北京市密云区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

北京市密云区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

密云区2019-2020学年度第一学期期末 高一数学试卷 ‎ ‎2020.1‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.‎ ‎1.已知集合，，则集合中元素的个数是（ ）‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据交集的定义计算即可；‎ ‎【详解】解：，‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查集合的运算，集合中元素个数的求法，属于基础题.‎ ‎2.函数的最小正周期为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据余弦型函数最小正周期的求法即可求得结果.‎ ‎【详解】最小正周期 故选：‎ ‎【点睛】本题考查余弦型函数最小正周期的求解，属于基础题.‎ ‎3.下列函数中，既是偶函数又在单调递增的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．‎ ‎【详解】解：根据题意，依次分析选项：‎ 对于，，为指数函数，其定义域为，不是偶函数，不符合题意；‎ 对于，，为幂函数，是奇函数，不符合题意；‎ 对于，，为偶函数，在不是增函数，不符合题意；‎ 对于，，为偶函数，且当时，，为增函数，符合题意；‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．‎ ‎4.命题“”的否定为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据全称命题的否定为特称命题解答即可；‎ ‎【详解】解：因为全称命题的否定为特称命题，则命题的否定为，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．‎ ‎5.已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且有如下对应值表：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎6.1‎ ‎2.9‎ ‎3.5‎ ‎1‎ 那么函数一定存在零点的区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数零点的存在定理进行函数零点所在区间的判断，关键要判断函数在相应区间端点函数值的符号，如果端点函数值异号，则函数在该区间有零点．‎ ‎【详解】解：因为函数是定义在上的连续函数，且，，‎ 根据函数零点的存在定理可知故函数在区间内存在零点．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查函数零点的判断方法，关键要弄准函数零点的存在定理，把握好函数在哪个区间的端点函数值异号，属于基础题．‎ ‎6.函数的图象如图所示，为了得到函数的图象，可以把函数的图象（ ）‎ A. 先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）‎ B. 先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）‎ C. 每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位 D. 每个点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数的最值求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再利用的图象变换规律，得出结论．‎ ‎【详解】解：根据函数的图象，设，‎ 可得，，．‎ 再根据五点法作图可得，，，‎ 故可以把函数的图象先向左平移个单位，得到的图象，‎ 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即可得到函数的图象，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的最值求出，由周期求出，由五点法作图求出的值．的图象变换规律，属于基础题．‎ ‎7.定义域均为的两个函数，，“为偶函数”是“，均为偶函数”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数，定义在上，令，则的定义域也为，关于原点对称，只要看与的关系即可得出为偶函数，反之，通过举反例可得出非充分条件．‎ ‎【详解】解：令，‎ 由，均为偶函数，则，，故是偶函数，即必要性成立；‎ 反之，设，，是偶函数，而，均不是偶函数，故充分性不成立；‎ 则“为偶函数”是“，均为偶函数”的必要不充分条件．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是函数的奇偶性，充要条件的判定，其中根据“谁推出谁”的原则，求解充要条件，是解答本题的关键，属于基础题．‎ ‎8.已知函数关于x的方程，有四个不同的实数解,则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意作函数与的图象，从而可得，，，从而得解 ‎【详解】解：因为，可作函数图象如下所示：‎ 依题意关于x的方程，有四个不同的实数解,即函数与的图象有四个不同的交点，由图可知令，‎ 则，，即，所以，则，‎ 所以，‎ 因，在上单调递增，所以，即 故选：B ‎【点睛】本题考查了数形结合的思想应用及分段函数的应用．属于中档题 二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎9.