高中数学人教a版必修四模块综合检测(a) word版含答案

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高中数学人教a版必修四模块综合检测(a) word版含答案

模块综合检测(A) (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知△ABC 中,tan A=- 5 12 ,则 cos A 等于( ) A.12 13 B. 5 13 C.- 5 13 D.-12 13 2.已知向量 a=(2,1),a+b=(1,k),若 a⊥b,则实数 k 等于( ) A.1 2 B.-2 C.-7 D.3 3.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=4,则AB→·AC→等于( ) A.-16 B.-8 C.8 D.16 4.已知 sin(π-α)=-2sin(π 2 +α),则 sin αcos α等于( ) A.2 5 B.-2 5 C.2 5 或-2 5 D.-1 5 5.函数 y=Asin(ωx+φ) (ω>0,|φ|<π 2 ,x∈R)的部分图象如图所示,则函数表达式为( ) A.y=-4sin π 8x+π 4 B.y=4sin π 8x-π 4 C.y=-4sin π 8x-π 4 D.y=4sin π 8x+π 4 6.若|a|=2cos 15°,|b|=4sin 15°,a,b 的夹角为 30°,则 a·b 等于( ) A. 3 2 B. 3 C.2 3 D.1 2 7.为得到函数 y=cos(x+π 3)的图象,只需将函数 y=sin x 的图象( ) A.向左平移π 6 个长度单位 B.向右平移π 6 个长度单位 C.向左平移5π 6 个长度单位 D.向右平移5π 6 个长度单位 8.在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若AD→ =2DB→ ,CD→ =1 3CA→+λCB→,则λ等于( ) A.2 3 B.1 3 C.-1 3 D.-2 3 9.若 2α+β=π,则 y=cos β-6sin α的最大值和最小值分别是( ) A.7,5 B.7,-11 2 C.5,-11 2 D.7,-5 10.已知向量 a=(sin(α+π 6),1),b=(4,4cos α- 3),若 a⊥b,则 sin(α+4π 3 )等于( ) A.- 3 4 B.-1 4 C. 3 4 D.1 4 11.将函数 f(x)=sin(ωx+φ)的图象向左平移π 2 个单位,若所得图象与原图象重合,则ω的值 不可能等于( ) A.4 B.6 C.8 D.12 12.已知向量OB→ =(2,0),OC→ =(2,2),CA→=( 2cos α, 2sin α),则OA→ 与OB→ 夹角的范围是 ( ) A. 0,π 4 B. π 4 ,5π 12 C. π 12 ,5π 12 D. 5π 12 ,π 2 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.sin 2 010°=________. 14.已知向量 a=(1-sin θ,1),b= 1 2 ,1+sin θ (θ为锐角),且 a∥b,则 tan θ=________. 15.已知 A(1,2),B(3,4),C(-2,2),D(-3,5),则向量AB→在CD→ 上的投影为________. 16.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-π 2 ≤φ≤π 2)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的 距离为 2 2,且过点(2,-1 2),则函数 f(x)=________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(10 分)已知向量 a=(sin x,3 2),b=(cos x,-1). (1)当 a∥b 时,求 2cos2x-sin 2x 的值; (2)求 f(x)=(a+b)·b 在[-π 2 ,0]上的最大值. 18.(12 分)设向量 a=(4cos α,sin α),b=(sin β,4cos β),c=(cos β,-4sin β). (1)若 a 与 b-2c 垂直,求 tan(α+β)的值; (2)求|b+c|的最大值; (3)若 tan αtan β=16,求证:a∥b. 19.(12 分)已知向量 a=(sin θ,-2)与 b=(1,cos θ)互相垂直,其中θ∈(0,π 2). (1)求 sin θ和 cos θ的值; (2)若 5cos(θ-φ)=3 5cos φ,0<φ<π 2 ,求 cos φ的值. 20.