2021届高考数学一轮复习新人教A版教学案:第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ第3节函数的奇偶性与周期性

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2021届高考数学一轮复习新人教A版教学案:第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ第3节函数的奇偶性与周期性

www.ks5u.com 第3节 函数的奇偶性与周期性 考试要求 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义;2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性;3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.‎ 知 识 梳 理 ‎1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 ‎2.函数的周期性 ‎(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.‎ ‎(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.‎ ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0.‎ ‎(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).‎ ‎2.奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性.‎ ‎3.函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x:‎ ‎(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0).‎ ‎(2)若f(x+a)=,则T=2a(a>0).‎ ‎(3)若f(x+a)=-,则T=2a(a>0).‎ ‎(4)若f(x+a)+f(x)=c,则T=2a(a>0,c为常数).‎ ‎4.对称性的三个常用结论 ‎(1)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.‎ ‎(2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称.‎ ‎(3)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)函数y=x2在x∈(0,+∞)时是偶函数.(  )‎ ‎(2)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0.(  )‎ ‎(3)若T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期.(  )‎ ‎(4)若函数f(x)满足关系f(a+x)=-f(b-x),则函数f(x)的图象关于点对称.(  )‎ 解析 (1)由于偶函数的定义域关于原点对称,故y=x2在(0,+∞)上不具有奇偶性,(1)错.‎ ‎(2)由奇函数定义可知,若f(x)为奇函数,其在x=0处有意义时才满足f(0)=0,(2)错.‎ 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√‎ ‎2.(新教材必修第一册P84例6改编)下列函数中为偶函数的是(  )‎ A.y=x2sin x B.y=x2cos x C.y=|ln x| D.y=2-x 解析 根据偶函数的定义知偶函数满足f(-x)=f(x)且定义域关于原点对称,A选项为奇函数;B选项为偶函数;C选项定义域为(0,+∞),不具有奇偶性;D选项既不是奇函数,也不是偶函数.‎ 答案 B ‎3.(老教材必修4P46A10改编)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[-1,1)时,f(x)=则f=________.‎ 解析 由题意得,f=f=-4×+2=1.‎ 答案 1‎ ‎4.(2020·济南一中月考)已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是(  )‎ A.- B. C. D.- 解析 由题意,得b=0,且2a=-(a-1),‎ 解得a=,则a+b=.‎ 答案 B ‎5.(2019·全国Ⅱ卷)设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex-1,则当x<0时,f(x)=(  )‎ A.e-x-1 B.e-x+1‎ C.-e-x-1 D.-e-x+1‎ 解析 由题意知,当x<0时,f(x)=-f(-x)=-(e-x-1)=-e-x+1.‎ 答案 D ‎6.(2020·衡水中学调研)已知定义在R上的偶函数f(x),满足f(x+2)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=ex-1,则f(-2 017)+f(2 018)=________.‎ 解析 由f(x+2)=f(x)可知,函数f(x)的周期为2,又f(x)为偶函数,∴f(-2 017)+f(2 018)=f(-2 016-1)+f(0)=f(-1)+f(0)=f(1)+f(0)=e-1.‎ 答案 e-1‎ 考点一 函数的奇偶性及其应用 多维探究 角度1 函数奇偶性的判断 ‎【例1-1】 判断下列函数的奇偶性:‎ ‎(1)f(x)=+;‎ ‎(2)f(x)= ‎(3)f(x)=log2(x+).‎ 解 (1)由得x2=3,解得x=±,‎ 即函数f(x)的定义域为{-,},‎ 从而f(x)=+=0.‎ 因此f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x),‎ ‎∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.‎ ‎(2)显然函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.‎ ‎∵当x<0时,-x>0,‎ 则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x);‎ 当x>0时,-x<0,‎ 则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x);‎ 综上可知:对于定义域内的任意x,总有f(-x)=-f(x)成立,∴函数f(x)为奇函数.