4，
当 50x 时，y2=200．
y1＞y2．
即出现了卖 46 只赚的钱比卖 50 只嫌的钱多的现象．
当 45x 时，最低售价为 20 0.1(45 10) 16.5 （元）．
∴为了不出现这种现象，在其他优惠条件不变的情况下，店家应把最低价每只 16 元至少提高到 16.5 元 .
7、（2011 年浙江省杭州市模拟） 如图，抛物线 nmxxy 2
2
1 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，
四边形 OBHC 为矩形，CH 的延长线交抛物线于点 D（5，2），连结 BC、AD.
（1）求 C 点的坐标及抛物线的解析式；
（2）将△BCH 绕点 B 按顺时针旋转 90°后再沿 x 轴对折得到
△BEF（点 C 与点 E 对应），判断点 E 是否落在抛物线上，
并说明理由；
（3）设过点 E 的直线交 AB 边于点 P，交 CD 边于点 Q.
问是否 存 在点 P，使直线 PQ 分梯形 ABCD 的面积
为 1∶3 两部分？若存在，求出 P 点坐标；
若不存在，请说明理由。
答案：解：（1）∵四边形 OBHC 为矩形，∴CD∥AB，
又 D（5，2），
∴C（0，2），OC=2 . …………………………… 分
∴
2552
1
2
2 nm
n
解得
2
2
5
n
m
∴抛物线的解析式为： 22
5
2
1 2 xxy …… 2 分
（2）点 E 落在抛物线上. 理由如下：
由 y = 0，得 022
5
2
1 2 xx .
解得 x1=1，x2=4. ∴A（4，0），B（1，0）. ……………………………… 4 分
∴OA=4，OB=1.
由矩形性质知：CH=OB=1，BH=OC=2，∠BHC=90°，
由旋转、轴对称性质知：EF=1，BF=2，∠EFB=90°，
∴点 E 的坐标为（3，－1）. ………………………………………………… 5 分
把 x=3 代入 22
5
2
1 2 xxy ，得 1232
532
1 2 y ，
∴点 E 在抛物线上. …………………………………………………………… 6 分
（3）法一：存在点 P（a，0），延长 EF 交 CD 于点 G，易求 OF=CG=3，PB=a－1.
S 梯形 BCGF = 5，S 梯形 ADGF = 3，记 S 梯形 BCQP = S1，S 梯形 ADQP = S2，… 8 分
下面分两种情形：
①当 S1∶S2 =1∶3 时， 52)35(4
1
1 S ，
此时点 P 在点 F（3，0）的左侧，则 PF = 3－a，
由△EPF∽△EQG，得
3
1
EG
EF
QG
PF ，则 QG=9－3a，
∴CQ=3－(9－3a) =3a －6
由 S1=2，得 22)163(2
1 aa ，解得
4
9a ；………………… 10 分
②当 S1∶S2=3∶1 时， 56)35(4
3
1 S
此时点 P 在点 F（3，0）的右侧，则 PF = a－3，
由△EPF∽△EQG，得 QG = 3a－9，∴CQ = 3 +（3 a－9）= 3 a－6，
由 S1= 6，得 62)163(2
1 aa ，解得
4
13a .
综上所述：所求点 P 的坐标为（
4
9 ，0）或（
4
13 ，0）……… 12 分
法二：存在点 P（a，0）. 记 S 梯形 BCQP = S1，S 梯形 ADQP = S2，易求 S 梯形 ABCD = 8.
当 PQ 经过点 F（3，0）时，易求 S1=5，S2 = 3，
此时 S1∶S2 不符合条件，故 a≠3.
设直线 PQ 的解析式为 y = kx+b(k≠0)，则
0
13
bak
bk ，解得
3
3
1
a
ab
ak
，
∴
33
1
a
axay . 由 y = 2 得 x = 3a－6，∴Q（3a－6，2） …… 8 分
∴CQ = 3a－6，BP = a－1， 742)163(2
1
1 aaaS .
下面分两种情形：
①当 S1∶S2 = 1∶3 时， 84
1S4
1
ABCD1 梯形S = 2；
∴4a－7 = 2，解得
4
9a ；……………………………………………10 分
②当 S1∶S2 = 3∶1 时， 684
3S4
3
ABCD1 梯形S ；
∴4a－7 = 6，解得
4
13a ；
综上所述：所求点 P 的坐标为（
4
9 ，0）或（
4
13 ，0）………… 12 分
8、(2011 山西阳泉盂县月考)（10 分）一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品，每件的生产成本为
18 元，按定价 30 元出售，每月可销售 20 万件．为了增加销量，公司决定采取降价的办法，每降价 1
元，月销量可增加 2 万件．销售期间，要求销售单价不低于成本单价，且获利不得高于 60％
(1)求出月销量 y(万件)与销售单价 x(元)之间的函数关系式．
(2)求出月销售利润 w(万元)(利润=售价—成本价)与销售单价 x(元)之间的函数关系式．
(3)请你根据(2)中的函数关系式及其大致图象帮助公司确定产品销售单价的范围，使月销售利润不低
于 210 万元．
9. (2011 湖 北省天门市一模)如图，四边形 ABCD 是菱
形，点 D 的坐标是（0， 3 ），以点 C 为顶点的抛物线 cbxaxy 2 恰好经过 x 轴上 A、B 两点．
（1）求 A、B、C 三点的坐标；
（2）求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；
（3）若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过 D 点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了
多少个单位?
25、
(第 24 题图)
A B
C
O x
y
D
F
H
P
E
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]
∴平移了5 3 3 4 3 个单位
10. （2011 浙江杭州模拟 7）如图，已知抛物线与 x 轴交于点 A(-2,0),B(4,0)，与 y 轴交于点 C(0,8)．
（1）求抛物线的解析式及其顶点 D 的坐标；
（2）设直线 CD 交 x 轴于点 E，过点 B 作 x 轴的垂线，交直线 CD 于点 F，在坐标平面内找一点 G，使
以点 G、F、C 为顶点的三角形与△COE 相似，请直接写出符合要求的，并在第一象限的点 G 的坐标；
（3）在线段 OB 的垂直平分线上是否存在点 P，使得点 P 到直线 CD 的距离等于点 P 到原点 O 的距离？
如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由；
（4）将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段 EF 总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多
少个单位长度？
解:（1）A、B、C 的坐标分别为(1，0)，(3，0)，
（2） 23( 2) 3y x
（3）设抛物线的解析式为 23( 2)y x k ，代入 (0 3)D ， ，可得 5 3k ，
∴平移后的抛物线的解析式为 23( 2) 5 3y x 。
第 1 题图
解:（1）设抛物线解析式为 ( 2)( 4)y a x x ，
把 (0 8)C ， 代入得 1a ．
2 2 8y x x 2( 1) 9x ，顶点 (19)D ，
(2)G(4,8), G(8,8), G(4,4)
（3）假设满足条件的点 P 存在，依题意设 (2 )P t， ，
由 (0 8) (19)C D，， ， 求得直线CD 的解析式为 8y x
它与 x 轴的夹角为 45 ，设OB 的中垂线交CD 于 H ，则 (210)H ， ．
则 10PH t ，点 P 到CD 的距离为
2 2 102 2d PH t
．
又 2 2 22 4PO t t ．
2 24 102t t
．
平方并整理得： 2 20 92 0t t ， 10 8 3t ．
存在满足条件的点 P ， P 的坐标为 (2 10 8 3) ， ．
（4）由上求得 ( 8 0) (412)E F ，， ， ．
抛物线向上平移，可设解析式为
2 2 8 ( 0)y x x m m ．
当 8x 时， 72y m ．
当 4x 时， y m ． 72 0m ≤ 或 12m ≤ ．
0 72m ≤ ．
∴向上最多可平移 72 个单位长。
11. (2011 浙江省杭州市 8 模)某公园有一个抛物线形状的观景拱桥 ABC，其横截面如图所示，在图中建立的
直角坐标系中，抛物线的解析式为 cxy 2
20
1 且过顶点 C（0，5）（长度单位：m）
（1）现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为 1.5 m 的地毯，地毯的价格为 20 元 / 2m ,
求购买地毯需多少元？
（2）在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形 EFGH（H、G 分别在抛物线的左右侧上），并增加铺设斜
面 EG 和 HF，已知矩形 EFGH 的周长为 27.5 m， 求增加斜面的长。
（第 3 题）
(1)c=5．OC=5
令 0y ，即 0520
1 2 x ，解得 10,10 21 xx
∴地毯的总长度为： 3052202 OCAB ，
∴ 900205.130 （元）．
答：购买地毯需要 900 元．
(2)可设 G 的坐标为 )520
1,( 2 mm ,其中 0m ，
则 520
1,2 2 mGFmEF ．由已知得： 5.27)(2 GFEF ，
即 5.27)520
12(2 2 mm ，
解得： 35,5 21 mm （不合题意，舍去）．
把 51 m 代入 520
1 2 m 75.35520
1 2 ．
∴点 G 的坐标是（5，3.75）．
∴ 75.3,10 GFEF ．
5 73
4EG
又∵ EG HF
∴ 5 73
2EG HF
4.
