福建省三明市 2016-2017 学年高二数学下学期第一次月考试题 文

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福建省三明市 2016-2017 学年高二数学下学期第一次月考试题 文 （考试时间：60 分钟 满分：150 分） 参考公式和数表: 1、独立性检验可信度表： P( 2K k ) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.83 2、独立性检验临界值表及参考公式： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      3、线性回归方程：   axby ， 2 1 2 1 xnx yxnyx b n i i n i ii         4、相关指数          n i i n i i yy yy R 1 2 1 2 2 )( )( 1 第 I 卷 选择题 一、选择题（本大题共有 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每一小题只有一个选项正确） 1．如图 1 所示的知识结构图为( )结构 图 1 2. 下面几种推理过程为演绎推理的是( ) A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 和∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝ 180° A．树形 B．环形 C．对称性 D．左右形 B．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质 C．某校高三共有 10 个班，1 班有 51人，2 班有 53 人，三班有 52 人，由此推测各班都超过 50 人 D．在数列{an}中 a1＝1，an＝1 2 an－1＋ 1 an－1 (n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式 3．i 是虚数单位，则复数 2 1 i i 对应的点在（ ） A．第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于 60°”时，应假设（ ） A．三个内角都不大于 60° B．三个内角至多有两个大于 60° C．三个内角至多有一个大于 60° D．三个内角都大于 60° 5．观察式子： 2 2 2 2 2 2 1 3 1 1 5 1 1 1 71 ,1 ,12 2 2 3 3 2 3 4 4          ，…，则可归纳出式子为（ ） A．  2 2 2 1 1 1 2 11 22 3 n nn n       B．  2 2 2 1 1 1 2 11 22 3 n nn n       C．   2 2 2 2 1 1 1 11 22 3 n nn n       D．  2 2 2 1 1 1 2 11 22 3 n nn n       6. 给出下列结论： ①回归分析中，可用相关指数 R2 判断模型的拟合效果，R2 越大，模型的拟合效果越好； ②回归分析中，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越大，模型的拟合效果越好； ③回归分析中，可用相关系数 r 的值判断模型的拟合效果，r 越大，模型的拟合效果越好； ④回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说 明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高． 以上结论中，正确的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 7．用三段论演绎推理：任何实数的平方都大于 0 ， a R ，则 2 0a  。对于这段推理，下列说法 正确的是（ ） A．大前提错误，导致结论错误 B．小前提错误，导致结论错误 C．推理形式错误，导致结论错误 D．推理没有问题，结论正确 8．在研究吸烟与患慢性支气管炎是否有关时，通过收集数据，整理、分析数据，得出“吸烟与患慢 性支气管炎有关”的结论，并且有 99% 以上的把握认为这个结论是正确的. 则下列说法正确的是 （ ） A．100 个吸烟者中，至少有 99 个患慢性支气管炎 B．某个人吸烟，那么此人有 99%的概率患有慢性支气管炎 C．在 100 个吸烟者中，一定有患慢性支气管炎的人 D．在 100 个吸烟者中，可能一个患慢性支气管炎的人都没有 9．对具有线性相关关系的变量 x，y 测得一组数据如下表： x 2 4 5 6 8 y 20 40 60 70 80 根据上表，利用最小二乘法得他们的回归直线方程为 =10.5x+ ，据此模型来预测当 x=20 时，y 的 估计值为（ ） A．210 B．212 C． 211.5 D．212.5 10. 若关于 x 的一元二次实系数方程 x2＋px＋q＝0 有一个根为 1＋i(i 为虚数单位)，则 p＋q 的值是( ) A．－1 B．0 C．2 D．－2 11. i 是虚数单位，复数 z 满足条件|z－i|＝|3－4i|， 则|z|的最大值是( ) A． 3 B． 4 C． 5 D． 6 12．若正整数 N 除以整数 m 后的余数为 n，则记为： nN  (mod m)，例如 210  (mod 4).下面程序框图的算法 源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图， 则输出的i 等于（ ） A．4 B．8 C．16 D．32 第 II 卷 非选择题 二、填空题（本大题共有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请将正确答案填入相应的位置） 13．若实数 a，b 满足 2a b  ，则 2 2a b 的最小值是 ． 14. 已知复数 2 (1 ) ( )z m i m m i    (m∈R)，若 z 是实数，则 m 的值为___ __. 15．