广州市中考数学试卷解析版

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文档介绍

广州市中考数学试卷解析版

‎2012年广州市中考数学试卷(解析版)‎ ‎ ‎ 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.(2012•广州)实数3的倒数是(  )‎ ‎  A.﹣  B.  C.﹣3  D.3‎ ‎2.(2012•广州)将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位,则平移以后的二次函数的解析式为(  )‎ ‎  A.y=x2﹣1  B.y=x2+1  C.y=(x﹣1)2  D.y=(x+1)2‎ ‎3.(2012•广州)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体是(  )‎ ‎  A.四棱锥  B.四棱柱  C.三棱锥  D.三棱柱 ‎6.(2012•广州)已知|a﹣1|+=0,则a+b=(  )‎ ‎  A.﹣8  B.﹣6  C.6  D.8‎ ‎7.(2012•广州)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=12,则点C到AB的距离是(  )‎ ‎  A.  B.  C.  D.‎ ‎8.(2012•广州)已知a>b,若c是任意实数,则下列不等式中总是成立的是(  )‎ ‎  A.a+c<b+c  B.a﹣c>b﹣c  C.ac<bc  D.ac>bc ‎9.(2012•广州)在平面中,下列命题为真命题的是(  )‎ ‎  A.四边相等的四边形是正方形  B.对角线相等的四边形是菱形  C.四个角相等的四边形是矩形  D.对角线互相垂直的四边形是平行四边形 ‎10.(2012•广州)如图,正比例函数y1=k1x和反比例函数y2=的图象交于A(﹣1,2)、B(1,﹣2)两点,若y1<y2,则x的取值范围是(  )‎ ‎  A.x<﹣1或x>1  B.x<﹣1或0<x<1  C.﹣1<x<0或0<x<1  D.﹣1<x<0或x>1‎ 二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分)‎ ‎11.(2012•广州)已知∠ABC=30°,BD是∠ABC的平分线,则∠ABD=  度.‎ ‎12.(2012•广州)不等式x﹣1≤10的解集是  .‎ ‎13.(2012•广州)分解因式:a3﹣‎8a= ‎ ‎14.(2012•广州)如图,在等边三角形ABC中,AB=6,D是BC上一点,且BC=3BD,△ABD绕点A旋转后得到△ACE,则CE的长度为  .‎ ‎15.(2012•广州)已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个相等的实数根,则k值为 3 .‎ ‎16.(2012•广州)如图,在标有刻度的直线l上,从点A开始,‎ 以AB=1为直径画半圆,记为第1个半圆;‎ 以BC=2为直径画半圆,记为第2个半圆;‎ 以CD=4为直径画半圆,记为第3个半圆;‎ 以DE=8为直径画半圆,记为第4个半圆,‎ ‎…按此规律,继续画半圆,则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的  倍,第n个半圆的面积为  (结果保留π)‎ 三、解答题(本大题共9小题,满分102分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(2012•广州)解方程组.‎ ‎18.(2012•广州)如图,点D在AB上,点E在AC上,AB=AC,∠B=∠C.求证:BE=CD.‎ ‎19.(2012•广州)广州市努力改善空气质量,近年来空气质量明显好转,根据广州市环境保护局公布的2006﹣2010这五年各年的全年空气质量优良的天数,绘制折线图如图.根据图中信息回答:‎ ‎(1)这五年的全年空气质量优良天数的中位数是  ,极差是  .‎ ‎(2)这五年的全年空气质量优良天数与它前一年相比,增加最多的是  年(填写年份).‎ ‎(3)求这五年的全年空气质量优良天数的平均数.‎ ‎20.(2012•广州)已知(a≠b),求的值.‎ ‎21.(2012•广州)甲、乙两个袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片,甲袋中的三张卡片上所标有的三个数值为﹣7,﹣1,3.