2020年高二数学下学期期末随机变量及其分布知识点
2020 年高二数学下学期期末随机变量及其分布知识点
1．离散型随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为
离散型随机变量．
2．离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1，x2，…，xi，…，xn，X 取每一个
值 xi(i＝1,2，…，n)的概率 P(X＝xi)＝pi，则下表称为离散型随机变量 X 的概率分布列.
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
(2)离散型随机变量的分布列的性质：
①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋p3＋…＋pn＝1．
例 1．(2019·山东济宁检测)已知随机变量 X 的分布列为：P(X＝k)＝ 1
2k，k＝1,2，…，则
P(2
0，称 P(B|A)＝PAB
PA 为在事件 A 发生条件下，
事件 B 发生的条件概率．
(2)性质
①0≤P(B|A)≤1；
②如果 B 和 C 是两个互斥事件，则 P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
③条件概率的求法
1)定义法：先求 P(A)和 P(AB)，再由 P(B|A)＝PAB
PA 求 P(B|A)．
2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件数 n(A)，再求事件
AB 所包含的基本事件数 n(AB)，得 P(B|A)＝nAB
nA ．
例 3．(2019·山东济南模拟)从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数，事件 A＝“取到的 2 个
数之和为偶数”，事件 B＝“取到的 2 个数均为偶数”，则 P(B|A)＝( )
A．1
8
B．1
4
C．2
5
D．1
2
【答案】B [P(A)＝C2
3＋C2
2
C2
5
＝2
5
，P(B)＝C2
2
C2
5
＝ 1
10
，又 A
⊇
B，则 P(AB)＝P(B)＝ 1
10
，所以
P(B|A)＝PAB
PA ＝PB
PA＝1
4
.]
[变式探究 1] 若将题中的事件 B：“取到的 2 个数均为偶数”改为“取到的 2 个数均为
奇数”，则结果如何？
解 P(A)＝C2
3＋C2
2
C2
5
＝2
5
，P(B)＝C2
3
C2
5
＝ 3
10
，
又 A
⊇
B，则 P(AB)＝P(B)＝ 3
10
，
所以 P(B|A)＝PAB
PA ＝PB
PA＝3
4
．
[变式探究 2] 将题改为：从 1,2,3,4,5 中不放回地依次取 2 个数，事件 A 为“第一次取
到的是奇数”，事件 B 为“第二次取到的是奇数”，求 P(B|A)的值．
解 从 1,2,3,4,5 中不放回地依次取 2 个数，有 A 2
5种方法；其中第一次取到的是奇数，有
A1
3A 1
4种方法；第一次取到的是奇数且第二次取到的是奇数，有 A1
3A 1
2种方法．则 P(A)＝A1
3A1
4
A2
5
＝
3
5
，P(AB)＝A1
3A1
2
A2
5
＝ 3
10
，
∴P(B|A)＝PAB
PA ＝
3
10
3
5
＝1
2
．
练习．(2019· 辽宁大连质检)1 号箱中有 2 个白球和 4 个红球，2 号箱中有 5 个白球和 3
个红球，现随机地从 1 号箱中取出一球放入 2 号箱，然后从 2 号箱随机取出一球，则两次都
取到红球的概率是( )
A．11
27
B．11
24
C． 8
27
D． 9
24
【答案】C [设从 1 号箱取到红球为事件 A，从 2 号箱取到红球为事件 B．由题意，P(A)
＝ 4
2＋4
＝2
3
，P(B|A)＝3＋1
8＋1
＝4
9
，所以 P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝2
3
×4
9
＝ 8
27
，所以两次都取到红
球的概率为 8
27
.]