________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据对数的运算及分数指数幂的运算法则计算可得；‎ ‎【详解】解：‎ 故答案为：6‎ ‎【点睛】本题考查对数及分数指数幂的运算，属于基础题.‎ ‎10.函数的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用基本不等式即可求解. ‎ ‎【详解】解:，‎ 函数 当且仅当，即时，上式取等号.‎ 故答案为: .‎ ‎【点睛】本题主要考查基本不等式，利用基本不等式的条件是“一正、二定、三相等”，属于基础题.‎ ‎11.函数的定义域是_______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由 解不等式可得函数的定义域．‎ ‎【详解】解：由，，可解得，，‎ 函数的定义域为，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查正切函数的定义域，属于基础题．‎ ‎12.给出下列三个论断：①；②；③且.‎ 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个真命题：__________．‎ ‎【答案】①③推出②，②③推出①‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用不等式的基本性质可得．‎ ‎【详解】解：由①；②；③且.‎ 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个真命题：‎ ‎（1）若，且，则；或（2）若，且，则；‎ 对于（1）若且，则，由不等式的性质可得即；‎ 对于（2）若且，则，由不等式的性质可得即；‎ 故答案为：①③推出②，②③推出①‎ ‎【点睛】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎13.若函数为奇函数，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数为在定义域上为奇函数，则必有，然后利用待定系数法求解．‎ ‎【详解】解：函数为奇函数 当时，，定义域为，且为奇函数，满足条件；‎ 当时，，定义域为，且为奇函数，满足条件；‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查奇偶性的定义的应用，要注意判断和应用的区别，判断时一定要从两个方面，一是定义域是否关于原点对称，二是模型是否满足．应用时，已经知道奇偶性了，则对于定义域中任一变量都满足模型，做大题时用待定系数法求参数，做客观题时可用特殊值求解，属于基础题．‎ ‎14.里氏震级M的计算公式为：M=lgA﹣lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅A0为0.001，则此次地震的震级为 级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的 倍．‎ ‎【答案】6，10000‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：根据题意中的假设，可得M=lgA﹣lgA0=lg1000﹣lg0.001=6；设9级地震的最大的振幅是x，5级地震最大振幅是y，9=lgx+3，5=lgy+3，由此知9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的10000倍．‎ 解：根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，‎ 则M=lgA﹣lgA0=lg1000﹣lg0.001=3﹣（﹣3）=6．‎ 设9级地震的最大的振幅是x，5级地震最大振幅是y，‎ ‎9=lgx+3，5=lgy+3，解得x=106，y=102，‎ ‎∴．‎ 故答案耿：6，10000．‎ 点评：本题考查对数的运算法则，解题时要注意公式的灵活运用．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.‎ ‎15.已知集合，．‎ ‎（1）当时，求，；‎ ‎（2）当时，求，；‎ ‎（3）当时，求的范围．‎ ‎【答案】（1），； （2），； （3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先求出集合，再根据交集、并集的定义计算即可；‎ ‎（2）首先求出集合，再根据交集、并集的定义计算即可；‎ ‎（3）由，即与无公共部分，从而求出参数的取值范围；‎ ‎【详解】解：（1）当时，， ‎ 所以， . ‎ ‎（2）当时，， ‎ 所以， . ‎ ‎（3）因为， 所以的范围是.‎ ‎【点睛】本题考查集合的运算及集合的包含关系求参数的取值范围，属于基础题.‎ ‎16.已知角的顶点与原点O重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆交点为． ‎ ‎（1）求 和的值；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由任意角的三角函数的定义，可得，，，再根据两角和的余弦公式及二倍角正弦公式计算可得；‎ ‎（2）利用同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算即可；‎ ‎【详解】解：（1）根据题意，，， ‎ 所以， ‎ ‎．‎ ‎（2） 因为， ‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系以及两角和的余弦公式，属于基础题.‎ ‎17.已知函数是定义在上的偶函数，当时，．现已画出函数在轴右侧的图象，如图所示．