乙袋中的三张卡片所标的数值为﹣2,1,6.先从甲袋中随机取出一张卡片,用x表示取出的卡片上的数值,再从乙袋中随机取出一张卡片,用y表示取出卡片上的数值,把x、y分别作为点A的横坐标和纵坐标.‎ ‎(1)用适当的方法写出点A(x,y)的所有情况.‎ ‎(2)求点A落在第三象限的概率.‎ ‎22.(2012•广州)如图,⊙P的圆心为P(﹣3,2),半径为3,直线MN过点M(5,0)且平行于y轴,点N在点M的上方.‎ ‎(1)在图中作出⊙P关于y轴对称的⊙P′.根据作图直接写出⊙P′与直线MN的位置关系.‎ ‎(2)若点N在(1)中的⊙P′上,求PN的长.[来源:Zxxk.Com]‎ ‎23.(2012•广州)某城市居民用水实行阶梯收费,每户每月用水量如果未超过20吨,按每吨1.9元收费.如果超过20吨,未超过的部分按每吨1.9元收费,超过的部分按每吨2.8元收费.设某户每月用水量为x吨,应收水费为y元.‎ ‎(1)分别写出每月用水量未超过20吨和超过20吨,y与x间的函数关系式.‎ ‎(2)若该城市某户5月份水费平均为每吨2.2元,求该户5月份用水多少吨?‎ ‎24.(2012•广州)如图,抛物线y=与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.‎ ‎(1)求点A、B的坐标;‎ ‎(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,求点D的坐标;‎ ‎(3)若直线l过点E(4,0),M为直线l上的动点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线l的解析式.‎ ‎25.(2012•广州)如图,在平行四边形ABCD中,AB=5,BC=10,F为AD的中点,CE⊥AB于E,设∠ABC=α(60°≤α<90°).‎ ‎(1)当α=60°时,求CE的长;‎ ‎(2)当60°<α<90°时,‎ ‎①是否存在正整数k,使得∠EFD=k∠AEF?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎②连接CF,当CE2﹣CF2取最大值时,求tan∠DCF的值.‎ 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.(2012•广州)实数3的倒数是(  )‎ ‎  A.﹣  B.  C.﹣3  D.3‎ 考点:‎ 实数的性质。‎ 专题:‎ 常规题型。‎ 分析:‎ 根据乘积是1的两个数互为倒数解答.‎ 解答:‎ 解:∵3×=1,‎ ‎∴3的倒数是.‎ 故选B.‎ 点评:‎ 本题考查了实数的性质,熟记倒数的定义是解题的关键.‎ ‎2.(2012•广州)将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位,则平移以后的二次函数的解析式为(  )‎ ‎  A.y=x2﹣1  B.y=x2+1  C.y=(x﹣1)2  D.y=(x+1)2‎ 考点:‎ 二次函数图象与几何变换。‎ 专题:‎ 探究型。‎ 分析:‎ 直接根据上加下减的原则进行解答即可.‎ 解答:‎ 解:由“上加下减”的原则可知,将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位,则平移以后的二次函数的解析式为:y=x2﹣1.‎ 故选A.‎ 点评:‎ 本题考查的是二次函数的图象与几何变换,熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键.‎ ‎3.(2012•广州)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体是(  )‎ ‎  A.四棱锥  B.四棱柱  C.三棱锥  D.三棱柱 考点:‎ 由三视图判断几何体。‎ 分析:‎ 主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看,所得到的图形.‎ 解答:‎ 解:由于主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体,‎ 由俯视图为三角形,可得为棱柱体,‎ 所以这个几何体是三棱柱;‎ 故选D.‎ 点评:‎ 本题考查了由三视图来判断几何体,还考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力,同时也体现了对空间想象能力.