12. (2011 浙江省杭州市 10 模)已知如图，矩形 OABC 的长 OA= 3 ，
宽 OC=1， 将△AOC 沿 AC 翻折得△APC.
（1）求∠PCB 的度数；
（2）若 P，A 两点在抛物线 y=－ 4
3
x2+bx+c 上，求 b，c 的值，并
说明点 C 在此抛物线上；
（3）（2）中的抛物线与矩形 OABC 边 CB 相交于点 D，与 x 轴相交
于另外一点 E，若点 M 是 x 轴上的点，N 是 y 轴上的点，以点 E、M、D、N 为顶点的四边形是平行四
边形，试求点 M、N 的坐标.
(1)∠PCB=30°
(2) 133
4 2 xxy
点 C（0，1）满足上述函数关系式，所以点 C 在抛物线上.
（3）Ⅰ、若 DE 是平行四边形的对角线，点 C 在 y 轴上，CD 平行 x 轴，
∴过点 D 作 DM∥ CE 交 x 轴于 M,则四边形 EMDC 为平行四边形，
把 y=1 代入抛物线解析式得点 D 的坐标为（
4
33 ，1）
把 y=0 代入抛物线解析式得点 E 的坐标为（
4
3 ，0）
∴M(
2
3 ,0);N 点即为 C 点，坐标是(0,1);
Ⅱ、若 DE 是平行四边形的边，
则 DE=2,∠DEF=30°,
过点 A 作 AN∥DE 交 y 轴于 N，四边形 DANE 是平行四边形，
∴M( 3 ,0),N(0,-1); …同理过点 C 作 CM∥DE 交 y 轴于 N，四边形 CMDE 是平行四边形，
∴M( 3 ,0),N(0, 1).
14. （2011 年江苏盐城） (本题满分 12 分)已知：在平面直角坐标系中 xOy 中，一次函数 y＝kx－6k 的图象
与 x 轴交于点 A，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过 O、A 两点．
(1)试用含 a 的代数式表示 b；
(2)设抛物线的顶点为 D，以 D 为圆心，DA 长为半径的圆被 x 轴分为劣弧和优弧两部分．若将劣弧沿 x
轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D 内，它所在的圆恰好与 OD 相切，求⊙D 的半径长及抛物线的解析式；
(3)设点 B 是满足(2)中条件的优弧上的一个动点，抛物线在 x 轴上方的部分上是否存在这样的点 P，使
得∠POA＝ 2
3
∠OBA？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
28．(1)A(6，0)…………………………1′ b＝－6a ………………………………3′
(2)①当 a＞0，解得 OD＝3 2，……………3′，解得抛物线解析式为 y＝1
3
x2－2x …………5′
②当 a＜0，解得 OD＝3 2，解得抛物线的解析式为 y＝－1
3
x2＋2x …………………………7′
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
－1－2－3－4 1 2 3 4 5 6
O x
y
综上，⊙D 的半径为 3 2，抛物线的解析式为 y＝1
3
x2－2x 或 y＝－1
3
x2＋2x ………………8′
(3)抛物线在 x 轴上方的部分存在点 P，使∠PDA＝ 2
3 OBA ，设点 P 的坐标为(x，y)，且 y＞0．
①当点 P 在抛物线 y＝1
3
x2－2x 上时，P(6＋ 3，2 3＋1)；………………………………10′
②当点 P 在抛物线 y＝－1
3
x2＋2x 上时，P(6－ 3，2 3－1) ………………………………11′
综上，存在满足条件的点 P，点 P 的坐标为(6＋ 3，2 3＋1)或(6－ 3，2 3－1) ………12′
15．(河北省中考模拟试卷)（本小题满分 12 分）为保证交通安全，汽车驾驶员必须知道汽车刹车后的停
止距离（开始刹车到车辆停止车辆行驶的距离）与汽车行驶速度（开始刹车时的速度）的关系，以便及时
刹车．下表是某款汽车在平坦道路上路况良好时刹车后的停止距离与汽车行驶速度的对应值表：
行驶速度（千米／时） 40 60 80 … [
停止距离（米） 16 30[ 48 …
（1）设汽车刹车后的停止距离 y（米）是关于汽车行驶速度 x（千米／时）的函数，给出以下三个函数：
①y=ax+b；② 0）（k
x
ky ；③y=ax2+bx，请选择恰当的函数来描述停止距离 y（米）与汽车行驶速度 x
（千米／时）的关系，说明选择理由，并求出符合要求的函数的解析式；
（2）根据你所选择的函数解析式，若汽车刹车后的停止距离为 70 米，求汽车行驶速度．
答案：解：（1）若选择 y=ax+b，把 x=40，y=16 与 x=60，y=30 分别代入得
b60a30
b40a16
解得
12b
0.7a
把
x=80 代入 y=0.7 x-12 得 y=44＜48，∴选择 y=ax+b 不恰当；若选择 0）（k
x
ky ，由 x，y 对应值表看出
y 随 x 的增大而增大，而 0）（k
x
ky 在第一象限 y 随 x 的增大而减小，所以不恰当；若选择 y=ax2+bx，
把 x=40，y=16 与 x=60，y=30 分别代入得
60b3600a30
40b1600a16
，解得
0.2b
0.005a
，而把 x=80 代入
y=0.005x2+0.2x 得 y=48 成立，∴选择 y=ax2+bx 恰当，解析式为 y=0.005x2+0.2x．（2）把 y=70 代入
y=0.005x2+0.2x 得 70=0.005x2+0.2x，即 x2+40x-14000=0，解得 x=100 或 x=-140（舍去），∴当停止距离为
70 米，汽车行驶速度为 100 千米／时．
16．(河北省中考模拟试卷)（本小题满分 12 分）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形 ABCO 的边 OC 落
在 x 轴的正半轴上，且 AB∥OC，BC⊥OC，AB=4，BC=6，OC=8．正方形 ODEF 的两边分别落在坐标轴上，且
它的面积等于直角梯形 ABCO 的面积．将正方形 ODEF 沿 x 轴的正半轴平行移动，设它与直角梯形 ABCO 的
重叠部分面积为 S．
（1）求正方形 ODEF 的边长；
（2）①正方形ODEF 平行移动过程中，通过操作、观察，试判断S（S＞0）的变化情况是 ；
A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大
②当正方形 ODEF 顶点 O 移动到点 C 时，求 S 的值；
（3）设正方形 ODEF 的顶点 O 向右移动的距离为 x，求重叠部分面积 S 与 x 的函数关系式．
答案：解：（1）∵SODEF=SABCO =
2
1 （4+8）×6=36 36SS ABCOODEF 设正方形的边长为 x， ∴x2=36，x=6
或 x=-6（舍去）． （2）①C． ②S= 2
1 （3+6）×2+6×4=33．（3）①当 0≤x＜4 时，重叠部分为三角形，
如图①．可得△OM O ∽△OAN， ∴
4
x
6
OM ， x
2
3OM ．∴ 2x
4
3xx
2
3
2
1S ．
②当 4≤x＜6 时，重叠部分为直角梯形，如图②．S=（x-4+x）×6×
2
1 =6x-12 ③当 6≤x＜8 时， 重叠部
分为五边形，如图③．可得，MD=
2
3（x-6），AF=x-4．S=
2
1（x-4+x）-
2
1 ×
2
3（x-6）（x-6）=-
4
3 x2+15x-39．④
当 8≤x＜10 时，重叠部分为五边形，如图④．S= COBFDMOAF SS =-
4
3 x2+15x-39-（x-8）×6=-
4
3 x2+9x+9．⑤
当 10≤x＜14 时，重叠部分为矩形，如图⑤．S=［6-（x-8）］×6=-6x+84．（用其它方法求解正确，相应
给分）
．
A
y
x
B
COD
E F
y
（备用图）
A
x
B
CO
x
A B
CO
y
D
E F
O
（图⑤）
A
O x
B
C
y
D
E F
O
M
（图④）
A B
CO x
y
D
E F
O
M
N
（图①）
A B
CO x
y
D
E F
O
（图②）
A B
CO x
y
D
E F
O
M
（图③）
B 组
1．（2011 天一实验学校 二模）研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生
产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为 x （吨）时，所需的全部费用 y （万元）与 x 满足
关系式 21 5 9010y x x ，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价 p甲 ， p乙（万元）
均与 x 满足一次函数关系．（注：年利润＝年销售额－全部费用）
（1）成果表明，在甲地生产并销售 x 吨时， 1 1420p x 甲 ，请你用含 x 的代数式表示甲地当年的年销
售额，并求年利润 w甲 （万元）与 x 之间的函数关系式；
（2）成果表明，在乙地生产并销售 x 吨时， 1
10p x n 乙 （ n 为常数），且在乙地当年的最大年利润为
35 万元．试确定 n 的值；{出自:中国.学考.频道 X.K.100..COM}
（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品 18 吨，根据（1），（2）
中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？
答案：
解：（1）甲地当年的年销售额为 21 1420 x x
万元；
23 9 9020w x x 甲 ．
（2）在乙地区生产并销售时，
年利润 2 2 21 1 15 90 ( 5) 9010 10 5w x nx x x x n x 乙 ．
由
214 ( 90) ( 5)5 3514 5
n
，解得 15n 或 5 ．
经检验， 5n 不合题意，舍去， 15n ．
（3）在乙地区生产并销售时，年利润 21 10 905w x x 乙 ，
将 18x 代入上式，得 25.2w 乙 （万元）；将 18x 代入 23 9 9020w x x 甲 ，
得 23.4w 甲 （万元）． w w 乙 甲 ，应选乙地．
2．（2011 年三门峡实验中学 3 月模拟）某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一
种进价为每件 20 元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的关
系可近似的看作一次函数： 10 500y x ．
（1）设李明每月获得利润为 w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（2）如果李明想要每月获得 2000 元的利润，那么销售单价应定为多少元？
（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于 32 元，如果李明想要每月获得的利润不低
于 2000 元，那么他每月的成本最少需要多少元？
（成本＝进价×销售量）[来源:Z,xx,k.Com]
答案：
解：（1）由题意，得：w = (x－20)·y
=(x－20)·( 10 500x )
210 700 10000x x
352
bx a
.
