浙江省2021届高考数学一轮复习第三章函数概念及基本初等函数Ⅰ第6节幂函数指数函数对数函数含解析
第 6 节 幂函数、指数函数、对数函数
考试要求 1.了解幂函数的概念，掌握幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1
x
，y＝x
1
2的图象和性
质；2.理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用；3.理解对数函数的概念，
掌握对数函数的图象、性质及应用.
知 识 梳 理
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如 y＝xα的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，α为常数.
(2)常见的 5 种幂函数的图象
(3)常见的 5 种幂函数的性质
2.指数函数及其性质
(1)概念：函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)叫做指数函数，其中指数 x 是自变量，函数的定义域是 R，
a 是底数.
(2)指数函数的图象与性质
a>1 0
0 时，y>1；
当 x<0 时，01；
当 x>0 时，00，且 a≠1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是(0，
＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1 01 时，y>0；
当 01 时，y<0；
当 00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)与对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)互为反函数，它们的图象
关于直线 y＝x 对称.
[常用结论与易错提醒]
1.幂函数满足三个条件：(1)幂底是单自变量；(2)指数为常数；(3)系数为 1.类似地指数函数、
对数函数也分别满足三个条件.
2.(1)幂函数图象的分布规律：作一直线 x＝t>1，与幂函数交点在上面的幂函数的指数大；
(2)指数函数图象的分布规律：作一直线 x＝t>0，与指数函数交点在上面的指数函数的底数大；
(3)对数函数图象的分布规律：作一直线 y＝k>0，与对数函数交点在右边的对数函数的底数大.
诊 断 自 测
1.判断下列说法的正误.
(1)幂函数 y＝x0 与常值函数 y＝1 图象相同.( )
(2)函数 y＝2x
1
3是幂函数.( )
(3)y＝2x－1 是指数函数，y＝loga(x2＋1)(a>0，且 a≠1)是对数函数.( )
(4)函数 y＝ln x＋1
x－1
与 y＝ln(x＋1)－ln(x－1)的定义域相同.( )
解析 (1)错误，y＝1 的图象去掉点(0，1)才是 y＝x0 的图象；
(2)错误，因为 x
1
3的系数不是 1；
(3)错误，y＝2x－1＝1
2
·2x，2x 前面的系数不为 1，
y＝loga(x2＋1)(a>0 且 a≠1)，真数为 x2＋1 而不是单自变量 x.
(4)错误，y＝ln x＋1
x－1
的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，
而 y＝ln(x＋1)－ln(x－1)的定义域为(1，＋∞)，
故函数的定义域不同.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
2.(2019·浙江卷)在同一直角坐标系中，函数 y＝1
ax，y＝loga
x＋1
2 (a>0，且 a≠1)的图象可
能是( )
解析 当 01 时，函数 y＝ax 的图象过定点(0，1)，在 R 上单调递增，
于是函数 y＝1
ax的图象过定点(0，1)，在 R 上单调递减，函数
y＝loga
x＋1
2 的图象过定点
1
2
，0
，在
－1
2
，＋∞
上单调递增.
显然 A，B，C，D 四个选项都不符合.
故选 D.
答案 D
3.(一题多解)已知函数 y＝loga(x＋c)(a，c 为常数，其中 a>0，且 a≠1)的图象如图，则下列
结论成立的是( )
A.a>1，c>1 B.a>1，01 D.00，即
logac>0，所以 00，且 a≠1 时，函数 f(x)＝ax－3－2 必过定点________，其值域为________.
解析 函数 f(x)＝ax－3－2 的图象是将函数 y＝ax 的图象向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个
单位得到的.故函数 f(x)＝ax－3－2 必过定点(3，－1)，其值域为(－2，＋∞).
答案 (3，－1) (－2，＋∞)
考点一 幂函数
【例 1】 (1)(2018·上海卷)已知α∈
－2，－1，－1
2
，1
2
，1，2，3
.若幂函数 f(x)＝xα为奇
函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝________.
(2)已知幂函数 f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于 y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函
数，则 n 的值为( )
A.－3 B.1
C.2 D.1 或 2
解析 (1)由 f(x)为奇函数，所以α＝－1，1，3，又在(0，＋∞)上为递减可知α＝－1.
