人教新课标A版高二数学导数及其应用练习题

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高二上学期《导数及其应用》 单元测试（数学文） （满分：150 分 时间：120 分钟） 一、选择题（本大题共 10 小题，共 50 分，只有一个答案正确） 1．函数  22)( xxf  的导数是（ ） (A) xxf 4)(  (B) xxf 24)(  (C) xxf 28)(  (D) xxf 16)(  2．函数 xexxf )( 的一个单调递增区间是（ ） (A) 0,1 (B)  8,2 (C)  2,1 (D)  2,0 3 ． 已 知 对 任 意 实 数 x ， 有 ( ) ( ) ( ) ( )f x f x g x g x    ， ， 且 0x  时 ， ( ) 0 ( ) 0f x g x  ， ，则 0x  时（ ） A． ( ) 0 ( ) 0f x g x  ， B． ( ) 0 ( ) 0f x g x  ， C． ( ) 0 ( ) 0f x g x  ， D． ( ) 0 ( ) 0f x g x  ， 4．若函数 bbxxxf 33)( 3  在  1,0 内有极小值，则（ ） （A） 10 b （B） 1b （C） 0b （D） 2 1b 5．若曲线 4y x 的一条切线l 与直线 4 8 0x y   垂直，则l 的方程为（ ） A． 4 3 0x y   B． 4 5 0x y   C． 4 3 0x y   D． 4 3 0x y   6．曲线 xy e 在点 2(2 )e， 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ． 29 4 e Ｂ． 22e Ｃ． 2e Ｄ． 2 2 e 7．设 ( )f x 是函数 ( )f x 的导函数，将 ( )y f x 和 ( )y f x 的图象画在同一个直角坐标系 中，不可能正确的是（ ） 8．已知二次函数 2( )f x ax bx c   的导数为 '( )f x ， '(0) 0f  ，对于任意实数 x 都有 ( ) 0f x  ，则 (1) '(0) f f 的最小值为（ ） A．3 B． 5 2 C． 2 D． 3 2 9．设 2: ( ) e ln 2 1xp f x x x mx     在 (0 ) ， 内单调递增， : 5q m ≥ ，则 p 是 q 的 （ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 10． 函数 )(xf 的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ） （A） )2()3()3()2(0 // ffff  y （B） )2()2()3()3(0 // ffff  （C） )2()3()2()3(0 // ffff  （D） )3()2()2()3(0 // ffff  O 1 2 3 4 x 二．填空题（本大题共 4 小题，共 20 分） 11．函数 ( ) ln ( 0)f x x x x  的单调递增区间是＿＿＿＿． 12．已知函数 3( ) 12 8f x x x   在区间 [ 3,3] 上的最大值与最小值分别为 ,M m ，则 M m  ＿＿． 13．点 P 在曲线 3 23  xxy 上移动，设在点 P 处的切线的倾斜角为为 ，则 的取值 范围是 14．已知函数 53 1 23  axxxy (1)若函数在   , 总是单调函数，则 a 的取值范围 是 . (2)若函数在 ),1[  上总是单调函数，则 a 的取值范围 . （3）若函数在区间（-3，1）上单调递减，则实数 a 的取值范围是 . 三．解答题（本大题共 4 小题，共 12+12+14+14+14+14=80 分） 15．用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为 2：1， 问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ 16．设函数 3 2( ) 2 3 3 8f x x ax bx c    在 1x  及 2x  时取得极值． （1）求 a、b 的值； （2）若对于任意的 [0 3]x ， ，都有 2( )f x c 成立，求 c 的取值范围． 17．设函数 3( ) 3 2f x x x    分别在 1 2x x、 处取得极小值、极大值. xoy 平面上点 A B、 的 坐标分别为 1 1( )x f x（ , ）、 2 2( )x f x（ , ），该平面上动点 P 满足 • 4PA PB   ,点 Q 是点 P 关于直 线 2( 4)y x  的对称点，.求 (Ⅰ)求点 A B、 的坐标； (Ⅱ)求动点 Q 的轨迹方程. 18. 已知函数 3 2( ) 2 3 3.f x x x   （1）求曲线 ( )y f x 在点 2x  处的切线方程； （2）若关于 x 的方程   0f x m  有三个不同的实根，求实数 m 的取值范围. 19．已知  Raxxaaxxf  14)1(3)( 2 3 （1）当 1a 时，求函数的单调区间。 （2）当 Ra  时，讨论函数的单调增区间。 （3）是否存在负实数 a ，使  0,1x ，函数有最小值－3？ 20．已知函数   2af x x x   ，   lng x x x  ，其中 0a  ． （1）若 1x  是函数      h x f x g x  的极值点，求实数 a 的值； （2）若对任意的  1 2, 1x x e ， （ e 为自然对数的底数）都有  1f x ≥  2g x 成立，求 实数 a 的取值范围． 高二上学期《导数及其应用》 单元测试（数学文）答案 一、选择题 1．    ,42)( 222 xxxf   xxf 242)(  xxf 28)(  ; 2．   .)( x x e xexxf    2 1)( x xx e exexf ，     1,01 2  x e ex x x 选(A) 3.(B)数形结合 4.A 由  bxbxxf  22 333)( ,依题意，首先要求 b>0, 所以   bxbxxf  3)( 由单调性分析， bx  有极小值，由  1,0 bx 得. 5．解：与直线 4 8 0x y   垂直的直线l 为 4 0x y m   ，即 4y x 在某一点的导数为 4，而 34y x  ，所以 4y x 在(1，1)处导数为 4，此点的切线为 4 3 0x y   ，故选 A 6．（D） 7．（D） 8．（C） 9．（B） 10．B 设 x=2,x=3 时曲线上的点为 AB,点 A 处的切线为 AT 点 B 处的切线为 BQ， T  )2()3( ff ABkff   23 )2()3( y B ,)3( BQkf  ,)2( ATkf  A 如图所示，切线 BQ 的倾斜角小于 直线 AB 的倾斜角小于 Q 切线 AT 的倾斜角  BQk ABk ATk O 1 2 3 4 x 所以选 B 二、填空题 11． 1 ,e    12．32 13．           ,4 3 2,0 14. (1) .3)3(;3)2(;1  aaa 三、解答题 15. 解：设长方体的宽为 x（m），则长为 2x(m)，高为      2 30(m)35.44 1218 ＜＜xxxh . 故长方体的体积为 ).2 30()(m69)35.4(2)( 3322 ＜＜xxxxxxV  从而 ).1(18)35.4(1818)( 2 xxxxxxV  令 V′（x）＝0，解得 x=0（舍去）或 x=1，因此 x=1. 当 0＜x＜1 时，V′（x）＞0；当 1＜x＜ 3 2 时，V′（x）＜0， 故在 x=1 处 V（x）取得极大值，并且这个极大值就是 V（x）的最大值。 从而最大体积 V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为 2 m，高为 1.5 m. 答：当长方体的长为 2 m 时，宽为 1 m，高为 1.5 m 时，体积最大，最大体积为 3 m3。 16．解：（1） 2( ) 6 6 3f x x ax b    ， 因为函数 ( )f x 在 1x  及 2x  取得极值，则有 (1) 0f   ， (2) 0f   ． 即 6 6 3 0 24 12 3 0 a b a b        ， ． 解得 3a   ， 4b  ． （2）由（Ⅰ）可知， 3 2( ) 2 9 12 8f x x x x c    ， 2( ) 6 18 12 6( 1)( 2)f x x x x x       ． 当 (01)x ， 时， ( ) 0f x  ； 当 (1 2)x ， 时， ( ) 0f x  ； 当 (2 3)x ， 时， ( ) 0f x  ． 所以，当 1x  时， ( )f x 取得极大值 (1) 5 8f c  ，又 (0) 8f c ， (3) 9 8f c  ． 则当  0 3x ， 时， ( )f x 的最大值为 (3) 9 8f c  ． 因为对于任意的  0 3x ， ，有 2( )f x c 恒成立， 所以 29 8c c  ， 解得 1c   或 9c  ， 因此 c 的取值范围为 ( 1) (9 )   ， ， ． 17．解: (1)令 033)23()( 23  xxxxf 解得 11  xx 或 当 1x 时, 0)(  xf , 当 11  x 时, 0)(  xf ,当 1x 时, 0)(  xf 所 以 , 函 数 在 1x 处 取 得 极 小 值 , 在 1x 取 得 极 大 值 , 故 1,1 21  xx , 4)1(,0)1(  ff 所以, 点 A、B 的坐标为 )4,1(),0,1( BA  . (2) 设 ),( nmp ， ),( yxQ ，     4414,1,1 22  nnmnmnmPBPA 2 1PQk ，所以 2 1  mx ny ，又 PQ 的中点在 )4(2  xy 上，所以       4222 mxny 消去 nm, 得     928 22  yx . 另法：点 P 的轨迹方程为   ,92 22  nm 其轨迹为以（0，2）为圆心，半径为 3 的圆； 设点（0，2）关于 y=2(x-4)的对称点为(a,b),则点 Q 的轨迹为以(a,b),为圆心，半径为 3 的圆， 由 2 1 0 2   a b ，       42 022 2 ab 得 a=8,b=-2 18．