江苏省常州市中考数学试题含答案解析Word

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2018 年江苏省常州市中考数学试题(WORD 版) 一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分.) 1. 3 的倒数是( ) A. 3 B. 3 C. 3 1 D. 3 1 2. 已知苹集每千克 m 元,则 2 千克带果共多少元?( ) A. 2m B. 2m C. 2 m D. m2 3. 下列图形中，哪一个是圆锥的侧面展开图?( ) A. B. C. D. 4. 一个正比例函数的图像经过 )1,2(  ，则它的表达式为( ) A. xy 2 B. xy 2 C. xy 2 1 D. xy 2 1 5. 下列命题中，假命题．．．是 ( ) A.一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 三个角是直角的四边形是矩形 C.四边相等的四边形是菱形 D. 有一个角是直角的菱形是正方形 6. 已知 a 为整数，且 53  a ，则 a 等于( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，AB 是⊙O 的直径，,MN 是⊙O 的切线，切点为 N， 如果 052MNB ，则 NOA 的度数为 ( ) A. 076 B. 056 C. 054 D. 052 （第 7 题） 8. 某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图 尺，在半径为 1 的半圆形量角器中，画一个直径为 1 的圆，把刻度尺 CA 的 0 刻度固定在半圆的圆心 O 处， 刻度尺可以绕点 O 旋转. 从图中所示的图尺可读出 AOBsin 的值是 ( ) A. 8 5 B. 8 7 C. 10 7 D. 5 4 （第 8 题） 二、填空题(本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分.) 9. 计算：  1|3| 10. 化简：  ba b ba a 11. 分解因式：  363 2 xx 12. 已知点 )1,2(P ，则点 P 关于 x 轴对称的点的坐标是 13. 地球与月球的平均距离大约 384000km，用科学计数法表示这个距离为 km 14. 中华文化源远流长，下图是中国古代文化符号的太极图，圆中的黑色部分和白色部分关 于圆心中心对称.在圆内随机取一点，则此点取黑色部分的概率是 (第 14 题) （第 15 题） (第 16 题) （第 18 题） 15. 如图，在□ABCD 中， 070A ，DC=DB，则 CDB . 16. 如图, ABC 是⊙O 的内接三角形， 060BAC ， »BC 的长是 3 4 ，则⊙O 的半径是 . 17. 下面是按一定规律排列的代数式： 2a ， 2a ， 2a ， 2a ，…则第 8 个代数式是 . 18. 如图，在 ABC 纸板中，AC=4,BC=2,AB=5,P 是 AC 上一点，过点 P 沿直线剪下一 个与△ABC 相似的小三角形纸板，如果有 4 种不同的剪法，那么 AP 长的取值范围 是 . 三、解答题(本大题共 10 小题，共 84 分.） 19.（6 分）计算： 00 30sin4)21(4|1|  20.（8 分）解方程组和不等式组：      13 732)1( yx yx      xx x 2 062)2( 21.（8 分）如图，把 ABC 沿 BC 翻折得 DBC . （1）连接 AD，则 BC 与 AD 的位置关系是 （2）不在原图中添加字母和线段，只加一个条件使四边形 ABCD 是平行四边形，写出添 加的条件，并说明理由. （第 21 题） 22.（8 分）为了解某市初中学生课外阅读情况，调查小组对该市这学期初中学生阅读课外书 籍的册数进行了抽样调查，并根据调查结果绘制成如下统计图. 根据统计图提供的信息，解答下列问题： （第 22 题） （1）本次抽样调查的样本容量是 ； （2）补全条形统计图； （3）该市共有 12000 名初中生，估计该市初中学生这学期课外阅读超过 2 册的人数. 23.（8 分）将图中的 A 型、B 型、C 型矩形纸片分别放在 3 个盒子中，盒子的形状、大小、 质地都相同，再将这 3 个盒子装入一只不透明的袋子中. （第 23 题） （1）搅均后从中摸出 1 个盒子，求摸出的盒子中是 A 型矩形纸片的概率; （2）搅均后先从中摸出 1 个盒子（不放回），再从余下的两个盒子中摸出一个盒子，求 2 次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率（不重叠无缝隙拼接）. 