(2)∵幂函数 f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n 在(0，＋∞)上是减函数，
∴
n2＋2n－2＝1，
n2－3n<0，
∴n＝1，
又 n＝1 时，f(x)＝x－2 的图象关于 y 轴对称，故 n＝1.
答案 (1)－1 (2)B
规律方法 (1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；
(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，
准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.
【训练 1】 (1)已知幂函数 f(x)＝k·xα的图象过点
1
2
， 2
2 ，则 k＋α＝( )
A.1
2
B.1
C.3
2
D.2
(2)已知 a＝2
4
3，b＝3
2
3，c＝25
1
3，则( )
A.b(m2＋m－1)
1
2，则实数 m 的取值范围是( )
A.
－∞，－ 5－1
2 B.
5－1
2
，＋∞
C.(－1，2) D.
5－1
2
，2
解析 (1)由幂函数的定义知 k＝1.又 f
1
2 ＝ 2
2
，
所以
1
2
α
＝ 2
2
，解得α＝1
2
，从而 k＋α＝3
2
.
(2)因为 a＝2
4
3＝4
2
3，b＝3
2
3，c＝5
2
3，又 y＝x
2
3在(0，＋∞)上是增函数，所以 c>a>b.
(3)因为函数 y＝x
1
2的定义域为[0，＋∞)，
且在定义域内为增函数，
所以不等式等价于
2m＋1≥0，
m2＋m－1≥0，
2m＋1>m2＋m－1.
解得
m≥－1
2
，
m≤－ 5－1
2
或 m≥ 5－1
2
，
－1＜m＜2，
即 5－1
2
≤m<2.
答案 (1)C (2)A (3)D
考点二 指数函数
【例 2】 已知函数 f(x)＝
1
3
ax2－4x＋3
.
(1)若 a＝－1，求 f(x)的单调区间；
(2)若 f(x)有最大值 3，求 a 的值；
(3)若 f(x)的值域是(0，＋∞)，求 a 的值.
解 (1)当 a＝－1 时，f(x)＝
1
3
－x2－4x＋3
，
令 u＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7.
在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而 y＝
1
3
u
在 R 上单调递减，所以 f(x)
在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数 f(x)的递增区间是(－2，＋
∞)，递减区间是(－∞，－2).
(2)令 h(x)＝ax2－4x＋3，y＝
1
3
h（x）
，由于 f(x)有最大值 3，所以 h(x)应有最小值－1，
因此必有
a>0，
12a－16
4a
＝－1，解得 a＝1，
即当 f(x)有最大值 3 时，a 的值等于 1.
(3)由 f(x)的值域是(0，＋∞)知，ax2－4x＋3 的值域为 R，则必有 a＝0.
规律方法 (1)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、
单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都
要借助“同增异减”这一性质分析判断.
(2)比较指数式的大小的方法是：①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；
②不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；③当底数 a 与“1”的大小关系不
确定时，要分类讨论.
【训练 2】 (1)(2020·杭州二中检测)已知 0(1－a)b B.(1－a)b>(1－a)
b
2
C.(1＋a)a>(1＋b)b D.(1－a)a>(1－b)b
(2)设函数 f(x)＝
x
1
3，x≥8，
2ex－8，x<8，
则使得 f(x)≤3 成立的 x 的取值范围是________.
(3)若曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 没有公共点，则 b 的取值范围是________.
解析 (1)因为 0(1－a)b>(1－b)b，故选 D.
(2)当 x≥8 时，f(x)＝x
1
3≤3，∴x≤27，即 8≤x≤27；
当 x<8 时，f(x)＝2ex－8≤3 恒成立，故 x<8.
综上，x∈(－∞，27].
(3)曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 的图象如图所示，由图象可知：如果|y|＝2x＋1 与直线 y＝b
没有公共点，则 b 应满足的条件是 b∈[－1，1].
答案 (1)D (2)(－∞，27] (3)[－1，1]
考点三 对数函数
【例 3】 已知函数 f(x)＝loga(ax2－x).
(1)若 a＝1
2
，求 f(x)的单调区间；
(2)若 f(x)在区间[2，4]上是增函数，求实数 a 的取值范围.