答：当销售单价定为 35 元时，每月可获得最大利润．
（2）由题意，得： 210 700 10000 2000x x
解这个方程得：x1 = 30，x2 = 40．
答：李明想要每月获得 2000 元的利润，销售单价应定为 30 元或 40 元.
（3）法一：∵ 10a ，
∴抛物线开口向下.
∴当 30≤x≤40 时，w≥2000．
∵x≤32，
∴当 30≤x≤32 时，w≥2000．
设成本为 P（元），由题意，得：
法二：∵ 10a ，
∴抛物线开口向下.
∴当 30≤x≤40 时，w≥2000．
∵x≤32，
∴30≤x≤32 时，w≥2000．
∵ 10 500y x ， 10 0k ，
∴y 随 x 的增大而减小.
∴当 x = 32 时，y 最小＝180.
∵当进价一定时，销售量越小，
成本越小，
∴ （元）.
20( 10 500)P x
200 10000x
∵ 200k ，
∴P 随 x 的增大而减小.
∴当 x = 32 时，P 最小＝3600.
答：想要每月获得的利润不低于 2000 元，每月的成本最少为 3600 元．
3．（2011 年杭州市西湖区模拟））已知关于 x 的二次函数
2
2 1
2
my x mx 与
2
2 2
2
my x mx ，
这两个二次函数图象中只有一个图象与 x 轴交于 ,A B 两个不同的点．
（l）试判断哪个二次函数的图象经过 ,A B 两点；
（2）若 A 点坐标为 ( 1,0) ，试求 B 点坐标.
答案：（l）图象经过 A、B 两点的二次函数为
2
2 2 ,2
my x mx
∵对于关于 x 的二次函数
2
2 1,2
my x mx 而
2
2 21( ) 4 1 ( ) 2 0,2
mm m
所以函数
2
2 1,2
my x mx 的图象与 x 轴没有交点
∵ 对于二次函数
2
2 2 ,2
my x mx 而
2
2 22( ) 4 1 ( ) 3 4 0,2
mm m
所以函数
2
2 2 ,2
my x mx 的图象与 x 轴有两个不同的交点.
（2）)将 A(-1,0)代入
2
2 2
2
my x mx ，得
2 21 2
mm =0.
整理，得 2
1 22 0, 0, 2m m m m 得
当 1 0m 时， 2 1y x ，令 1 20, 1, 1y x x 得
此时，B 点的坐标是 B (l, 0)．
当 2 2m 时， 2 2 3y x x ，令 1 20, 1, 3y x x 得
此时，B 点的坐标是 B（3，0）.
4．（2011 安徽中考模拟）已知：抛物线 C1： 2 21( 2) 22y x m x m 与 C2： 2 2y x mx n 具有下列
特征：①都与 x 轴有交点；②与 y 轴相交于同一点．
（1）求 m，n 的值；
（2）试写出 x 为何值时，y1 ＞y2？
（3）试描述抛物线 C1 通过怎样的变换得到抛物线 C2 ．
【解】
答案：（1）由 C1 知：
△=(m+2)2－4×( 1
2
m2+2)=m2+4m+4―2m2―8=―m2+4m―4=―(m―2)2≥0，
∴m＝2．当 x＝0 时，y＝4．∴当 x＝0 时，n＝4．
（2）令 y1＞y2 时， 4444 22 xxxx ，∴x＜0．∴当 x＜0 时，y1＞y2；
（3）由 C1 向左平移 4 个单位长度得到 C2．
5．（2011 灌南县新集中学一模）某住宅小区在住宅建设时留下一块 1798 平方米的矩形空地，准备建一个
矩形的露天游泳池，设计如图所示，游泳池的长是宽的 2 倍，在游泳池的前侧留一块 5 米宽的空地，
其它三侧各保留 2 米宽的道路及 1 米宽的绿化带
（1）请你计算出游泳池的长和宽。
（2）已知贴 1 平方米瓷砖需费用 50 元，若游泳池深 3 米，现要把池底和池壁（共 5 个面）都贴上瓷砖，
共需要费用多少元？
前
侧
空
地
答案：解：（1）设游泳池的宽为 x 米，则长为 2x 米，
（2x+2+5+1） (x+2+2+1+1)=1798
整理，得： 2 10 875 0x x 解得： 1 35x （不合舍去） 2 25x
由 25x 得 2 2 25 50x ∴游泳池的长为 50 米，宽为 25 米。
（2） (25 3 50 3) 2 25 50 50 450 1250 50
1700 50 = 85000（元）
答：（略）
6．（2011 灌南县新集中学一模）足球比赛中，某运动员将在地面上的足球对着球门踢出，图 13 中的抛物
线是足球的飞行高度 y(m)关于飞行时间 x(s)的函数图象(不考虑空气的阻力)，已知足球飞出 1s 时，足球
的飞行高度是 2.44m，足球从飞出到落地共用 3s．
⑴求 y 关于 x 的函数关系式；
⑵足球的飞行高度能否达到 4.88 米？请说明理由；
⑶假设没有拦挡，足球将擦着球门左上角射入球门，球门的高为 2.44m(如图 14 所示，足球的大小忽略不
计)．如果为了能及时将足球扑出，那么足球被踢出时，离球门左边框 12m 处的守门员至少要以多大的平
均速度到球门的左边框？
答案：解：（1）设 y 关于 x 的函数关系式为 bxaxy 2 ．
依题可知：当 1x 时， 44.2y ；当 3x 时， 0y ．
∴
039
44.2
ba
ba ， ∴
66.3
22.1
b
a ，∴ xxy 66.322.1 2 ．
（2）不能．理由：∵ 88.4y ，∴ xx 66.322.188.4 2 ， ∴ 0432 xx ．
∵ 044)3( 2 ，∴方程 xx 66.322.188.4 2 无解．
∴足球的飞行高度不能达到 4.88m．
（3）∵ 44.2y ，∴ xx 66.322.144.2 2 ，
∴ 0232 xx ，∴ 11 x （不合题意，舍去）， 22 x ∴平均速度至少为 62
12 （m/s）．
7.（2011 浙江杭州义蓬一模）如图①， 已知抛物线 32 bxaxy （a≠0）与 x 轴交于点 A(1，0)和点 B
(－3，0)，与 y 轴交于点 C．
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 N ，问在对称轴上是否存在点 P，使△CNP 为等腰三角形？若存在，
请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
(3) 如图②，若点 E 为第三象限抛物线上一动点，连接 BE、CE，求四边形 BOCE 面积的最大值，并求此时
E 点的坐标.
