高中数学人教a版必修四模块综合检测（a） word版含答案

高中数学人教a版必修四模块综合检测（a） word版含答案

模块综合检测(A) (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1．已知△ABC 中，tan A＝－ 5 12 ，则 cos A 等于( ) A.12 13 B. 5 13 C．－ 5 13 D．－12 13 2．已知向量 a＝(2,1)，a＋b＝(1，k)，若 a⊥b，则实数 k 等于( ) A.1 2 B．－2 C．－7 D．3 3．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，则AB→·AC→等于( ) A．－16 B．－8 C．8 D．16 4．已知 sin(π－α)＝－2sin(π 2 ＋α)，则 sin αcos α等于( ) A.2 5 B．－2 5 C.2 5 或－2 5 D．－1 5 5．函数 y＝Asin(ωx＋φ) (ω>0，|φ|<π 2 ，x∈R)的部分图象如图所示，则函数表达式为( ) A．y＝－4sin π 8x＋π 4 B．y＝4sin π 8x－π 4 C．y＝－4sin π 8x－π 4 D．y＝4sin π 8x＋π 4 6．若|a|＝2cos 15°，|b|＝4sin 15°，a，b 的夹角为 30°，则 a·b 等于( ) A. 3 2 B. 3 C．2 3 D.1 2 7．为得到函数 y＝cos(x＋π 3)的图象，只需将函数 y＝sin x 的图象( ) A．向左平移π 6 个长度单位 B．向右平移π 6 个长度单位 C．向左平移5π 6 个长度单位 D．向右平移5π 6 个长度单位 8．在△ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若AD→ ＝2DB→ ，CD→ ＝1 3CA→＋λCB→，则λ等于( ) A.2 3 B.1 3 C．－1 3 D．－2 3 9．若 2α＋β＝π，则 y＝cos β－6sin α的最大值和最小值分别是( ) A．7,5 B．7，－11 2 C．5，－11 2 D．7，－5 10．已知向量 a＝(sin(α＋π 6)，1)，b＝(4,4cos α－ 3)，若 a⊥b，则 sin(α＋4π 3 )等于( ) A．－ 3 4 B．－1 4 C. 3 4 D.1 4 11．将函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象向左平移π 2 个单位，若所得图象与原图象重合，则ω的值 不可能等于( ) A．4 B．6 C．8 D．12 12．已知向量OB→ ＝(2,0)，OC→ ＝(2,2)，CA→＝( 2cos α， 2sin α)，则OA→ 与OB→ 夹角的范围是 ( ) A. 0，π 4 B. π 4 ，5π 12 C. π 12 ，5π 12 D. 5π 12 ，π 2 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13．sin 2 010°＝________. 14．已知向量 a＝(1－sin θ，1)，b＝ 1 2 ，1＋sin θ (θ为锐角)，且 a∥b，则 tan θ＝________. 15．已知 A(1,2)，B(3,4)，C(－2,2)，D(－3,5)，则向量AB→在CD→ 上的投影为________． 16．已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π 2 ≤φ≤π 2)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的 距离为 2 2，且过点(2，－1 2)，则函数 f(x)＝________. 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17．(10 分)已知向量 a＝(sin x，3 2)，b＝(cos x，－1)． (1)当 a∥b 时，求 2cos2x－sin 2x 的值； (2)求 f(x)＝(a＋b)·b 在[－π 2 ，0]上的最大值． 18．(12 分)设向量 a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)． (1)若 a 与 b－2c 垂直，求 tan(α＋β)的值； (2)求|b＋c|的最大值； (3)若 tan αtan β＝16，求证：a∥b. 19．(12 分)已知向量 a＝(sin θ，－2)与 b＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈(0，π 2)． (1)求 sin θ和 cos θ的值； (2)若 5cos(θ－φ)＝3 5cos φ，0<φ<π 2 ，求 cos φ的值． 20．