24.（8 分）如图，已知点 A 在反比例函数 )0(4  xxy 的图像上，过点 A 作 xAC  轴， 垂足是 C，AC=OC.一次函数 bkxy  的图像经过点 A，与 y 轴的正半轴交于点 B. (1)求点 A 的坐标； (2)若四边形 ABOC 的面积是 3，求一次函数 bkxy  的表达式. （第 24 题） 25.（8 分）京杭大运河是世界文化遗产.综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿 是平行的），如图，在岸边分别选定了点 A、B 和点 C、D，先用卷尺量得 AB=160m，CD=40m， 再用测角仪测得 ，， 00 6030  DBACAB 求该段运河的河宽（即 CH 的长）. （第 25 题） 26.（10 分）阅读材料：各类方程的解法 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为 ax  的形式.求解二元一次方 程组，把它转化为一元一次方程来解;类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一 次方程组。求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解.求解分式方程，把它转 化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验.各类方程的 解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知. 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程. 例 如 ， 一 元 三 次 方 程 0223  xxx ， 可 以 通 过 因 式 分 解 把 它 转 化 为 0)2( 2  xxx ，解方程 0x 和 022  xx ，可得方程 0223  xxx 的解. (1)问题：方程 0223  xxx 的解是  21 ,0 xx ， 3x ； (2)拓展：用“转化”思想求方程 xx  32 的解； (3)应用：如图，已知矩形草坪 ABCD 的长 AD=8m，宽 AB=3m，小华把一根长为 10m 的绳 子的一端固定在点 B，沿草坪边沿 BA，AD 走到点 P 处，把长绳 PB 段拉直并固定在点 P， 然后沿草坪边沿 PD、DC 走到点 C 处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在 点 C.求 AP 的长. （第 26 题） 27.（本小题满分 10 分） (1)如图 1，已知 EK 垂直平分 BC，垂足为 D，AB 与 EK 相交于点 F，连接 CF. 求证： CFDAFE  (2)如图 2，在 GMNR t 中， 090M ，P 为 MN 的中点. ①用直尺和圆规在 GN 边上求作点 Q，使得 PQNGQM  (保留作图痕迹，不要 求写作法)； ②在①的条件下，如果 060G ,那么 Q 是 GN 的中点吗？为什么？ 图 1 图 2 （第 27 题） 28.（本小题满分 10 分） 如图，二次函数 23 1 2  bxxy 的图像与 x 轴交于点 A 、B，与 y 轴交于点 C，点 A 的 坐标为 )0,4( ，P 是抛物线上一点（点 P 与点 A、B、C 不重合）. （1） b ，点 B 的坐标是 ； （2）设直线 PB 与直线 AC 相交于点 M，是否存在这样的点 P，使得 2:1: MBPM ?若存 在求出点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由； （3）连接 AC、BC，判断 CAB 和 CBA 的数量关系，并说明理由. （第 28 题） （备用图） 2018 年江苏省常州市中考数学试卷参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分.在每小题所给出的四个选 项中，只有一项是正确的） 1．（2.00 分）﹣3 的倒数是（ ） A．﹣3 B．3 C．﹣ D． 【分析】根据倒数的定义可得﹣3 的倒数是﹣ ． 【解答】解：﹣3 的倒数是﹣ ． 故选：C． 【点评】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是 1，我们 就称这两个数互为倒数． 2．（2.00 分）已知苹果每千克 m 元，则 2 千克苹果共多少元？（ ） A．m﹣2 B．m+2 C． D．2m 【分析】根据苹果每千克 m 元，可以用代数式表示出 2 千克苹果的价钱． 