答案：如图①， 已知抛物线 32 bxaxy （a≠0）与 x 轴交于点 A(1，0)和点 B (－3，0)，与 y 轴交
于点 C．
(1) y=x 2 +2x-3
2
-2
-4
-6
-8
-10
-5
5
10
15
y
x
0
C
N A B
-10
-5
5
10
15
2
-2
-4
-6
-8
y
x
0
C
A B
图① 图②
(2)P(-1, 10 ),P(-1,- 10 ),P(-1,-6),P(-1,-
3
5 )
(3) S=1/2×3×(-x 2 -2x+3)+ 1/2×3×(-x)
S=-3/2(x+3/2) 2 +63/8
X=-3/2 , S=63/8
E(-3/2,-15/4)
8. （2011 广东南塘二模）如图，矩形 OABC 的长 OA= 3 ，AB=1，将△AOC 沿 AC 翻折得△APC。
（1）填空：∠PCB=＿＿＿度，P 点坐标为＿＿＿＿＿
（2）若 P、A 两点在抛物线 cbxxy 2
3
4
上，求抛物线的解析式，并判断点 C 是否在这
抛物线上。
（3）在（2）中的抛物线 CP 段上（不含 C、P 点）
是否存在一点 M，使得四边形 MCPA 的面积最大？
若存在，求这个最大值和 M 点坐标，若不存在，
说明理由。
答案：（1）连 OM、MC、AB，设 MC 交 x 轴于 D。
∵∠AOB＝90°，∴AB 为⊙M 直径，
∵OA 为⊙M 的
3
1 ，∴∠OMA＝120°，∠OMC＝60°，
∵OM＝2，∴DM＝1，OD＝ 3 ，∴M( 3 ，1)，
∵∠BAO＝∠MOA＝30°，∴OB＝2，∴B(0，2)
（2）∵OA＝2·OD，∴A( 32 ，0)，C( 3 ，－1)，
把 O、A、C 三点坐标代入 y＝as2＋bx＋c 得：y＝
3
1 x2－
3
32 x。
（3）∵∠AOC＝∠OAC＝
2
1 ∠OMC＝30°，∴∠BAO＝∠AOC＝30°
O A
BC
P
D
x
y
∴若存在，则 P 必为抛物线与直线 AB 或与直线 OM 的交点。求得直线 AB 为：
y＝－ x3
3 ＋2，由
xxy
xy
3
32
3
1
23
3
2
解得：P1(－ 3 ，3)，P2 ( 32 ，3)
∵P1O＝OA＝AP2＝ 32 ，∴P1、P2 合题意。
9．（安徽芜湖 2011 模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 cbxxy 2 的图象与 x 轴交于 A、B
两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与 y 轴交于 C（0，-3）点，点 P 是直线 BC 下方的抛物
线上一动点.
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连结 PO、PC，并把△POC 沿 CO 翻折，得到四边形 POP /
C， 那么
是否存在点 P，使四边形 POP /
C 为菱形？若存在，请求出此时 点 P
的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点 P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大 并求
出此时 P 点的坐标和四边形 ABPC 的最大面积.
答案: 解：（1）将 B、C 两点的坐标代入得
3
03
c
cb
解得：
3
2
c
b
所以二次函数的表达式为： 322 xxy
（2）存在点 P，使四边形 POP /
C 为菱形．设 P 点坐标为（x， 322 xx ），
PP /
交 CO 于 E
若四边形 POP /
C 是菱形，则有 PC＝PO．
连结 PP /
则 PE⊥CO 于 E，
∴OE=EC= 2
3 ∴ y =
2
3 ．
∴ 322 xx =
2
3
解得 1x =
2
102 ， 2x =
2
102 （不合题意，舍去）
∴P 点的坐标为（
2
102 ，
2
3 ）
（3）过点 P 作 y 轴的平行线与 BC 交于点 Q，与 OB 交于点 F，
设 P（x， 322 xx ），
易得，直线 BC 的解析式为 3 xy
则 Q 点的坐标为（x，x－3）.
EBQPOEQPOCABSSSS CPQBPQABCABPC 2
1
2
1
2
1
四边形
3)3(2
1342
1 2 xx
当
2
3x 时，四边形 ABPC 的面积最大
此时 P 点的坐标为
4
15,2
3 ，四边形 ABPC 的
面积
8
75的最大值为 ．=
8
75
2
3
2
3 2
x
10.（浙江杭州靖江 2011 模拟）如图，在平面直角坐标系 xoy 中，矩形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，且 AB=3，
BC= 32 ，直线 y= 323 x 经过点 C，交 y 轴于点 G。
（1）点 C、D 的坐标分别是 C（ ），D（ ）；
（2）求顶点在直线 y= 323 x 上且经过点 C、D 的抛物线 的解析
式；
（3）将（2）中的抛物线沿直线 y= 323 x 平移，平移后 的抛物
O xA B
C
y
D
G
o
线
交 y 轴于点 F，顶点为点 E。平移后是否存在这样的抛物线，使△EFG 为等腰三角形？若存在，请求出
此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由。
答案：
解：（1）C（ 4， 32 ），D（1， 32 ）；
（2）由抛物线的顶点坐标为（
2
3,2
5 ）
可得抛物线的解析式为
2
3
2
5
3
32 2
xy
（3）设抛物线沿直线 y= 323 x 平移后的抛物线的顶点为 323, mm ，
则平移后抛物线的解析式为 3233
32 2 mmxy
当 0m 时，
若 EGEF ，则 mmm 32323233
32 2
解得
2
3m
∴
2
3
2
3
3
32 2
xy
若 EGGF ，则 mmm 2323233
32 2
解得
2
332 m
∴
2
376
2
332
3
32
2
xy
若 EFGF ，则∠ GFE 120°（不合题意，舍去）
当 0m 时，
∠GFE 为钝角，则当⊿EFG 为等腰三角形时， EFGF
∴ mmm 3
323233
3232 2
解得
2
1m ，∴
2
35
2
1
3
32 2
xy
11.（浙江杭州金山学校 2011 模拟）（根据 2010 年中考数学考前知识点回归＋巩固 专题 13 二次函数题目
改编）
如图，以矩形 OABC 的顶点 O 为原点，OA 所在的直线为 x 轴，OC 所在的直线为 y 轴，建立平面直
角坐标系．已知 OA＝3，OC＝2，点 E 是 AB 的中点，在 OA 上取一点 D，将△BDA 沿 BD 翻折，使点 A 落
在 BC 边上的点 F 处．
（1）直接写出点 E、F 的坐标；
（2）设顶点为 F 的抛物线交 y 轴正半轴．．．于点 P，且以点 E、F、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该
抛物线的解析式；
（3）在 x 轴、y 轴上是否分别存在点 M、N，使得四边形 MNFE 的周 长最小？如果存在，求出周长的最
小值；如果不存在，请说明理由．
答案：解：（1） (31)E ， ； (1 2)F ， ．
（2）在 Rt EBF△ 中， 90B ，
2 2 2 21 2 5EF EB BF ．
设点 P 的坐标为 (0 )n， ，其中 0n ，
∵顶点 (1 2)F ， ，[来源:学科网]
∴设抛物线解析式为 2( 1) 2( 0)y a x a ．
①如图①，当 EF PF 时，
2 2EF PF ，
2 21 ( 2) 5n ．
解得 1 0n （舍去）； 2 4n ．
(0 4)P ， ．
24 (0 1) 2a ．
解得 2a ．
抛物线的解析式为 22( 1) 2y x
②如图②，当 EP FP 时， 2 2EP FP ，
2 2(2 ) 1 (1 ) 9n n ．
解得 5
2n （舍去）．
③当 EF EP 时， 5 3EP ，这种情况不存在．
综上所述，符合条件的抛物线解析式是 22( 1) 2y x ．
（3）存在点 M N， ，使得四边形 MNFE 的周长最小．
如图③，作点 E 关于 x 轴的对称点 E ，作点 F 关于 y 轴的对称点 F，连接 E F ，分别与 x 轴、 y 轴交
于点 M N， ，则点 M N， 就是所求点．
(3 1)E ， ， ( 1 2)F NF NF ME ME ，， ， ．
4 3BF BE ， ．
FN NM ME F N NM ME F E 2 23 4 5 ．
又 5EF ，
5 5FN NM ME EF ，此时四边形 MNFE 的周长最小值是5 5 ．
12. （浙江杭州进化 2011 一模）如图，直角梯形 ABCD 中，AB∥DC，∠DAB=90°，AD=2DC=4，AB=6．动
点 M 以每秒 1 个单位长的速度，从点 A 沿线段 AB 向点 B 运动；同时点 P 以相同的速度，从点 C 沿折线 C-D-A
向点 A 运动．当点 M 到达点 B 时，两点同时停止运动．过点 M 作直线 l∥AD，与折线 A-C-B 的交点为 Q．点
M 运动的时间为 t（秒）．
（1）当 0.5t 时，求线段QM 的长；
（2）点 M 在线段 AB 上运动时，是否可以使得以 C、P、Q 为顶点的三角形为直角三角形，若可以，请
直接写出 t 的值（不需解题步骤）；若不可以，请说明理由．
（3）若△PCQ 的面积为 y，请求 y 关于出 t 的函数关系式及自变量的取值范围；
答案：解：（1）由 Rt△AQM∽Rt△CAD．
∴
CD
AD
AM
QM ． 即 4
0.5 2
QM ，∴ 1QM ．
（2） 1t 或 5
3
或 4．
（3）当 0＜t＜2 时，点 P 在线段 CD 上，设直线 l 交 CD 于点 E
由（1）可得
CD
AD
AM
QM ． 即 QM=2t．∴QE=4-2t．
∴S△PQC =
2
1 PC·QE= tt 22
即 tty 22
当 t ＞2 时，过点 C 作 CF⊥AB 交 AB 于点 F，交 PQ 于点 H.