‎ ‎4.(2012•广州)下面的计算正确的是(  )‎ ‎  A.6a﹣5a=1  B.a+2a2=3a3  C.﹣(a﹣b)=﹣a+b  D.2(a+b)=2a+b 考点:‎ 去括号与添括号;合并同类项。‎ 分析:‎ 根据合并同类项法则:把同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变;去括号法则:如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同;如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反,进行计算,即可选出答案.‎ 解答:‎ 解:A、6a﹣5a=a,故此选项错误;‎ B、a与‎2a2不是同类项,不能合并,故此选项错误;‎ C、﹣(a﹣b)=﹣a+b,故此选项正确;‎ D、2(a+b)=‎2a+2b,故此选项错误;‎ 故选:C.‎ 点评:‎ 此题主要考查了合并同类项,去括号,关键是注意去括号时注意符号的变化,注意乘法分配律的应用,不要漏乘.‎ ‎5.(2012•广州)如图,在等腰梯形ABCD中,BC∥AD,AD=5,DC=4,DE∥AB交BC于点E,且EC=3,则梯形ABCD的周长是(  )‎ ‎  A.26  B.25  C.21  D.20‎ 考点:‎ 等腰梯形的性质;平行四边形的判定与性质。‎ 分析:‎ 由BC∥AD,DE∥AB,即可得四边形ABED是平行四边形,根据平行四边形的对边相等,即可求得BE的长,继而求得BC的长,由等腰梯形ABCD,可求得AB的长,继而求得梯形ABCD的周长.‎ 解答:‎ 解:∵BC∥AD,DE∥AB,‎ ‎∴四边形ABED是平行四边形,‎ ‎∴BE=AD=5,‎ ‎∵EC=3,‎ ‎∴BC=BE+EC=8,‎ ‎∵四边形ABCD是等腰梯形,‎ ‎∴AB=DC=4,‎ ‎∴梯形ABCD的周长为:AB+BC+CD+AD=4+8+4+5=21.‎ 故选C.‎ 点评:‎ 此题考查了等腰梯形的性质与平行四边形的判定与性质.此题比较简单,注意判定出四边形ABED是平行四边形是解此题的关键,同时注意数形结合思想的应用.‎ ‎6.(2012•广州)已知|a﹣1|+=0,则a+b=(  )‎ ‎  A.﹣8  B.﹣6  C.6  D.8‎ 考点:‎ 非负数的性质:算术平方根;非负数的性质:绝对值。‎ 专题:‎ 常规题型。‎ 分析:‎ 根据非负数的性质列式求出a、b的值,然后代入代数式进行计算即可得解.‎ 解答:‎ 解:根据题意得,a﹣1=0,7+b=0,‎ 解得a=1,b=﹣7,‎ 所以,a+b=1+(﹣7)=﹣6.‎ 故选B.‎ 点评:‎ 本题考查了非负数的性质:几个非负数的和为0时,这几个非负数都为0.‎ ‎7.(2012•广州)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=12,则点C到AB的距离是(  )‎ ‎  A.  B.  C.  D.‎ 考点:‎ 勾股定理;点到直线的距离;三角形的面积。‎ 专题:‎ 计算题。‎ 分析:‎ 根据题意画出相应的图形,如图所示,在直角三角形ABC中,由AC及BC的长,利用勾股定理求出AB的长,然后过C作CD垂直于AB,由直角三角形的面积可以由两直角边乘积的一半来求,也可以由斜边AB乘以斜边上的高CD除以2来求,两者相等,将AC,AB及BC的长代入求出CD的长,即为C到AB的距离.‎ 解答:‎ 解:根据题意画出相应的图形,如图所示:‎ 在Rt△ABC中,AC=9,BC=12,‎ 根据勾股定理得:AB==15,‎ 过C作CD⊥AB,交AB于点D,‎ 又S△ABC=AC•BC=AB•CD,‎ ‎∴CD===,‎ 则点C到AB的距离是.‎ 故选A 点评:‎ 此题考查了勾股定理,点到直线的距离,以及三角形面积的求法,熟练掌握勾股定理是解本题的关键.‎ ‎8.(2012•广州)已知a>b,若c是任意实数,则下列不等式中总是成立的是(  )‎ ‎  A.a+c<b+c  B.a﹣c>b﹣c  C.ac<bc  D.ac>bc 考点:‎ 不等式的性质。‎ 分析:‎ 根据不等式的性质,分别将个选项分析求解即可求得答案;注意排除法在解选择题中的应用.‎ 解答:‎ 解:A、∵a>b,c是任意实数,∴a+c>b+c,故本选项错误;‎ B、∵a>b,c是任意实数,∴a﹣c>b﹣c,故本选项正确;‎ C、当a>b,c<0时,ac<bc,而此题c是任意实数,故本选项错误;‎ D、当a>b,c>0时,ac>bc,而此题c是任意实数,故本选项错误.