2020年高二数学下学期期末随机变量及其分布知识点

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2020年高二数学下学期期末随机变量及其分布知识点

2020 年高二数学下学期期末随机变量及其分布知识点 1.离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量,所有取值可以一一列出的随机变量,称为 离散型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地,若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1,x2,…,xi,…,xn,X 取每一个 值 xi(i=1,2,…,n)的概率 P(X=xi)=pi,则下表称为离散型随机变量 X 的概率分布列. X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (2)离散型随机变量的分布列的性质: ①pi≥0(i=1,2,…,n);②p1+p2+p3+…+pn=1. 例 1.(2019·山东济宁检测)已知随机变量 X 的分布列为:P(X=k)= 1 2k,k=1,2,…,则 P(20,称 P(B|A)=PAB PA 为在事件 A 发生条件下, 事件 B 发生的条件概率. (2)性质 ①0≤P(B|A)≤1; ②如果 B 和 C 是两个互斥事件,则 P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A). ③条件概率的求法 1)定义法:先求 P(A)和 P(AB),再由 P(B|A)=PAB PA 求 P(B|A). 2)基本事件法:借助古典概型概率公式,先求事件 A 包含的基本事件数 n(A),再求事件 AB 所包含的基本事件数 n(AB),得 P(B|A)=nAB nA . 例 3.(2019·山东济南模拟)从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件 A=“取到的 2 个 数之和为偶数”,事件 B=“取到的 2 个数均为偶数”,则 P(B|A)=( ) A.1 8 B.1 4 C.2 5 D.1 2 【答案】B [P(A)=C2 3+C2 2 C2 5 =2 5 ,P(B)=C2 2 C2 5 = 1 10 ,又 A ⊇ B,则 P(AB)=P(B)= 1 10 ,所以 P(B|A)=PAB PA =PB PA=1 4 .] [变式探究 1] 若将题中的事件 B:“取到的 2 个数均为偶数”改为“取到的 2 个数均为 奇数”,则结果如何? 解 P(A)=C2 3+C2 2 C2 5 =2 5 ,P(B)=C2 3 C2 5 = 3 10 , 又 A ⊇ B,则 P(AB)=P(B)= 3 10 , 所以 P(B|A)=PAB PA =PB PA=3 4 . [变式探究 2] 将题改为:从 1,2,3,4,5 中不放回地依次取 2 个数,事件 A 为“第一次取 到的是奇数”,事件 B 为“第二次取到的是奇数”,求 P(B|A)的值. 解 从 1,2,3,4,5 中不放回地依次取 2 个数,有 A 2 5种方法;其中第一次取到的是奇数,有 A1 3A 1 4种方法;第一次取到的是奇数且第二次取到的是奇数,有 A1 3A 1 2种方法.则 P(A)=A1 3A1 4 A2 5 = 3 5 ,P(AB)=A1 3A1 2 A2 5 = 3 10 , ∴P(B|A)=PAB PA = 3 10 3 5 =1 2 . 练习.(2019· 辽宁大连质检)1 号箱中有 2 个白球和 4 个红球,2 号箱中有 5 个白球和 3 个红球,现随机地从 1 号箱中取出一球放入 2 号箱,然后从 2 号箱随机取出一球,则两次都 取到红球的概率是( ) A.11 27 B.11 24 C. 8 27 D. 9 24 【答案】C [设从 1 号箱取到红球为事件 A,从 2 号箱取到红球为事件 B.由题意,P(A) = 4 2+4 =2 3 ,P(B|A)=3+1 8+1 =4 9 ,所以 P(AB)=P(B|A)·P(A)=2 3 ×4 9 = 8 27 ,所以两次都取到红 球的概率为 8 27 .] 5.事件的相互独立性 (1)定义:设 A,B 为两个事件,如果 P(AB)=P(A)·P(B),则称事件 A 与事件 B 相互独 立. (2)性质 ①若事件 A 与 B 相互独立,则 P(B|A)=P(B),P(A|B)=P(A),P(AB)=P(A)P(B). ②如果事件 A 与 B 相互独立,那么 A 与 B-,A-与 B,A-与 B-也都相互独立. 6. 求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)首先判断几个事件的发生是否相互独立. (2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有: ①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解; ②正面计算较繁或难以入手时,可从其对立事件入手计算. 例 4. (2019·云贵川三省联考)某地乒乓球队备战全运会的热身赛暨选拔赛中,种子选手 M 与 B1,B2,B3 三位非种子选手分别进行一场对抗赛,按以往多次比赛的统计,M 获胜的概 率分别为3 4 ,2 3 ,1 2 ,且各场比赛互不影响. (1)若 M 至少获胜两场的概率大于 7 10 ,则 M 入选征战全运会的最终大名单,否则不予入 选,问 M 是否会入选最终的大名单? (2)求 M 获胜场数 X 的分布列和数学期望. 