高二数学人教a必修5练习：2-2-1等差数列word版含解析

高二数学人教a必修5练习：2-2-1等差数列word版含解析

课时训练 7 等差数列 一、等差数列通项公式的应用 1.等差数列{an}中,a2=-5,d=3,则 a5 为( ) A.-4 B.4 C.5 D.6 答案:B 解析:a5=a1+4d=(a1+d)+3d=a2+3d=-5+3×3=4. 2.在数列{an}中,a1=2,2an+1=2an+1,则 a101 的值为( ) A.49 B.50 C.51 D.52 答案:D 解析:∵2an+1=2an+1,∴an+1=an+ 1 2 . ∴an+1-an= 1 2 . ∴数列{an}是首项为 2,公差为 1 2 的等差数列. ∴a101=a1+(101-1)d=2+ 100 2 =52. 3.(2015 福建厦门高二期末,2)已知数列{an}满足 a1=1,an=an-1+3(n≥2),则 a100 等于( ) A.297 B.298 C.299 D.300 答案:B 解析:由 an=an-1+3(n≥2),得 an-an-1=3(n≥2), 即数列{an}是以 3 为公差的等差数列. 又 a1=1,∴a100=1+(100-1)×3=298. 4.若等差数列{an}的公差为整数,首项为 19,从第 6 项开始为负值,则公差为( ) A.-5 B.-4 C.-3 D.-2 答案:B 解析:设等差数列{an}的公差为 d(d∈Z), 依题意得 a6=a1+5d=19+5d<0, 即 d<- 19 5 ,a5=a1+4d=19+4d≥0, 即 d≥- 19 4 ,所以- 19 4 ≤d<- 19 5 , 又 d∈Z,所以 d=-4. 5.等差数列{an}中,a2=5,a4=a6+6,则 a1= . 答案:8 解析:由 a4=a6+6,得 2d=a6-a4=-6,∴d=-3. 又∵a1=a2-d=5-(-3)=8,∴a1=8. 二、等差中项的应用 6.(2015 福建宁德五校联考,1)已知实数 m 是 1 和 5 的等差中项,则 m 等于( ) A. 5 B.± 5 C.3 D.±3 答案:C 解析:因为实数 m 是 1 和 5 的等差中项, 所以 2m=1+5=6,则 m=3.故选 C. 7.已知 m 和 2n 的等差中项是 4,2m 和 n 的等差中项是 5,则 m 和 n 的等差中项是( ) A.2 B.3 C.6 D.9 答案:B 解析:依题意可得 m+2n=8,2m+n=10,故 3m+3n=18 ⇒ m+n=6,故 m 和 n 的等差中项是 3. 8.若 lg 2,lg(2x-1),lg(2x+3)成等差数列,则 x 的值为 ( ) A.1 B.0 或 32 C.32 D.log25 答案:D 解析:由题意得 lg 2+lg(2x+3)=2lg(2x-1), 所以 2(2x+3)=(2x-1)2, 解得 2x=5 或 2x=-1(舍去),所以 x=log25. 三、等差数列的判断与证明 9.(2015 山东威海高二期中,21)数列{an}中,a1=1,a2=2,且 an+2-an=1+(-1)n(n∈N*).令 bn=a2n,求证{bn}是 等差数列,并求{bn}的通项公式. 解:当 n≥2 时,bn-bn-1=a2n-a2n-2=2, ∴{bn}是等差数列,且 b1=a2=2, ∴bn=2n. 10.已知 1 + , 1 + , 1 + 成等差数列,求证:a2,b2,c2 成等差数列. 证明:∵ 1 + , 1 + , 1 + 是等差数列, ∴ 1 + + 1 + 2 + . ∴(a+b)(c+a)+(b+c)(c+a)=2(a+b)(b+c). ∴(c+a)(a+c+2b)=2(a+b)(b+c). ∴2ac+2ab+2bc+a2+c2=2ab+2ac+2bc+2b2. ∴a2+c2=2b2.∴a2,b2,c2 成等差数列. (建议用时:30 分钟) 1.数列{an}的通项公式 an=4n-7,则此数列是( ) A.公差为 4 的等差数列 B.公差为-7 的等差数列 C.首项为-7 的等差数列 D.公差为 n 的等差数列 答案:A 解析:an+1-an=4(n+1)-4n=4.故选 A. 2.等差数列 1,-1,-3,…,-89 的项数是( ) A.45 B.46 C.47 D.92 答案:B 解析:由题可知,等差数列的首项 a1=1,公差 d=-2,且 an=-89. 由 an=a1+(n-1)d,解得 n=46.故选 B. 3.{an}为等差数列,且 a7-2a4=-1,a3=0,则公差 d= ( ) A.-2 B.- 1 2 C. 1 2 D.2 答案:B 解析: 1 + 6 - 2 ( 1 + 3 ) - 1 , 1 + 2 0 , 即 1 1 , - 1 2 . 4.等差数列的相邻 4 项是 a+1,a+3,b,a+b,那么 a,b 的值分别是( ) A.2,7 B.1,6 C.0,5 D.无法确定 答案:A 解析:由等差中项知识得 2 + 6 + + 1 , 2 2 + + 3 , 解得 2 , 7 . 5.首项为-24 的等差数列,从第 10 项起开始为正数,则公差 d 的取值范围为( ) A.d> 8 3 B.d<3 C. 8 3 ≤d<3 D. 8 3 0 , - 24 + 8 ≤ 0 , - 24 + 9 > 0 , ∴ 8 3 11, 即从第 12 年起,该公司经销此产品将亏损. 10.如果一个数列的各项都是实数,且从第二项开始,每一项与它前一项的平方差是相同的常数,则称 该数列为等方差数列,这个常数叫做这个数列的公方差. (1)设数列{an}是公方差为 p 的等方差数列,求 an 和 an-1(n≥2)的关系式; (2)若数列{an}既是等方差数列,又是等差数列,证明该数列为常数列. 解:(1)由等方差数列的定义可知: 2 - 1 2 =p(n≥2). (2)∵{an}是等差数列,设公差为 d, 则 an-an-1=an+1-an=d(n≥2). 又{an}是等方差数列, ∴ 2 - 1 2 +1 2 2 (n≥2), ∴(an+an-1)(an-an-1)=(an+1+an)(an+1-an), 即 d(an+an-1-an+1-an)=-2d2=0. ∴d=0,即{an}是常数列.