‎ 故选B.‎ 点评:‎ 此题考查了不等式的性质.此题比较简单,注意解此题的关键是掌握不等式的性质:‎ ‎(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变.‎ ‎(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.‎ ‎(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.‎ ‎9.(2012•广州)在平面中,下列命题为真命题的是(  )‎ ‎  A.四边相等的四边形是正方形  B.对角线相等的四边形是菱形  C.四个角相等的四边形是矩形  D.对角线互相垂直的四边形是平行四边形 考点:‎ 正方形的判定;平行四边形的判定;菱形的判定;矩形的判定;命题与定理。‎ 分析:‎ 分析是否为真命题,需要分别分析各题设是否能推出结论,从而利用排除法得出答案,不是真命题的可以举出反例.‎ 解答:‎ 解:A、四边相等的四边形不一定是正方形,例如菱形,故此选项错误;‎ B、对角线相等的四边形不是菱形,例如矩形,等腰梯形,故此选项错误;‎ C、四个角相等的四边形是矩形,故此选项正确;‎ D、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形,如右图所示,故此选项错误.‎ 故选:C.‎ 点评:‎ 此题主要考查命题的真假判断,正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.‎ ‎10.(2012•广州)如图,正比例函数y1=k1x和反比例函数y2=的图象交于A(﹣1,2)、B(1,﹣2)两点,若y1<y2,则x的取值范围是(  )‎ ‎  A.x<﹣1或x>1  B.x<﹣1或0<x<1  C.﹣1<x<0或0<x<1  D.﹣1<x<0或x>1‎ 考点:‎ 反比例函数与一次函数的交点问题。‎ 专题:‎ 数形结合。‎ 分析:‎ 根据图象找出直线在双曲线下方的x的取值范围即可.‎ 解答:‎ 解:由图象可得,﹣1<x<0或x>1时,y1<y2.‎ 故选D.‎ 点评:‎ 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,数形结合是解题的关键.‎ 二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分)‎ ‎11.(2012•广州)已知∠ABC=30°,BD是∠ABC的平分线,则∠ABD= 15 度.‎ 考点:‎ 角平分线的定义。‎ 专题:‎ 常规题型。‎ 分析:‎ 根据角平分线的定义解答.‎ 解答:‎ 解:∵∠ABC=30°,BD是∠ABC的平分线,‎ ‎∴∠ABD=∠ABC=×30°=15°.‎ 故答案为:15.‎ 点评:‎ 本题考查了角平分线的定义,熟记定义是解题的关键.‎ ‎12.(2012•广州)不等式x﹣1≤10的解集是 x≤11 .‎ 考点:‎ 解一元一次不等式。‎ 分析:‎ 首先移项,然后合并同类项即可求解.‎ 解答:‎ 解:移项,得:x≤10+1,‎ 则不等式的解集是:x≤11.‎ 故答案是:x≤11.‎ 点评:‎ 本题考查了解简单不等式的能力,解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错.‎ ‎13.(2012•广州)分解因式:a3﹣‎8a= a(a+2)(a﹣2) .‎ 考点:‎ 提公因式法与公式法的综合运用。‎ 专题:‎ 常规题型。‎ 分析:‎ 先提取公因式a,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.‎ 解答:‎ 解:a3﹣8a,‎ ‎=a(a2﹣8),‎ ‎=a(a+2)(a﹣2).‎ 故答案为:a(a+2)(a﹣2).‎ 点评:‎ 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.‎ ‎14.(2012•广州)如图,在等边三角形ABC中,AB=6,D是BC上一点,且BC=3BD,△ABD绕点A旋转后得到△ACE,则CE的长度为 2 .‎ 考点:‎ 旋转的性质;等边三角形的性质。‎ 分析:‎ 由在等边三角形ABC中,AB=6,D是BC上一点,且BC=3BD,根据等边三角形的性质,即可求得BD的长,然后由旋转的性质,即可求得CE的长度.