5．事件的相互独立性
(1)定义：设 A，B 为两个事件，如果 P(AB)＝P(A)·P(B)，则称事件 A 与事件 B 相互独
立．
(2)性质
①若事件 A 与 B 相互独立，则 P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)．
②如果事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与 B－，A－与 B，A－与 B－也都相互独立．
6. 求相互独立事件同时发生的概率的方法
(1)首先判断几个事件的发生是否相互独立．
(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：
①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；
②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
例 4. (2019·云贵川三省联考)某地乒乓球队备战全运会的热身赛暨选拔赛中，种子选手
M 与 B1，B2，B3 三位非种子选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，M 获胜的概
率分别为3
4
，2
3
，1
2
，且各场比赛互不影响．
(1)若 M 至少获胜两场的概率大于 7
10
，则 M 入选征战全运会的最终大名单，否则不予入
选，问 M 是否会入选最终的大名单？
(2)求 M 获胜场数 X 的分布列和数学期望．
解 (1)记 M 与 B1，B2，B3 进行对抗赛获胜的事件分别为 A，B，C，M 至少获胜两场的
事件为 D，则 P(A)＝3
4
，P(B)＝2
3
，P(C)＝1
2
，由于事件 A，B，C 相互独立，所以
P(D)＝P(ABC)＋P(ABC－)＋P(A B－C)＋P(A－BC)
＝3
4
×2
3
×1
2
＋3
4
×2
3
×
1－1
2 ＋3
4
×
1－2
3 ×1
2
＋
1－3
4 ×2
3
×1
2
＝17
24
，由于17
24
> 7
10
，所以 M 会
入选最终的大名单．
(2)M 获胜场数 X 的可能取值为 0,1,2,3，则
P(X＝0)＝P(A－ B－ C－)
＝
1－3
4 ×
1－2
3 ×
1－1
2 ＝ 1
24
；
P(X＝1)＝P(A B－ C－)＋P(A－ B－C)＋P(A－BC－)＝3
4
×
1－2
3 ×
1－1
2 ＋
1－3
4 ×
1－2
3 ×1
2
＋
1－3
4 ×2
3
×
1－1
2 ＝ 6
24
＝1
4
；
P(X＝2)＝P(ABC－)＋P(A B－C)＋P(A－BC)
＝3
4
×2
3
×
1－1
2 ＋3
4
×
1－2
3 ×1
2
＋
1－3
4 ×2
3
×1
2
＝11
24
；
P(X＝3)＝P(ABC)＝3
4
×2
3
×1
2
＝ 6
24
＝1
4
，所以 M 获胜场数 X 的分布列为：
X 0 1 2 3
P 1
24
1
4
11
24
1
4
数学期望为 E(X)＝0× 1
24
＋1×1
4
＋2×11
24
＋3×1
4
＝23
12
．
练习. (2019·山东沂水模拟)甲、乙、丙 3 位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3 人
能被选中的概率分别为2
5
，3
4
，1
3
，且各自能否被选中互不影响．
(1)求 3 人同时被选中的概率；
(2)求 3 人中至少有 1 人被选中的概率．
解 记甲、乙、丙能被选中的事件分别为 A，B，C，则 P(A)＝2
5
，P(B)＝3
4
，P(C)＝1
3
．
(1)3 人同时被选中的概率
P1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝2
5
×3
4
×1
3
＝ 1
10
．
(2)法一：3 人中有 2 人被选中的概率
P2＝P(ABC－∪A B－C∪A－BC)
＝2
5
×3
4
×
1－1
3 ＋2
5
×
1－3
4 ×1
3
＋
1－2
5 ×3
4
×1
3
＝23
60
．
3 人中只有 1 人被选中的概率
P3 ＝ P(A B－ C－ ∪ A－ B C－ ∪ A－ B－ C) ＝ 2
5
×
1－3
4 ×
1－1
3 ＋
1－2
5 × 3
4
×
1－1
3 ＋
1－2
5 ×
1－3
4 ×1
3
＝ 5
12
．
故 3 人中至少有 1 人被选中的概率为 P1＋P2＋P3＝ 1
10
＋23
60
＋ 5
12
＝ 9
10
．
法二：3 人都未被选中的概率为
P(A－ B－ C－)＝
1－2
5
1－3
4
1－1
3 ＝ 1
10
，
所以 3 人中至少有一人被选中的概率为 1－ 1
10
＝ 9
10
.
7．独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验
在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验．Ai(i＝1,2，…，n)表示第 i 次试
验结果，则 P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
(2)二项分布
在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率
是 p，此时称随机变量 X 服从二项分布，记作 X～B(n，p)，并称 p 为成功概率.在 n 次独立重
复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P(X＝k)＝Ck
npk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．
例 5．(全国卷Ⅰ)投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试．已知某同学每
次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )
A．0.648 B．0.432
C．0.36 D．0.312
【答案】A [3 次投篮投中 2 次的概率为 P(k＝2)＝C2
3×0.62×(1－0.6)，投中 3 次的概
率为 P(k＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为 P(k＝2)＋P(k＝3)＝C2
3×0.62×(1－0.6)＋0.63＝
0.648.]
