高中数学北师大版新教材必修一同步课件：3-3-1　指数函数的图象和性质

高中数学北师大版新教材必修一同步课件：3-3-1　指数函数的图象和性质

第 1 课时　指数函数的图象和性质 必备知识 · 自主学习 1. 指数函数 (1) 定义 : 给定正数 a, 且 a≠1 时 ,____ 是一个定义在实数集上的函数 , 称为指数 函数 . (2) 性质 :① 定义域是 R, 函数值大于 __;② 图象过定点 (0 ， 1). y=a x 0 【 思考 】 为什么指数函数的底数 a>0, 且 a≠1? 当 a=0,a=1,a<0 时 , 对自变量 x 的取值有何 影响 ? 提示 : (1) 如果 a=0, 当 x>0 时 ,a x 恒等于 0, 没有研究的必要 ; 当 x≤0 时 ,a x 无意义 . (2) 如果 a<0, 例如 y=(-4) x , 这时对于 x= , , … , 该函数无意义 . (3) 如果 a=1, 则 y=1 x 是一个常量 , 没有研究的价值 . 为了避免上述各种情况 , 所以规定 a>0, 且 a≠1. 2. 指数函数 y=a x (a>1) 的图象和性质 (1) 单调性 : 在 R 上是 ___ 函数 . 当 x 值趋近于正无穷大时 , 函数值趋近于 _________; 当 x 值趋近于负无穷大时 , 函数值趋近于 __. 正无穷大 0 增 (2) 函数 y=a x 和 y=b x (a>b>1) 的关系 . 图象 大小 ① 当 x<0 时 ,00 时 ,a x >b x >1. 3. 指数函数 y=a x (00 时 ,_________. a x >b x >1 01 图象 性质 (1) 定义域 :R (2) 值域 :(0,+∞) (3) 过定点 ______, 即 x=0 时 ,y=__ (4) 当 x<0 时 ,____; 当 x>0 时 ,______ (4) 当 x<0 时 ,______; 当 x>0 时 ,____ (5)___ 函数 (5)___ 函数 (0,1) 1 y>1 01 减 增 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√” , 错的打“ ×”) (1)y=x 4 是指数函数 . ( 　　 ) (2) 指数函数的图象都在 x 轴的上方 . ( 　　 ) (3) 函数 y=3 x 的图象在函数 y=2 x 图象的上方 . ( 　　 ) 提示 : (1)×.y=x 4 不是指数函数 , 指数函数的底数是常数 . (2)√. 由指数函数的图象可知 , 图象都在 x 轴的上方 . (3)×. 由 y=3 x ,y=2 x 的图象可知 , 当 x<0 时 , 函数 y=3 x 的图象在函数 y=2 x 图象的下方 . 2. 函数 y=4 -x 的图象是 ( 　　 ) 【 解析 】 选 B. 因为 y=4 -x = , 故图象为 B. 3.( 教材二次开发 : 例题改编 ) 若 0.2 m-1 <0.008, 则实数 m 的取值范围是 　　　 .  【 解析 】 因为 0.2 m-1 <0.008, 所以 0.2 m-1 <0.2 3 , 所以 m-1>3,m>4. 答案 : (4,+∞) 关键能力 · 合作学习 类型一　指数函数的相关概念 ( 数学抽象 ) 【 题组训练 】 1. 若函数 f(x)=(a 2 -2a-2)a x 是指数函数 , 则 a 的值是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　 A.-1 B.3 C.3 或 -1 D.2 2. 已知函数 f(x) 为指数函数 , 且 , 则 f(-2)= 　　　　 .  3. 函数 y= 的定义域为 　　　　 .  【 解析 】 1. 选 B. 因为函数 f(x)=(a 2 -2a-2)a x 是指数函数 , 所以 a 2 -2a-2=1 且 a>0,a≠1, 解得 a=3. 2. 设 f(x)=a x (a>0 且 a≠1), 由 得 , 所以 a=3, 又 f(-2)=a -2 , 所以 f(-2)=3 -2 = . 答案 : 3. 因为函数有意义 , 所以 x 2 +2x-8≥0, 解得 x≤-4 或 x≥2, 所以函数的定义域为 {x|x≤-4 或 x≥2} 答案 : {x|x≤-4 或 x≥2} 【 解题策略 】 1. 判断一个函数是指数函数方法 (1) 判断的依据是指数函数的定义 , 即函数解析式的结构特征 ; (2) 有些函数需要对解析式变形后判断 , 如 y= 是指数函数 . 2. 求指数函数解析式的步骤 (1) 设指数函数的解析式为 f(x)=a x (a>0 且 a≠1). (2) 利用已知条件求底数 a. (3) 写出指数函数的解析式 . 