[来源:Z|xx|k.Com]‎ 解答:‎ 解:∵在等边三角形ABC中,AB=6,‎ ‎∴BC=AB=6,‎ ‎∵BC=3BD,‎ ‎∴BD=BC=2,‎ ‎∵△ABD绕点A旋转后得到△ACE,‎ ‎∴△ABD≌△ACE,‎ ‎∴CE=BD=2.‎ 故答案为:2.‎ 点评:‎ 此题考查了旋转的性质与等边三角形的性质.此题难度不大,注意旋转中的对应关系.‎ ‎15.(2012•广州)已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个相等的实数根,则k值为 3 .‎ 考点:‎ 根的判别式。‎ 分析:‎ 因为方程有两个相等的实数根,则△=(﹣2)2﹣4k=0,解关于k的方程即可.‎ 解答:‎ 解:∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个相等的实数根,‎ ‎∴△=(﹣2)2﹣4k=0,‎ ‎∴12﹣4k=0,‎ 解得k=3.‎ 故答案为:3.‎ 点评:‎ 本题考查了一元二次方程根的判别式,当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.‎ ‎16.(2012•广州)如图,在标有刻度的直线l上,从点A开始,‎ 以AB=1为直径画半圆,记为第1个半圆;‎ 以BC=2为直径画半圆,记为第2个半圆;‎ 以CD=4为直径画半圆,记为第3个半圆;‎ 以DE=8为直径画半圆,记为第4个半圆,‎ ‎…按此规律,继续画半圆,则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的 4 倍,第n个半圆的面积为 22n﹣5π (结果保留π)‎ 考点:‎ 规律型:图形的变化类。‎ 分析:‎ 根据已知图形得出第4个半圆的半径是第3个半圆的半径,进而得出第4个半圆的面积与第3个半圆面积的关系,得出第n个半圆的半径,进而得出答案.‎ 解答:‎ 解:∵以AB=1为直径画半圆,记为第1个半圆;[来源:学科网]‎ 以BC=2为直径画半圆,记为第2个半圆;‎ 以CD=4为直径画半圆,记为第3个半圆;[来源:Zxxk.Com]‎ 以DE=8为直径画半圆,记为第4个半圆,‎ ‎∴第4个半圆的面积为:=8π,‎ 第3个半圆面积为:=2π,‎ ‎∴第4个半圆的面积是第3个半圆面积的=4倍;‎ 根据已知可得出第n个半圆的直径为:2n﹣1,‎ 则第n个半圆的半径为:=2n﹣2,‎ 第n个半圆的面积为:=22n﹣5π.‎ 故答案为:4,22n﹣5π.‎ 点评:‎ 此题主要考查了数字变化规律,注意数字之间变化规律,根据已知得出第n个半圆的直径为:2n﹣1是解题关键.‎ 三、解答题(本大题共9小题,满分102分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(2012•广州)解方程组.‎ 考点:‎ 解二元一次方程组。‎ 专题:‎ 计算题。‎ 分析:‎ 根据y的系数互为相反数,利用加减消元法求解即可.‎ 解答:‎ 解:,‎ ‎①+②得,4x=20,‎ 解得x=5,‎ 把x=5代入①得,5﹣y=8,‎ 解得y=﹣3,‎ 所以方程组的解是.‎ 点评:‎ 本题考查了解二元一次方程组,有加减法和代入法两种,根据y的系数互为相反数确定选用加减法解二元一次方程组是解题的关键.‎ ‎18.(2012•广州)如图,点D在AB上,点E在AC上,AB=AC,∠B=∠C.求证:BE=CD.‎ 考点:‎ 全等三角形的判定与性质。‎ 专题:‎ 证明题。‎ 分析:‎ 已知图形∠A=∠A,根据ASA证△ABE≌△ACD,根据全等三角形的性质即可求出答案.‎ 解答:‎ 证明:∵在△ABE和△ACD中 ‎,‎ ‎∴△ABE≌△ACD,‎ ‎∴BE=CD.‎ 点评:‎ 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用,全等三角形的判定方法有:SAS,ASA,AAS,SSS,用ASA(还有∠A=∠A)即可证出△ABE≌△ACD.‎ ‎19.(2012•广州)广州市努力改善空气质量,近年来空气质量明显好转,根据广州市环境保护局公布的2006﹣2010这五年各年的全年空气质量优良的天数,绘制折线图如图.根据图中信息回答:‎ ‎(1)这五年的全年空气质量优良天数的中位数是 345 ,极差是 24 .‎ ‎(2)这五年的全年空气质量优良天数与它前一年相比,增加最多的是 2008 年(填写年份).‎ ‎(3)求这五年的全年空气质量优良天数的平均数.