练习. (2019·山东济南模拟)某市为了调查学校“阳光体育活动”在高三年级的实施情
况，从本市某校高三男生中随机抽取一个班的男生进行投掷实心铅球(重 3 kg)测试，成绩在
6.9 米以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成 5 组画出频率分布直方图的一部分(如图所
示)，已知成绩在[9.9,11.4)的频数是 4．
(1)求这次铅球测试成绩合格的人数；
(2)若从今年该市高中毕业男生中随机抽取两名，记ξ表示两人中成绩不合格的人数，利用
样本估计总体，求ξ的分布列．
解 (1)由直方图，知成绩在[9.9,11.4)的频率为
1－(0.05＋0.22＋0.30＋0.03)×1.5＝0.1．
因为成绩在[9.9,11.4)的频数是 4，
故抽取的总人数为 4
0.1
＝40．
又成绩在 6.9 米以上的为合格，所以这次铅球测试成绩合格的人数为 40－0.05×1.5×40
＝37．
(2)ξ的所有可能的取值为 0,1,2，利用样本估计总体，从今年该市高中毕业男生中随机抽
取一名成绩合格的概率为37
40
，成绩不合格的概率为
1－37
40
＝ 3
40
，可判断ξ～B
2， 3
40 ．
P(ξ＝0)＝C0
2×
37
40 2＝1 369
1 600
，
P(ξ＝1)＝C1
2× 3
40
×37
40
＝111
800
，
P(ξ＝2)＝C2
2×
3
40 2＝ 9
1 600
，
故所求分布列为
X 0 1 2
P 1 369
1 600
111
800
9
1 600
8．均值
(1)一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则称 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 为随机变量 X 的均值或数学期望．它反映了
离散型随机变量取值的平均水平．
(2)若 Y＝aX＋b，其中 a，b 为常数，则 Y 也是随机变量，且 E(aX＋b)＝aE(X)＋b．
(3)①若 X 服从两点分布，则 E(X)＝p；
②若 X～B(n，p)，则 E(X)＝np．
9．方差
(1)设离散型随机变量 X 的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则(xi－E(X))2 描述了 xi(i＝1,2，…，n)相对于均值 E(X)的偏离程度．而 D(X)＝错误!(xi－
E(X))2pi 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的平均偏离程度.称 D(X)
为随机变量 X 的方差，并称其算术平方根 DX为随机变量 X 的标准差．
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．
(3)若 X 服从两点分布，则 D(X)＝p(1－p)．
(4)若 X～B(n，p)，则 D(X)＝np(1－p)．
例 6．(2019·江西上饶月考)已知随机变量 X 服从二项分布 B(n，p)，若 E(X)＝30，D(X)
＝20，则 p＝____________．
【答案】1
3
[由于 X～B(n，p)，且 E(X)＝30，D(X)＝20，
所以
np＝30，
np1－p＝20， 解之得 p＝1
3
.]
练习. (2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用
户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取
20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的
概率都为 p(00；
当 p∈(0.1,1)时，f′(p)<0．
所以 f(p)的最大值点为 p0＝0.1．
(2)由(1)知，p＝0.1．
①令 Y 表示余下的 180 件产品中的不合格品件数，依题意知 Y～B(180,0.1)，X＝20×2
＋25Y，即 X＝40＋25Y．
所以 EX＝E(40＋25Y)＝40＋25EY＝490．
②若对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费用为 400 元．
由于 EX>400，故应该对余下的产品作检验．
10．正态分布
(1)正态曲线的特点
①曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ对称；
③曲线在 x＝μ处达到峰值 1
σ 2π
；
④曲线与 x 轴之间的面积为 1；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿 x 轴平移；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；
σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
(2)正态分布的三个常用数据
①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826；
②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544；
③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974．
例 7．(2019·山东泰安调研)已知随机变量 X～N(0，σ2)，若 P(|X|<2)＝a，则 P(X>2)
的值为( )
A．1－a
2
B．a
2
C．1－a D．1＋a
2
【答案】A [根据正态分布可知 P(|X|<2)＋2P(X>2)＝1，故 P(X>2)＝1－a
2
.]
练习．(2019·山东德州模拟)已知某公司生产的一种产品的质量 X(单位：克)服从正态分
布 N(100,4)，现从该产品的生产线上随机抽取 10 000 件产品，其中质量在[98,104]内的产品
估计有( )
(附：若 X 服从 N(μ，σ2)，则 P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.954
5)
A．4 093 件 B．4 772 件
C．6 827 件 D．8 186 件
【答案】 D [由题意可得，该正态分布的对称轴为 x＝100，且σ＝2，则质量在[96,104]
内的产品的概率为 P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.954 5，而质量在[98,102]内的产品的概率为 P(μ
－σ＜X＜μ＋σ)＝0.682 7，结合对称性可知，质量在[98,104]内的产品的概率为 0.682 7＋
0.954 5－0.682 7
2
＝0.818 6，据此估计质量在[98,104]内的产品的数量为 10 000×0.818 6＝8
186(件)．]