【解答】解：∵苹果每千克 m 元， ∴2 千克苹果 2m 元， 故选：D． 【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 3．（2.00 分）下列图形中，哪一个是圆锥的侧面展开图？（ ） A． B． C． D． 【分析】根据圆锥的侧面展开图的特点作答． 【解答】解：圆锥的侧面展开图是光滑的曲面，没有棱，只是扇形． 故选：B． 【点评】此题考查了几何体的展开图，注意圆锥的侧面展开图是扇形． 4．（2.00 分）一个正比例函数的图象经过（2，﹣1），则它的表达式为（ ） A．y=﹣2x B．y=2xC． D． 【分析】设该正比例函数的解析式为 y=kx（k≠0），再把点（2，﹣1）代入求出 k 的值即可． 【解答】解：设该正比例函数的解析式为 y=kx（k≠0）， ∵正比例函数的图象经过点（2，﹣1）， ∴2=﹣k，解得 k=﹣2， ∴这个正比例函数的表达式是 y=﹣2x． 故选：A． 【点评】本题考查的是待定系数法求正比例函数的解析式，熟知正比例函数图象 上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 5．（2.00 分）下列命题中，假命题是（ ） A．一组对边相等的四边形是平行四边形 B．三个角是直角的四边形是矩形 C．四边相等的四边形是菱形 D．有一个角是直角的菱形是正方形 【分析】根据矩形、正方形、平行四边形、菱形的判定即可求出答案． 【解答】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，是假命题； B、三个角是直角的四边形是矩形，是真命题； C、四边相等的四边形是菱形，是真命题； D、有一个角是直角的菱形是正方形，是真命题； 故选：A． 【点评】本题考查菱形、矩形和平行四边形的判定与命题的真假区别，关键是根 据矩形、正方形、平行四边形、菱形的判定解答． 6．（2.00 分）已知 a 为整数，且 ，则 a 等于（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】直接利用 ， 接近的整数是 2，进而得出答案． 【解答】解：∵a 为整数，且 ， ∴a=2． 故选：B． 【点评】此题主要考查了估算无理数大小，正确得出无理数接近的有理数是解题 关键． 7．（2.00 分）如图，AB 是⊙O 的直径，MN 是⊙O 的切线，切点为 N，如果∠ MNB=52°，则∠NOA 的度数为（ ） A．76° B．56° C．54° D．52° 【分析】先利用切线的性质得∠ONM=90°，则可计算出∠ONB=38°，再利用等腰 三角形的性质得到∠B=∠ONB=38°，然后根据圆周角定理得∠NOA 的度数． 【解答】解：∵MN 是⊙O 的切线， ∴ON⊥NM， ∴∠ONM=90°， ∴∠ONB=90°﹣∠MNB=90°﹣52°=38°， ∵ON=OB， ∴∠B=∠ONB=38°， ∴∠NOA=2∠B=76°． 故选：A． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆 周角定理． 8．（2.00 分）某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为 1 的半圆形量角器中，画一个直径为 1 的圆，把刻度尺 CA 的 0 刻度固定在半圆 的圆心 O 处，刻度尺可以绕点 O 旋转．从图中所示的图尺可读出 sin∠AOB 的值 是（ ） A． B． C． D． 【分析】如图，连接 AD．只要证明∠AOB=∠ADO，可得 sin∠AOB=sin∠ ADO= = ； 【解答】解：如图，连接 AD． ∵OD 是直径， ∴∠OAD=90°， ∵∠AOB+∠AOD=90°，∠AOD+∠ADO=90°， ∴∠AOB=∠ADO， ∴sin∠AOB=sin∠ADO= = ， 故选：D． 【点评】本题考查圆周角定理、直径的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键 是学会用转化的思想思考问题，属于中考创新题目． 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分.不需写出解答过程，请 把答案直接写在答题卡相应位置上） 9．（2.00 分）计算：|﹣3|﹣1= 2 ． 【分析】原式利用绝对值的代数意义，以及减法法则计算即可求出值． 【解答】解：原式=3﹣1=2． 故答案为：2 【点评】此题考查了有理数的减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 10．