(12 分)已知函数 f(x)＝sin(π－ωx)cos ωx＋cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值； (2)将函数 y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的1 2 ，纵坐标不变，得到函数 y＝g(x)的图 象，求函数 g(x)在区间[0， π 16 ]上的最小值． 21．(12 分)已知函数 f(x)＝4cos4x－2cos 2x－1 sinπ 4 ＋xsinπ 4 －x . (1)求 f(－11 12π)的值； (2)当 x∈[0，π 4)时，求 g(x)＝1 2f(x)＋sin 2x 的最大值和最小值． 22．(12 分)已知向量 a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝2 5 5 . (1)求 cos(α－β)的值； (2)若 0<α<π 2 ，－π 2<β<0，且 sin β＝－ 5 13 ，求 sin α. 模块综合检测(A) 答案 1．D [∵cos2A＋sin2A＝1，且sin A cos A ＝－ 5 12 ， ∴cos2A＋(－ 5 12cos A)2＝1 且 cos A<0， 解得 cos A＝－12 13.] 2．D [∵a＝(2,1)，a＋b＝(1，k)． ∴b＝(a＋b)－a＝(1，k)－(2,1)＝(－1，k－1)． ∵a⊥b.∴a·b＝－2＋k－1＝0 ∴k＝3.] 3．D [AB→·AC→＝(AC→＋CB→)·AC→＝AC→ 2＋CB→·AC→＝AC→ 2＋0＝16.] 4．B [∵sin(π－α)＝－2sin(π 2 ＋α) ∴sin α＝－2cos α.∴tan α＝－2. ∴sin αcos α＝ sin αcos α sin2α＋cos2α ＝ tan α tan2α＋1 ＝ －2 －22＋1 ＝－2 5.] 5．A [由图可知，A＝4，且 6ω＋φ＝0， －2ω＋φ＝－π ，解得 ω＝π 8 φ＝－3 4π . ∴y＝4sin(π 8x－3π 4 )＝－4sin(π 8x＋π 4)．] 6．B [由 cos 30°＝ a·b |a||b| 得 3 2 ＝ a·b 2cos 15°·4sin 15° ＝ a·b 4sin 30° ∴a·b＝ 3，故选 B.] 7．C [y＝cos(x＋π 3)＝sin(x＋π 3 ＋π 2)＝sin(x＋5π 6 )， ∴只需将函数 y＝sin x 的图象向左平移5π 6 个长度单位，即可得函数 y＝cos(x＋π 3)的图象．] 8．A [由于AD→ ＝2DB→ ， 得CD→ ＝CA→＋AD→ ＝CA→＋2 3AB→＝CA→＋2 3(CB→－CA→)＝1 3CA→＋2 3CB→， 结合CD→ ＝1 3CA→＋λCB→，知λ＝2 3.] 9．D [∵β＝π－2α，∴y＝cos(π－2α)－6sin α ＝－cos 2α－6sin α＝2sin2α－1－6sin α ＝2sin2α－6sin α－1＝2 sin α－3 2 2－11 2 当 sin α＝1 时，ymin＝－5；当 sin α＝－1 时，ymax＝7.] 10．B [a·b＝4sin(α＋π 6)＋4cos α－ 3＝2 3sin α＋6cos α－ 3＝4 3sin(α＋π 3)－ 3＝0， ∴sin(α＋π 3)＝1 4. ∴sin(α＋4π 3 )＝－sin(α＋π 3)＝－1 4 ，故选 B.] 11．B [将 f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象向左平移π 2 个单位，若与原图象重合，则π 2 为函数 f(x)的周 期的整数倍，不妨设π 2 ＝k·2π ω (k∈Z)，得ω＝4k，即ω为 4 的倍数，故选项 B 不可能．] 12．C [ 建立如图所示的直角坐标系． ∵OC→ ＝(2,2)，OB→ ＝(2,0)， CA→＝( 2cos α， 2sin α)， ∴点 A 的轨迹是以 C(2,2)为圆心， 2为半径的圆． 过原点 O 作此圆的切线，切点分别为 M，N，连结 CM、CN，如图所示，则向量OA→ 与OB→ 的 夹角范围是∠MOB≤〈OA→ ，OB→ 〉≤∠NOB. ∵|OC→ |＝2 2，∴|CM→ |＝|CN→ |＝1 2|OC→ |， 知∠COM＝∠CON＝π 6 ，但∠COB＝π 4. ∴∠MOB＝ π 12 ，∠NOB＝5π 12 ，故 π 12 ≤〈OA→ ，OB→ 〉≤5π 12.] 13．－1 2 解析 sin 2010°＝sin(5×360°＋210°)＝sin 210°＝sin(180°＋30°)＝－sin 30°＝－1 2. 14．1 解析 ∵a∥b，∴(1－sin θ)(1＋sin θ)－1 2 ＝0. ∴cos2θ＝1 2 ， ∵θ为锐角，∴cos θ＝ 2 2 ， ∴θ＝π 4 ，∴tan θ＝1. 