2020年全国高考高考数学试卷（新课标Ⅱ）【word版本；可编辑；含答案】1

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‎2020年全国高考高考数学试卷（新课标Ⅱ）‎ 一、选择题 ‎1. 设集合A=‎‎2,3,5,7‎， B={1,2,3,5,8}‎，则A∩B=‎(        )‎ A.‎1,8‎ B.‎2,5‎ C.‎2,3,5‎ D.‎‎1,2,3,5,8‎ ‎2. ‎(1+2i)(2+i)=‎(        )‎ A.‎-5i B.‎5i C.‎-5‎ D.‎‎5‎ ‎3. 如果D为‎△ABC的边AB的中点，则向量CB‎→‎‎=‎(        )‎ A.‎2CD‎→‎-‎CA‎→‎  B.‎2CA‎→‎-‎CD‎→‎  C. ‎2CD‎→‎+‎CA‎→‎ D. ‎‎2CA‎→‎+‎CD‎→‎ ‎4. 日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O），地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬‎40‎‎∘‎，则晷针与点A处的水平面所成角为(        )‎ A.‎20‎‎∘‎ B.‎40‎‎∘‎ C.‎50‎‎∘‎ D.‎‎90‎‎∘‎ ‎5. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有‎96%‎的学生喜欢足球或游泳，‎60%‎的学生喜欢足球，‎82%‎的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(        )‎ A.‎62%‎ B.‎56%‎ C.‎46%‎ D.‎‎42%‎ ‎6. ‎3‎名大学生利用假期到‎2‎个山村参加扶贫工作，每名大学生只去‎1‎个村，每个村至少‎1‎人，则不同的分配方案共有(        )‎ A.‎4‎种 B.‎5‎种 C.‎6‎种 D.‎8‎种 ‎7. 已知函数fx=‎log‎2‎x‎2‎‎-4x-5‎在a,+∞‎单调递增，则a的取值范围是‎(        )‎ A.‎(-∞,-1]‎ B.‎(-∞,2]‎ C.‎[2,+∞‎） D.‎‎[5,+∞)‎ ‎8. 若定义在R的奇函数fx在‎-∞,0‎单调递减，且f‎2‎=0‎，则满足xfx-1‎≥0‎的x的取值范围是(        )‎ A. ‎[-1,1]∪[3,+∞)‎  B.‎‎-3,-1‎‎∪‎‎0,1‎ C.‎[-1,0]∪[1,+∞)‎ D.‎‎-1,0‎‎∪‎‎1,3‎ 二、多选题 ‎9. 我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续‎11‎天复工复产指数折线图，下列说法正确的是(        )‎ A.这‎11‎天复工指数和复产指数均逐日增加；‎ B.这‎11‎天期间，复产指数增量大于复工指数的增量；‎ C.第‎3‎天至第‎11‎天复工复产指数均超过‎80%‎;‎ ‎ 10 / 10‎ D.第‎9‎天至第‎11‎天复产指数增量大于复工指数的增量；‎ ‎10. 已知曲线C:mx‎2‎+ny‎2‎=1‎.(        )‎ A.若m>n>0‎，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B.若m=n>0‎，则C是圆，其半径为n C.若mn<0‎，则C是双曲线，其渐近线方程为y=±‎-‎mnx D.若m=0‎，n>0‎，则C是两条直线 ‎11. 如图是函数y=sinωx+φ的部分图象，则sinωx+φ=‎(        )‎ A.sin(x+π‎3‎)‎ B.sin(π‎3‎-2x)‎ C.cos(2x+π‎6‎)‎ D.‎cos(‎5π‎6‎-2x)‎ ‎12. 已知a>0‎，b>0‎，且a+b=1‎，则(        )‎ A.a‎2‎‎+b‎2‎≥‎‎1‎‎2‎  B.‎‎2‎a-b‎>‎‎1‎‎2‎ C.log‎2‎a+log‎2‎b≥-2‎ D.‎a‎+b≤‎‎2‎ 三、填空题 ‎13. 