‎ ‎(3)显然函数f(x)的定义域为R,‎ f(-x)=log2(-x+)=log2(-x)‎ ‎=log2(+x)-1=-log2(+x)=-f(x),‎ 故f(x)为奇函数.‎ 规律方法 判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:‎ ‎(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域;‎ ‎(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系,在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.‎ 角度2 函数奇偶性的应用 ‎【例1-2】 (1)若函数f(x)=在区间[-3,5]上的最大值、最小值分别为p,q,则p+q的值为(  )‎ A.2 B.1 C.6 D.3‎ ‎(2)已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+m,则f(-3)=________.‎ 解析 (1)因为f(x)==3-,‎ 所以f(x)-3=-,∴f(t+1)-3=-,t∈[-4,4].‎ 又f(t+1)-3为奇函数,所以它在区间[-4,4]上的最大值、最小值之和为0,也是p-3+q-3=0,所以p+q=6.‎ ‎(2)因为f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0,‎ 即f(0)=20+m=0,解得m=-1,‎ 故f(x)=2x-1(x≥0),‎ 则f(-3)=-f(3)=-(23-1)=-7.‎ 答案 (1)C (2)-7‎ 规律方法 利用函数奇偶性可以解决以下问题:‎ ‎(1)求函数值:将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值.‎ ‎(2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上,再利用奇偶性的定义求出.‎ ‎(3)求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得方程(组),进而得出参数的值.‎ ‎(4)画函数图象:利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象.‎ ‎(5)求特殊值:利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值.‎ ‎【训练1】 (1)(角度1)设函数f(x)=+b(a>0且a≠1),则函数f(x)的奇偶性(  )‎ A.与a无关,且与b无关 B.与a有关,且与b有关 C.与a有关,但与b无关 D.与a无关,但与b有关 ‎(2)(角度2)若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数,则a=________ .‎ 解析 (1)f(-x)=+b=+b≠f(x),‎ 所以f(x)一定不是偶函数;‎ 设f(x)为奇函数,则由奇函数的定义知f(-x)+f(x)=0.‎ 即+b++b=+2b=-2+2b=0,解得b=1,‎ 即当b=1时,f(x)为奇函数,‎ 当b≠1时,f(x)为非奇非偶函数,‎ 所以f(x)的奇偶性与a无关,但与b有关.‎ ‎(2)由于f(-x)=f(x),‎ 即ln(e-3x+1)-ax=ln(e3x+1)+ax,‎ 化简得2ax+3x=0(x∈R),则2a+3=0,‎ 解得a=-.‎ 答案 (1)D (2)- 考点二 函数的周期性及其应用 ‎【例2】 (1)已知函数f(x)对任意x∈R,都有f(x+2π)=f(x),当x∈(0,π)时,f(x)=2sin ,则f=(  )‎ A. B. C.1 D. ‎(2)已知函数f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数,且当x∈(1,4]时,f(x)=3x ‎-1,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(100)=________.‎ 解析 (1)因为f(x+2π)=f(x),所以f(x)的周期为2π.‎ 所以f=f=f=f,‎ 又因为当x∈(0,π)时,f(x)=2sin ,‎ 所以f=2sin =1.‎ ‎(2)由题意,得f(1)=f(4)=11,f(2)=5,f(3)=8.‎ 故f(1)+f(2)+f(3)=24,‎ 所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(100)=33×[f(1)+f(2)+f(3)]+f(33×3+1)=803.‎ 答案 (1)C (2)803‎ 规律方法 1.注意周期性的常见表达式的应用.‎ ‎2.根据函数的周期性,可以由函数局部的解析式(或函数值)得到整个定义域内的解析式(或相应的函数值).‎ ‎【训练2】 (1)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)=2-,且对任意的x都有f(x+2)=,则f(2 020)=________.‎ ‎(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为________.‎ 解析 (1)由f(x+2)=,得f(x+4)==f(x),所以函数f(x)的周期为4,所以f(2 020)=f(4).又f(2)=2-,所以f(4)=-=-=-2-.故f(2 020)=-2-.‎ ‎(2)因为当0≤x<2时,f(x)=x3-x.又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且f(0)=0,‎ 则f(6)=f(4)=f(2)=f(0)=0.‎ 又f(1)=0,∴f(3)=f(5)=f(1)=0,‎ 故函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点有7个.‎ 答案 (1)-2- (2)7‎ 考点三 函数性质的综合运用 多维探究 角度1 函数的单调性与奇偶性 ‎【例3-1】 (1)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为(  )‎ A.af(2x-1)成立的x的取值范围为________________.‎ 解析 (1)易知g(x)=xf(x)在R上为偶函数,‎ ‎∵奇函数f(x)在R上是增函数,且f(0)=0.‎ ‎∴g(x)在(0,+∞)上是增函数.‎ 又3>log25.1>2>20.8,且a=g(-log25.1)=g(log25.1),‎ ‎∴g(3)>g(log25.1)>g(20.8),则c>a>b.