‎ 考点:‎ 折线统计图;算术平均数;中位数;极差。‎ 专题:‎ 图表型。‎ 分析:‎ ‎(1)把这五年的全年空气质量优良天数按照从小到大排列,根据中位数的定义解答;根据极差的定义,用最大的数减去最小的数即可;‎ ‎(2)分别求出相邻两年下一年比前一年多的优良天数,然后即可得解;‎ ‎(3)根据平均数的求解方法列式计算即可得解.‎ 解答:‎ 解:(1)这五年的全年空气质量优良天数按照从小到大排列如下:‎ ‎333、334、345、347、357,‎ 所以中位数是345;‎ 极差是:357﹣333=24;‎ ‎(2)2007年与2006年相比,333﹣334=﹣1,‎ ‎2008年与2007年相比,345﹣333=12,‎ ‎2009年与2008年相比,347﹣345=2,‎ ‎2010年与2009年相比,357﹣347=10,‎ 所以增加最多的是2008年;‎ ‎(3)这五年的全年空气质量优良天数的平均数===343.2天.‎ 点评:‎ 本题考查了折线统计图,要理解极差的概念,中位数的定义,以及算术平均数的求解方法,能够根据计算的数据进行综合分析,熟练掌握对统计图的分析和平均数的计算是解题的关键.‎ ‎20.(2012•广州)已知(a≠b),求的值.‎ 考点:‎ 分式的化简求值;约分;通分;分式的加减法。‎ 专题:‎ 计算题。‎ 分析:‎ 求出=,通分得出﹣,推出,化简得出,代入求出即可.‎ 解答:‎ 解:∵+=,‎ ‎∴=,‎ ‎∴﹣,‎ ‎=﹣,‎ ‎=,‎ ‎=,‎ ‎=,‎ ‎=.‎ 点评:‎ 本题考查了通分,约分,分式的加减的应用,能熟练地运用分式的加减法则进行计算是解此题的关键,用了整体代入的方法(即把当作一个整体进行代入).‎ ‎21.(2012•广州)甲、乙两个袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片,甲袋中的三张卡片上所标有的三个数值为﹣7,﹣1,3.乙袋中的三张卡片所标的数值为﹣2,1,6.先从甲袋中随机取出一张卡片,用x表示取出的卡片上的数值,再从乙袋中随机取出一张卡片,用y表示取出卡片上的数值,把x、y分别作为点A的横坐标和纵坐标.‎ ‎(1)用适当的方法写出点A(x,y)的所有情况.‎ ‎(2)求点A落在第三象限的概率.‎ 考点:‎ 列表法与树状图法;点的坐标。‎ 分析:‎ ‎(1)直接利用表格列举即可解答;‎ ‎(2)利用(1)中的表格求出点A落在第三象限共有两种情况,再除以点A的所有情况即可.‎ 解答:‎ 解:(1)如下表,‎ ‎﹣7‎ ‎﹣1‎ ‎3 ‎ ‎﹣2‎ ‎﹣7,﹣2‎ ‎﹣1,﹣2‎ ‎ 3,﹣2‎ ‎ 1‎ ‎﹣7,1‎ ‎﹣1,1‎ ‎ 3,1‎ ‎ 6‎ ‎﹣7,6‎ ‎﹣1,6‎ ‎ 3,6‎ 点A(x,y)共9种情况;‎ ‎(2)∵点A落在第三象限共有(﹣7,﹣2)(﹣1,﹣2)两种情况,‎ ‎∴点A落在第三象限的概率是.‎ 点评:‎ 此题主要考查利用列表法求概率,关键是列举出事件发生的所有情况,并通过概率公式进行计算,属于基础题.‎ ‎22.(2012•广州)如图,⊙P的圆心为P(﹣3,2),半径为3,直线MN过点M(5,0)且平行于y轴,点N在点M的上方.‎ ‎(1)在图中作出⊙P关于y轴对称的⊙P′.根据作图直接写出⊙P′与直线MN的位置关系.‎ ‎(2)若点N在(1)中的⊙P′上,求PN的长.[来源:Zxxk.Com]‎ 考点:‎ 作图-轴对称变换;直线与圆的位置关系。‎ 专题:‎ 作图题。‎ 分析:‎ ‎(1)根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数,纵坐标相等找出点P′的位置,然后以3为半径画圆即可;再根据直线与圆的位置关系解答;‎ ‎(2)设直线PP′与MN相交于点A,在Rt△AP′N中,利用勾股定理求出AN的长度,在Rt△APN中,利用勾股定理列式计算即可求出PN的长度.‎ 解答:‎ 解:(1)如图所示,⊙P′即为所求作的圆,⊙P′与直线MN相交;‎ ‎(2)设直线PP′与MN相交于点A,‎ 在Rt△AP′N中,AN===,‎ 在Rt△APN中,PN===.‎ 点评:‎ 本题考查了利用轴对称变换作图,直线与圆的位置关系,勾股定理的应用,熟练掌握网格结构,准确找出点P′的位置是解题的关键.‎ ‎23.(2012•广州)某城市居民用水实行阶梯收费,每户每月用水量如果未超过20吨,按每吨1.9元收费.如果超过20吨,未超过的部分按每吨1.9元收费,超过的部分按每吨2.8元收费.设某户每月用水量为x吨,应收水费为y元.