解 (1)记 M 与 B1,B2,B3 进行对抗赛获胜的事件分别为 A,B,C,M 至少获胜两场的 事件为 D,则 P(A)=3 4 ,P(B)=2 3 ,P(C)=1 2 ,由于事件 A,B,C 相互独立,所以 P(D)=P(ABC)+P(ABC-)+P(A B-C)+P(A-BC) =3 4 ×2 3 ×1 2 +3 4 ×2 3 × 1-1 2 +3 4 × 1-2 3 ×1 2 + 1-3 4 ×2 3 ×1 2 =17 24 ,由于17 24 > 7 10 ,所以 M 会 入选最终的大名单. (2)M 获胜场数 X 的可能取值为 0,1,2,3,则 P(X=0)=P(A- B- C-) = 1-3 4 × 1-2 3 × 1-1 2 = 1 24 ; P(X=1)=P(A B- C-)+P(A- B-C)+P(A-BC-)=3 4 × 1-2 3 × 1-1 2 + 1-3 4 × 1-2 3 ×1 2 + 1-3 4 ×2 3 × 1-1 2 = 6 24 =1 4 ; P(X=2)=P(ABC-)+P(A B-C)+P(A-BC) =3 4 ×2 3 × 1-1 2 +3 4 × 1-2 3 ×1 2 + 1-3 4 ×2 3 ×1 2 =11 24 ; P(X=3)=P(ABC)=3 4 ×2 3 ×1 2 = 6 24 =1 4 ,所以 M 获胜场数 X 的分布列为: X 0 1 2 3 P 1 24 1 4 11 24 1 4 数学期望为 E(X)=0× 1 24 +1×1 4 +2×11 24 +3×1 4 =23 12 . 练习. (2019·山东沂水模拟)甲、乙、丙 3 位大学生同时应聘某个用人单位的职位,3 人 能被选中的概率分别为2 5 ,3 4 ,1 3 ,且各自能否被选中互不影响. (1)求 3 人同时被选中的概率; (2)求 3 人中至少有 1 人被选中的概率. 解 记甲、乙、丙能被选中的事件分别为 A,B,C,则 P(A)=2 5 ,P(B)=3 4 ,P(C)=1 3 . (1)3 人同时被选中的概率 P1=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=2 5 ×3 4 ×1 3 = 1 10 . (2)法一:3 人中有 2 人被选中的概率 P2=P(ABC-∪A B-C∪A-BC) =2 5 ×3 4 × 1-1 3 +2 5 × 1-3 4 ×1 3 + 1-2 5 ×3 4 ×1 3 =23 60 . 3 人中只有 1 人被选中的概率 P3 = P(A B- C- ∪ A- B C- ∪ A- B- C) = 2 5 × 1-3 4 × 1-1 3 + 1-2 5 × 3 4 × 1-1 3 + 1-2 5 × 1-3 4 ×1 3 = 5 12 . 故 3 人中至少有 1 人被选中的概率为 P1+P2+P3= 1 10 +23 60 + 5 12 = 9 10 . 法二:3 人都未被选中的概率为 P(A- B- C-)= 1-2 5 1-3 4 1-1 3 = 1 10 , 所以 3 人中至少有一人被选中的概率为 1- 1 10 = 9 10 . 7.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验 在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验.Ai(i=1,2,…,n)表示第 i 次试 验结果,则 P(A1A2A3…An)=P(A1)P(A2)…P(An). (2)二项分布 在 n 次独立重复试验中,用 X 表示事件 A 发生的次数,设每次试验中事件 A 发生的概率 是 p,此时称随机变量 X 服从二项分布,记作 X~B(n,p),并称 p 为成功概率.在 n 次独立重 复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P(X=k)=Ck npk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n). 例 5.(全国卷Ⅰ)投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试.已知某同学每 次投篮投中的概率为 0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( ) A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312 【答案】A [3 次投篮投中 2 次的概率为 P(k=2)=C2 3×0.62×(1-0.6),投中 3 次的概 率为 P(k=3)=0.63,所以通过测试的概率为 P(k=2)+P(k=3)=C2 3×0.62×(1-0.6)+0.63= 0.648.] 练习. (2019·山东济南模拟)某市为了调查学校“阳光体育活动”在高三年级的实施情 况,从本市某校高三男生中随机抽取一个班的男生进行投掷实心铅球(重 3 kg)测试,成绩在 6.9 米以上的为合格.把所得数据进行整理后,分成 5 组画出频率分布直方图的一部分(如图所 示),已知成绩在[9.9,11.4)的频数是 4. (1)求这次铅球测试成绩合格的人数; (2)若从今年该市高中毕业男生中随机抽取两名,记ξ表示两人中成绩不合格的人数,利用 样本估计总体,求ξ的分布列. 解 (1)由直方图,知成绩在[9.9,11.4)的频率为 1-(0.05+0.22+0.30+0.03)×1.5=0.1. 因为成绩在[9.9,11.4)的频数是 4, 故抽取的总人数为 4 0.1 =40. 又成绩在 6.9 米以上的为合格,所以这次铅球测试成绩合格的人数为 40-0.05×1.5×40 =37. (2)ξ的所有可能的取值为 0,1,2,利用样本估计总体,从今年该市高中毕业男生中随机抽 取一名成绩合格的概率为37 40 ,成绩不合格的概率为 1-37 40 = 3 40 ,可判断ξ~B 2, 3 40 . P(ξ=0)=C0 2× 37 40 2=1 369 1 600 , P(ξ=1)=C1 2× 3 40 ×37 40 =111 800 , P(ξ=2)=C2 2× 3 40 2= 9 1 600 , 故所求分布列为 X 0 1 2 P 1 369 1 600 111 800 9 1 600 8.