解 (1)当 a＝1
2
时，f(x)＝log1
2
1
2
x2－x
，
由 1
2
x2－x>0，得 x2－2x>0，解得 x<0 或 x>2，
所以函数的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)，
结合图象可得函数的单调递减区间为(2，＋∞)，
单调递增区间为(－∞，0).
(2)令 g(x)＝ax2－x，
则函数 g(x)的图象为开口向上、对称轴为 x＝ 1
2a
的抛物线，
①当 00，
即
1
2a
≥4，
g（4）＝16a－4>0，
此不等式组无解.
②当 a>1 时，要使函数 f(x)在区间[2，4]上是增函数，
则 g(x)＝ax2－x 在[2，4]上单调递增，且 g(x)min>0，
即
1
2a
≤2，
g（2）＝4a－2>0，
解得 a>1
2
，
又 a>1，所以 a>1，综上可得 a>1.
实数 a 的取值范围为(1，＋∞).
规律方法 (1)确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行.
(2)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.
(3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性
来求解.在利用单调性时，一定要明确底数 a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的
限制条件.
【训练 3】 (1)(2019·天津卷)已知 a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则 a，b，c 的大小关
系为( )
A.alog0.50.5＝1.因为 y＝0.5x 是减函数，所以 0.5＝0.511 时，不符合题意，舍去.
所以实数 a 的取值范围是
2
2
，1
.
法二 ∵当 0＜x≤1
2
时，1＜4x≤2，要使 4x＜logax，
必须 2＜logax，
∴
0＜a＜1，
logaa2＜logax，
即
0＜a＜1，
a2＞x
对 0＜x≤1
2
恒成立，
∴
0＜a＜1，
a2＞1
2
， 解得 2
2
＜a＜1.
(3)由题意知函数 f(x)的图象关于直线 x＝10 对称，且 x1＋x4＝x2＋x3＝2×10，ln x1＝－ln x2，
ln(20－x3)＝－ln(20－x4)，所以 x1＋x2＋x3＋x4＝40，x1＝1
x2
，20－x3＝ 1
20－x4
，化简得 x1x2＝1，
x3x4－20(x3＋x4)＋399＝0，故选 C.
答案 (1)A (2)B (3)C
基础巩固题组
一、选择题
1.已知α∈{－1，1，2，3}，则使函数 y＝xα的值域为 R，且为奇函数的所有α的值为( )
A.1，3 B.－1，1
C.－1，3 D.－1，1，3
解析 因为函数 y＝xα为奇函数，故α的可能值为－1，1，3.又 y＝x－1 的值域为{y|y≠0}，函
数 y＝x，y＝x3 的值域都为 R.所以符合要求的α的值为 1，3.
答案 A
2.(2019·浙江新高考仿真卷五)已知 x，y∈R，且 x＞y＞0，若 a＞b＞1，则一定有( )
A.logax＞logby B.sinax＞sinby
C.ay＞bx D.ax＞by
解析 当 x＞y＞0，a＞b＞1 时，由指数函数的性质易得 ax＞ay＞by，故选 D.
答案 D
3.(一题多解)(2019·全国Ⅱ卷)若 a>b，则( )
A.ln(a－b)>0 B.3a<3b
C.a3－b3>0 D.|a|>|b|
解析 法一 由函数 y＝ln x 的图象(图略)知，当 0b 时，3a>3b，故 B 不正确；因为函数 y＝x3 在 R 上
单调递增，所以当 a>b 时，a3>b3，即 a3－b3>0，故 C 正确；当 b3b，|a|<|b|，故排除 A，B，D.故选 C.
答案 C
4.(2019·诸暨期末)若函数 f(x)满足 f(x)≤x2 且 f(x)≤2x(x∈R)，则( )
A.若 f(a)≤b2，则 a≥b B.若 f(a)≤2b，则 a≤b
C.若 f(a)≥b2，则 a≤b D.若 f(a)≥2b，则 a≥b
解析 若 f(a)≥2b，则由 f(x)≤2x 得 f(a)≤2a，则 2b≤2a，则 a≥b，故选 D.