‎ ‎（1）画出函数在轴左侧的图象，根据图象写出函数在上的单调区间；‎ ‎（2）求函数在上的解析式；‎ ‎（3）解不等式.‎ ‎【答案】（1）图见解析；函数的单调增区间是，单调减区间是 （2） （3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据偶函数的对称性作出函数图象，由函数图象读出函数的单调区间；‎ ‎（2）当时，，再根据当时，，可得．再根据函数为偶函数，可得，由此能求出函数的解析式．‎ ‎（3）因为，当时，，当时，；由函数图象读出解集即可；‎ ‎【详解】解：（1）如图作函数图象. ‎ 函数的单调增区间是：，单调减区间是：． ‎ ‎（2）因为时，，‎ 若，则，，‎ 又因为是定义在上的偶函数，‎ 所以，当时，. ‎ 综上：． ‎ ‎（3）因 当时，，即；当时，，即；‎ 所以解集为：．‎ ‎【点睛】本题考查函数的图象的作法，函数的奇偶性的性质的应用，函数解析式的求法，考查运算求解能力，数形结合思想，属于基础题．‎ ‎18.已知函数.‎ ‎（1）求函数的最小正周期和单调区间； ‎ ‎（2）求函数的零点．‎ ‎【答案】（1）；单调递增区间为，；单调递减区间为 ，； （2）或，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简为，‎ 再根据正弦函数的周期公式求出最小正周期，最后根据正弦函数的单调性求出的单调区间；‎ ‎（2）令，即，即或， ，解得即可；‎ ‎【详解】（1）‎ ‎，‎ 即，‎ 所以的最小正周期. ‎ 因为的单调增区间为，，‎ 令，‎ 解得，.‎ 因为的单调减区间为，，‎ 令，‎ 解得，.‎ 所以的单调递增区间为，. ‎ 单调递减区间为 ，.‎ ‎（2）函数的零点，‎ 令，即.‎ 或， ‎ 解得或，‎ 所以的零点为或，‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．‎ ‎19.已知函数．‎ ‎（1）当时，求的最大值；‎ ‎（2）若函数为偶函数，求的值；‎ ‎（3）设函数，若对任意，存在，使得，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）1 （2） （3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）代入的值，求出函数的最大值即可；‎ ‎（2）根据偶函数图象关于轴对称，二次函数的一次项系数为0，可得的值；‎ ‎（3）求解的值域和的值域，可得，即可求解实数的取值范围．‎ ‎【详解】（1）当时，‎ 故当时，的最大值是1 ‎ ‎（2）因为函数为偶函数，‎ ‎，所以，‎ 可得， ‎ 即实数的值为. ‎ ‎（3）‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以的值域为．‎ 当时，存在，使得，设的值域， ‎ 转化为：函数的值域是的值域的子集；‎ 即：当时，‎ 函数，对称轴，‎ 当时，即，可得；；‎ 可得：；‎ 当时，即，可得，或，‎ 显然，不满足，此时无解；‎ 当时，即，可得，；不满足，此时无解；‎ 综上可得实数的取值范围为 ‎【点睛】本题主要考查偶函数的性质的应用，二次函数的最值问题，存在性问题，属于中档题.．‎ ‎20.对于正整数集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”.‎ ‎（1）判断集合和是否是“可分集合”（不必写过程）；‎ ‎（2）求证：五个元素的集合一定不是“可分集合”；‎ ‎（3）若集合是“可分集合”.‎ ‎①证明：为奇数；‎ ‎②求集合中元素个数的最小值.‎ ‎【答案】（1）集合不是“可分集合”，集合是“可分集合”；（2）见解析；（3）①见解析；②最小值是7‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据定义直接判断即可得到结论；‎ ‎（2）不妨设，若去掉的元素为，则有①，或者②；若去掉的元素为，则有③，或者④，求解四个式子可得出矛盾，从而证明结论；‎ ‎（3）①设集合所有元素之和为，由题可知，均为偶数，因此均为奇数或偶数.分类讨论为奇数和为偶数的情况，分析可得集合中元素个数为奇数；②结合（1）（2）问，依次验证当时，当时，当时集合是否为“可分集合”，从而证明结论.‎ ‎【详解】（1）集合不是“可分集合”，集合是“可分集合”；‎ ‎（2）不妨设，‎ 若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有①，或者②；‎ 若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有③，或者④.‎ 由①、③，得，矛盾；由①、④，得，矛盾；‎ 由②、③，得，矛盾；由②、④，得，矛盾.‎ 因此当时，集合一定不是“可分集合”；‎ ‎（3）①设集合所有元素之和.‎ 由题可知，均为偶数，因此均为奇数或偶数.‎ 如果为奇数，则也均为奇数，由于，所以为奇数.‎ 如果为偶数，则均为偶数，此时设，则也是“可分集合”. 重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“可分集合”. 此时各项之和也为奇数，则集合中元素个数为奇数.‎ 综上所述，集合中元素个数为奇数.‎ ‎②当时，显然任意集合不是“可分集合”.‎ 当时，第（2）问已经证明集合不是“可分集合”.‎ 当时，集合，因为：‎ ‎3+5+7+9=11+13，1+9+13=5+7+11，9+13=1+3+7+11，1+3+5+11=7+13，‎ ‎1+9+11=3+5+13，3+7+9=1+5+13，1+3+5+9=7+11，‎ 则集合是“可分集合”.‎ 所以集合中元素个数的最小值是7.‎ ‎【点睛】本题考查新定义下的集合问题，对此类题型首先要多读几遍题，将新定义理解清楚，然后根据定义验证，证明即可，注意对问题思考的全面性，考查学生的思维迁移能力、分析能力，属于难度较高的创新题.‎