均值 (1)一般地,若离散型随机变量 X 的分布列为: X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称 E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn 为随机变量 X 的均值或数学期望.它反映了 离散型随机变量取值的平均水平. (2)若 Y=aX+b,其中 a,b 为常数,则 Y 也是随机变量,且 E(aX+b)=aE(X)+b. (3)①若 X 服从两点分布,则 E(X)=p; ②若 X~B(n,p),则 E(X)=np. 9.方差 (1)设离散型随机变量 X 的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则(xi-E(X))2 描述了 xi(i=1,2,…,n)相对于均值 E(X)的偏离程度.而 D(X)=错误!(xi- E(X))2pi 为这些偏离程度的加权平均,刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的平均偏离程度.称 D(X) 为随机变量 X 的方差,并称其算术平方根 DX为随机变量 X 的标准差. (2)D(aX+b)=a2D(X). (3)若 X 服从两点分布,则 D(X)=p(1-p). (4)若 X~B(n,p),则 D(X)=np(1-p). 例 6.(2019·江西上饶月考)已知随机变量 X 服从二项分布 B(n,p),若 E(X)=30,D(X) =20,则 p=____________. 【答案】1 3 [由于 X~B(n,p),且 E(X)=30,D(X)=20, 所以 np=30, np1-p=20, 解之得 p=1 3 .] 练习. (2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装,每箱 200 件,每一箱产品在交付用 户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取 20 件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的 概率都为 p(00; 当 p∈(0.1,1)时,f′(p)<0. 所以 f(p)的最大值点为 p0=0.1. (2)由(1)知,p=0.1. ①令 Y 表示余下的 180 件产品中的不合格品件数,依题意知 Y~B(180,0.1),X=20×2 +25Y,即 X=40+25Y. 所以 EX=E(40+25Y)=40+25EY=490. ②若对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费用为 400 元. 由于 EX>400,故应该对余下的产品作检验. 10.正态分布 (1)正态曲线的特点 ①曲线位于 x 轴上方,与 x 轴不相交; ②曲线是单峰的,它关于直线 x=μ对称; ③曲线在 x=μ处达到峰值 1 σ 2π ; ④曲线与 x 轴之间的面积为 1; ⑤当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿 x 轴平移; ⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中; σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散. (2)正态分布的三个常用数据 ①P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826; ②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9544; ③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9974. 例 7.(2019·山东泰安调研)已知随机变量 X~N(0,σ2),若 P(|X|<2)=a,则 P(X>2) 的值为( ) A.1-a 2 B.a 2 C.1-a D.1+a 2 【答案】A [根据正态分布可知 P(|X|<2)+2P(X>2)=1,故 P(X>2)=1-a 2 .] 练习.(2019·山东德州模拟)已知某公司生产的一种产品的质量 X(单位:克)服从正态分 布 N(100,4),现从该产品的生产线上随机抽取 10 000 件产品,其中质量在[98,104]内的产品 估计有( ) (附:若 X 服从 N(μ,σ2),则 P(μ-σ<X<μ+σ)=0.682 7,P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.954 5) A.4 093 件 B.4 772 件 C.6 827 件 D.8 186 件 【答案】 D [由题意可得,该正态分布的对称轴为 x=100,且σ=2,则质量在[96,104] 内的产品的概率为 P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.954 5,而质量在[98,102]内的产品的概率为 P(μ -σ<X<μ+σ)=0.682 7,结合对称性可知,质量在[98,104]内的产品的概率为 0.682 7+ 0.954 5-0.682 7 2 =0.818 6,据此估计质量在[98,104]内的产品的数量为 10 000×0.818 6=8 186(件).]
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