2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4

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文档介绍

2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4

‎4.4 幂函数 素养目标·定方向 课程标准 学法解读 ‎1.了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式.‎ ‎2.通过具体实例,结合y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=x的图像,理解它们的变化规律,了解幂函数.‎ 以五个常见幂函数为载体,归纳幂函数的图像与性质,发展学生的数学抽象、逻辑推理素养.‎ 必备知识·探新知 知识点 幂函数的概念 形如__y=xα__的函数称为幂函数,其中α是常数.‎ 思考:(1)幂函数的解析式有什么特征?‎ ‎(2)幂函数与指数函数解析式的区别是什么?‎ 提示:(1)①系数为1;②底数为x自变量;③指数为常数.‎ ‎(2)①自变量不同,幂函数的自变量为底数,指数函数的自变量为指数.②底数不同,幂函数的底数是自变量,指数函数的底数是常数.‎ 知识点 幂函数共同的性质 ‎ (1)所有幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,在第一象限内都有图像,并且图像都通过(1,1).‎ ‎(2)如果α>0,则幂函数的图像通过原点,并且在区间[0,+∞)上是增函数.‎ ‎(3)如果α<0,则幂函数在区间(0,+∞)上是减函数,且在第一象限内:当x从右边趋向于原点时,图像在y轴右方且无限地逼近y轴;当x趋向于+∞时,图像在x轴上方且无限地逼近x轴.‎ 思考:当α<0时,幂函数的图像是否过原点?‎ 提示:α<0时,y=xα在x=0时无意义,图像不过原点.‎ - 7 -‎ 关键能力·攻重难 题型探究 题型 幂函数的概念 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎ 典例1 (1)下列函数中不是幂函数的是( C )‎ A.y= B.y=x C.y=22x D.y=x-1‎ ‎(2)若f(x)=(m2-4m-4)xm是幂函数,则m=__5或-1__.‎ ‎[分析] (1)根据幂函数的定义去判断,只有形如y=xα的函数才是幂函数.‎ ‎(2)根据幂函数的特征,系数等于1求解.‎ ‎[解析] (1)由幂函数的定义知y==x,y=x,y=x-1均为幂函数,而y=22x=4x是指数函数.‎ ‎(2)因为f(x)=(m2-4m-4)xm是幂函数,所以m2-4m-4=1,解得m=5或m=-1.‎ 规律方法:判断一个函数是否为幂函数的方法 ‎(1)幂函数同指数函数、对数函数一样,是一种“形式定义”的函数,也就是说必须完全具备y=xα(α∈R)结构特征的函数才是幂函数.‎ ‎(2)如果函数解析式以根式的形式给出,则要注意把根式化为分数指数幂的形式进行化简整理,再对照幂函数的定义进行判断.‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎1.(1)函数y=(m2+2m-2)x是幂函数,则m=( B )‎ A.1 B.-3‎ C.-3或1 D.2‎ ‎(2)以下四个函数:y=x0;y=x-2;y=(x+1)2;y=2·x中是幂函数的有( B )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎[解析] (1)由题意,得解得m=-3.‎ ‎(2)形如y=xα(α为常数)的函数为幂函数,所以只有y=x0;y=x-2为幂函数.‎ 题型 - 7 -‎ 幂函数的图像及应用 ‎┃┃典例剖析__■‎ 典例2  (1)如图的曲线是幂函数y=xn在第一象限内的图像,已知n分别取±1,,2四个值,相应的曲线C1,C2,C3,C4的n依次为( B )‎ A.-1,,1,2 B.2,1,,-1‎ C.,-1,2,1 D.2,,-1,1‎ ‎(2)已知函数f(x)=xk(k为常数),在下列函数图像中,不是函数y=f(x)的图像的是( C )‎ ‎[分析] (1)根据各个函数的图像特征选取.‎ ‎(2)根据幂函数图像所在的象限判断.‎ ‎[解析] (1)函数y=x-1在第一象限内单调递减,对应的图像为C4;y=x对应的图像为一条过原点的直线,对应的图像为C2;y=x2对应的图像为抛物线,对应的图像应为C1;y=x在第一象限内的图像是C3,所以曲线C1,C2,C3,C4的n依次为2,1,,-1.‎ ‎(2)函数f(x)=xk(k为常数)为幂函数,图像不过第四象限,所以C中函数图像不是函数y=f(x)的图像.‎ 规律方法:解决幂函数图像问题应把握的两个原则 ‎(1)依据图像高低判断幂指数大小,相关结论为:①在(0,1)上,指数越大,幂函数图像越靠近x轴(简记为指大图低);②在(1,+∞)上,指数越大,幂函数图像越远离x轴(简记为指大图高).‎ ‎(2)依据图像确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图像(类似于y=x-1或y=x或y=x3)来判断.‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎2.在同一坐标系中,函数f(x)=xa(x>0),g(x)=logax(a>0且a≠1)的图像可能是( D )‎ - 7 -‎ ‎[解析] 对A,没有幂函数的图像;对B,f(x)=xa(x>0)中a>1,g(x)=logax中0<a<1,不符合题意;对C,f(x)=xa(x>0)中0<a<1,g(x)=logax中a>1,不符合题意;对D,f(x)=xa(x>0)中0<a<1,g(x)=logax中0<a<1,符合题意.‎ 题型 幂函数性质的应用 ‎┃┃典例剖析__■‎ 角度1 利用幂函数的单调性比较大小 ‎ 典例3 已知a=2,b=4,c=25,则( A )‎ A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b ‎[解析] 因为a=2=16,c=25,‎ 由幂函数y=x的单调性,所以a<c,‎ 由a=2=16,b=4=16,‎ 根据指数函数y=16x的单调性,所以a>b,可得b<a<C.‎ 母题探究:将本例中的b改为2,试比较三个数的大小?‎ ‎[解析] 因为a=2=16,b=2=128,c=25,‎ 由幂函数y=x的单调性,知a<c<B.‎ 角度2 探究幂函数的图像及性质 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎ 典例4 讨论函数y=x-2的定义域、奇偶性,通过描点作出它的图像,并根据图像说明函数的单调性.‎ - 7 -‎ ‎[解析] 因为y=x-2=,‎ 所以定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),记f(x)=x-2,‎ 则f(-x)=(-x)-2===x-2=f(x),‎ 因此函数y=x-2是偶函数,因此函数图像关于y轴对称.通过列表描点,可以先画出y=x-2在x∈(0,+∞)时的函数图像,再根据对称性,作出它在x∈(-∞,0)时的图像,如图所示.‎ 由图像可以看出,函数y=x-2在区间(0,+∞)上是单调递减函数,在(-∞,0)上是单调递增函数.‎ 规律方法:1.关于指数式比较大小 ‎(1)变为同指数:利用幂函数的单调性比较大小.‎ ‎(2)变为同底数:利用指数函数的单调性比较大小.‎ ‎2.关于函数图像、性质的探究 ‎(1)探究顺序:一般按照定义域、奇偶性、图像、单调性的顺序进行探究.‎ ‎(2)几点说明:‎ ‎①奇偶性决定了图像是否具有对称性,具有奇遇性的函数可先描点作出y轴右侧的图像,再根据对称性作左侧的图像;‎ ‎②作图时尽可能多地选取点,而且选取的点要具有代表性,这样作出的图像才更加准确;‎ ‎③此种方法是对函数图像和性质的粗略探究,适用的函数有限,更加准确、科学的探究方法会在以后进一步学习.‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎3.(1)已知点(m,8)在幂函数f(x)=(m-1)xn的图像上,设a=f,b=f(ln π),c=f,则a,b,c的大小关系为( A )‎ A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.b<a<c ‎(2)讨论函数y=x-3的定义域、奇偶性,通过描点作出它的图像,并根据图像说明函数的单调性.‎ ‎[解析] (1)点(m,8)在幂函数f(x)=(m-1)xn的图像上,‎ 可得m-1=1,即m=2,2n=8,可得n=3,‎ - 7 -‎ 则f(x)=x3,且f(x)在R上单调递增,‎ 由a=f,b=f(ln π),c=f,‎ 且0<<<1,ln π>1,可得a<c<B.‎ ‎(2)因为y=x-3=,所以定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),记f(x)=x-3,则f(-x)=(-x)-3===-x-3=-f(x),因此函数y=x-3是奇函数,因此函数图像关于原点对称.通过列表描点,可以先画出y=x-3在x∈(0,+∞)时的函数图像,再根据对称性,作出它在x∈(-∞,0)时的图像,如图所示.‎ 由图像可以看出,函数y=x-3在区间(0,+∞),(-∞,0)上都是单调递减函数.‎ 易错警示 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎ 典例5 若(a+1) -<(3-2a) -,试求a的取值范围.‎ ‎[错解] ∵函数y=x-是减函数,∴a+1>3-2A.‎ ‎∴a>,‎ 即a的取值范围是.‎ ‎[辨析] 误认为y=x-是R上的减函数,实质是y=x-在(-∞,0)和(0,+∞)内均是减函数,而在整个定义域上不是减函数.‎ ‎[正解] 对于(a+1) -<(3-2a) -,可分三种情况讨论.‎ ‎①a+1和3-2a都在(-∞,0)内,,此时方程组无解;‎ ‎②a+1和3-2a都在(0,+∞)内,,解得<a<;‎ - 7 -‎ ‎③若a+1和3-2a不在同一单调区间内,‎ 则有,解得a<-1.‎ 综上可知,a的取值范围为∪(-∞,-1).‎ - 7 -‎
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