答案 D
5.若函数 f(x)＝logax(0＜a＜1)在[a，2a]上的最大值是最小值的 3 倍，则 a 的值为( )
A.1
4
B. 2
2
C. 2
4
D.1
2
解析 因为 0＜a＜1，所以 f(x)在[a，2a]上是减函数.所以 f(x)max＝f(a)＝logaa＝1，f(x)min
＝f(2a)＝loga(2a)＝1＋loga2，由题意知 1＝3(1＋loga2)，即 loga2＝－2
3
，
所以 a＝ 2
4
.
答案 C
6.若 a－2>a2(a>0，且 a≠1)，则函数 f(x)＝loga(x－1)的图象大致是( )
解析 因为 a－2>a2(a>0 且 a≠1)，所以 00 时，f(x)>0，
从而 g(x)＝xf(x)是 R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，
a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，20.8<2，又 4<5.1<8，则 2b>0
B.若 ln a－ln b＝a－3b，则 0b>0
D.若 ln a－ln b＝3b－a，则 00，b>0，所以 ln a＋a＝ln b＋3b>ln b＋b，设 f(x)＝
ln x＋x，则易得函数 f(x)＝ln x＋x 在(0，＋∞)上单调递增，所以 a>b>0，C 正确，故选 C.
答案 C
二、填空题
10.(2018·上海卷)设常数 a∈R，函数 f(x)＝log2(x＋a).若 f(x)的反函数的图像经过点(3，
1)，则 a＝________.
解析 由题意可知 f(x)经过(1，3)，log2(1＋a)＝3，a＝7.
答案 7
11.方程 2x＝2－x 的解的个数是________.
解析 方程的解可看作函数 y＝2x 和 y＝2－x 的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象
(如图).
由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解.
答案 1
12.已知 max{a，b}表示 a，b 两数中的最大值.若 f(x)＝max{e|x|，e|x－2|}，则 f(x)的最小值为
________.
解析 f(x)＝
ex，x≥1，
e|x－2|，x<1.
当 x≥1 时，f(x)＝ex≥e(x＝1 时，取等号)，
当 x<1 时，f(x)＝e|x－2|＝e2－x>e，
因此 x＝1 时，f(x)有最小值 f(1)＝e.
答案 e
13.设 f(x)＝lg
2
1－x
＋a
是奇函数，则使 f(x)<0 的 x 的取值范围是________.
解析 由 f(x)是奇函数可得 a＝－1，
∴f(x)＝lg1＋x
1－x
，定义域为(－1，1).
由 f(x)<0，可得 0<1＋x
1－x
<1，∴－12
C.1
x1
＋1
x2
<2 D.1
x1
＋1
x2
>2
解析 根据题意不妨设 02 x1x2，所以1
x1
＋1
x2
＝x1＋x2
x1x2
> 2
x1x2
>2，
故选 D.
答案 D
18.已知函数 f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且 a≠1)，若 f(x)>1 在区间[1，2]上恒成立，则实数
a 的取值范围是________.
解析 当 a>1 时，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是减函数，由 f(x)>1 在区间[1，2]上恒成立，
则 f(x)min＝loga(8－2a)>1，
解之得 11 在区间[1，2]上恒成立，
则 f(x)min＝loga(8－a)>1，且 8－2a>0.
∴a>4，且 a<4，故 a 不存在.
综上可知实数 a 的取值范围是
1，8
3 .
答案
1，8
3
19.(2018·上海卷)已知常数 a＞0，函数 f(x)＝ 2x
2x＋ax
的图象经过点 P
p，6
5 、Q
q，－1
5 ，若
2p＋q＝36pq，则 a＝________.
解析 由题意知 2p
2p＋ap
＋ 2q
2q＋aq
＝1，∴2p＋q＝a2pq＝36pq，∴a＝6.
答案 6
20.若 f(x)＝a（2x＋1）－2
2x＋1
是 R 上的奇函数，则实数 a 的值为________，f(x)的值域为
________.
解析 ∵函数 f(x)是 R 上的奇函数，∴f(0)＝0，
∴2a－2
2
＝0，解得 a＝1，f(x)＝2x－1
2x＋1
＝1－ 2
2x＋1
.
∵2x＋1>1，∴0< 2
2x＋1
<2，∴－1<1－ 2
2x＋1
<1，
∴f(x)的值域为(－1，1).
答案 1 (－1，1)
