高中数学人教a版选修2-2（课时训练）：3.1.2 复数的几何意义
3.1.2 复数的几何意义
[学习目标]
1．理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系．
2．掌握实轴、虚轴、模等概念．
3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法．
[知识链接]
1．下列命题中不正确的有________．
(1)实数可以判定相等或不相等；
(2)不相等的实数可以比较大小；
(3)实数可以用数轴上的点表示；
(4)实数可以进行四则运算；
(5)负实数能进行开偶次方根运算；
答案 (5)
2．实数可以用数轴上的点来表示，实数的几何模型是数轴．由复数的定义可知任何一个复
数 z＝a＋bi(a，b∈R)，都和一个有序实数对(a，b)一一对应，那么类比一下实数，能否找到
用来表示复数的几何模型呢？
答案 由于复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立一一对应，所以可以用直角坐标系作
为复数的几何模型．
[预习导引]
1．复数的几何意义
(1)复平面的定义
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的
点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
(2)复数与点、向量间的对应
①复数 z＝a＋bi(a，b∈R)――→对应 复平面内的点 Z(a，b)；
②复数 z＝a＋bi(a，b∈R)――→对应 平面向量OZ→＝(a，b)．
2．复数的模
复数 z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为OZ→，则OZ→的模叫做复数 z 的模，记作|z|，且|z|＝ a2＋b2.
要点一 复数与复平面内的点
例 1 在复平面内，若复数 z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i 对应的点(1)在虚轴上；(2)在第
二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线 y＝x 上，分别求实数 m 的取值范围．
解 复数 z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i 的实部为 m2－2m－8，虚部为 m2＋3m－10.
(1)由题意得 m2－2m－8＝0.
解得 m＝－2 或 m＝4.
(2)由题意，m2－2m－8＜0
m2＋3m－10＞0
，∴2
0，得 m<－3，或 m>5，所以当 m<－3，或 m>5 时，复数 z 对应的点
在 x 轴上方．
(2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋4＝0，
得 m＝1，或 m＝－5
2
，所以当 m＝1，或 m＝－5
2
时，
复数 z 对应的点在直线 x＋y＋4＝0 上．
要点二 复数的模及其应用
例 2 已知复数 z＝3＋ai，且|z|<4，求实数 a 的取值范围．
解 法一 ∵z＝3＋ai(a∈R)，∴|z|＝ 32＋a2，
由已知得 32＋a2<42，∴a2<7，∴a∈(－ 7， 7)．
法二 利用复数的几何意义，由|z|<4 知，z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以 4 为半
径的圆内(不包括边界)，
由 z＝3＋ai 知 z 对应的点在直线 x＝3 上，
所以线段 AB(除去端点)为动点 Z 的集合．
由图可知：－ 73
2
，∴|z1|>|z2|.
要点三 复数的模的几何意义
例 3 设 z∈C，满足下列条件的点 Z 的集合是什么图形？
(1)|z|＝2； (2)|z|≤3.
解 法一 (1)∵复数 z 的模等于 2，这表明向量OZ→的长度等于 2，即点 Z 到原点的距离等于
2，因此满足条件|z|＝2 的点 Z 的集合是以原点 O 为圆心，以 2 为半径的圆．
(2)满足条件|z|≤3 的点 Z 的集合是以原点 O 为圆心，以 3 为半径的圆及其内部．
法二 (1)设 z＝x＋yi(x，y∈R)，(1)|z|＝2，∴x2＋y2＝4，
∴点 Z 的集合是以原点为圆心，以 2 为半径的圆．
(2)|z|≤3，∴x2＋y2≤9.
∴点 Z 的集合是以原点为圆心，以 3 为半径的圆及其内部．
规律方法 例 3 的法一是根据|z|表示点 Z 和原点间的距离，直接判定图形形状．
法二是利用模的定义，把复数问题转化为实数问题来解决，这也是本章的一种重要思想方法．
跟踪演练 3 已知 a∈R，则复数 z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i 所对应的点在第几象限？复
数 z 所对应的点的轨迹是什么？
解 ∵a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3，
－(a2－2a＋2)＝－(a－1)2－1≤－1，
∴z 的实部为正数，虚部为负数，
∴复数 z 所对应的点在第四象限．
设 z＝x＋yi(x，y∈R)，则 x＝a2－2a＋4，
y＝－a2－2a＋2，
消去 a2－2a，得 y＝－x＋2(x≥3)，
∴复数 z 对应点的轨迹是一条射线，
其方程为 y＝－x＋2(x≥3)．
1．在复平面内，复数 z＝i＋2i2 对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 B
解析 ∵z＝i＋2i2＝－2＋i，∴实部小于 0，虚部大于 0，故复数 z 对应的点位于第二象限．
2．当 00，－10，m－1<0.所以点 Z 位于第四象限．故选 D.
3．在复平面内，复数 6＋5i，－2＋3i 对应的点分别为 A，B.若 C 为线段 AB 的中点，则点 C
对应的复数是( )
A．4＋8i B．8＋2i
C．2＋4i D．4＋i
答案 C
解析 A(6,5)，B(－2,3)，∵C 为 AB 的中点，∴C(2,4)，∴点 C 对应的复数为 2＋4i，故选
C.
4．已知复数 z＝a＋bi(a、b∈R)，当 a＝0 时，复平面内的点 z 的轨迹是( )
A．实轴 B．虚轴
C．原点 D．原点和虚轴
答案 B
解析 a＝0 时，z＝bi，复平面内的点 z 的轨迹是虚轴．
5．已知复数 z＝a＋ 3i 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数 z 等于________．
答案 －1＋ 3i
解析 因为 z 在复平面内对应的点位于第二象限，
所以 a<0，由|z|＝2 知， a2＋ 32＝2，解得 a＝±1，
故 a＝－1，所以 z＝－1＋ 3i.
6．若复数(－6＋k2)－(k2－4)i(k∈R)所对应的点在第三象限，则 k 的取值范围是________．
答案 20.∴选 B.
9．设 A、B 为锐角三角形的两个内角，则复数 z＝(cos B－tan A)＋tan Bi 对应的点位于复平
面的( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 B
解析 因 A、B 为锐角三角形的两个内角，所以 A＋B＞π
2
，即 A＞π
2
－B，sin A＞cos
B．cos B－tan A＝cos
B－sin A
cos A
＜cos B－sin A＜0，又 tan B＞0，所以点(cos B－tan A，tan B)在第二象限，故选 B.
10．复数 z＝log1
23＋ilog3
1
2
对应的点位于复平面内的第________象限．
答案 三
解析 log1
23<0，log3
1
2<0，
∴z＝log1
23＋ilog3
1
2
对应的点位于复平面内的第三象限．
11．当实数 m 为何值时，复数 z＝(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i 在复平面内的对应点：
(1)位于第四象限；(2)位于 x 轴负半轴上；
(3)在上半平面(含实轴)．
解 (1)要使点位于第四象限，须 m2－8m＋15>0
m2＋3m－28<0，
∴ m<3 或 m>5
－7
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