‎ ‎(2)由已知得函数f(x)为偶函数,所以f(x)=f(|x|),‎ 由f(x)>f(2x-1),可得f(|x|)>f(|2x-1|).‎ 当x>0时,f(x)=ln(1+x)-,‎ 因为y=ln(1+x)与y=-在(0,+∞)上都单调递增,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.‎ 由f(|x|)>f(|2x-1|,可得|x|>|2x-1|,‎ 两边平方可得x2>(2x-1)2,整理得3x2-4x+1<0,‎ 解得f(x2)的形式,再结合单调性,脱去法则“f”变成常规不等式,如x1x2)求解.‎ 角度2 函数的奇偶性与周期性 ‎【例3-2】 (1)(2020·德州联考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x2,则f(2 023)=(  )‎ A.20192 B.1 C.0 D.-1‎ ‎(2)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数,若f(1)<1,f(5)=,则实数a的取值范围为(  )‎ A.(-1,4) B.(-2,0)‎ C.(-1,0) D.(-1,2)‎ 解析 (1)根据题意,函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则有f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即函数是周期为4的周期函数,则f(2 023)=f(-1+2 024)=f(-1),又函数y=f(x)为奇函数,且x∈[0,1]时,f(x)=x2,则f(-1)=-f(1)=-1,故f(2 023)=-1.‎ ‎(2)因为f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数.‎ ‎∴f(5)=f(-1)=f(1)<1.‎ 从而<1,解得-13的解集为(  )‎ A.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.(-∞,-4)∪(4,+∞)‎ C.(-2,2) D.(-4,4)‎ 解析 由题意,f(0)=log22+b=0,解得b=-1.‎ 所以f(x)=log2(x+2)+x-1,f(2)=3,且在R上单调递增,又|f(x)|>3,所以|f(x)|>f(2),即f(x)>f(2)或f(x)2或x<-2.‎ 答案 A 数学运算——活用函数性质中“三个二级”结论 数学运算是解决数学问题的基本手段,通过运算能够促进学生数学思维的发展.通过常见的“二级结论”解决数学问题,可优化数学运算的过程,使学生逐步形成规范化、程序化的思维品质,养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.‎ 类型1 奇函数的最值性质 已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数,则对任意的x∈D,都有f(x)+f(-x)=0.特别地,若奇函数f(x)在D上有最值,则f(x)max+f(x)min=0,且若0∈D,则f(0)=0.‎ ‎【例1】 设函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m=________.‎ 解析 显然函数f(x)的定义域为R,‎ 且f(x)==1+,‎ 设g(x)=,则g(-x)=-g(x),‎ ‎∴g(x)为奇函数,‎ 由奇函数图象的对称性知g(x)max+g(x)min=0,‎ ‎∴M+m=[g(x)+1]max+[g(x)+1]min=2+g(x)max+g(x)min=2.‎ 答案 2‎ 类型2 抽象函数的周期性 ‎ (1)如果f(x+a)=-f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中一个周期T=2a.‎ ‎(2)如果f(x+a)=(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.‎ ‎(3)如果f(x+a)=-(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.‎ ‎(4)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.‎ ‎【例2】 已知函数f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,有f(x+3)=-f(x),且当x∈(0,3)时,f(x)=x+1,则f(-2 023)+f(2 024)=(  )‎ A.3 B.2 C.1 D.0‎ 解析 因为函数f(x)为定义在R上的奇函数,‎ 所以f(-2 023)=-f(2 023),‎ 因为当x≥0时,有f(x+3)=-f(x),‎ 所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),即当x≥0时,自变量的值每增加6,对应函数值重复出现一次.‎ 又当x∈(0,3)时,f(x)=x+1,‎ ‎∴f(2 023)=f(337×6+1)=f(1)=2,‎ f(2 024)=f(337×6+2)=f(2)=3.‎ 故f(-2 023)+f(2 024)=-f(2 023)+3=1.‎ 答案 C 类型3 抽象函数的对称性 已知函数f(x)是定义在R上的函数.‎ ‎(1)若f(a+x)=f(b-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=对称,特别地,若f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=a对称.‎ ‎(2)若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(a-x)=0,即f(x)=-f(2a-x),则f(x)的图象关于点(a,0)对称.‎ ‎【例3】 已知定义在R上的函数f(x)在[1,+∞)上单调递减,且f(x+1)是偶函数,不等式f(m+2)≥f(x-1)对任意的x∈[-1,0]恒成立,则实数m的取值范围是(  )‎ A.[-3,1] B.(-∞,-3)∪[1,+∞)‎ C.[-4,2] D.(-∞,-4]∪[2,+∞)‎ 解析 由于f(x+1)是偶函数,所以f(-x+1)=f(x+1),‎ 因此函数y=f(x)的图象关于x=1对称.‎ 由f(x)在[1,+∞)上递减,知f(x)在(-∞,1]上递增.