15.2 10 5 解析 AB→＝(2,2)，CD→ ＝(－1,3)． ∴AB→在CD→ 上的投影|AB→|cos〈AB→，CD→ 〉＝AB→·CD→ |CD→ | ＝2×－1＋2×3 －12＋32 ＝ 4 10 ＝2 10 5 . 16．sin(πx 2 ＋π 6) 解析 据已知两个相邻最高及最低点距离为 2 2，可得 T 2 2＋1＋12＝2 2，解得 T＝4， 故ω＝2π T ＝π 2 ，即 f(x)＝sin(πx 2 ＋φ)，又函数图象过点(2，－1 2)，故 f(x)＝sin(π＋φ)＝－sin φ＝ －1 2 ，又－π 2 ≤φ≤π 2 ，解得φ＝π 6 ，故 f(x)＝sin(πx 2 ＋π 6)． 17．解 (1)∵a∥b，∴3 2cos x＋sin x＝0， ∴tan x＝－3 2 ， 2cos2x－sin 2x＝2cos2x－2sin xcos x sin2x＋cos2x ＝2－2tan x 1＋tan2x ＝20 13. (2)f(x)＝(a＋b)·b＝ 2 2 sin(2x＋π 4)． ∵－π 2 ≤x≤0，∴－3π 4 ≤2x＋π 4 ≤π 4 ， ∴－1≤sin(2x＋π 4)≤ 2 2 ， ∴－ 2 2 ≤f(x)≤1 2 ， ∴f(x)max＝1 2. 18．(1)解 因为 a 与 b－2c 垂直， 所以 a·(b－2c)＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β) ＝0， 因此 tan(α＋β)＝2. (2)解 由 b＋c＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，得 |b＋c|＝ sin β＋cos β2＋4cos β－4sin β2＝ 17－15sin 2β≤4 2. 又当β＝－π 4 时，等号成立， 所以|b＋c|的最大值为 4 2. (3)证明 由 tan αtan β＝16 得4cos α sin β ＝ sin α 4cos β ，所以 a∥b. 19．解 (1)∵a·b＝0，∴a·b＝sin θ－2cos θ＝0， 即 sin θ＝2cos θ.又∵sin2θ＋cos2θ＝1， ∴4cos2θ＋cos2θ＝1，即 cos2θ＝1 5 ，∴sin2θ＝4 5. 又θ∈(0，π 2)，∴sin θ＝2 5 5 ，cos θ＝ 5 5 . (2)∵5cos(θ－φ)＝5(cos θcos φ＋sin θsin φ)＝ 5cos φ＋2 5sin φ＝3 5cos φ， ∴cos φ＝sin φ. ∴cos2φ＝sin2φ＝1－cos2φ，即 cos2φ＝1 2. 又∵0<φ<π 2 ，∴cos φ＝ 2 2 . 20．解 (1)因为 f(x)＝sin(π－ωx)cos ωx＋cos2ωx. 所以 f(x)＝sin ωxcos ωx＋1＋cos 2ωx 2 ＝1 2sin 2ωx＋1 2cos 2ωx＋1 2 ＝ 2 2 sin 2ωx＋π 4 ＋1 2. 由于ω>0，依题意得2π 2ω ＝π，所以ω＝1. (2)由(1)知 f(x)＝ 2 2 sin 2x＋π 4 ＋1 2 ， 所以 g(x)＝f(2x)＝ 2 2 sin 4x＋π 4 ＋1 2. 当 0≤x≤ π 16 时，π 4 ≤4x＋π 4 ≤π 2 ， 所以 2 2 ≤sin 4x＋π 4 ≤1. 因此 1≤g(x)≤1＋ 2 2 . 故 g(x)在区间 0， π 16 上的最小值为 1. 21．解 (1)f(x)＝ 1＋cos 2x2－2cos 2x－1 sinπ 4 ＋xsinπ 4 －x ＝ cos22x sinπ 4 ＋xcosπ 4 ＋x ＝ 2cos22x sinπ 2 ＋2x ＝2cos22x cos 2x ＝2cos 2x， ∴f(－11π 12 )＝2cos(－11π 6 )＝2cos π 6 ＝ 3. (2)g(x)＝cos 2x＋sin 2x＝ 2sin(2x＋π 4)． ∵x∈[0，π 4)，∴2x＋π 4 ∈[π 4 ，3π 4 )． ∴当 x＝π 8 时，g(x)max＝ 2，当 x＝0 时，g(x)min＝1. 22．解 (1)∵|a|＝1，|b|＝1， |a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝|a|2＋|b|2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1＋1－2cos(α－β)， |a－b|2＝(2 5 5 )2＝4 5 ， ∴2－2cos(α－β)＝4 5 得 cos(α－β)＝3 5. (2)∵－π 2<β<0<α<π 2 ，∴0<α－β<π. 由 cos(α－β)＝3 5 得 sin(α－β)＝4 5 ， 由 sin β＝－ 5 13 得 cos β＝12 13. ∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝4 5 ×12 13 ＋3 5 ×(－ 5 13)＝33 65.