4 ( 2) 6PA DA DP t t ．
Q
A B
CD
l
M
P
A B
CD
（备用图 1） A B
CD
（备用图 2）
Q
A B
CD
l
M
P
A
B
C
O
D
E
x
y x=2
由题意得， 4BF AB AF ．
∴ CF BF ． ∴ 45CBF ．
∴ 6QM MB t ． ∴ QM PA ．
∴ 四边形 AMQP 为矩形．
∴ PQ∥ AB ．CH⊥PQ，HF=AP=6- t
∴ CH=AD=HF= t-2
∴S△PQC =
2
1 PQ·CH= tt 2
2
1
即 y= tt 2
2
1
综上所述 )20(22 ttty 或 y= tt 2
2
1 ( 20 ②2a+b=0
③方程 ax2+bx+c=0(a≠0)必有两个不相等的实根
④a+b+c>0
⑤当函数值 y 随 x 的逐渐增大而减小时，必有 x≤1
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
答案：B
3. （2010 嘉兴市秀洲区模拟）已知点 1 1,A x y 、 2 2,B x y 均在抛物线 2 2 4 0 3y ax ax a 上，若
1 2x x ， 1 2 1x x a ，则 1 2,y y 的大小关系是 （ ）
A. 1 2y y B. 1 2y y C. 1 2y y D.不能确定
答案：A
4．（2010 年松江区）如果将二次函数 12 xy 的图像向左平移 2 个单位，那么所得到二次函数的图像的
解析式是（ ）
A. 12 xy ； B. 32 xy ；
C. 1)2( 2 xy ； D. 1)2( 2 xy ．
答案：D；
5.（2010 永嘉学业二模）．对于二次函数 y=－2x2+4x －1 下列说法正确的是( )
A.当 x=1 时有最大值 1 B.当 x=1 时有最小值 1
C.当 x=－1 时有最大值 1 D.当当 x=－1 时有最小值－1
答案：A
6.(2010 娄底市一模)二次函数 y ax2 bx c 的图象如图所示，则一次函数 y bx b2 4ac 与反比例函数
y
O x1
图 1
y
xO
y
xO
y
xO
y
xO
1 1O x
y
y
x
cba 在同一坐标系内的图象大致为( )
答案：D
7.（2010 孝感市直学校模拟）二次函数 342 xxy 的图像可以由二次函数 2xy 的图像平移而得到，
下列平移正确的是
A．先向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位
B．先向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位
C．先向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位
D．先向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位
答案：B
8.（2010 张家口市桥东区模拟）根据右图所示程序计算函数 值，若输入的
x 的值为5
2
，则输出的函数值为（ ）
A．3
2
B．2
5
C． 4
25
D．25
4
答案：B
9.（2010 张家口市桥东区模拟）根据下列表格中二次函数 y=ax2+bx+c 的自变量 x 与函数值 y 的对应值，
判断方程 ax2+bx+c=0（a≠0, a、b、c 为常数）的一个解 x 的范围是（ ）
Ａ．6＜x＜6.17 Ｂ．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20
答案：C
二、填空题
1.（2010 年上海徐汇区二模）．抛物线 422 xxy 的顶点坐标是 .
答案： )3,1( ；
2．（2010 年溧水县）函数 23( 1) 5y x=- - + 的最大值为_________．
答案：5
3．(昆山 2010 第二学期调研)已知抛物线 2 1
2y x x c 的顶点在 x 轴上，则 c= ．
答案：
16
1
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y=ax2+bx+c –0.03 –0.01 0.02 0.04
4.(2010 年·上街实验初级中学·模拟考试卷)若 A（ 1,4
13 y ），B（ 2,4
5 y ），C（ 3,4
1 y ）为二次函数
2 4 5y x x 的图象上的三点，则 1,y 2 ,y 3y 的大小关系是
答案： 3y ＞ 1y ＞ 2y
5．（2010 年·武汉市·中考模拟试卷）直线 y=mx+n 和抛物线 y=ax 2 +bx+c 在同一坐标系
中的位置如图所示,那么不等式 mx+n﹤ax 2 +bx+c﹤0
的解集是_________
答案：10 时，a= 72 ,M )724,72(
a<0 时， 3a ，M )32,3(
（3）
①过 B 作 x 轴平行线，交抛物线于 D1，过 D1 作 D1P1⊥BD1 交 AB 于 P1，则△P1D1B∽△BOC
因为 2
OC
OB ，所以 2
1
11
BD
DP
设 D1P1=2x, BD1=x,D1(x,2)在抛物线上，所以 61x ，P1( 624,61 )
②过 B 作 BD2⊥AB 交抛物线于 D2，作 D2P2⊥x 轴交 AB 于 P2，BD1 于 P2D2 交于 E
则△P2 B D2∽△BOC，BP2=2BD2，设 D2(a,a2-2x-3),ED2=2-a2+2a+3，BE2=P2E·ED2，得 a2=2a(5-a2+2a),所以
4
893 a ,P2(
2
897,4
893 )
13.（2010 武汉模拟）江汉路一服装店销售一种进价为 50 元/件的衬衣，生产厂家规定每件售价不低于 60
元，不高于 150 元。当定价为 60 元/件时，平均每星期可卖出 70 件，每涨件 10 元，一星期少卖 5 件。
（1）若销售单价为 x 元/件（规定 x 是 10 的正整数倍），每周销售量为 y 件，写出 y 与 x 的函数关系式。
（2）设某周的利润为 2600 元，此利润是否为该周的最大利润，请说明理由。
（3）请分析并回答衬衣定价在什么范围内服装店获得的周利润不低于 2500 元。
答案：（1） xy 2
1100 （2）此利润不是该周的最大利润；设该周的利润为 W,可知 W=Y·(X-50)即：
50001252
1 2 xxw ，可利用抛物线知识得顶点为
2
5625,125 ，由题意 X 为 10 的正整数倍及
抛物线的对称性得 X=120 或 130 时 W 的最大值为 2800 元。
（3）利用图像法可求出 2500,100 和 2500,150 并观察得定价在 100 至 150 元之间可保证周利润不
低于 2500 元。
14.（武汉市中考一模）某村为增加蔬菜的种植面积，一年中修建了一些蔬菜大棚，平均修建每公顷大棚
要用的支架，塑料膜等材料的费用为 27000 元，此外还要购置喷灌设备，这项费用（元）与大棚面积 x（公
顷）的平方成正比，比例系数为 9000，每公顷大棚的年平均经济收益为 75000 元。
（1）一年中这个村修建了多少公顷蔬菜大棚，才能使蔬菜大棚而增加的收益（扣除修建费用后）为 60000
元
（2）修建 3 公顷大棚收益是否为该年的最大收益，请说明理由；
（3）修建大棚数量在什么范围内，该年年收益不低于 63000 元。
答案：（1）2 或 3
10
（2）－9000（x－ 3
8
）2+64000 当 x=3 时，收益 63000 元，∴不是最大收益
（3） 3
7
≤x≤3
15.（2010 年武汉一模）江汉路一服装店销售一种进价为 50 元/件的衬衣，生产厂家规定售价为 60～150
元，当定价为 60 元/件时，平均每星期可卖出 70 件，每涨价 10 元，一星期少买 5 件。
（1） 若销售单价为 x 元/件（规定 x 是 10 的正整数倍），每周销售量为 y 件，写出 y 与 x 的函数关系式，
并写出 x 的取值范围？
（2） 当每件衬衣定价为多少元时，服装店每星期的利润最大，最大利润为多少元？
（3） 请分析销售价在哪个范围内每星期的销售利润不低于 2700 元？
答案：(1) y = －1
2
x + 100 (60≤x≤150 且 x 是 10 的正整数倍)
（2）解：设服装店每星期的利润为 W, 由已知条件得。
W = （－ 1
2
x+ 100）（x －50）
= －1
2
x2 +125x－5000 = －1
2
( x － 125 ) 2 + 2812.5
由 60≤x≤150 且 x 是 10 的正整数倍，得 x = 120 或 130 时，
W 有最大值为 2800 元 (3 分)
（3）令 w= 2700 －1
2
x2 +125x－5000 = 2700,解得 x1= 110 x2=140
观察图像得销售价在 110∽140 内每星期的销售利润不低于 2700 元
16. （2010 模拟题四）如图，直线 33 xy 分别交 x 轴、y 轴于 B、A 两点，抛物线 L： cbxaxy 2
的顶点 G 在 x 轴上，且过(0，4)和(4，4)两点.