（2.00 分）化简： = 1 ． 【分析】原式利用同分母分式的减法法则计算即可． 【解答】解：原式= =1， 故答案为：1 【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 11．（2.00 分）分解因式：3x2﹣6x+3= 3（x﹣1）2 ． 【分析】先提取公因式 3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 【解答】解：3x2﹣6x+3， =3（x2﹣2x+1）， =3（x﹣1）2． 【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式 首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到 不能分解为止． 12．（2.00 分）已知点 P（﹣2，1），则点 P 关于 x 轴对称的点的坐标是 （﹣2， ﹣1） ． 【分析】根据关于 x 轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得答案． 【解答】解：点 P（﹣2，1），则点 P 关于 x 轴对称的点的坐标是（﹣2，﹣1）， 故答案为：（﹣2，﹣1）． 【点评】本题考查了关于 x 轴对称的对称点，利用关于 x 轴对称的点的横坐标相 等，纵坐标互为相反数是解题关键． 13．（2.00 分）地球与月球的平均距离大约 384000km，用科学计数法表示这个距 离为 3.84×105 km． 【分析】科学记数法的一般形式为：a×10n，在本题中 a 应为 3.84，10 的指数为 6﹣1=5． 【解答】解：384 000=3.84×105km． 故答案为 3.84×105． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的 形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 14．（2.00 分）中华文化源远流长，如图是中国古代文化符号的太极图，圆中的 黑色部分和白色部分关于圆心中心对称．在圆内随机取一点，则此点取黑色部分 的概率是 ． 【分析】根据中心对称图形的性质得到圆中的黑色部分和白色部分面积相等，根 据概率公式计算即可． 【解答】解：∵圆中的黑色部分和白色部分关于圆心中心对称， ∴圆中的黑色部分和白色部分面积相等， ∴在圆内随机取一点，则此点取黑色部分的概率是 ， 故答案为： ． 【点评】本题考查的是概率公式、中心对称图形，掌握概率公式是解题的关键． 15．（2.00 分）如图，在▱ ABCD 中，∠A=70°，DC=DB，则∠CDB= 40° ． 【分析】根据等腰三角形的性质，平行四边形的性质以及三角形内角和定理即可 解决问题． 【解答】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠A=∠C=70°， ∵DC=DB， ∴∠C=∠DBC=70°， ∴∠CDB=180°﹣70°﹣70°=40°， 故答案为 40°． 【点评】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等 知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 16．（2.00 分）如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠BAC=60°， 的长是 ， 则⊙O 的半径是 2 ． 【分析】连接 OB、OC，利用弧长公式转化为方程求解即可； 【解答】解：连接 OB、OC． ∵∠BOC=2∠BAC=120°， 的长是 ， ∴ = ， ∴r=2， 故答案为 2． 【点评】本题考查三角形的外接圆与外心，圆周角定理，弧长的计算等知识，解 题的关键是熟练掌握弧长公式，属于中考常考题型． 17．（2.00 分）下面是按一定规律排列的代数式：a2，3a4，5a6，7a8，…则第 8 个 代数式是 15a16 ． 【分析】直接利用已知单项式的次数与系数特点得出答案． 【解答】解：∵a2，3a4，5a6，7a8，… ∴单项式的次数是连续的偶数，系数是连续的奇数， ∴第 8 个代数式是：（2×8﹣1）a2×8=15a16． 故答案为：15a16． 【点评】此题主要考查了单项式，正确得出单项式次数与系数的变化规律是解题 关键． 18．（2.00 分）如图，在△ABC 纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P 是 AC 上一点， 过点 P 沿直线剪下一个与△ABC 相似的小三角形纸板，如果有 4 种不同的剪法， 那么 AP 长的取值范围是 3≤AP＜4 ． 