棱长为‎2‎的正方体ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中，M，N分别为棱BB‎1‎，AB的中点，则三棱锥A‎1‎‎-D‎1‎MN的体积为________.‎ ‎14. 斜率为‎3‎的直线过抛物线C:y‎2‎=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则‎|AB|=‎_________.‎ ‎15. 将数列‎2n-1‎与‎3n-2‎的公共项从小到大排列得到数列an，则an的前n项和为________.‎ ‎16. 某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=‎3‎‎5‎，BH//DG，EF=12cm，DE=2cm，A到直线DE和EF的距离均为‎7cm，圆孔半径为‎1cm ，则图中阴影部分的面积为________cm‎2‎.‎ 四、解答题 ‎17. 在①ac=‎‎3‎，②csinA=3‎，③c=‎3‎b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.‎ 问题：是否存在‎△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA=‎3‎sinB，C=‎π‎6‎，________？‎ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.‎ ‎ 10 / 10‎ ‎18. 已知公比大于‎1‎的等比数列an满足a‎2‎‎+a‎4‎=20，a‎3‎=8‎.‎ ‎(1)‎求an的通项公式；‎ ‎(2)‎求a‎1‎a‎2‎‎-a‎2‎a‎3‎+⋯+‎‎-1‎n-1‎anan+1‎.‎ ‎19. 为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了‎100‎天空气中的PM2.5‎和SO‎2‎浓度（单位： μg/‎m‎3‎），得下表：‎ ‎ 10 / 10‎ ‎(0,50]‎ ‎(50,150]‎ ‎(150,475]‎ ‎（0,35]‎ ‎32‎ ‎18‎ ‎4‎ ‎（35,75]‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎(75,115]‎ ‎3‎ ‎7‎ ‎10‎ ‎(1)‎估计事件“该市一天空气中PM2.5‎浓度不超过‎75‎，且SO‎2‎浓度不超过$150"$的概率；‎ ‎(2)‎根据所给数据，完成下面的‎2×2‎列联表：‎ ‎[0,150]‎ ‎(150,475]‎ ‎(0,75]‎ ‎(75,115]‎ ‎(3)‎根据‎(2)‎中的列联表，判断是否有‎99%‎的把握认为该市一天空气中PM2.5‎浓度与SO‎2‎浓度有关？‎ 附： ‎K‎2‎‎=‎nad-bc‎2‎a+bc+da+cb+d P(K‎2‎>k)‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎ 10 / 10‎ ‎20. 如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥‎底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l.‎ ‎(1)‎证明：l⊥‎平面PDC；‎ ‎(2)‎已知PD=AD=1‎，Q为l上的点，QB=‎‎2‎，求PB与平面QCD所成角的正弦值．‎ ‎21. 已知椭圆C： x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1‎a>b>0‎过点M‎2,3‎，点A为其左顶点，且AM的斜率为‎1‎‎2‎.‎ ‎(1)‎求C的方程；‎ ‎(2)‎点N为椭圆上任意一点，求‎△AMN的面积的最大值．‎ ‎ 10 / 10‎ ‎22. 已知函数fx=aex-1‎-lnx+lna.‎ ‎(1)‎当a=e时，求曲线y=fx在点‎1,f‎1‎处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；‎ ‎(2)‎若fx≥1‎，求a的取值范围．