‎ ‎(1)分别写出每月用水量未超过20吨和超过20吨,y与x间的函数关系式.‎ ‎(2)若该城市某户5月份水费平均为每吨2.2元,求该户5月份用水多少吨?‎ 考点:‎ 一次函数的应用。‎ 专题:‎ 经济问题。‎ 分析:‎ ‎(1)未超过20吨时,水费y=1.9×相应吨数;‎ 超过20吨时,水费y=1.9×20+超过20吨的吨数×2.8;‎ ‎(2)该户的水费超过了20吨,关系式为:1.9×20+超过20吨的吨数×2.8=用水吨数×2.2.‎ 解答:‎ 解:(1)当x≤20时,y=1.9x;‎ 当x>20时,y=1.9×20+(x﹣20)×2.8=2.8x﹣18;‎ ‎(2)∵5月份水费平均为每吨2.2元,用水量如果未超过20吨,按每吨1.9元收费.‎ ‎∴用水量超过了20吨.‎ ‎2.8x﹣18=2.2x,‎ 解得x=30.‎ 答:该户5月份用水30吨.‎ 点评:‎ 考查一次函数的应用;得到用水量超过20吨的水费的关系式是解决本题的关键.‎ ‎24.(2012•广州)如图,抛物线y=与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.‎ ‎(1)求点A、B的坐标;‎ ‎(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,求点D的坐标;‎ ‎(3)若直线l过点E(4,0),M为直线l上的动点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线l的解析式.‎ 考点:‎ 二次函数综合题。‎ 分析:‎ ‎(1)A、B点为抛物线与x轴交点,令y=0,解一元二次方程即可求解.‎ ‎(2)根据题意求出△ACD中AC边上的高,设为h.在坐标平面内,作AC的平行线,平行线之间的距离等于h.根据等底等高面积相等的原理,则平行线与坐标轴的交点即为所求的D点.‎ 从一次函数的观点来看,这样的平行线可以看做是直线AC向上或向下平移而形成.因此先求出直线AC的解析式,再求出平移距离,即可求得所作平行线的解析式,从而求得D点坐标.‎ 注意:这样的平行线有两条,如答图1所示.‎ ‎(3)本问关键是理解“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”的含义.‎ 因为过A、B点作x轴的垂线,其与直线l的两个交点均可以与A、B点构成直角三角形,这样已经有符合题意的两个直角三角形;第三个直角三角形从直线与圆的位置关系方面考虑,以AB为直径作圆,当直线与圆相切时,根据圆周角定理,切点与A、B点构成直角三角形.从而问题得解.‎ 注意:这样的切线有两条,如答图2所示.‎ 解答:‎ 解:(1)令y=0,即=0,‎ 解得x1=﹣4,x2=2,‎ ‎∴A、B点的坐标为A(﹣4,0)、B(2,0).‎ ‎(2)S△ACB=AB•OC=9,‎ 在Rt△AOC中,AC===5,‎ 设△ACD中AC边上的高为h,则有AC•h=9,解得h=.‎ 如答图1,在坐标平面内作直线平行于AC,且到AC的距离=h=,这样的直线有2条,分别是l1和l2,则直线与对称轴x=﹣1的两个交点即为所求的点D.‎ 设l1交y轴于E,过C作CF⊥l1于F,则CF=h=,‎ ‎∴CE==.‎ 设直线AC的解析式为y=kx+b,将A(﹣4,0),B(0,3)坐标代入,‎ 得到,解得,∴直线AC解析式为y=x+3.[来源:学.科.网]‎ 直线l1可以看做直线AC向下平移CE长度单位(个长度单位)而形成的,‎ ‎∴直线l1的解析式为y=x+3﹣=x﹣.‎ 则D1的纵坐标为×(﹣1)﹣=,∴D1(﹣4,).‎ 同理,直线AC向上平移个长度单位得到l2,可求得D2(﹣1,)‎ 综上所述,D点坐标为:D1(﹣4,),D2(﹣1,).‎ ‎(3)如答图2,以AB为直径作⊙F,圆心为F.过E点作⊙F的切线,这样的切线有2条.‎ 连接FM,过M作MN⊥x轴于点N.‎ ‎∵A(﹣4,0),B(2,0),∴F(﹣1,0),⊙F半径FM=FB=3.‎ 又FE=5,则在Rt△MEF中,‎ ME==4,sin∠MFE=,cos∠MFE=.‎ 在Rt△FMN中,MN=MN•sin∠MFE=3×=,‎ FN=MN•cos∠MFE=3×=,则ON=,‎ ‎∴M点坐标为(,)‎ 直线l过M(,),E(4,0),‎ 设直线l的解析式为y=kx+b,则有 ‎,解得,‎ 所以直线l的解析式为y=x+3.‎ 同理,可以求得另一条切线的解析式为y=x﹣3.‎ 综上所述,直线l的解析式为y=x+3或y=x﹣3.