【分析】分四种情况讨论，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到 AP 的长 的取值范围． 【解答】解：如图所示，过 P 作 PD∥AB 交 BC 于 D 或 PE∥BC 交 AB 于 E，则△ PCD∽△ACB 或△APE∽△ACB， 此时 0＜AP＜4； 如图所示，过 P 作∠APF=∠B 交 AB 于 F，则△APF∽△ABC， 此时 0＜AP≤4； 如图所示，过 P 作∠CPG=∠CBA 交 BC 于 G，则△CPG∽△CBA， 此时，△CPG∽△CBA， 当点 G 与点 B 重合时，CB2=CP×CA，即 22=CP×4， ∴CP=1，AP=3， ∴此时，3≤AP＜4； 综上所述，AP 长的取值范围是 3≤AP＜4． 故答案为：3≤AP＜4． 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，对应边 的比相等． 三、解答题（本大题共 10 小题，共 84 分.请在答题卡指定区域内作答，如无特 殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．（6.00 分）计算：|﹣1|﹣ ﹣（1﹣ ）0+4sin30°． 【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质、零指数幂的性质分别 化简得出答案． 【解答】解：原式=1﹣2﹣1+4× =1﹣2﹣1+2 =0． 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 20．（8.00 分）解方程组和不等式组： （1） （2） 【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可． 【解答】解：（1） ， ①+②得：x=2， 把 x=2 代入②得：y=﹣1， 所以方程组的解为： ； （2） ， 解不等式①得：x≥3； 解不等式②得：x≥﹣1， 所以不等式组的解集为：x≥3． 【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 21．（8.00 分）如图，把△ABC 沿 BC 翻折得△DBC． （1）连接 AD，则 BC 与 AD 的位置关系是 BC⊥AB ． （2）不在原图中添加字母和线段，只加一个条件使四边形 ABDC 是平行四边形， 写出添加的条件，并说明理由． 【分析】（1）先由折叠知，AB=BD，∠ACB=∠DBC，进而判断出△AOB≌△DOB， 最后用平角的定义即可得出结论； （2）由折叠得出∠ABC=∠DBC，∠ACB=∠DCB，再判断出∠ABC=∠ACB，进而得 出∠ACB=∠DBC=∠ABC=∠DCB，最后用两边分别平行的四边形是平行四边形． 【解答】解：（1）如图， 连接 AD 交 BC 于 O， 由折叠知，AB=BD，∠ACB=∠DBC， ∵BO=BO， ∴△ABO≌△DBO（SAS）， ∴∠AOB=∠DOB， ∵∠AOB+∠DOB=180°， ∴∠AOB=∠DOB=90°， ∴BC⊥AD， 故答案为：BC⊥AD； （2）添加的条件是 AB=AC， 理由：由折叠知，∠ABC=∠DBC，∠ACB=∠DCB， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∴∠ACB=∠DBC=∠ABC=∠DCB， ∴AC∥BD，AB∥CD， ∴四边形 ABDC 是平行四边形． 【点评】此题主要考查了折叠的性质，平行四边形的判定，等腰三角形的性质， 全等三角形的判定和性质，判断出△ABO≌△DBO（SAS）是解本题的关键． 22．（8.00 分）为了解某市初中学生课外阅读情况，调查小组对该市这学期初中 学生阅读课外书籍的册数进行了抽样调查，并根据调查结果绘制成如下统计图． 根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量是 100 ； （2）补全条形统计图； （3）该市共有 12000 名初中生，估计该市初中学生这学期课外阅读超过 2 册的 人数． 【分析】（1）根据 2 册的人数除以占的百分比即可得到总人数； （2）求出 1 册的人数是 100×30%=30 人，4 册的人数是 100﹣30﹣40﹣20=10 人，再画出即可； （3）先列出算式，再求出即可． 【解答】解：（1）40÷40%=100（册）， 即本次抽样调查的样本容量是 100， 故答案为：100； （2）如图： ； （3）12000×（1﹣30%）=8400（人）， 答：估计该市初中学生这学期课外阅读超过 2 册的人数是 8400 人． 