‎ ‎ 10 / 10‎ 参考答案与试题解析 一、选择题 ‎1.C ‎2.B ‎3.A ‎4.B ‎5.C ‎6.C ‎7.D ‎8.D 二、多选题 ‎9.C,D ‎10.A,C,D ‎11.B,C ‎12.A,B,D 三、填空题 ‎13.‎‎1‎ ‎14.‎‎16‎‎3‎ ‎15.‎‎3n‎2‎-2n ‎16.‎‎4+‎‎5π‎2‎ 四、解答题 ‎17.解：①ac=‎‎3‎.‎ ‎△ABC中， sinA=‎3‎sinB ，即b=‎3‎‎3‎a，‎ ac=‎‎3‎‎，‎ 所以c=‎‎3‎a.‎ cosC=a‎2‎‎+b‎2‎-‎c‎2‎‎2ab=‎a‎2‎‎+a‎2‎‎3‎-‎‎3‎a‎2‎‎2‎‎3‎a‎2‎‎3‎‎ ‎=‎‎3‎‎2‎，‎ 所以a=‎‎3‎，b=1‎，c=1‎；‎ ‎②csinA=3‎.‎ ‎△ABC中，csinA=asinC=asinπ‎6‎=3‎，‎ 所以a=6‎.‎ 因为sinA=‎3‎sinB，即a=‎3‎b，‎ 所以b=2‎‎3‎ .‎ cosC=a‎2‎‎+b‎2‎-‎c‎2‎‎2ab=‎36+12-‎c‎2‎‎2×6×2‎‎3‎=‎‎3‎‎2‎‎，‎ 所以c=2‎‎3‎；‎ ‎③c=‎3‎b.‎ 因为sinA=‎3‎sinB，即a=‎3‎b，‎ 又因为c=‎3‎b，‎ cosC=a‎2‎‎+b‎2‎-‎c‎2‎‎2ab=‎3‎‎6‎≠cosπ‎6‎‎，‎ 与已知条件C=‎π‎6‎相矛盾，‎ 所以问题中的三角形不存在．‎ ‎18.解：‎(1)‎因为a‎2‎‎+a‎4‎=20,a‎3‎=8‎，‎ ‎ 10 / 10‎ 所以‎8‎q‎+8q=20‎，‎2q‎2‎-5q+2=0‎.‎ 解得q=2‎或q=‎‎1‎‎2‎（舍去），‎ 所以a‎1‎‎=2‎，‎ 所以an‎=‎‎2‎n.‎ ‎(2)‎令bn‎=‎‎-1‎n-1‎anan+1‎，‎ 则bn‎=‎-1‎n-1‎×‎2‎n×‎2‎n+1‎=‎-1‎n-1‎×‎‎2‎‎2n+1‎.‎ 因为bnbn-1‎‎=‎(-1‎)‎n-1‎×‎‎2‎‎2n+‎‎(-1‎)‎n-2‎×‎‎2‎‎2n-1‎=-4(n≥2,n∈N‎*‎)‎，‎ 又b‎1‎‎=8‎，‎ 所以bn是以‎8‎为首项，‎-4‎为公比的等比数列，‎ 所以a‎1‎a‎2‎‎-a‎2‎a‎3‎+…+‎-1‎n-1‎anan+1‎=b‎1‎+b‎2‎+b‎3‎+…+‎bn ‎=‎8-‎-1‎n×‎2‎n+1‎×4‎‎1-‎‎-2‎‎2‎=‎‎8-‎-1‎n×‎‎2‎‎2n+3‎‎5‎‎.‎ ‎19.解：‎(1)‎用频率估计概率，从而得到“该市一天空气中PM2.5‎浓度不超过‎75‎，且SO‎2‎浓度不超过$150"$的概率 P=‎32+18+6+8‎‎100‎=0.64‎‎.‎ ‎(2)‎根据所给数据，可得下面的‎2×2‎列联表：‎ ‎[0,150]‎ ‎(150,475]‎ ‎(0,75]‎ ‎64‎ ‎16‎ ‎(75,115]‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎(3)‎根据‎(2)‎中的列联表，‎ 由K‎2‎‎=‎nad-bc‎2‎a+bc+da+cb+d ‎=‎100×‎‎64×10-16×10‎‎2‎‎80×20×74×26‎=7.484>6.635‎‎，‎ PK‎2‎‎≥0.635‎=0.01‎‎.‎ 故有‎99%‎的把握认为该市一天空气中PM2.5‎浓度与SO‎2‎浓度有关.‎ ‎20.‎(1)‎证明：过P在平面PAD内作直线l//AD,‎ 由AD//BC，可得l//BC，即l为平面PAD和平面PBC的交线，‎ 因为PD⊥‎平面ABCD，BC⊂‎平面ABCD，‎ 所以PD⊥BC.‎ 又BC⊥CD， CD∩PD=D，‎ 所以BC⊥‎平面PCD.‎ 因为l//BC，‎ 所以l⊥‎平面PCD；‎ ‎(2)‎如图，以D为坐标原点，直线DA，DC，DP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D-xyz.‎ ‎ 10 / 10‎ 则D‎0,0,0‎，C‎1,0,0‎，A‎0,1,0‎，P‎0,0,1‎，B‎1,1,0‎.