‎ 点评:‎ 本题解题关键是二次函数、一次函数以及圆等知识的综合运用.难点在于第(3)问中对于“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”条件的理解,这可以从直线与圆的位置关系方面入手解决.本题难度较大,需要同学们对所学知识融会贯通、灵活运用.‎ ‎25.(2012•广州)如图,在平行四边形ABCD中,AB=5,BC=10,F为AD的中点,CE⊥AB于E,设∠ABC=α(60°≤α<90°).‎ ‎(1)当α=60°时,求CE的长;‎ ‎(2)当60°<α<90°时,‎ ‎①是否存在正整数k,使得∠EFD=k∠AEF?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎②连接CF,当CE2﹣CF2取最大值时,求tan∠DCF的值.‎ 考点:‎ 平行四边形的性质;二次函数的最值;全等三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线;勾股定理。‎ 专题:‎ 代数几何综合题。‎ 分析:‎ ‎(1)利用60°角的正弦值列式计算即可得解;‎ ‎(2)①连接CF并延长交BA的延长线于点G,利用“角边角”证明△AFG和△CFD全等,根据全等三角形对应边相等可得CF=GF,AG=CD,再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=GF,再根据AB、BC的长度可得AG=AF,然后利用等边对等角的性质可得∠AEF=∠G=∠AFG,根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠EFC=2∠G,然后推出∠EFD=3∠AEF,从而得解;‎ ‎②设BE=x,在Rt△BCE中,利用勾股定理表示出CE2,表示出EG的长度,在Rt△CEG中,利用勾股定理表示出CG2,从而得到CF2,然后相减并整理,再根据二次函数的最值问题解答.‎ 解答:‎ 解:(1)∵α=60°,BC=10,‎ ‎∴sinα=,‎ 即sin60°==,‎ 解得CE=5;‎ ‎(2)①存在k=3,使得∠EFD=k∠AEF.‎ 理由如下:连接CF并延长交BA的延长线于点G,‎ ‎∵F为AD的中点,‎ ‎∴AF=FD,‎ 在平行四边形ABCD中,AB∥CD,‎ ‎∴∠G=∠DCF,‎ 在△AFG和△CFD中,,‎ ‎∴△AFG≌△CFD(AAS),‎ ‎∴CF=GF,AG=CD,‎ ‎∵CE⊥AB,‎ ‎∴EF=GF(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半),‎ ‎∴∠AEF=∠G,‎ ‎∵AB=5,BC=10,点F是AD的中点,‎ ‎∴AG=5,AF=AD=BC=5,‎ ‎∴AG=AF,‎ ‎∴∠AFG=∠G,‎ 在△AFG中,∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF,‎ 又∵∠CFD=∠AFG(对顶角相等),‎ ‎∴∠CFD=∠AEF,‎ ‎∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF,‎ 因此,存在正整数k=3,使得∠EFD=3∠AEF;‎ ‎②设BE=x,∵AG=CD=AB=5,‎ ‎∴EG=AE+AG=5﹣x+5=10﹣x,‎ 在Rt△BCE中,CE2=BC2﹣BE2=100﹣x2,‎ 在Rt△CEG中,CG2=EG2+CE2=(10﹣x)2+100﹣x2=200﹣20x,‎ ‎∵CF=GF(①中已证),‎ ‎∴CF2=(CG)2=CF2=(200﹣20x)=50﹣5x,‎ ‎∴CE2﹣CF2=100﹣x2﹣50+5x=﹣x2+5x+50=﹣(x﹣)2+50+,‎ ‎∴当x=,即点E是AB的中点时,CE2﹣CF2取最大值,‎ 此时,EG=10﹣x=10﹣=,‎ CE===,‎ 所以,tan∠DCF=tan∠G===.‎ 点评:‎ 本题考查了平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,勾股定理的应用,二次函数的最值问题,作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键,另外根据数据的计算求出相等的边长也很重要.‎
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