【 补偿训练 】 指数函数 f(x)=a x 的图象经过点 (2,4), 则 f(-3) 的值是 　　　　 .  【 解析 】 由题意知 4=a 2 ,a>0 且 a≠1, 所以 a=2, 因此 f(x)=2 x , 故 f(-3)=2 -3 = . 答案 : 类型二　利用指数函数的单调性比较大小 ( 逻辑推理、数学运算 ) 【 典例 】 比较下列各数的大小 . (1)0.6 -1.2 和 0.6 -1.5 ; (2)4 0.9 ,8 0.61 和 【 思路导引 】 (1) 根据指数函数 y=0.6 x 的单调性比较 ; (2) 根据指数函数 y=2 x 的单调性比较 ; 【 解析 】 (1) 因为函数 y=0.6 x 在 R 上是减函数 , 且 -1.2>-1.5, 所以 0.6 -1.2 <0.6 -1.5 . (2)4 0.9 =2 1.8 ,8 0.61 =2 3×0.61 =2 1.83 , =2 1.5 , 因为 y=2 x 在 R 上是增函数 , 所以 2 1.83 >2 1.8 >2 1.5 , 即 8 0.61 >4 0.9 > . 【 解题策略 】 比较幂的大小的方法 1. 同底数幂比较大小时构造指数函数 , 根据其单调性比较 . 能化成同底数幂的先化同底数幂 , 再比较 ; 2. 当底数不同时可以借助图象 , 利用图象之间的关系比较 . 【 跟踪训练 】 比较下列两个数的大小 . 【 解析 】 因为指数函数 y= 在 R 上是减函数 , 且 0.3<0.5, 所以 类型三　指数函数性质的简单应用 ( 直观想象、逻辑推理 ) 角度 1 　解不等式 ( 方程 )  【 典例 】 1. 不等式 <2 -2x 的解集是 　　　　 .  2. 已知方程 4 2x-3 =128, 求实数 x 的值 . 【 思路导引 】 1. 先将底数统一 , 再利用单调性转化为一元二次不等式求解 . 2. 先化同底 , 再转化为一次方程求解 . 【 解析 】 1. 因为 <2 -2x , 所以 < , 因为 y= 在 R 上是减函数 , 所以 x 2 -3>2x, 解得 x>3 或 x<-1, 所以不等式的解集是 {x|x>3 或 x<-1}. 答案 : {x|x>3 或 x<-1} 2. 因为 4 2x-3 =2 4x-6 ,128=2 7 , 所以 4x-6=7, 解得 x= . 【 变式探究 】 将本例 1 中的不等式变为 0, 且 a≠1). 试求不等式的解集 . 【 解析 】 当 02x, 解得 x>3 或 x<-1, 所以不等式的解集是 {x|x>3 或 x<-1}. 当 a>1 时 ,y=a x 在 R 上是增函数 ,x 2 -3<2x, 解得 -10, 且 a≠1) 的值域 先求出 t=f(x) 的范围 [b,c], 根据函数 y=a t 的单调性 , 求 t∈[b,c] 的值域 . 【 题组训练 】 1. 设 x<0 且 1a 2x-1 (a>0, 且 a≠1) 中 x 的取值范围 . 【 解析 】 对于 a 4x+5 >a 2x-1 (a>0, 且 a≠1), 当 a>1 时 , 有 4x+5>2x-1, 解得 x>-3; 当 01 时 ,x 的取值范围为 {x|x>-3}; 当 00 且 a≠1 【 解析 】 选 C. 若函数 y=(a-2)a x 是指数函数 , 则 a-2=1, 解得 a=3. 2. 函数 f(x)=( ) x 在区间 [1,2] 上的最大值是 ( 　　 ) A. B. C.3 D.2 【 解析 】 选 C. 函数 f(x) 是增函数 , 所以当 x=2 时函数 f(x) 取得最大值为 3. 3.( 教材二次开发 : 例题改编 ) 下列判断正确的是 ( 　　 ) A.1.7 2.5 >1.7 3 B.0.8 2 <0.8 3 C.π 2 < D.0.9 0.3 >0.9 0.5 【 解析 】 选 D. 因为 y=0.9 x 在定义域上是减函数 ,0.3<0.5, 所以 0.9 0.3 >0.9 0.5 . 4. 若指数函数 f(x) 的图象经过点 (2,16), 则 f = 　　　　 .  【 解析 】 设 f(x)=a x (a>0, 且 a≠1), 依题意有 a 2 =16, 得 a=4, 故 f(x)=4 x , 所以 f = 答案 : 5. 若函数 f(x)=2 x 的值域是 [4,+∞), 则实数 x 的取值范围为 　　　　 .  【 解析 】 函数 f(x)=2 x 在定义域内为增函数 , 因为 2 x ≥4, 所以 x≥2. 所以实数 x 的取值范围为 [2,+∞). 答案 : [2,+∞)