‎ 又x∈[-1,0],知x-1∈[-2,-1],‎ ‎①当m+2≤1,即m≤-1时,f(m+2)≥f(x-1)对x∈[-1,0]恒成立,‎ 则有m+2≥x-1对x∈[-1,0]恒成立,∴-3≤m≤-1,‎ ‎②当m+2>1,即m>-1时,f(m+2)≥f(x-1)=f(3-x),‎ 则有m+2≤3-x对x∈[-1,0]恒成立,则-1f(3) B.f(2)>f(5)‎ C.f(3)>f(5) D.f(3)>f(6)‎ 解析 ∵y=f(x+4)为偶函数,∴f(-x+4)=f(x+4),‎ 因此y=f(x)的图象关于直线x=4对称,‎ ‎∴f(2)=f(6),f(3)=f(5).‎ 又y=f(x)在(4,+∞)上为减函数,‎ ‎∴f(5)>f(6),所以f(3)>f(6).‎ 答案 D ‎5.定义在R上的奇函数f(x)满足f=f(x),当x∈时,f(x)=log(1-x),则f(x)在区间内是(  )‎ A.减函数且f(x)>0 B.减函数且f(x)<0‎ C.增函数且f(x)>0 D.增函数且f(x)<0‎ 解析 当x∈时,由f(x)=log(1-x)可知,f(x)单调递增且f(x)>0.‎ 又函数f(x)为奇函数,所以在区间上函数也单调递增,且f(x)<0.‎ 由f=f(x)知,函数的周期为,所以在区间上,函数单调递增且f(x)<0.‎ 答案 D 二、填空题 ‎6.已知函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=ln x,则f的值为________.‎ 解析 由已知可得f=ln =-2,‎ 所以f=f(-2).又f(x)是奇函数,‎ 所以f=f(-2)=-f(2)=-ln 2.‎ 答案 -ln 2‎ ‎7.奇函数f(x)在区间[3,6]上是增函数,且在区间[3,6]上的最大值为8,最小值为-1,则f(6)+f(-3)的值为________.‎ 解析 由于f(x)在[3,6]上为增函数,所以f(x)的最大值为f(6)=8,f(x)的最小值为f(3)=-1,因为f(x)为奇函数,所以f(-3)=-f(3)=1,所以f(6)+f(-3)=8+1=9.‎ 答案 9‎ ‎8.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是单调递增的.如果实数t满足f(ln t)+f≤2f(1),那么t的取值范围是________.‎ 解析 由于函数f(x)是定义在R上的偶函数,‎ 所以f(ln t)=f,‎ 由f(ln t)+f≤2f(1),得f(ln t)≤f(1).‎ 又函数f(x)在区间[0,+∞)上是单调递增的,‎ 所以|ln t|≤1,即-1≤ln t≤1,故≤t≤e.‎ 答案  ‎ 三、解答题 ‎9.已知函数f(x)=是奇函数.‎ ‎(1)求实数m的值;‎ ‎(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.‎ 解 (1)设x<0,则-x>0,‎ 所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.‎ 又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x).‎ 于是x<0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,‎ 所以m=2.‎ ‎(2)要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,‎ 结合f(x)的图象知所以10,f(x+2)=对任意x∈R恒成立,则f(2 023)=________.‎ 解析 因为f(x)>0,f(x+2)=,‎ 所以f(x+4)=f[(x+2)+2]===f(x),‎ 则函数f(x)的周期是4,‎ 所以f(2 023)=f(506×4-1)=f(-1).‎ 因为函数f(x)为偶函数,‎ 所以f(2 023)=f(-1)=f(1).‎ 当x=-1时,f(-1+2)=,得f(1)=.‎ 由f(x)>0,得f(1)=1,所以f(2 023)=f(1)=1.‎ 答案 1‎ ‎14.设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.‎ ‎(1)求f(π)的值;‎ ‎(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.‎ 解 (1)由f(x+2)=-f(x)得,‎ f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),‎ 所以f(x)是以4为周期的周期函数,‎ 所以f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4.‎ ‎(2)由f(x)是奇函数且f(x+2)=-f(x),‎ 得f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)],‎ 即f(1+x)=f(1-x).‎ 故知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.‎ 又当0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x)的图象关于原点成中心对称,则f(x)的图象如下图所示.‎ 当-4≤x≤4时,f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S,则S=4S△OAB=4×=4.‎ C级 创新猜想 ‎15.(开放多填题)设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x-1),已知当x∈[0,1]时,f(x)=2x,则有 ‎①2是函数f(x)的周期;‎ ‎②函数f(x)在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数;‎ ‎③函数f(x)的最大值是1,最小值是0.‎ 其中所有正确命题的序号是________.‎ 解析 在f(x+1)=f(x-1)中,令x-1=t,‎ 则有f(t+2)=f(t),‎ 因此2是函数f(x)的周期,故①正确;‎ 当x∈[0,1]时,f(x)=2x是增函数,‎ 根据函数的奇偶性知,f(x)在[-1,0]上是减函数,根据函数的周期性知,函数f(x)在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数,故②正确;‎ 由②知,f(x)在[0,2]上的最大值f(x)max=f(1)=2,f(x)的最小值f(x)min=f(0)=f(2)=20=1且f(x)是周期为2的周期函数,∴f(x)的最大值是2,最小值是1,故③错误.‎ 答案 ①②‎
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