（1）求抛物线 L 的解析式；
（2）抛物线 L 上是否存在这样的点 C，使得四边形 ABGC 是以 BG 为底边的梯形，若存在，请求出 C 点的
坐标，若不存在，请说明理由.
（3）将抛物线 L 沿 x 轴平行移动得抛物线 L 1 ，其顶点为 P，同时将△PAB 沿直线 AB 翻折得到△DAB，使点
D 落在抛物线 L 1 上. 试问这样的抛物线 L 1 是否存在，若存在，求出 L 1 对应的函数关系式，若不存在，说
明理由．
解：（1） ∵抛物线 L 过(0，4)和(4，4)两点,由抛物线的对称性知对称轴为 2x ,
∴G(2，0)，将(2，0)、(4,4)代入 42 bxaxy ，得
44416
0424
ba
ba ，
解得
4
1
b
a . ∴抛物线 L 的解析式为 442 xxy
（2）∵直线 33 xy 分别交 x 轴、y 轴于 B、A 两点，∴A(0，3)，B(- 3 ，0).
若抛物线 L 上存在满足的点 C，则 AC∥BG,
∴C 点纵坐标此为 3，设 C( m ，3)，又 C 在抛物线 L，代人解析式：
3)2( 2 m , 32 m , ∴ 321 m , 322 m
当 321 m 时, BG= 32 , AC= 32
∴BG∥AC 且 BG=AC，此时四边形 ABGC 是平行四边形，舍去 321 m
当 322 m 时, BG= 32 , AC= 32
∴BG∥AC 且 BG≠AC,此时四边形 ABGC 是梯形
故存在这样的点 C，使得四边形 ABGC 是以 BG 为底边的梯形，其坐标为：
C( 32 ，3)
（3）假设抛物线 L 1 是存在的，且对应的函数关系式为 2)( nxy , ∴顶点 P( n ，0)
Rt△ABO 中，AO=3，BO= 3 ，可得∠ABO=60°，又△ABD≌△ABP
∴∠ABD=60°，BD=BP= n3
如图，过 D 作 DN⊥x 轴于 N 点，Rt△BND 中，
BD= n3 ， ∠DBN=60°
∴DN= )3(2
3 n ，BN=
2
3 n ，
∴D(
2
33 n ，
2
33 n )
即 D(
2
33 n ，
2
33 n )，又 D 点在抛物线 2)( nxy 上
∴ 2)2
33(2
33 nnn ，整理： 0213169 2 nn
解得 31 n ,
9
37
2 n ，当 31 n 时，P 与 B 重合，不能构成三角形，舍去
∴当
9
37
2 n 时，此时抛物线为 2)9
37( xy
17．(2010 年·上街实验初级中学·模拟考试卷) 如图，二次函数 2y ax bx c （ 0a ）的图象与 x 轴
交于 A B、 两点，与 y 轴相交于点C ．连结 AC BC A C、 ， 、 两点的坐标分别为 ( 3 0)A ， 、 (0 3)C ， ，且
当 4x 和 2x 时二次函数的函数值 y 相等．（1）求实数 a b c， ， 的值；（2）若点 M N、 同时从 B 点
出发，均以每秒 1 个单位长度的速度分别沿 BA BC、 边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止
运动．当运动时间为t 秒时，连结 MN ，将 BMN△ 沿 MN 翻折， B 点恰好落在 AC 边上的 P 处，求t 的
值及点 P 的坐标；（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点 Q ，使得以 B N Q， ， 为
项点的三角形与 ABC△ 相似？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．
答案：解：由题意的抛物线的对称轴是直线 x＝1，则 B 点坐标是
（1，0）
（1）由 A、B、C 三点的坐标可求出 a＝ 33
1 ，b＝ 33
2 ，c
y
O x
C
N
B
P
MA
＝ 3
（2）（ 33
21， ） （3）（ 33
21 ， ）
18．（2010 年·武汉市·中考模拟试卷）（本题 10 分）利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代
销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）当每吨售价为 260 元
时，月销售量为 45 吨，该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销，经市场调查发现：当
每吨售价下降 10 元时，月销售量会增加 7.5 吨，综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家
及其他费用 100 元，设每吨材料售价为 x 元，该经销店的月利润为 y 元。
（1） 当每吨售价是 240 元时，计算此时的月份销售量
（2） 求出 y 与 x 的函数关系式（不要求写出 x 的取值范围）
（3） 该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？
答案：(1) 60；
(2)y=-
4
3 x 2 +315x-24000；
(3)由(2)得 y=-
4
3 (x-210) 2 +9075 即当 x=210 时,y 有最大值为 9075 元
19．（2010 年·武汉市·中考模拟试卷）在直角坐标系中，y=x 2 +ax+2a 与 x 轴交于 A，B 两点，点 E（2，
0）绕点 O 顺时针旋转 90°后的对应点 C 在此抛物线上，点 P（4，2）。
（1）求抛物线解析式
（2）如图 1，点 F 是线段 AC 上一动点，作矩形 FC1B1A1，使 C1 在 CB 上，B1，A1 在 AB 上，设线段 A1F 的长为
a，求矩形 FC1B1A1 的面积 S 与 a 的函数关系式，并求 S 的最大值。
（3）如图 2，在（1）的抛物线上是否存在两个点 M，N，使以 O，M，N，P 为顶点的四边形是平行四边形，
若存在，求出点 M，N 的坐标；若不存在，请说明理由。
答案：（1）y= x 2 -x-2；
图 1 图 2
(2)S=-
2
)1( 2a +
2
1 ,即当 a=1 时，S 最大 =
2
1 ；
（3）Ⅰ以 OP 为平行四边形的边长 （不存在）
Ⅱ以 OP 为平行四边形对角线：先求出 OP 中点坐标为（2，1）
设 M(a,a 2 -a-2)则 N（4-a, -a 2 +a+4）将 M，N 两点坐标代入抛物线解析式可求出 a=3 或 1，则 M，N 的坐
标分别为（3，4） ， （1，-2）
20．（2010 年·武汉市·中考模拟试卷）百家福超市以 8 元/千克购进若干千克芒果，总经理调查时：
销售员 A：如果以 10 元/千克的价格销售，那么每天可售出 300 千克
销售员 B：如果以 14 元/千克的价格销售，那么每天可以获得利润 600 元
销售员 C：每天售量 y（千克）与销售单价 x（元/千克）之间存在一次函数关系。
⑴．求 y 与 x 之间的函数关系（x＞8）
⑵．设某天芒果的利润为 800 元，此利润是否为该天的最大利润？并说明理由。
⑶．请分析并回答，x 在什么范围内时，每天销售芒果的利润不少于 750 元。
答案：（1）解:600÷(14-8)=100(千克)
设 y=mx+n,得
300=10m+n
100=14m+n 解得:
m=-50
n=800
y=-50x+800 (8＜x≤16)
（2）解:设每天利润为 W 元,则
W=(-50x+800)(8-x)
=-50x2+1200x-6400
=-50(x-12)2+800
∴当 x=12 时,W 最大=800 元
∴某天利润为 800 元时,是该天最大利润.