(12 分)已知函数 f(x)=sin(π-ωx)cos ωx+cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值; (2)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的1 2 ,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图 象,求函数 g(x)在区间[0, π 16 ]上的最小值. 21.(12 分)已知函数 f(x)=4cos4x-2cos 2x-1 sinπ 4 +xsinπ 4 -x . (1)求 f(-11 12π)的值; (2)当 x∈[0,π 4)时,求 g(x)=1 2f(x)+sin 2x 的最大值和最小值. 22.(12 分)已知向量 a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),|a-b|=2 5 5 . (1)求 cos(α-β)的值; (2)若 0<α<π 2 ,-π 2<β<0,且 sin β=- 5 13 ,求 sin α. 模块综合检测(A) 答案 1.D [∵cos2A+sin2A=1,且sin A cos A =- 5 12 , ∴cos2A+(- 5 12cos A)2=1 且 cos A<0, 解得 cos A=-12 13.] 2.D [∵a=(2,1),a+b=(1,k). ∴b=(a+b)-a=(1,k)-(2,1)=(-1,k-1). ∵a⊥b.∴a·b=-2+k-1=0 ∴k=3.] 3.D [AB→·AC→=(AC→+CB→)·AC→=AC→ 2+CB→·AC→=AC→ 2+0=16.] 4.B [∵sin(π-α)=-2sin(π 2 +α) ∴sin α=-2cos α.∴tan α=-2. ∴sin αcos α= sin αcos α sin2α+cos2α = tan α tan2α+1 = -2 -22+1 =-2 5.] 5.A [由图可知,A=4,且 6ω+φ=0, -2ω+φ=-π ,解得 ω=π 8 φ=-3 4π . ∴y=4sin(π 8x-3π 4 )=-4sin(π 8x+π 4).] 6.B [由 cos 30°= a·b |a||b| 得 3 2 = a·b 2cos 15°·4sin 15° = a·b 4sin 30° ∴a·b= 3,故选 B.] 7.C [y=cos(x+π 3)=sin(x+π 3 +π 2)=sin(x+5π 6 ), ∴只需将函数 y=sin x 的图象向左平移5π 6 个长度单位,即可得函数 y=cos(x+π 3)的图象.] 8.A [由于AD→ =2DB→ , 得CD→ =CA→+AD→ =CA→+2 3AB→=CA→+2 3(CB→-CA→)=1 3CA→+2 3CB→, 结合CD→ =1 3CA→+λCB→,知λ=2 3.] 9.D [∵β=π-2α,∴y=cos(π-2α)-6sin α =-cos 2α-6sin α=2sin2α-1-6sin α =2sin2α-6sin α-1=2 sin α-3 2 2-11 2 当 sin α=1 时,ymin=-5;当 sin α=-1 时,ymax=7.] 10.B [a·b=4sin(α+π 6)+4cos α- 3=2 3sin α+6cos α- 3=4 3sin(α+π 3)- 3=0, ∴sin(α+π 3)=1 4. ∴sin(α+4π 3 )=-sin(α+π 3)=-1 4 ,故选 B.] 11.B [将 f(x)=sin(ωx+φ)的图象向左平移π 2 个单位,若与原图象重合,则π 2 为函数 f(x)的周 期的整数倍,不妨设π 2 =k·2π ω (k∈Z),得ω=4k,即ω为 4 的倍数,故选项 B 不可能.] 12.C [ 建立如图所示的直角坐标系. ∵OC→ =(2,2),OB→ =(2,0), CA→=( 2cos α, 2sin α), ∴点 A 的轨迹是以 C(2,2)为圆心, 2为半径的圆. 过原点 O 作此圆的切线,切点分别为 M,N,连结 CM、CN,如图所示,则向量OA→ 与OB→ 的 夹角范围是∠MOB≤〈OA→ ,OB→ 〉≤∠NOB. ∵|OC→ |=2 2,∴|CM→ |=|CN→ |=1 2|OC→ |, 知∠COM=∠CON=π 6 ,但∠COB=π 4. ∴∠MOB= π 12 ,∠NOB=5π 12 ,故 π 12 ≤〈OA→ ,OB→ 〉≤5π 12.] 13.-1 2 解析 sin 2010°=sin(5×360°+210°)=sin 210°=sin(180°+30°)=-sin 30°=-1 2. 14.1 解析 ∵a∥b,∴(1-sin θ)(1+sin θ)-1 2 =0. ∴cos2θ=1 2 , ∵θ为锐角,∴cos θ= 2 2 , ∴θ=π 4 ,∴tan θ=1. 