【数学】2020届一轮复习人教A版坐标系课时作业

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【数学】2020届一轮复习人教A版坐标系课时作业

‎2020届一轮复习人教A版 坐标系 课时作业 ‎(时间:90分钟,总分120分)‎ 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.极坐标方程(ρ-1)(θ-π)=0(ρ≥0)表示的图形是(  )‎ A.两个圆         B.两条直线 C.一个圆和一条射线 D.一条直线和一条射线 解析:选C 因为(ρ-1)(θ-π)=0,所以ρ=1或θ=π,ρ=1表示以极点为圆心、半径为1的圆,θ=π表示由极点出发的一条射线,所以C选项正确.‎ ‎2.已知曲线C的极坐标方程ρ=2cos 2θ,给定两点P,Q,则有(  )‎ A.P在曲线C上,Q不在曲线C上 B.P,Q都不在曲线C上 C.P不在曲线C上,Q在曲线C上 D.P,Q都在曲线C上 解析:选C 当θ=时,ρ=2cos π=-2≠0,故点P不在曲线上;当θ=π时,ρ=2cos 2π=2,故点Q在曲线上.‎ ‎3.空间直角坐标系中的点(,,1)关于z轴对称的点的柱坐标为(  )‎ A. B. C. D. 解析:选C 空间直角坐标系中的点(,,1)关于z轴对称的点的坐标为M(-,-,1).‎ 设点M的柱坐标为(ρ,θ,z)(ρ≥0,0≤θ<2π,z∈R),‎ 则ρ==2,‎ ‎∵tan θ==1,又x<0,y<0,∴tan θ=,‎ ‎∴M的柱坐标为.‎ ‎4.在同一坐标系中,将曲线y=2sin 3x变为曲线y=sin x的伸缩变换是(  )‎ A. B. C. D. 解析:选B 将代入y=sin x,得μy=sin λx,即y=sin λx,与y=2sin 3x比较,得λ ‎=3,μ=,‎ 即变换公式为 ‎5.极坐标方程ρ=2cos θ-4sin θ对应的直角坐标方程为(  )‎ A.(x-1)2+(y+2)2=5 B.(x-1)2+(y-2)2=5‎ C.(x-2)2+(y-1)2=5 D.(x+1)2+(y+2)=5‎ 解析:选A ρ=2cos θ-4sin θ即ρ2=2ρcos θ-4ρsin θ,化为直角坐标方程为x2+y2=2x-4y,即x2+y2-2x+4y=0,也即(x-1)2+(y+2)2=5,故选A.‎ ‎6.已知点M的极坐标为,下列给出的四个坐标中不能表示点M的坐标的是(  )‎ A. B. C. D. 解析:选A 因为-≠(2n+1)π+(n∈Z).所以点A不能表示点M.因为=π+,-=-π+,-=-2π+.所以B,C,D都能表示点M.‎ ‎7.极坐标方程ρ=cos θ与ρcos θ=的图形是(  )‎ 解析:选B 把ρcos θ=化为直角坐标方程,得x=,‎ 把ρ=cos θ化为直角坐标方程,得x2+y2-x=0,即其圆心为,半径为,故选项B正确.‎ ‎8.在极坐标系中,与圆ρ=4sin θ相切的一条直线的方程为(  )‎ A.ρsin θ=2 B.ρcos θ=2‎ C.ρcos θ=4 D.ρcos θ=-4‎ 解析:选B 如图所示,CO⊥Ox,OA为⊙C的直径,且|OA|=4,l和圆C相切,且l交极轴于点B(2,0),设点P(ρ,θ)为l上任意一点,‎ 则有cos θ=,即ρcos θ=2,故所求直线的极坐标方程为ρcos θ=2.‎ ‎9.在极坐标系中,点到直线ρsin=4的距离为(  )‎ A.1 B.2‎ C.3 D.4‎ 解析:选B 点的直角坐标为,即(-,1),因为ρsin =ρ=y-x=4,所以直线的普通方程为x-y+8=0,由点到直线的距离公式得d==2,故选B.‎ ‎10.在极坐标系中,圆ρ=8sin θ上的点到直线θ=(ρ∈R)距离的最大值为(  )‎ A.-4 B.-7‎ C.1 D.6‎ 解析:选D ρ=8sin θ即ρ2=8ρsin θ,化为直角坐标方程为x2+y2=8y,x2+(y-4)2=16.‎ 可得圆心为C(0,4),半径r=4.‎ 直线θ=(ρ∈R)化为直角坐标方程为y=x.‎ 圆心C到直线的距离d==2,‎ 因此圆ρ=8sin θ上的点到直线θ=(ρ∈R)距离的最大值为2+4=6.‎ 二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,满分20分.把答案填写在题中的横线上)‎ ‎11.已知圆的极坐标方程为ρ=4cos θ,圆心为C,点P的极坐标为,则|CP|=________.‎ 解析:由圆的极坐标方程为ρ=4cos θ,得圆心C的直角坐标为(2,0),点P的直角坐标为(2,2),所以|CP|=2.‎ 答案:2 ‎12.已知点A的直角坐标为,则它的球坐标为________.‎ 解析:r==6,cos φ==,∴φ=.∵tan θ==,x>0,y>0,∴θ=.∴它的球坐标为.‎ 答案: ‎13.