【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图，总体、个体、样本、样本容量， 用样本估计总体等知识点，两图结合是解题的关键． 23．（8.00 分）将图中的 A 型、B 型、C 型矩形纸片分别放在 3 个盒子中，盒子 的形状、大小、质地都相同，再将这 3 个盒子装入一只不透明的袋子中． （1）搅匀后从中摸出 1 个盒子，求摸出的盒子中是 A 型矩形纸片的概率； （2）搅匀后先从中摸出 1 个盒子（不放回），再从余下的两个盒子中摸出一个盒 子，求 2 次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率（不重叠无缝隙拼接）． 【分析】（1）直接利用概率公式计算可得； （2）画树状图得出所有等可能结果，从中找打 2 次摸出的盒子的纸片能拼成一 个新矩形的结果数，利用概率公式计算可得． 【解答】解：（1）搅匀后从中摸出 1 个盒子有 3 种等可能结果， 所以摸出的盒子中是 A 型矩形纸片的概率为 ； （2）画树状图如下： 由树状图知共有 6 种等可能结果，其中 2 次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形 的有 4 种结果， 所以 2 次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率为 = ． 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情 况数与总情况数之比． 24．（8.00 分）如图，已知点 A 在反比例函数 y= （x＞0）的图象上，过点 A 作 AC⊥x 轴，垂足是 C，AC=OC．一次函数 y=kx+b 的图象经过点 A，与 y 轴的正半 轴交于点 B． （1）求点 A 的坐标； （2）若四边形 ABOC 的面积是 3，求一次函数 y=kx+b 的表达式． 【分析】（1）根据反比例函数 k 值的几何意义可求点 A 的坐标； （2）根据梯形的面积公式可求点 B 的坐标，再根据待定系数法可求一次函数 y=kx+b 的表达式． 【解答】解：（1）∵点 A 在反比例函数 y= （x＞0）的图象上，AC⊥x 轴，AC=OC， ∴AC•OC=4， ∴AC=OC=2， ∴点 A 的坐标为（2，2）； （2）∵四边形 ABOC 的面积是 3， ∴（OB+2）×2÷2=3， 解得 OB=1， ∴点 B 的坐标为（0，1）， 依题意有 ， 解得 ． 故一次函数 y=kx+b 的表达式为 y= x+1． 【点评】考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是熟练掌握反比例函数 k 值的几何意义、梯形的面积、待定系数法求一次函数解析式． 25．（8.00 分）京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运 河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点 A、B 和点 C、D，先用 卷尺量得 AB=160m，CD=40m，再用测角仪测得∠CAB=30°，∠DBA=60°，求该段 运河的河宽（即 CH 的长）． 【分析】过 D 作 DE⊥AB，可得四边形 CHED 为矩形，由矩形的对边相等得到两 对对边相等，分别在直角三角形 ACH 与直角三角形 BDE 中，设 CH=DE=xm，利 用锐角三角函数定义表示出 AH 与 BE，由 AH+HE+EB=AB 列出方程，求出方程的 解即可得到结果． 【解答】解：过 D 作 DE⊥AB，可得四边形 CHED 为矩形， ∴HE=CD=40m， 设 CH=DE=xm， 在 Rt△BDE 中，∠DBA=60°， ∴BE= xm， 在 Rt△ACH 中，∠BAC=30°， ∴AH= xm， 由 AH+HE+EB=AB=160m，得到 x+40+ x=160， 解得：x=30 ，即 CH=30 m， 则该段运河的河宽为 30 m． 【点评】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题 的关键． 26．（10.00 分）阅读材料：各类方程的解法 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为 x=a 的形式．