（3）解:由(2) W=-50x2+1200x-6400
当 W=750 时,
750=-50(x-12)2+800
(x-12)2=1
X1=13 ,x2=11
由抛物线 w=-50x2+1200x-6400 的图像可知:
W≥750 时,11≤x≤13
21．（2010 年·武汉市·中考模拟试卷）如图平行四边形 OABC,A 点坐标为（2,0）抛物线 y＝ax2+bx+4 经
过点 A、B、C 三点，交Ｙ轴于Ｄ。
①求此抛物线的解析式。
②P 是抛物线上一点且⊿OBP≌⊿ODP,求 P 点坐标。
③直线 MN∥x 轴，交抛物线于 N,交 y 轴负半轴于 M,连线段 BN、AM,BN 交 OD 于 E,得 AM∥BN,求线段 MN
的长。
答案：（1）. 由平行四边形 ABCO 得
BC=AO=2
∴ 对 称 轴 x=-
a
b
2
=-1, b=2a D(-4,0)
∴y=ax2+2ax+4 过点 D(-4,0)
∴ 0=16a-8a+4 . a=-
2
1
y=-
2
1 x2-x+4
（2）解:∵△OBP≌△ODP
∠BOP=∠DOP
∠BOP=45°或 135°
P 在第二或第四象限的角平分线上.
P 的横坐标与纵坐标互为相反数.
x+y=0
又 y = -
2
1 x2-x+4. x+y = -
2
1 x2+4=0
x1=2 2 . x2=-2 2
y1=-2 2 y2=2 2
P(2 2 ,-2 2 )或(-2 2 ,2 2 )
（3）解:设 N(x,y)
则 OM=-y,MN=-x
MN∥x 轴,AM∥BN
MN
OE =
MB
OB ①
OA
OE =
OM
BO ②
由①②得
BM
MN =
OM
OA ,
y
x
4
=
y
2 , y=
2
8
x
又 y=-
2
1 x2-x+4
2
8
x
=-
2
1 x2-x+4
化简得 x2+4x-4=0
解得 x1=2 2 -2, x2=-2 2 -2
MN=-x=2 2 +2
22．（2010 广州大沥一模）如图，在直角坐标系中，点 A,B,C 的坐标分别为(－1,0)，（3,0），（0,3）.
(1)求过 A,B,C 三点的抛物线的解析式；
(2)求出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
答案：
解：（1）设抛物线的解析式为 ( 1)( 3)y a x x ．
将 (0 3)， 代入上式，得3 (0 1)(0 3)a ．
解得 1a ．
抛物线的解析式为 ( 1)( 3)y x x ．即 2 2 3y x x ．
方法二、
设 cbxaxy 2
根据题意得：
OA B
C
ly
x
3
039
c
cba
ccba
3
2
1
c
b
a
2 2 3y x x ．
（2）对称轴为：x=1
顶点坐标：（1,4）
23.（2010 武汉中考模拟 2）己知抛物线 baxaxy 42 与 X 轴交于 A，B 两点，（A 在 B 的左侧），与 Y
轴交于 C，若 OB＝OC，且 C（0,3）。
①求抛物线的解析式
②设抛物线的顶点为 D，点 P 在抛物线的对称轴上，且∠APD＝∠ACB，求点 P 的坐标
③在抛物线上是否存一点 M，过 M 作 MN⊥x 轴于 N，以 A、M、N 为顶点的三角形与△AOC 相似，若存在，求
出所有符合条件的 M 点坐标，若不存在，请说明理由。
答案：（1）y＝x2－4x＋3
（2）P（2，2）或（2，－2）
-2 -1
-2
-1
2
21
1
3
x
y
y1 y2
O
（3）M1（
3
10
9
7 ），M2（6，5）M3（
3
8 ，－
9
5 ）
24.（2010 武汉中考模拟）如图，抛物线 y1＝－x2＋2 向右平移 1 个单位得到抛物线 y2，回答下列问题：
(1)抛物线 y2 的顶点坐标_____________；
(2)阴影部分的面积 S＝___________；
(3)若再将抛物线 y2 绕原点 O 旋转 180°得到抛物线 y3，
求抛物线 y3 的解析式.
答案：(1) ( 1 , 2 ) (2) 2
(3) 由题意可得:抛物线 y3 的顶点与抛物线 y2 的顶点关于原点 O 成中心对称.
所以抛物线 y3 的顶点坐标为（-1，-2），于是可设抛物线 y3 的解析式为:
y = 2)1( 2 xa .由对称性得 1a ，所以 y = 2)1( 2 x .
25.（2010 武汉中考模拟）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为 6 米，宽度 OM 为 12
米．现以 O 点为原点，OM 所在直线为 x 轴建立直角坐标系（如图 1 所示）．
⑴求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围；
⑵隧道下的公路是双向行车道(正中间是一条宽 1 米的隔离带)，其中的一条行车道能否行驶宽 2.5 米、
高 5 米的特种车辆？请通过计算说明；
⑶施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使 A、D 点在抛物线上。B、C 点在地面 OM 线
上（如图 2 所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆 AB、AD、DC 的长度之和．．．．的最大值是多少，
请你帮施工队计算一下.
答案：（1）∵M（12，0），P（6，6）．∴设这条抛物线的函数解析式
为 y=a（x-6）2+6，
∵抛物线过 O（0，0），∴a（0-6）2+6=0，解得 a=- 1
6
，
∴这条抛物线的函数解析式为 y=- 1
6
（x-6）2+6，即 y=- 1
6
x2+2x．
（2）当 x=6-0.5-2.5=3(或 x=6+0.5+2.5=9)时
y=4.5＜5 ∴不能行驶宽 2.5 米、高 5 米的特种车辆
第 24 题图
D
y
P
xO M
A
B C
x
y
O
A
BC D
第 27 题图
xy 3
2
（3）设点 A 的坐标为（m，- 1
6
m2+2m），∴OB=m，AB=DC=- 1
6
m2+2m
根据抛物线的轴对称，可得：OB=CM=m，∴BC=12-2m，即 AD=12-2m
∴L=AB+AD+DC=- 1
6
m2+2m+12-2m- 1
6
m2+2m=- 1
3
m2+2m+12=- 1
3
（m-3）2+15．
∴当 m=3，即 OB=3 米时，三根木杆长度之和 L 的最大值为 15 米．
26.（2010 武汉中考模拟）已知，建立如图所示平面直角坐标系,点 B 在第一象限内,将 Rt△ABO 沿 OB 折叠
后,点 A 落在第一象限内的点 C 处.
（1）求点 C 的坐标；
（2）若抛物线 2 0y ax bx a 经过 C、A 两点,求此抛物线的
解析式；
（3）若上述抛物线的对称轴与 OB 交于点 D,点 P 为线段 DB 上一动
点,过 P 作 y 轴的平行线,交抛物线于点 M,问：是否存在这样的点
P,使得四边形 CDPM 为很等腰梯形？若存在,请求出此时点 P 的坐
标；若不存在,请说明理由.
答案：（1）点 C（ 3,3 ）；（2）抛物线的解析式为： 2 2 3y x x
（3）存在,此时点 P 为 4 43,3 3
.