解（1） 2( ) 6 6 , (2) 12, (2) 7,f x x x f f     ………………………2 分 ∴曲线 ( )y f x 在 2x  处的切线方程为 7 12( 2)y x   ，即12 17 0x y   ；……4 分 （2）记 3 2 2( ) 2 3 3, ( ) 6 6 6 ( 1)g x x x m g x x x x x        令 ( ) 0, 0g x x   或 1. …………………………………………………………6 分 则 , ( ), ( )x g x g x 的变化情况如下表 x ( ,0) 0 (0,1) 1 (1, ) ( )g x  0  0  ( )g x  极大  极小  当 0, ( )x g x 有极大值 3; 1, ( )m x g x  有极小值 2m  . ………………………10 分 由 ( )g x 的简图知，当且仅当 (0) 0,(1) 0 g g    即 3 0, 3 22 0 m mm         时， 函数 ( )g x 有三个不同零点，过点 A 可作三条不同切线. 所以若过点 A 可作曲线 ( )y f x 的三条不同切线， m 的范围是 ( 3, 2)  .…………14 分 19．（1）  ,2,x 或  ,,2 x )(xf 递减;  ,2,2x )(xf 递增; （2）1、当 ,0a  ,2,x )(xf 递 增 ;2 、 当 ,0a ,2,2    ax )(xf 递 增 ;3 、 当 ,10  a  ,2,x 或 ,,2       ax )(xf 递增; 当 ,1a  ,,x )(xf 递增;当 ,1a ,2,       ax 或  ,,2 x )(xf 递增;（3）因 ,0a 由②分两类（依据：单调性，极小值点是否在区间[-1,0]上是分类“契 机”： 1、当 ,2,12  aa   ,2,20,1    ax )(xf 递增， 3)1()( min fxf ，解得 ,24 3 a 2、当 ,2,12  aa 由单调性知： 3)2()( min  afxf ，化简得： 0133 2  aa ，解得 ,26 213 a 不合要求；综上， 4 3a 为所求。 20．（1）解法1：∵   2 2 lnah x x xx    ，其定义域为 0  ， ， ∴   2 2 12 ah x x x     ． ∵ 1x  是函数  h x 的极值点，∴  1 0h  ，即 23 0a  ． ∵ 0a  ，∴ 3a  ． 经检验当 3a  时， 1x  是函数  h x 的极值点， ∴ 3a  ． 解法2：∵   2 2 lnah x x xx    ，其定义域为 0  ， ， ∴   2 2 12 ah x x x     ． 令   0h x  ，即 2 2 12 0a x x    ，整理，得 2 22 0x x a   ． ∵ 21 8 0a    ， ∴   0h x  的两个实根 2 1 1 1 8 4 ax    （舍去）， 2 2 1 1 8 4 ax    ， 当 x 变化时，  h x ，  h x 的变化情况如下表： x  20, x 2x  2 ,x   h x — 0 ＋  h x  极小值  依题意， 21 1 8 14 a    ，即 2 3a  ， ∵ 0a  ，∴ 3a  ． （ 2 ） 解 ： 对 任 意 的  1 2, 1x x e ， 都 有  1f x ≥  2g x 成 立 等 价 于 对 任 意 的  1 2, 1x x e ， 都有   minf x   ≥   maxg x   ． 当 x ［1， e ］时，   11 0g x x     ． ∴函数   lng x x x  在 1 e， 上是增函数． ∴    max 1g x g e e     ． ∵     2 2 21 x a x aaf x x x      ，且  1,x e ， 0a  ． ①当 0 1a  且 x ［1， e ］时，      2 0x a x af x x     ， ∴函数   2af x x x   在［1， e ］上是增函数， ∴     2 min 1 1f x f a     . 由 21 a ≥ 1e  ，得 a ≥ e ， 又 0 1a  ，∴ a 不合题意． ②当1≤ a ≤ e 时， 若1≤ x ＜ a ，则      2 0x a x af x x     ， 若 a ＜ x ≤ e ，则      2 0x a x af x x     ． ∴函数   2af x x x   在 1,a 上是减函数，在 a e， 上是增函数． ∴    min 2f x f a a    . 由 2a ≥ 1e  ，得 a ≥ 1 2 e  ， 又1≤ a ≤ e ，∴ 1 2 e  ≤ a ≤ e ． ③当 a e 且 x ［1， e ］时，      2 0x a x af x x     ， ∴函数   2af x x x   在 1 e， 上是减函数． ∴     2 min af x f e e e      . 由 2ae e  ≥ 1e  ，得 a ≥ e ， 又 a e ，∴ a e ． 综上所述， a 的取值范围为 1,2 e    ．