2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4

2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4

‎4.4　幂函数 素养目标·定方向 课程标准 学法解读 ‎1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．‎ ‎2．通过具体实例，结合y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图像，理解它们的变化规律，了解幂函数．‎ 以五个常见幂函数为载体，归纳幂函数的图像与性质，发展学生的数学抽象、逻辑推理素养．‎ 必备知识·探新知 知识点 幂函数的概念 形如__y＝xα__的函数称为幂函数，其中α是常数．‎ 思考：(1)幂函数的解析式有什么特征？‎ ‎(2)幂函数与指数函数解析式的区别是什么？‎ 提示：(1)①系数为1；②底数为x自变量；③指数为常数．‎ ‎(2)①自变量不同，幂函数的自变量为底数，指数函数的自变量为指数．②底数不同，幂函数的底数是自变量，指数函数的底数是常数．‎ 知识点 幂函数共同的性质 ‎ (1)所有幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，在第一象限内都有图像，并且图像都通过(1,1)．‎ ‎(2)如果α＞0，则幂函数的图像通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．‎ ‎(3)如果α＜0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，且在第一象限内：当x从右边趋向于原点时，图像在y轴右方且无限地逼近y轴；当x趋向于＋∞时，图像在x轴上方且无限地逼近x轴．‎ 思考：当α＜0时，幂函数的图像是否过原点？‎ 提示：α＜0时，y＝xα在x＝0时无意义，图像不过原点．‎ - 7 -‎ 关键能力·攻重难 题型探究 题型 幂函数的概念 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例1　(1)下列函数中不是幂函数的是(　C　)‎ A．y＝ B．y＝x C．y＝22x D．y＝x－1‎ ‎(2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝__5或－1__．‎ ‎[分析]　(1)根据幂函数的定义去判断，只有形如y＝xα的函数才是幂函数．‎ ‎(2)根据幂函数的特征，系数等于1求解．‎ ‎[解析]　(1)由幂函数的定义知y＝＝x，y＝x，y＝x－1均为幂函数，而y＝22x＝4x是指数函数．‎ ‎(2)因为f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，所以m2－4m－4＝1，解得m＝5或m＝－1．‎ 规律方法：判断一个函数是否为幂函数的方法 ‎(1)幂函数同指数函数、对数函数一样，是一种“形式定义”的函数，也就是说必须完全具备y＝xα(α∈R)结构特征的函数才是幂函数．‎ ‎(2)如果函数解析式以根式的形式给出，则要注意把根式化为分数指数幂的形式进行化简整理，再对照幂函数的定义进行判断．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎1．(1)函数y＝(m2＋2m－2)x是幂函数，则m＝(　B　)‎ A．1 B．－3‎ C．－3或1 D．2‎ ‎(2)以下四个函数：y＝x0；y＝x－2；y＝(x＋1)2；y＝2·x中是幂函数的有(　B　)‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎[解析]　(1)由题意，得解得m＝－3．‎ ‎(2)形如y＝xα(α为常数)的函数为幂函数，所以只有y＝x0；y＝x－2为幂函数．‎ 题型 - 7 -‎ 幂函数的图像及应用 ‎┃┃典例剖析__■‎ 典例2　 (1)如图的曲线是幂函数y＝xn在第一象限内的图像，已知n分别取±1，，2四个值，相应的曲线C1，C2，C3，C4的n依次为(　B　)‎ A．－1，，1,2 B．2,1，，－1‎ C．，－1,2,1 D．2，，－1,1‎ ‎(2)已知函数f(x)＝xk(k为常数)，在下列函数图像中，不是函数y＝f(x)的图像的是(　C　)‎ ‎[分析]　(1)根据各个函数的图像特征选取．‎ ‎(2)根据幂函数图像所在的象限判断．‎ ‎[解析]　(1)函数y＝x－1在第一象限内单调递减，对应的图像为C4；y＝x对应的图像为一条过原点的直线，对应的图像为C2；y＝x2对应的图像为抛物线，对应的图像应为C1；y＝x在第一象限内的图像是C3，所以曲线C1，C2，C3，C4的n依次为2,1，，－1．‎ ‎(2)函数f(x)＝xk(k为常数)为幂函数，图像不过第四象限，所以C中函数图像不是函数y＝f(x)的图像．‎ 规律方法：解决幂函数图像问题应把握的两个原则 ‎(1)依据图像高低判断幂指数大小，相关结论为：①在(0,1)上，指数越大，幂函数图像越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图像越远离x轴(简记为指大图高)．‎ ‎(2)依据图像确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图像(类似于y＝x－1或y＝x或y＝x3)来判断．