27.（2010 上海奉贤二模）已知，矩形 OABC 在平面直角坐标系中位置如图所示，A 的坐标 )0,4( ，C 的坐标
)20( ， ，直线 xy 3
2 与边 BC 相交于点 D，
(1)求点 D 的坐标；
(2)抛物线 cbxaxy 2 经过点 A、D、O，求此抛物线的表达式；
(3)在这个抛物线上是否存在点 M ，使O 、 D 、 A 、 M 为
顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点 M 的坐标；
若不存在，请说明理由。
答案：
（1）D在BC上，BC∥ x 轴，C )20( ，
∴设D（ x ，-2）
D在直线 xy 3
2 上
∴ 33
22 xx
∴D（3，-2）
（2）抛物线 cbxaxy 2 经过点 A、D、O
∴
239
0
0416
cba
c
cba
解得：
0
3
8
3
2
c
b
a
所求的二次函数解析式为 xxy 3
8
3
2 2
（3）假设存在点 M ，使O 、 D 、 A 、 M 为顶点的四边形是梯形
①若以 OA 为底，BC∥ x 轴，抛物线是轴对称图形
∴点 M 的坐标为（ 21 ， ）
②若以 OD 为底，过点 A 作 OD 的平行线交抛物线为点 M
直线 OD 为 xy 3
2 ∴直线 AM 为
3
8
3
2 xy
∴
3
8
3
2 x xx 3
8
3
2 2 解得： 4,1 21 xx （舍去）
∴点 M 的坐标为（
3
10,1 ）
③若以 AD 为底，过点 O 作 AD 的平行线交抛物线为点 M
直线 AD 为 82 xy ∴直线 OM 为 xy 2
∴ x2 xx 3
8
3
2 2 解得： 0,7 21 xx （舍去）
∴点 M 的坐标为（ 14,7 ）
∴综上所述，当点 M 的坐标为（ 21 ， ）、（
3
10,1 ）、（ 14,7 ）时以 O 、 D 、 A 、 M 为顶点的四边形
是梯形
28．（武汉市 2010 年初中学业考试）已知抛物线 baxaxy 32 交 x 轴分别于 A、B（1,0），交 y 轴于 C
（0,2）.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图（1），P 为抛物线第三象限的点，若 PBCPAC SS 2 ，求 P 点坐标；
（3）如图（2），D 为抛物线的顶点，在抛物线上是否存在点 Q，使△ADQ 为锐角三角形，若存在，求出 Q
点横坐标的取值范围.
答案：（1） 22
3
2
1 2 xxy ；（2）设 PC 交 x 轴于 M，过 A、B 分别作 PC 的垂线，垂足分别为 S、T，若
PBCPAC SS 2 则
0,3
2
3
2
3
10
3
22 DOMABAMBT
AS
MB
AM
23: xyCM直线 ，联立
22
3
2
1
23
2 xxy
xy
得 P（-9,-25）；（3）分别过 A、D 作 AD 的垂线求交点
横坐标得
5
130 Qx .
29．（武汉市 2010 年初中学业考试）武汉黄陂云雾山郊野公园，享有“西陵胜地，楚北名区，陂西陲障，
汉地祖山”的美誉，山间环境幽雅宜人，风景秀美如画．每逢春夏之交，云雾山杜鹃花红白相间艳丽多姿，
漫山遍野竟相开放，游人极多，不利于景区生态建设．为控制游客人数，并且保证经济收入，景区准备提
高门票价格，已知每张门票价格为 30 元时，平均每天有游客 4000 人，经调研知，若每张门票价格每增加
10 元，平均每游客减少 500 人，物价部门规定，每张门票不低于 30 元，不高于 100 元．设每天游客人数
为 y（人），每张门票价格涨价 x（元）（x 为 10 的倍数）．
（1）写出 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自量 x 的取值范围；
（2）若某天的门票收入为 15 万元，此收入是否为每天的门票最大收入？请说明理由；
（3）请分析并回答门票价格在什么范围内每天门票收入不低于 12 万元．
答案：（1）y=-50x+4000(0≤x≤70)； （2）是每天最大利润.设每天利润为 w，则 w=(-50x+4000)(x+30)
= 151250)25(50120000250050 22 xxx ，又 x 为 10 的整数倍，∴当 x＝20 或 30 时， w 最大=-50
×25+151250＝150000. ∴是每天的最大利润.（3） 120000250050 2 xx ≥120000，画图像得 0≤x≤
50,即 30≤定价≤80 时每天利润不低于 12 万.
30.（2010 浦东新区中考模拟）如图，已知在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（-2，0），点 B 是点 A 关
于原点的对称点，P 是函数 )0(2 xxy 图像上的一点， 且△ABP 是直
角三角形．
（1）求点 P 的坐标；
（2）如果二次函数的图像经过 A、B、P 三点，求这个 二次函数的解
析式；
（3）如果第（2）小题中求得的二次函数图像与 y 轴交 于点 C，过该
函数图像上的点 C、点 P 的直线与 x 轴交于点 D，试比较 ∠ BPD 与 ∠
BAP 的大小，并说明理由．
答案：解：（1）由题意，得点 B 的坐标为（2，0）．
设点 P 的坐标为（ x ， y ）．
由题意可知 ∠ABP＝90°或∠APB＝90°．
（i）当∠ABP＝90°时， 2x ， 1y ．∴点 P 坐标是（2，1）．
（ii）当∠APB＝90°时， 222 ABPBPA ，
即 1622 2222 yxyx ．
又由
xy 2 ，可得 2x （负值不合题意，舍去）．
当 2x 时， 2y ．∴点 P 点坐标是（ 2 ， 2 ）．
综上所述，点 P 坐标是（2，1）或（ 2 ， 2 ）．
（2）设所求的二次函数的解析式为 )0(2 acbxaxy ．
（i）当点 P 的坐标为（2，1）时，点 A、B、P 不可能在同一个二次函数图像上．
（ii）当点 P 的坐标为（ 2 ， 2 ）时，代入 A、B、P 三点的坐标，
得
.222
,240
,240
cba
cba
cba
A O
y
x
（第 30 题图）
解得
.22
,0
,2
2
c
b
a
∴所求的二次函数解析式为 222
2 2 xy ．
（3）∠BPD=∠BAP．
证明如下：
∵点 C 坐标为（0， 22 ），
∴直线 PC 的表达式为 22 xy ．
∴点 D 坐标为（ 22 ，0）．
∴PD=2，BD= 222 ，AD= 222 ．
∴ 122
222
PD
BD ， 12
222
2
AD
PD ，∴
AD
PD
PD
BD ．
∵∠PDB=∠ADP，∴△PBD∽△APD．
∴∠BPD=∠BAP．
另证：联接 OP．
∵∠APB＝90°，OA=OB，∴OP=OA．∴∠APO=∠PAO．
又∵点 C 坐标为（0， 22 ），
∴直线 PC 的表达式为 22 xy ．
∴点 D 坐标为（ 22 ，0）．
∴OC=OD．
∵点 P 的坐标为（ 2 ， 2 ），∴PC=PD．∴OP⊥CD．
∴∠BPD=∠APO．
∴∠BPD=∠BAP．
31.(2010 星子二中月考)抛物线 2 2 3y x x 与 x 轴交 A、B 两点（A 点在 B 点左侧），直线l 与抛物线交
于 A、C 两点，其中 C 点的横坐标为 2。
（1）求 A、B 两点的坐标及直线 AC 的函数表达式；
（2）P 是线段 AC 上的一个动点，过 P 点作 y 轴的平行线交抛物线于 E 点，求线段 PE 长度的最大值；
答案：令 y=0，解得 1 1x 或 2 3x ，∴A（－1，0）B（3，0）；
将 C 点的横坐标 x=2 代入 2 2 3y x x 得 y=－3，∴C（2，－3）
∴直线 AC 的函数解析式是 y=－x－1
（2）设 P 点的横坐标为 x（－1≤x≤2）（注：x 的范围不写不扣分）
则 P、E 的坐标分别为：P（x，－x－1），E 2( , 2 3)x x x
∵P 点在 E 点的上方，PE= 2 2( 1) ( 2 3) 2x x x x x ，∴当 1
2x 时，PE 的最大值= 9
4
32.（2010 张家口市桥东区模拟）我市某工艺厂为配合北京奥运，设计了一款成本为 20 元∕件的工艺品投
放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：
销售单价
x（元/件） … 30 40 50 60 …
每天销售
量 y（件） … 500 400 300 200 …
（1）把上表中 x、y 的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想 y 与 x
的函数关系，并求出函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售
总价-成本总价）
（3）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能．．超过 45 元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂
试销该工艺品每天获得的利润最大？
（1）画图如图；
由图可猜想 y 与 x 是一次函数关系，
设这个一次函数为 y=kx+b(k≠0)
∵这个一次函数的图象经过（30，500）、（40，400）这两点，
∴ 500 30
400 40
k b
k b
解得 10
800
k
b
∴函数关系式是： y =－10 x +800
（2）设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是 W 元，依题意得
W=（ x －20）（－10 x +800）=－10 x 2 +1000 x -16000
=－10（ x －50） 2 +9000
∴当 x =50 时，W 有最大值 9000．
所以，当销售单价定为 50 元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是 9000 元．
（3）对于函数 W=-10(x-50)2+9000，
当 x ≤45 时，W 的值随着 x 值的增大而增大，销售单价定为 45 元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天
获得的利润最大．