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如 下数据： 单价 x（元） 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量 y（件） 90 84 83 80 75 68 由表中数据，求得线性回归方程为 ^ ^ 20y x a   ．若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左 下方的概率为 ． 16．代数式   1 11 11 中省略号“…”代表以此方式无限重复，因原式是一个固定值， 可以用如下方法求得：令原式 t ,则 11 tt   ，则 2 1 0t t   ，取正值得 5 1 2t  ，用 类似方法可得  666 ． 三、解答题(本大题共有 6 小题，共 70 分，每小题请写出必要．．的解答步骤和计算过程) 17．（本小题 12 分） 已知 ,求证： 18.（本小题满分 12分） 复数 z＝1＋i，求实数 a，b，使 az＋2b z ＝(a＋2z)2 成立. 19. （本小题 12 分） 已知 ， ,求证： 1 1(1 )(1 ) 4x y    20. （本小题 12 分） 在一次抽样调查中测得样本的 5 个样本点，数值如表： x 0.25 0.5 1 2 4 y 16 12 5 2 1 (1)作出散点图，并判断 y 与 x 之间是否具有相 关关系.若 y 与 x 非线性关系，应选择下列哪个 模型更合适？( ， ， ) （2）请利用前四组．．．数据，试建立 y 与 x 之间的回归方程．（保留小数点后 1 位有效数字） O x y 21．（本小题 12 分） 某同学在研究相邻三个整数．．．．的算术平方根之间的关系时，发现以下三个式子均是正确的： ① 2231  ；② 3242  ；③ 4253  （1）已知 41.1(2  ， )42.1 ， 73.1(3  ， )74.1 ， 23.2(5  ， )24.2 ，请从以上三个式 子中任选一个，结合此范围，验证其正确性（注意不能近似计算．．．．．．．．）； （2）请将此规律推广至一般情形，并证明之。 22．（本小题 10 分） 国家实施二孩放开政策后，为了了解人们对此政策持支持态度是否与年龄有关，计生部门将已 婚 且育有一孩的居民分成中老年组（45 岁以上，含 45 岁）和中青年组（45 岁以下，不含 45 岁）两个组别，每组各随机调查了 50 人，对各组中持支持态度和不支持态度的人所占的频率绘 制成等高条形图，如图所示： （1）根据以上信息完成 2×2 列联表； （2）是否有 99% 以上的把握认为人们对此政策持支持态度与年龄有关？ 支持 不支持 合计 中老年组 50 中青年组 50 合 计 1000.2 0 0.5 1.0 中老年组 中青年组 支持 不支持 数学（文科）试卷答案 一、 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 A A B D A B A D C B D C 二、 填空题 13. 4 14. 0 或 1 15. 16. 3 三、 解答题 17．证明： ……2 分 ……4 分 ……6 分 ， ……8 分 ……10 分 ……12 分 18.解：∵z＝1＋i，∴az＋2b z ＝(a＋2b)＋(a－2b)i， ……2 分 又∵(a＋2z)2＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i＝(a2＋4a)＋4(a＋2)i， ……5 分 ∵a，b都是整数，∴ ……7 分 解得 或 ……11 分 ∴所求实数为 或 . ……12 分 19.证明： ……2 分 ……3 分 ……5 分 ……7 分 当且仅当 时，等号成立 ……9 分 ……10 分 ……11 分 即 ……12 分 （其他方法酌情给分） 20.解：（1）作出变量 y 与 x 之间的散点图如图所示． ……1 分 由图可知，变量 y 与 x 具有非线性相关关系，选择 ky bx   这个函数模型更合适．…3 分 （2）设 ^ ^by ax   ，令 1t x  ，则 ^ ^ y bt a  .由 y 与 x 的数据表可得 y 与 t 的数据表： x 0.25 0.5 1 2 t 4 2 1 0.5 y 16 12 5 2 ……4 分 又 ……5 分 ……6 分 ……7 分 ……8 分 4 ^ 1 2 24 2 1 4 94 4 1.9 8.8 27.12 4.021.3 4 1.9 6.864 i i i i i t y t y b t t                ……9 分 ^ ^ 8.8 4.0 1.9 1.2a y bt         ， ……10 分 ∴ ^ 4.04.0 1.2 1.2y t x     . ……11 分 所以 y 与 x 的回归方程是 ^ 4.0 1.2y x   . ……12 分 21．解：（1）验证①式成立： 74.13  74.231  41.12  82.222  2231  ……………………………………5 分 （2）一般结论为：若 *Nn  ，则 122  nnn ，证明如下： 证法一：要证： 122  nnn 只需证： 22 )12()2(  nnn 即证： 442222  nnnn 也就是证： 12  nnn 只需证： 12)2( 2  nnnn 即证： 10  ，显然成立 故 122  nnn …………………………………………………12 分 证法二： 12  nn 12 )12)(12(   nn nnnn 12 1   nn nn 1 nn nnnn   1 )1)(1( nn   1 1 *Nn  ，  12 nn 01  nn    12 1 nn nn 1 1  12 nn nn 1 122  nnn …………………………………………………12 分 22.解：（1）由等高条形图可知： 中老年组中，持支持态度的有 50×0.2=10 人，持不支持态度的有 50－10=40 人； 中青年组中，持支持态度的有50×0.5=25 人，持不支持态度的有 50－25=25 人。 故 2×2 列联表为： …………6 分 （2） 635.689.991 900 50506535 )25402510(100 2 2  K ∴有 99%以上的把握认为人们对此政策持支持态度支持与年龄有关……10 分 支持 不支持 合计 中老年组 10 40 50 中青年组 25 25 50 合 计 35 65 100