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎2．在同一坐标系中，函数f(x)＝xa(x＞0)，g(x)＝logax(a＞0且a≠1)的图像可能是(　D　)‎ - 7 -‎ ‎[解析]　对A，没有幂函数的图像；对B，f(x)＝xa(x＞0)中a＞1，g(x)＝logax中0＜a＜1，不符合题意；对C，f(x)＝xa(x＞0)中0＜a＜1，g(x)＝logax中a＞1，不符合题意；对D，f(x)＝xa(x＞0)中0＜a＜1，g(x)＝logax中0＜a＜1，符合题意．‎ 题型 幂函数性质的应用 ‎┃┃典例剖析__■‎ 角度1　利用幂函数的单调性比较大小 ‎　典例3　已知a＝2，b＝4，c＝25，则(　A　)‎ A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b ‎[解析]　因为a＝2＝16，c＝25，‎ 由幂函数y＝x的单调性，所以a＜c，‎ 由a＝2＝16，b＝4＝16，‎ 根据指数函数y＝16x的单调性，所以a＞b，可得b＜a＜C．‎ 母题探究：将本例中的b改为2，试比较三个数的大小？‎ ‎[解析]　因为a＝2＝16，b＝2＝128，c＝25，‎ 由幂函数y＝x的单调性，知a＜c＜B．‎ 角度2　探究幂函数的图像及性质 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例4　讨论函数y＝x－2的定义域、奇偶性，通过描点作出它的图像，并根据图像说明函数的单调性．‎ - 7 -‎ ‎[解析]　因为y＝x－2＝，‎ 所以定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，记f(x)＝x－2，‎ 则f(－x)＝(－x)－2＝＝＝x－2＝f(x)，‎ 因此函数y＝x－2是偶函数，因此函数图像关于y轴对称．通过列表描点，可以先画出y＝x－2在x∈(0，＋∞)时的函数图像，再根据对称性，作出它在x∈(－∞，0)时的图像，如图所示．‎ 由图像可以看出，函数y＝x－2在区间(0，＋∞)上是单调递减函数，在(－∞，0)上是单调递增函数．‎ 规律方法：1.关于指数式比较大小 ‎(1)变为同指数：利用幂函数的单调性比较大小．‎ ‎(2)变为同底数：利用指数函数的单调性比较大小．‎ ‎2．关于函数图像、性质的探究 ‎(1)探究顺序：一般按照定义域、奇偶性、图像、单调性的顺序进行探究．‎ ‎(2)几点说明：‎ ‎①奇偶性决定了图像是否具有对称性，具有奇遇性的函数可先描点作出y轴右侧的图像，再根据对称性作左侧的图像；‎ ‎②作图时尽可能多地选取点，而且选取的点要具有代表性，这样作出的图像才更加准确；‎ ‎③此种方法是对函数图像和性质的粗略探究，适用的函数有限，更加准确、科学的探究方法会在以后进一步学习．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎3．(1)已知点(m,8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图像上，设a＝f，b＝f(ln π)，c＝f，则a，b，c的大小关系为(　A　)‎ A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．b＜a＜c ‎(2)讨论函数y＝x－3的定义域、奇偶性，通过描点作出它的图像，并根据图像说明函数的单调性．‎ ‎[解析]　(1)点(m,8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图像上，‎ 可得m－1＝1，即m＝2,2n＝8，可得n＝3，‎ - 7 -‎ 则f(x)＝x3，且f(x)在R上单调递增，‎ 由a＝f，b＝f(ln π)，c＝f，‎ 且0＜＜＜1，ln π＞1，可得a＜c＜B．‎ ‎(2)因为y＝x－3＝，所以定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，记f(x)＝x－3，则f(－x)＝(－x)－3＝＝＝－x－3＝－f(x)，因此函数y＝x－3是奇函数，因此函数图像关于原点对称．通过列表描点，可以先画出y＝x－3在x∈(0，＋∞)时的函数图像，再根据对称性，作出它在x∈(－∞，0)时的图像，如图所示．‎ 由图像可以看出，函数y＝x－3在区间(0，＋∞)，(－∞，0)上都是单调递减函数．‎ 易错警示 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例5　若(a＋1) －＜(3－2a) －，试求a的取值范围．‎ ‎[错解]　∵函数y＝x－是减函数，∴a＋1＞3－2A．‎ ‎∴a＞，‎ 即a的取值范围是．‎ ‎[辨析]　误认为y＝x－是R上的减函数，实质是y＝x－在(－∞，0)和(0，＋∞)内均是减函数，而在整个定义域上不是减函数．‎ ‎[正解]　对于(a＋1) －＜(3－2a) －，可分三种情况讨论．‎ ‎①a＋1和3－2a都在(－∞，0)内，，此时方程组无解；‎ ‎②a＋1和3－2a都在(0，＋∞)内，，解得＜a＜；‎ - 7 -‎ ‎③若a＋1和3－2a不在同一单调区间内，‎ 则有，解得a＜－1．‎ 综上可知，a的取值范围为∪(－∞，－1)．‎ - 7 -‎