求解二元 一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把 它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程 来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根， 所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基 本数学思想转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程 x3+x2 ﹣2x=0，可以通过因式分解把它转化为 x（x2+x﹣2）=0，解方程 x=0 和 x2+x﹣2=0， 可得方程 x3+x2﹣2x=0 的解． （1）问题：方程 x3+x2﹣2x=0 的解是 x1=0，x2= ﹣2 ，x3= 1 ； （2）拓展：用“转化”思想求方程 =x 的解； （3）应用：如图，已知矩形草坪 ABCD 的长 AD=8m，宽 AB=3m，小华把一根长 为 10m 的绳子的一端固定在点 B，沿草坪边沿 BA，AD 走到点 P 处，把长绳 PB 段拉直并固定在点 P，然后沿草坪边沿 PD、DC 走到点 C 处，把长绳剩下的一段 拉直，长绳的另一端恰好落在点 C．求 AP 的长． 【分析】（1）因式分解多项式，然后得结论； （2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根； （3）设 AP 的长为 xm，根据勾股定理和 BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有 根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解， 【解答】解：（1）x3+x2﹣2x=0， x（x2+x﹣2）=0， x（x+2）（x﹣1）=0 所以 x=0 或 x+2=0 或 x﹣1=0 ∴x1=0，x2=﹣2，x3=1； 故答案为：﹣2，1； （2） =x， 方程的两边平方，得 2x+3=x2 即 x2﹣2x﹣3=0 （x﹣3）（x+1）=0 ∴x﹣3=0 或 x+1=0 ∴x1=3，x2=﹣1， 当 x=﹣1 时， = =1≠﹣1， 所以﹣1 不是原方程的解． 所以方程 =x 的解是 x=3； （3）因为四边形 ABCD 是矩形， 所以∠A=∠D=90°，AB=CD=3m 设 AP=xm，则 PD=（8﹣x）m 因为 BP+CP=10， BP= ，CP= ∴ + =10 ∴ =10﹣ 两边平方，得（8﹣x）2+9=100﹣20 +9+x2 整理，得 5 =4x+9 两边平方并整理，得 x2﹣8x+16=0 即（x﹣4）2=0 所以 x=4． 经检验，x=4 是方程的解． 答：AP 的长为 4m． 【点评】本题考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法．解无理方程是注意 到验根．解决（3）时，根据勾股定理和绳长，列出方程是关键． 27．（10.00 分）（1）如图 1，已知 EK 垂直平分 BC，垂足为 D，AB 与 EK 相交于 点 F，连接 CF．求证：∠AFE=∠CFD． （2）如图 2，在 Rt△GMN 中，∠M=90°，P 为 MN 的中点． ①用直尺和圆规在 GN 边上求作点 Q，使得∠GQM=∠PQN（保留作图痕迹，不 要求写作法）； ②在①的条件下，如果∠G=60°，那么 Q 是 GN 的中点吗？为什么？ 【分析】（1）只要证明 FC=FB 即可解决问题； （2）①作点 P 关于 GN 的对称点 P′，连接 P′M 交 GN 于 Q，连接 PQ，点 Q 即为 所求． ②结论：Q 是 GN 的中点．想办法证明∠N=∠QMN=30°，∠G=∠GMQ=60°，可得 QM=QN，QM=QG； 【解答】（1）证明：如图 1 中， ∵EK 垂直平分线段 BC， ∴FC=FB， ∴∠CFD=∠BFD， ∵∠BFD=∠AFE， ∴∠AFE=∠CFD． （2）①作点 P 关于 GN 的对称点 P′，连接 P′M 交 GN 于 Q，连接 PQ，点 Q 即为 所求． ②结论：Q 是 GN 的中点． 理由：设 PP′交 GN 于 K． ∵∠G=60°，∠GMN=90°， ∴∠N=30°， ∵PK⊥KN， ∴PK=KP′= PN， ∴PP′=PN=PM， ∴∠P′=∠PMP′， ∵∠NPK=∠P′+∠PMP′=60°， ∴∠PMP′=30°， ∴∠N=∠QMN=30°，∠G=∠GMQ=60°， ∴QM=QN，QM=QG， ∴QG=QN， ∴Q 是 GN 的中点． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图、线段的垂直平分线的性质、直角三角形斜边 中线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题 型． 28．（10.00 分）如图，二次函数 y=﹣ +bx+2 的图象与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C，点 A 的坐标为（﹣4，0），P 是抛物线上一点（点 P 与点 A、B、C 不重合）． （1）b= ﹣ ，点 B 的坐标是 （ ，0） ； （2）设直线 PB 与直线 AC 相交于点 M，是否存在这样的点 P，使得 PM：MB=1： 2？若存在求出点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由； （3）连接 AC、BC，判断∠CAB 和∠CBA 的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）由点 A 的坐标，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出 b 的值， 代入 y=0 求出 x 值，进而可得出点 B 的坐标； （2）代入 x=0 求出 y 值，进而可得出点 C 的坐标，由点 A、C 的坐标利用待定系 数法可求出直线 AC 的解析式，假设存在，设点 M 的坐标为（m， m+2），分 B、 P 在直线 AC 的同侧和异侧两种情况考虑，由点 B、M 的坐标结合 PM：MB=1：2 即可得出点 P 的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于 m 的一 元二次方程，解之即可得出结论； （3）作∠CBA 的角平分线，交 y 轴于点 E，过点 E 作 EF⊥BC 于点 F，设 OE=n， 则 CE=2﹣n，EF=n，利用面积法可求出 n 值，进而可得出 = = ，结合∠ AOC=90°=∠BOE 可证出△AOC∽△BOE，根据相似三角形的性质可得出∠CAO=∠ EBO，再根据角平分线的性质可得出∠CBA=2∠EBO=2∠CAB，此题得解． 【解答】解：（1）∵点 A（﹣4，0）在二次函数 y=﹣ +bx+2 的图象上， ∴﹣ ﹣4b+2=0， ∴b=﹣ ． 当 y=0 时，有﹣ x2﹣ x+2=0， 解得：x1=﹣4，x2= ， ∴点 B 的坐标为（ ，0）． 故答案为：﹣ ；（ ，0）． （2）当 x=0 时，y=﹣ x2﹣ x+2=2， ∴点 C 的坐标为（0，2）． 设直线 AC 的解析式为 y=kx+c（k≠0）， 将 A（﹣4，0）、C（0，2）代入 y=kx+c 中， 得： ，解得： ， ∴直线 AC 的解析式为 y= x+2． 假设存在，设点 M 的坐标为（m， m+2）． ①当点 P、B 在直线 AC 的异侧时，点 P 的坐标为（ m﹣ ， m+3）， ∵点 P 在抛物线 y=﹣ x2﹣ x+2 上， ∴ m+3=﹣ ×（ m﹣ ）2﹣ ×（ m﹣ ）+2， 整理，得：12m2+20m+9=0． ∵△=202﹣4×12×9=﹣32＜0， ∴方程无解，即不存在符合题意得点 P； ②当点 P、B 在直线 AC 的同侧时，点 P 的坐标为（ m+ ， m+1）， ∵点 P 在抛物线 y=﹣ x2﹣ x+2 上， ∴ m+1=﹣ ×（ m+ ）2﹣ ×（ m+ ）+2， 整理，得：4m2+44m﹣9=0， 解得：m1=﹣ ，m2= ， ∴点 P 的横坐标为﹣2﹣ 或﹣2+ ． 综上所述：存在点 P，使得 PM：MB=1：2，点 P 的横坐标为﹣2﹣ 或﹣2+ ． （3）∠CBA=2∠CAB，理由如下： 作∠CBA 的角平分线，交 y 轴于点 E，过点 E 作 EF⊥BC 于点 F，如图 2 所示． ∵点 B（ ，0），点 C（0，2）， ∴OB= ，OC=2，BC= ． 设 OE=n，则 CE=2﹣n，EF=n， 由面积法，可知： OB•CE= BC•EF，即 （2﹣n）= n， 解得：n= ． ∵ = = ，∠AOC=90°=∠BOE， ∴△AOC∽△BOE， ∴∠CAO=∠EBO， ∴∠CBA=2∠EBO=2∠CAB． 【点评】题考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、 三角形的面积、勾股定理、一次函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的判定 与性质，解题的关键是：（1）由点 A 的坐标，利用二次函数图象上点的坐标特征 求出 b 的值；（2）分 B、P 在直线 AC 的同侧和异侧两种情况找出点 P 的坐标；（3） 构造相似三角形找出两角的数量关系．