‎ 设Q‎0,m,1‎m>0‎，BQ‎→‎‎=‎‎-1,m-1,1‎，‎ 因为QB=‎‎2‎，‎ 所以‎-1‎‎2‎‎+m-1‎‎2‎+‎1‎‎2‎=2‎，化简得‎(m-1‎)‎‎2‎=0‎，所以m=1‎，‎ 所以Q‎0,1,1‎，‎ 因此，DQ‎→‎‎=‎‎0,1,1‎，DC‎→‎‎=‎‎1,0,0‎，PB‎→‎‎=‎‎1,1,-1‎.‎ 设平面QCD的法向量为n‎→‎‎=‎a,b,c，‎ n‎→‎‎⋅DC‎→‎=0,‎n‎→‎‎⋅DQ‎→‎=0,‎‎ 即a=0,‎b+c=0.‎ 取n‎→‎‎=‎‎0,1,-1‎，‎ 所以cos⟨PB‎→‎,n‎→‎⟩=PB‎→‎‎⋅‎n‎→‎‎|PB‎→‎|⋅|n‎→‎|‎=‎1×0+1×1+‎-1‎×‎‎-1‎‎3‎‎×‎‎2‎=‎‎6‎‎3‎，‎ 所以PB与平面QCD所成角的正弦值为‎6‎‎3‎.‎ ‎21.解：‎(1)‎由题意可知直线AM的方程为： y-3=‎‎1‎‎2‎x-2‎，‎ 即x-2y=-4‎当y=0‎时，‎ 解得x=-4‎，‎ 所以a=4‎.‎ 椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1‎a>b>0‎过点M‎2,3‎，‎ 可得‎4‎‎16‎‎+‎9‎b‎2‎=1‎，‎ 解得b‎2‎‎=12‎.‎ 所以C的方程： x‎2‎‎16‎‎+y‎2‎‎12‎=1‎.‎ ‎(2)‎设与直线AM平行的直线方程为： x-2y=m，‎ 如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，‎ 此时‎△AMN的面积取得最大值．‎ 联立直线方程x-2y=m与椭圆方程x‎2‎‎16‎‎+y‎2‎‎12‎=1‎，‎ 可得： ‎3m+2y‎2‎+4y‎2‎=48‎，‎ 化简可得： ‎16y‎2‎+12my+3m‎2‎-48=0‎，‎ 所以Δ=144m‎2‎-4×16‎3m‎2‎-48‎=0‎，‎ 即m‎2‎‎=64‎，解得m=±8‎.‎ 与AM距离比较远的直线方程： x-2y=8‎，‎ 直线AM方程为： x-2y=-4‎.‎ ‎ 10 / 10‎ 点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，‎ 利用平行线之间的距离公式可得： d=‎8+4‎‎1+4‎=‎‎12‎‎5‎‎5‎，‎ 由两点之间距离公式可得‎|AM|=‎2+4‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎=3‎‎5‎，‎ 所以‎△AMN的面积的最大值：‎ ‎1‎‎2‎‎×3‎5‎×‎12‎‎5‎‎5‎=18‎‎.‎ ‎22.解：‎(1)‎当a=e时，fx=ex-lnx+1‎，‎ 所以f‎'‎x‎=ex-‎‎1‎x，‎ 所以f‎'‎‎1‎‎=e-1‎.‎ 因为f‎1‎=e+1‎，‎ 所以曲线y=fx在点‎1,f‎1‎处的切线方程为y-e+1‎=‎e-1‎x-1‎.‎ 当x=0‎时，y=2‎，‎ 当y=0‎时， x=‎‎-2‎e-1‎，‎ 所以曲线y=fx在点‎1,f‎1‎处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积S=‎1‎‎2‎×2×‎2‎e-1‎=‎‎2‎e-1‎.‎ ‎(2)‎由fx≥1‎，可得aex-1‎-lnx+lna≥1‎，‎ 即ex-1+lna‎-lnx+lna≥1‎，‎ 即ex-1+lna‎+lna+x-1≥lnx+x=elnx+lnx.‎ 令gt=et+t，‎ 则g‎'‎‎(t)=et+1>0‎，‎ 所以gt在R上单调递增，‎ 所以glna+x-1‎>glnx，‎ 所以lna+x-1>lnx，即lna>lnx-x+1‎.‎ 令hx=lnx-x+1‎，‎ 所以h‎'‎x‎=‎1‎x-1=‎‎1-xx.‎ 当‎00‎， 函数hx单调递增，‎ 当x>1‎时， h‎'‎x‎<0‎，函数hx单调递减，‎ 所以hx≥h‎1‎=0‎，‎ 所以lna≥0‎，‎ 所以a≥1‎.‎ 故a的范围为‎[1,+∞)‎.‎ ‎ 10 / 10‎