在极坐标系中,点A关于直线l:ρcos θ=1的对称点的一个极坐标为________.‎ 解析:由直线l的方程可知直线l过点(1,0)且与极轴垂直,设A′是点A关于l的对称点,则四边OBA′A是正方形,∠BOA′=,且OA′=2,故A′的极坐标是.‎ 答案: ‎14.从极点作圆ρ=2acos θ的弦,则各条弦中点的轨迹方程为________.‎ 解析:数形结合,易知所求轨迹是以为圆心,为半径的圆,求得方程是ρ=acos θ.‎ 答案:ρ=acos θ 三、解答题(本大题共4个小题,满分50分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎15.(本小题满分12分)在极坐标系中,已知圆C经过点P,圆心为直线ρsin =-与极轴的交点,求圆C的极坐标方程.‎ 解:∵点P,∴x=cos =1,y=sin =1,∴点P的直角坐标为(1,1).∵ρsin=-展开得ρsin θ-ρcos θ=-,∴y-x=-,令y=0,得x ‎=1,∴直线与x轴的交点坐标为C(1,0).∴圆C的半径r=|PC|==1.∴圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,即x2-2x+y2=0,化为极坐标方程得ρ2-2ρcos θ=0,即ρ=2cos θ.‎ ‎∴圆C的极坐标方程为ρ=2cos θ.‎ ‎16.(本小题满分12分)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2,ρ2-2ρcos=2.‎ ‎(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;‎ ‎(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.‎ 解:(1)由ρ=2知ρ2=4,所以x2+y2=4.‎ 因为ρ2-2ρcos =2,‎ 所以ρ2-2ρcos θcos +sin θsin =2,‎ 所以x2+y2-2x-2y-2=0.‎ 所以圆O1和圆O2的直角坐标方程分别为x2+y2=4,x2+y2-2x-2y-2=0.‎ ‎(2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为x+y=1.化为极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=1,即ρsin=.‎ ‎17.(本小题满分12分)在极坐标系中,已知A,B为等边三角形ABC的两个顶点,求顶点C的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).‎ 解:法一:对于点A有ρ=2,θ=,‎ 所以x=ρcos θ=2cos =,y=ρsin θ=2sin =,所以点A的直角坐标为(,).‎ 对于B有ρ=2,θ=,‎ 所以x=2cos =-,y=2sin =-.‎ 所以点B的直角坐标为(-,-).‎ 设点C的直角坐标为(x,y),由于△ABC为等边三角形,故有|BC|=|AC|=|AB|.‎ 所以(x+)2+(y+)2=(x-)2+(y-)2=(+)2+(+)2.‎ 即 所以 ‎②-①得y=-x.③‎ 将③代入①,并化简得x2=6,即x=±,‎ 所以或 所以点C的直角坐标为(,-)或(-,).‎ 所以ρ==2,tan θ=-1,‎ 所以θ=或θ=.‎ 所以点C的极坐标为或.‎ 法二:设点C的极坐标为(ρ,θ)(0≤θ<2π,ρ>0).因为△ABC为等边三角形,所以|AB|=|BC|=|AC|=4.‎ 由余弦定理得 即 ‎①+②并化简得ρ2=12(ρ>0),解得ρ=2,‎ 将ρ=2代入①得cos =0,‎ 所以θ-=+kπ,k∈Z,所以θ=+kπ,k∈Z.‎ 因为0≤θ<2π,所以θ=或,‎ 所以点C的极坐标为或.‎ ‎18.(本小题满分14分)在极坐标系中,已知圆C的圆心为,半径r=3.‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程;‎ ‎(2)若点Q在圆C上运动,点P在OQ的延长线上,且=2,求动点P的轨迹方程.‎ 解:(1)设M(ρ,θ)是圆C上除O(0,0)以外的任意一外,在△OCM中 ,∠COM=,由余弦定理得|CM|2=|OM|2+|OC|2-2|OM||OC|cos ∠COM,所以32=ρ2+32-2×ρ×3cos,即ρ=6cos.经检验,点O(0,0)也在此方程所表示的圆上.所以圆C的极坐标方程为ρ=6cos.‎ ‎(2)设点Q为(ρ1,θ1),点P为(ρ0,θ0),‎ 由=2,得=2(-),‎ 所以=,所以ρ1=ρ0,θ1=θ0,将其代入圆ρ1=6cos,得ρ0=‎ ‎6cos,即ρ0=9cos.‎ 所以动点P的轨迹方程为ρ=9cos.‎
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