15.2 10 5 解析 AB→=(2,2),CD→ =(-1,3). ∴AB→在CD→ 上的投影|AB→|cos〈AB→,CD→ 〉=AB→·CD→ |CD→ | =2×-1+2×3 -12+32 = 4 10 =2 10 5 . 16.sin(πx 2 +π 6) 解析 据已知两个相邻最高及最低点距离为 2 2,可得 T 2 2+1+12=2 2,解得 T=4, 故ω=2π T =π 2 ,即 f(x)=sin(πx 2 +φ),又函数图象过点(2,-1 2),故 f(x)=sin(π+φ)=-sin φ= -1 2 ,又-π 2 ≤φ≤π 2 ,解得φ=π 6 ,故 f(x)=sin(πx 2 +π 6). 17.解 (1)∵a∥b,∴3 2cos x+sin x=0, ∴tan x=-3 2 , 2cos2x-sin 2x=2cos2x-2sin xcos x sin2x+cos2x =2-2tan x 1+tan2x =20 13. (2)f(x)=(a+b)·b= 2 2 sin(2x+π 4). ∵-π 2 ≤x≤0,∴-3π 4 ≤2x+π 4 ≤π 4 , ∴-1≤sin(2x+π 4)≤ 2 2 , ∴- 2 2 ≤f(x)≤1 2 , ∴f(x)max=1 2. 18.(1)解 因为 a 与 b-2c 垂直, 所以 a·(b-2c)=4cos αsin β-8cos αcos β+4sin αcos β+8sin αsin β=4sin(α+β)-8cos(α+β) =0, 因此 tan(α+β)=2. (2)解 由 b+c=(sin β+cos β,4cos β-4sin β),得 |b+c|= sin β+cos β2+4cos β-4sin β2= 17-15sin 2β≤4 2. 又当β=-π 4 时,等号成立, 所以|b+c|的最大值为 4 2. (3)证明 由 tan αtan β=16 得4cos α sin β = sin α 4cos β ,所以 a∥b. 19.解 (1)∵a·b=0,∴a·b=sin θ-2cos θ=0, 即 sin θ=2cos θ.又∵sin2θ+cos2θ=1, ∴4cos2θ+cos2θ=1,即 cos2θ=1 5 ,∴sin2θ=4 5. 又θ∈(0,π 2),∴sin θ=2 5 5 ,cos θ= 5 5 . (2)∵5cos(θ-φ)=5(cos θcos φ+sin θsin φ)= 5cos φ+2 5sin φ=3 5cos φ, ∴cos φ=sin φ. ∴cos2φ=sin2φ=1-cos2φ,即 cos2φ=1 2. 又∵0<φ<π 2 ,∴cos φ= 2 2 . 20.解 (1)因为 f(x)=sin(π-ωx)cos ωx+cos2ωx. 所以 f(x)=sin ωxcos ωx+1+cos 2ωx 2 =1 2sin 2ωx+1 2cos 2ωx+1 2 = 2 2 sin 2ωx+π 4 +1 2. 由于ω>0,依题意得2π 2ω =π,所以ω=1. (2)由(1)知 f(x)= 2 2 sin 2x+π 4 +1 2 , 所以 g(x)=f(2x)= 2 2 sin 4x+π 4 +1 2. 当 0≤x≤ π 16 时,π 4 ≤4x+π 4 ≤π 2 , 所以 2 2 ≤sin 4x+π 4 ≤1. 因此 1≤g(x)≤1+ 2 2 . 故 g(x)在区间 0, π 16 上的最小值为 1. 21.解 (1)f(x)= 1+cos 2x2-2cos 2x-1 sinπ 4 +xsinπ 4 -x = cos22x sinπ 4 +xcosπ 4 +x = 2cos22x sinπ 2 +2x =2cos22x cos 2x =2cos 2x, ∴f(-11π 12 )=2cos(-11π 6 )=2cos π 6 = 3. (2)g(x)=cos 2x+sin 2x= 2sin(2x+π 4). ∵x∈[0,π 4),∴2x+π 4 ∈[π 4 ,3π 4 ). ∴当 x=π 8 时,g(x)max= 2,当 x=0 时,g(x)min=1. 22.解 (1)∵|a|=1,|b|=1, |a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2=|a|2+|b|2-2(cos αcos β+sin αsin β)=1+1-2cos(α-β), |a-b|2=(2 5 5 )2=4 5 , ∴2-2cos(α-β)=4 5 得 cos(α-β)=3 5. (2)∵-π 2<β<0<α<π 2 ,∴0<α-β<π. 由 cos(α-β)=3 5 得 sin(α-β)=4 5 , 由 sin β=- 5 13 得 cos β=12 13. ∴sin α=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β=4 5 ×12 13 +3 5 ×(- 5 13)=33 65.
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